Гомология (математика)

редактировать
Для использования в других целях, см Гомология (значения).

В математике, гомология является общим способом связывания последовательности алгебраических объектов, таких как абелевые группы или модули, с другими математическими объектами, такими как топологические пространства. Группы гомологий были первоначально определены в алгебраической топологии. Подобные конструкции доступны во множестве других контекстов, таких как абстрактная алгебра, группы, алгебры Ли, теория Галуа и алгебраическая геометрия.

Первоначальной мотивацией для определения групп гомологии было наблюдение, что две формы можно различить, исследуя их отверстия. Например, круг не является диском, потому что в круге есть отверстие, в то время как диск твердый, а обычная сфера не является кругом, потому что сфера охватывает двумерное отверстие, а круг охватывает одномерное отверстие. Однако, поскольку дыры «нет», не сразу становится очевидным, как определить дыру или как различать различные типы дыр. Изначально гомология была строгим математическим методом определения и категоризации дыр в многообразии. Грубо говоря, цикл - это замкнутое подмногообразие, граница - это цикл, который также является границей подмногообразия, а класс гомологии (который представляет дыру) - это класс эквивалентности циклов по модулю границ. Таким образом, класс гомологии представлен циклом, который не является границей какого-либо подмногообразия: цикл представляет собой дыру, а именно гипотетическое многообразие, граница которого была бы этим циклом, но которого «не существует».

Есть много разных теорий гомологии. Определенный тип математического объекта, такой как топологическое пространство или группа, может иметь одну или несколько связанных теорий гомологии. Когда базовый объект имеет геометрическую интерпретацию, как топологические пространства, n- я группа гомологии представляет поведение в размерности n. Большинство групп или модулей гомологии могут быть сформулированы как производные функторы на соответствующих абелевых категориях, измеряя неспособность функтора быть точным. С этой абстрактной точки зрения группы гомологии определяются объектами производной категории.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Справочная информация
    • 1.1 Происхождение
    • 1.2 Поверхности
    • 1.3 Обобщение
  • 2 Неформальные примеры
  • 3 Построение групп гомологии
  • 4 Гомология против гомотопии
  • 5 типов гомологии
    • 5.1 Симплициальные гомологии
    • 5.2 Особые гомологии
    • 5.3 Групповая гомология
    • 5.4 Другие теории гомологии
  • 6 Функторы гомологии
  • 7 Недвижимость
  • 8 приложений
    • 8.1 Применение в чистой математике
    • 8.2 Применение в науке и технике
  • 9 Программное обеспечение
  • 10 См. Также
  • 11 Примечания
  • 12 Ссылки
  • 13 Внешние ссылки

Задний план

Происхождение

Можно сказать, что теория гомологий начинается с формулы многогранника Эйлера или характеристики Эйлера. За этим последовало определение Римана числовых инвариантов рода и n- кратной связности в 1857 г. и доказательство Бетти в 1871 г. независимости «чисел гомологии» от выбора базиса.

Сама гомология была разработана как способ анализа и классификации многообразий в соответствии с их циклами - замкнутыми контурами (или, в более общем смысле, подмногообразиями), которые могут быть нарисованы на данном n- мерном многообразии, но не могут непрерывно деформироваться друг в друга. Эти циклы также иногда рассматриваются как разрезы, которые можно склеить, или как молнии, которые можно застегивать и расстегивать. Циклы классифицируются по размерам. Например, линия, нарисованная на поверхности, представляет собой 1-цикл, замкнутый цикл или (1-многообразие), в то время как поверхность, прорезанная через трехмерное многообразие, представляет собой 2-цикл. S 1 {\ Displaystyle S ^ {1}}

Поверхности

Циклы на двумерной сфере Циклы на торе Циклы на бутылке Клейна Циклы на полусферической проективной плоскости

На обычной сфере цикл b на диаграмме может быть уменьшен до полюса, и даже экваториальная большая окружность a может быть уменьшена таким же образом. Теорема Жордана показывает, что любой произвольный цикл, такой как c, может быть подобным образом сжат до точки. Следовательно, все циклы на сфере могут быть непрерывно преобразованы друг в друга и принадлежат одному и тому же классу гомологий. Они называются гомологичными нулю. Разрезание коллектора по циклу, гомологичному нулю, разделяет многообразие на два или более компонентов. Например, разрезание сферы вдоль a дает два полушария. S 2 {\ Displaystyle S ^ {2}}

Обычно это не относится к циклам на других поверхностях. У тора есть циклы, которые нельзя непрерывно преобразовывать друг в друга, например, на диаграмме ни один из циклов a, b или c не может быть преобразован друг в друга. В частности, циклы a и b не могут быть сокращены до точки, тогда как цикл c может быть, таким образом, гомологичен нулю. Т 2 {\ displaystyle T ^ {2}}

Если поверхность тора разрезать как по a, так и по b, ее можно раскрыть и сплющить в прямоугольник или, что более удобно, квадрат. Одна противоположная пара сторон представляет разрез по a, а другая противоположная пара представляет разрез по b.

Затем края квадрата можно снова склеить разными способами. Квадрат можно скрутить, чтобы края пересекались в противоположном направлении, как показано стрелками на схеме. Что касается симметрии, есть четыре различных способа склеивания сторон, каждый из которых создает различную поверхность:

Четыре способа склеить квадрат, чтобы получилась замкнутая поверхность: склейте одиночные стрелки вместе и склейте двойные стрелки вместе.

K 2 {\ displaystyle K ^ {2}}- это бутылка Клейна, которая представляет собой тор с закруткой в ​​ней (закручивание можно увидеть на квадратной диаграмме как разворот нижней стрелки). Это теорема о том, что переклеенная поверхность должна самопересекаться (при погружении в трехмерное евклидово пространство ). Как и тор, циклы a и b нельзя сжать, а c можно. Но в отличие от тора, следование b вперед вправо и назад меняет местами влево и вправо, потому что b пересекает скручивание, данное одному соединению. Если делается эквидистантный разрез на одной стороне b, он возвращается на другую сторону и обходит поверхность во второй раз, прежде чем вернуться в исходную точку, вырезая скрученную ленту Мёбиуса. Поскольку таким образом можно произвольно переориентировать локальные левые и правые стороны, поверхность в целом называется неориентируемой.

На проективной плоскости оба стыка скручены. Неразрезанная форма, обычно представленная как поверхность Мальчика, визуально сложна, поэтому на схеме показано полусферическое вложение, на котором противоположные точки вокруг обода, такие как A и A ', обозначены как одна и та же точка. Опять же, a и b не поддаются усадке, а c - нет. Но на этот раз оба элемента a и b меняют местами влево и вправо. п 2 {\ Displaystyle P ^ {2}}

Циклы могут быть объединены или добавлены вместе, а и Ь на торе, когда она была разрезана и уплощенная вниз. На диаграмме бутылки Клейна a вращается в одну сторону, а - a вращается в противоположную сторону. Если a рассматривается как разрез, то - a можно рассматривать как операцию склеивания. Выполнение надреза с последующим повторным склеиванием поверхности не меняет, поэтому a + (- a) = 0.

Но теперь рассмотрим два а -цикла. Поскольку бутылку Клейна нельзя ориентировать, вы можете транспортировать одну из них через всю бутылку (по b -циклу), и она вернется как - a. Это потому, что бутылка Клейна сделана из цилиндра, концы a- цикла которого склеены с противоположными ориентациями. Следовательно, 2 a = a + a = a + (- a) = 0. Это явление называется кручением. Точно так же в проективной плоскости, если следовать безусадочному циклу b дважды, замечательно создается тривиальный цикл, который можно сжать до точки; то есть, b + b = 0. Поскольку для достижения нулевого цикла необходимо выполнить b примерно дважды, говорят, что поверхность имеет коэффициент кручения 2. Однако повторение b- цикла дважды в бутылке Клейна дает просто b + b = 2 b, поскольку этот цикл находится в классе гомологий без кручения. Это соответствует тому, что в основном многоугольнике бутылки Клейна только одна пара сторон склеена с закруткой, тогда как в проективной плоскости скручены обе стороны.

Квадрат - это стягиваемое топологическое пространство, из чего следует, что у него тривиальные гомологии. Следовательно, дополнительные разрезы отключают его. Квадрат - не единственная форма на плоскости, которую можно приклеить к поверхности. Например, склеивание противоположных сторон восьмиугольника дает поверхность с двумя отверстиями. Фактически, все замкнутые поверхности могут быть созданы путем склеивания сторон некоторого многоугольника, а все четные многоугольники (2 n -угольника) могут быть склеены, чтобы образовать различные многообразия. И наоборот, замкнутая поверхность с n ненулевыми классами может быть разрезана на 2 n -угольник. Возможны также вариации, например, можно склеить шестиугольник, чтобы получился тор.

Первая узнаваемая теория гомологии была опубликована Анри Пуанкаре в его основополагающей статье « Analysis situs », J. Ecole polytech. (2) 1. 1–121 (1895). В статье представлены классы гомологии и отношения. Возможные конфигурации ориентируемых циклов классифицируются по числам Бетти многообразия (числа Бетти являются уточнением характеристики Эйлера). Для классификации неориентируемых циклов требуется дополнительная информация о коэффициентах кручения.

Полная классификация 1- и 2-многообразий приведена в таблице.

Топологические характеристики замкнутых 1- и 2-многообразий
Многообразие Эйлера нет., χ Ориентируемость Бетти числа Коэффициент кручения (1-мерный)
Символ Имя б 0 б 1 б 2
S 1 {\ Displaystyle S ^ {1}} Круг (1-многообразие)  0 Ориентируемый 1 1 N / A N / A
S 2 {\ Displaystyle S ^ {2}} Сфера  2 Ориентируемый 1 0 1 Никто
E 2 {\ displaystyle E ^ {2}} Сплошная окружность (т.е. диск; 2-многообразие) Неориентируемый 1 0 0
E 3 {\ displaystyle E ^ {3}} Твердая сфера (т.е. шар) Неориентируемый 1 0 0
Т 2 {\ displaystyle T ^ {2}} Тор  0 Ориентируемый 1 2 1 Никто
п 2 {\ Displaystyle P ^ {2}} Проективная плоскость  1 Неориентируемый 1 0 0 2
K 2 {\ displaystyle K ^ {2}} Бутылка Клейна  0 Неориентируемый 1 1 0 2
Тор с двумя отверстиями −2 Ориентируемый 1 4 1 Никто
g - тор с отверстиями ( g - род )  2 - 2 г Ориентируемый 1 2 г 1 Никто
Сфера с буквами c колпачками  2 - с Неориентируемый 1 в - 1 0 2
2-Коллектор с г  отверстиями и с  поперечными колпачков ( с  gt;  0)  2  -  (2 г  + с)  Неориентируемый 1 (2 г  + в) - 1    0 2
Заметки
  1. Для неориентируемой поверхности отверстие эквивалентно двум поперечным заглушкам.
  2. Любая 2-многообразие является связной суммой из г торов и с проективными плоскостями. Для сферы, г = с = 0. S 2 {\ Displaystyle S ^ {2}}

Обобщение

Многообразие с краем или открытое многообразие топологически отличается от замкнутого многообразия и может быть создано путем разрезания любого подходящего замкнутого многообразия. Например, круг или 1-шар ограничен окружностью. Его можно создать, разрезав тривиальный цикл в любом 2-коллекторе и оставив деталь удаленной, проткнув сферу и широко растянув прокол, или разрезав проекционную плоскость. Это также можно рассматривать как заполнение круга на плоскости. B 1 {\ displaystyle B ^ {1}} S 1 {\ Displaystyle S ^ {1}}

Когда два цикла можно непрерывно деформировать друг в друга, тогда резка по одному дает ту же форму, что и разрезание по другому, вплоть до некоторого изгиба и растяжения. В этом случае говорят, что два цикла гомологичны или принадлежат одному и тому же классу гомологии. Кроме того, если один цикл можно непрерывно деформировать в комбинацию других циклов, то резка по начальному циклу такая же, как резка по комбинации других циклов. Например, разрезание по фигуре 8 эквивалентно разрезанию по двум ее лепесткам. В этом случае говорят, что цифра 8 гомологична сумме своих долей.

Два открытых многообразия с одинаковыми границами (с точностью до некоторого изгиба и растяжения) могут быть склеены вместе, чтобы образовать новое многообразие, которое является их связной суммой.

Этот геометрический анализ многообразий не является строгим. В поисках повышенной строгости Пуанкаре развил симплициальные гомологии триангулированного многообразия и создал то, что сейчас называется цепным комплексом. Эти цепные комплексы (с тех пор очень обобщенные) составляют основу большинства современных подходов к гомологии.

При таких обработках цикл не обязательно должен быть непрерывным: нулевой цикл - это набор точек, и разрезание по этому циклу соответствует прокалыванию коллектора. 1-цикл соответствует набору замкнутых контуров (образу 1-многообразия). На поверхности резка в течение 1 цикла дает либо отдельные части, либо более простую форму. 2-цикл соответствует набору вложенных поверхностей, таких как сфера или тор, и так далее. S 1 {\ Displaystyle S ^ {1}}

Эмми Нётер и независимо друг от друга Леопольд Вьеторис и Вальтер Майер в период 1925–1928 годов продолжили развитие теории алгебраических групп гомологий. Новая комбинаторная топология формально рассматривала топологические классы как абелевы группы. Группы гомологий - это конечно порожденные абелевы группы, а классы гомологий являются элементами этих групп. Числа Бетти многообразия - это ранг свободной части группы гомологий, а неориентируемые циклы описываются торсионной частью.

Последующее распространение групп гомологии привело к смене терминологии и точки зрения с «комбинаторной топологии» на « алгебраическую топологию ». Алгебраические гомологии остаются основным методом классификации многообразий.

Неформальные примеры

Гомологии топологического пространства X представляет собой набор топологических инвариантов из X представлены его группы гомологии

ЧАС 0 ( Икс ) , ЧАС 1 ( Икс ) , ЧАС 2 ( Икс ) , {\ displaystyle H_ {0} (X), H_ {1} (X), H_ {2} (X), \ ldots}

где группа гомологии описывает, неформально, число K - мерных отверстий в X. 0-мерное отверстие - это просто промежуток между двумя компонентами. Следовательно, описывает путь соединенных компонент X. k т час {\ Displaystyle к ^ {\ rm {th}}} ЧАС k ( Икс ) {\ displaystyle H_ {k} (X)} ЧАС 0 ( Икс ) {\ displaystyle H_ {0} (X)}

Для групп гомологии графа см. Гомологии графа. Круг или 1-сфера S 1 {\ Displaystyle S ^ {1}} 2-сфера - это оболочка, а не внутренняя часть шара. S 2 {\ Displaystyle S ^ {2}}

Одномерная сфера - это круг. Он имеет один связанный компонент и одномерное отверстие, но не имеет отверстий более высоких измерений. Соответствующие группы гомологий задаются как S 1 {\ Displaystyle S ^ {1}}

ЧАС k ( S 1 ) знак равно { Z k знак равно 0 , 1 { 0 } иначе {\ displaystyle H_ {k} \ left (S ^ {1} \ right) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} amp; k = 0,1 \\\ {0 \} amp; {\ text {else}} \ end {case}}}

где - группа целых чисел, - тривиальная группа. Группа представляет собой конечно порожденную абелеву группу с единственным образующим, представляющим одномерное отверстие, содержащееся в окружности. Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} { 0 } {\ displaystyle \ {0 \}} ЧАС 1 ( S 1 ) знак равно Z {\ Displaystyle Н_ {1} \ влево (S ^ {1} \ right) = \ mathbb {Z}}

Двумерная сфера имеет один компонент связности, нет одномерных отверстий, двумерных отверстий и отверстий более высоких измерений. Соответствующие группы гомологии S 2 {\ Displaystyle S ^ {2}}

ЧАС k ( S 2 ) знак равно { Z k знак равно 0 , 2 { 0 } иначе {\ displaystyle H_ {k} \ left (S ^ {2} \ right) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} amp; k = 0,2 \\\ {0 \} amp; {\ text {else}} \ end {case}}}

В общем случае для n -мерной сферы группы гомологий равны S п , {\ displaystyle S ^ {n},}

ЧАС k ( S п ) знак равно { Z k знак равно 0 , п { 0 } иначе {\ displaystyle H_ {k} \ left (S ^ {n} \ right) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} amp; k = 0, n \\\ {0 \} amp; {\ text {else}} \ end {case}}}
Цельный диск или 2 шара B 2 {\ displaystyle B ^ {2}} Тор Т знак равно S 1 × S 1 {\ Displaystyle Т = S ^ {1} \ раз S ^ {1}}

Двумерный шар - это твердый диск. Он имеет один компонент с линейной связью, но, в отличие от круга, не имеет одномерных или многомерных отверстий. Все соответствующие группы гомологий тривиальны, за исключением. В общем случае для n -мерного шара B 2 {\ displaystyle B ^ {2}} ЧАС 0 ( B 2 ) знак равно Z {\ displaystyle H_ {0} \ left (B ^ {2} \ right) = \ mathbb {Z}} B п , {\ displaystyle B ^ {n},}

ЧАС k ( B п ) знак равно { Z k знак равно 0 { 0 } иначе {\ displaystyle H_ {k} \ left (B ^ {n} \ right) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} amp; k = 0 \\\ {0 \} amp; {\ text {else}} \ end {случаи}}}

Тор определяется как продукт двух окружностей. Тор имеет одну компоненту линейной связности, две независимые одномерные отверстия (обозначены кружками красного и синего цветов) и одно двумерное отверстие как внутреннюю часть тора. Соответствующие группы гомологии Т знак равно S 1 × S 1 {\ Displaystyle Т = S ^ {1} \ раз S ^ {1}}

ЧАС k ( Т ) знак равно { Z k знак равно 0 , 2 Z × Z k знак равно 1 { 0 } иначе {\ displaystyle H_ {k} (T) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} amp; k = 0,2 \\\ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z} amp; k = 1 \\\ {0 \ } amp; {\ text {иначе}} \ end {case}}}

Две независимые одномерные дыры образуют независимые образующие в конечно порожденной абелевой группе, выраженной как группа произведений Z × Z . {\ displaystyle \ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}.}

Для проективной плоскости P простое вычисление показывает (где - циклическая группа порядка 2): Z 2 {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}

ЧАС k ( п ) знак равно { Z k знак равно 0 Z 2 k знак равно 1 { 0 } иначе {\ displaystyle H_ {k} (P) = {\ begin {case} \ mathbb {Z} amp; k = 0 \\\ mathbb {Z} _ {2} amp; k = 1 \\\ {0 \} amp; {\ text {в противном случае}} \ end {case}}}

ЧАС 0 ( п ) знак равно Z {\ displaystyle H_ {0} (P) = \ mathbb {Z}}соответствует, как и в предыдущих примерах, тому факту, что имеется один связный компонент. это новый феномен: интуитивно он соответствует тому факту, что существует единственная несжимаемая «петля», но если мы сделаем петлю дважды, она станет стягиваемой до нуля. Это явление называется кручением. ЧАС 1 ( п ) знак равно Z 2 {\ Displaystyle Н_ {1} (Р) = \ mathbb {Z} _ {2}}

Построение групп гомологий

Строительство начинается с объекта, такого как топологического пространства X, на котором один первый определяет сложная цепь C ( X) кодирования информации о X. Цепной комплекс - это последовательность абелевых групп или модулей. связаны гомоморфизмами, называемыми граничными операторами. Это, C 0 , C 1 , C 2 , {\ Displaystyle C_ {0}, C_ {1}, C_ {2}, \ ldots} п : C п C п - 1 , {\ displaystyle \ partial _ {n}: C_ {n} \ to C_ {n-1},}

п + 1 C п п C п - 1 п - 1 2 C 1 1 C 0 0 0 {\ displaystyle \ dotsb {\ overset {\ partial _ {n + 1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n} {\ overset {\ partial _ {n}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n -1} {\ overset {\ partial _ {n-1}} {\ longrightarrow \,}} \ dotsb {\ overset {\ partial _ {2}} {\ longrightarrow \,}} C_ {1} {\ overset {\ partial _ {1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {0} {\ overset {\ partial _ {0}} {\ longrightarrow \,}} 0}

где 0 обозначает тривиальную группу и при i lt;0. Также требуется, чтобы композиция любых двух последовательных граничных операторов была тривиальной. То есть для всех n, C я 0 {\ Displaystyle C_ {я} \ эквив 0}

п п + 1 знак равно 0 п + 1 , п - 1 , {\ Displaystyle \ partial _ {n} \ circ \ partial _ {n + 1} = 0_ {n + 1, n-1},}

то есть постоянная карта, отправляющая каждый элемент в тождество группы в. Утверждение, что граница границы тривиальна, эквивалентно утверждению, что, где обозначает изображение граничного оператора и его ядра. Элементы называются границами, а элементы называются циклами. C п + 1 {\ displaystyle C_ {n + 1}} C п - 1 . {\ displaystyle C_ {n-1}.} я м ( п + 1 ) кер ( п ) {\ displaystyle \ mathrm {im} (\ partial _ {n + 1}) \ substeq \ ker (\ partial _ {n})} я м ( п + 1 ) {\ Displaystyle \ mathrm {им} (\ partial _ {п + 1})} кер ( п ) {\ displaystyle \ ker (\ partial _ {n})} B п ( Икс ) знак равно я м ( п + 1 ) {\ displaystyle B_ {n} (X) = \ mathrm {im} (\ partial _ {n + 1})} Z п ( Икс ) знак равно кер ( п ) {\ Displaystyle Z_ {n} (X) = \ ker (\ partial _ {n})}

Поскольку каждая цепная группа C n абелева, все ее подгруппы нормальны. Тогда, поскольку является подгруппой в C n, является абелевой, и поскольку, следовательно, является нормальной подгруппой в. Затем можно создать фактор-группу кер ( п ) {\ displaystyle \ ker (\ partial _ {n})} кер ( п ) {\ displaystyle \ ker (\ partial _ {n})} я м ( п + 1 ) кер ( п ) {\ displaystyle \ mathrm {im} (\ partial _ {n + 1}) \ leq \ ker (\ partial _ {n})} я м ( п + 1 ) {\ Displaystyle \ mathrm {им} (\ partial _ {п + 1})} кер ( п ) {\ displaystyle \ ker (\ partial _ {n})}

ЧАС п ( Икс ) знак равно кер ( п ) / я м ( п + 1 ) знак равно Z п ( Икс ) / B п ( Икс ) , {\ displaystyle H_ {n} (X): = \ ker (\ partial _ {n}) / \ mathrm {im} (\ partial _ {n + 1}) = Z_ {n} (X) / B_ {n }(ИКС),}

называется п - й группой гомологии X. Элементы H n ( X) называются классами гомологий. Каждый класс гомологии является классом эквивалентности над циклами, и два цикла в одном и том же классе гомологий называются гомологичными.

Цепной комплекс называется точным, если образ ( n +1) -го отображения всегда равен ядру n- го отображения. Таким образом, группы гомологии X измеряют, «насколько далек» цепной комплекс, ассоциированный с X, от точности.

Приведенные группы гомологий цепного комплекса C ( X) определяются как гомологии расширенного цепного комплекса

п + 1 C п п C п - 1 п - 1 2 C 1 1 C 0 ϵ Z 0 {\ displaystyle \ dotsb {\ overset {\ partial _ {n + 1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n} {\ overset {\ partial _ {n}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n -1} {\ overset {\ partial _ {n-1}} {\ longrightarrow \,}} \ dotsb {\ overset {\ partial _ {2}} {\ longrightarrow \,}} C_ {1} {\ overset {\ partial _ {1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {0} {\ overset {\ epsilon} {\ longrightarrow \,}} \ mathbb {Z} {\ longrightarrow \,} 0}

где граничный оператор является ϵ {\ displaystyle \ epsilon}

ϵ ( я п я σ я ) знак равно я п я {\ displaystyle \ epsilon \ left (\ sum _ {i} n_ {i} \ sigma _ {i} \ right) = \ sum _ {i} n_ {i}}

для комбинации точек, которые являются неподвижными образующими C 0. Восстановленные группы гомологий совпадают с для Лишних в цепи комплексе представляет собой уникальную карту из пустого симплекса в X. п я σ я , {\ Displaystyle \ сумма п_ {я} \ сигма _ {я},} σ я , {\ displaystyle \ sigma _ {я},} ЧАС ~ я ( Икс ) {\ Displaystyle {\ тильда {H}} _ {я} (X)} ЧАС я ( Икс ) {\ displaystyle H_ {i} (X)} я 0. {\ displaystyle i \ neq 0.} Z {\ Displaystyle \ mathbb {Z}} [ ] Икс {\ Displaystyle [\ emptyset] \ longrightarrow X}

Вычисление цикловых и граничных групп обычно довольно сложно, так как они имеют очень большое количество образующих. С другой стороны, есть инструменты, облегчающие задачу. Z п ( Икс ) {\ Displaystyle Z_ {п} (Х)} B п ( Икс ) {\ displaystyle B_ {n} (X)}

В симплициальных гомологиях группы Н п ( Х) от симплициального комплекса X определяется с использованием комплексного симплициальных цепей C ( X), с С п ( X) в свободной абелевой группе, порожденной п -simplices из X. См. Подробности в симплициальной гомологии.

Эта особые гомологии группа Н п ( Х) определена для любого топологического пространства X, и согласовать с симплициальными группами гомологии для симплициального комплекса.

Группы когомологий формально похожи на группы гомологий: каждый начинается с коцепного комплекса, который аналогичен цепному комплексу, но стрелки которого теперь обозначены как точки в направлении увеличения n, а не уменьшения n ; то группа из коциклов и из кограниц вытекает из того же описания. Тогда n- я группа когомологий X является фактор-группой d п , {\ displaystyle d_ {n},} кер ( d п ) знак равно Z п ( Икс ) {\ displaystyle \ ker \ left (d ^ {n} \ right) = Z ^ {n} (X)} я м ( d п - 1 ) знак равно B п ( Икс ) {\ displaystyle \ mathrm {im} \ left (d ^ {n-1} \ right) = B ^ {n} (X)}

ЧАС п ( Икс ) знак равно Z п ( Икс ) / B п ( Икс ) , {\ Displaystyle H ^ {n} (X) = Z ^ {n} (X) / B ^ {n} (X),}

по аналогии с n- й группой гомологий.

Гомология против гомотопии

Гомотопические группы похожи на группы гомологий в том, что они могут представлять «дыры» в топологическом пространстве. Между первой гомотопической группой и первой группой гомологий существует тесная связь: последняя является абелианизацией первой. Поэтому говорится, что «гомологии - это коммутативная альтернатива гомотопии». Высшие гомотопические группы абелевы и связаны с группами гомологий теоремой Гуревича, но могут быть значительно более сложными. Например, гомотопические группы сфер плохо изучены и не известны в целом, в отличие от прямого описания, данного выше для групп гомологий. π 1 ( Икс ) {\ displaystyle \ pi _ {1} (X)} ЧАС 1 ( Икс ) {\ displaystyle H_ {1} (X)}

Например, пусть X будет восьмеркой. Его первая гомотопическая группа - это группа направленных петель, начинающихся и заканчивающихся в заранее определенной точке (например, в ее центре). Это эквивалентно свободной группе ранга 2, которая не является коммутативной: цикл вокруг самого левого цикла, а затем вокруг самого правого цикла отличается от цикла вокруг самого правого цикла, а затем цикла вокруг самого левого цикла. Напротив, его первая группа гомологии - это группа разрезов, сделанных в поверхности. Эта группа коммутативна, поскольку (неформально) вырезание крайнего левого цикла, а затем крайнего правого цикла приводит к тому же результату, что и разрезание крайнего правого цикла, а затем крайнего левого цикла. π 1 ( Икс ) {\ displaystyle \ pi _ {1} (X)} ЧАС 1 ( Икс ) {\ displaystyle H_ {1} (X)}

Типы гомологии

Различные типы теории гомологии возникают в результате отображения функторов из различных категорий математических объектов в категорию цепных комплексов. В каждом случае композиция функтора от объектов к цепным комплексам и функтора от цепных комплексов к группам гомологий определяет общий функтор гомологии для теории.

Симплициальные гомологии

Основная статья: Симплициальные гомологии

Движущей пример из алгебраической топологии : в симплициальную гомологии в виде симплициального комплекса X. Здесь цепь С п есть свободная абелева группа или модуль, образующая которой являются п - мерные ориентированными симплексами X. Ориентации захватываются заказом комплекса вершин и выражая ориентированный симплекс как п -кратный его вершин, перечисленных в порядке возрастания (т.е. при заказе комплекса вершины, где является й вершине появляется в кортеже). Отображение из C n в C n − 1 называется граничным отображением и отправляет симплекс σ {\ displaystyle \ sigma} ( σ [ 0 ] , σ [ 1 ] , , σ [ п ] ) {\ Displaystyle (\ sigma [0], \ sigma [1], \ точки, \ sigma [n])} σ [ 0 ] lt; σ [ 1 ] lt; lt; σ [ п ] {\ Displaystyle \ sigma [0] lt;\ sigma [1] lt;\ cdots lt;\ sigma [n]} σ [ я ] {\ Displaystyle \ sigma [я]} я {\ displaystyle i} п {\ displaystyle \ partial _ {n}}

σ знак равно ( σ [ 0 ] , σ [ 1 ] , , σ [ п ] ) {\ Displaystyle \ сигма = (\ сигма [0], \ сигма [1], \ точки, \ сигма [п])}

к формальной сумме

п ( σ ) знак равно я знак равно 0 п ( - 1 ) я ( σ [ 0 ] , , σ [ я - 1 ] , σ [ я + 1 ] , , σ [ п ] ) , {\ displaystyle \ partial _ {n} (\ sigma) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} \ left (\ sigma [0], \ dots, \ sigma [i -1], \ sigma [i + 1], \ dots, \ sigma [n] \ right),}

который считается 0, если это поведение на образующих индуцирует гомоморфизм на всем C n следующим образом. Для данного элемента запишите его как сумму генераторов, где - набор n -симплексов в X, а m i - коэффициенты из кольца, над которым C n определяется (обычно целыми числами, если не указано иное). Затем определите п знак равно 0. {\ displaystyle n = 0.} c C п {\ displaystyle c \ in C_ {n}} c знак равно σ я Икс п м я σ я , {\ textstyle c = \ sum _ {\ sigma _ {i} \ in X_ {n}} m_ {i} \ sigma _ {i},} Икс п {\ displaystyle X_ {n}}

п ( c ) знак равно σ я Икс п м я п ( σ я ) . {\ displaystyle \ partial _ {n} (c) = \ sum _ {\ sigma _ {i} \ in X_ {n}} m_ {i} \ partial _ {n} (\ sigma _ {i}).}

Размерность n -й гомологии X оказывается числом «дырок» в X в размерности n. Его можно вычислить, поместив матричные представления этих граничных отображений в нормальную форму Смита.

Особые гомологии

Основная статья: Особые гомологии

Используя симплициальную пример гомологии в качестве модели, можно определить сингулярные гомологии для любого топологического пространства X. Цепной комплекс для X определяется с C п быть свободной абелевой группы (или свободный модуль), образующие которых являются все непрерывные отображения из п - мерных симплексов во X. Гомоморфизмы ∂ n возникают из граничных отображений симплексов.

Групповая гомология

Основная статья: Групповые когомологии

В абстрактной алгебре гомологии используются для определения производных функторов, например функторов Tor. Здесь начинается с некоторым ковариантным аддитивным функтором F и некоторым модулем X. Цепной комплекс для X определяется следующим образом: сначала найти свободный модуль и сюръективный гомоморфизм. Затем можно найти свободный модуль и сюръективный гомоморфизм. Продолжая таким образом, можно определить последовательность свободных модулей и гомоморфизмов. Применяя функтор F к этой последовательности, мы получаем цепной комплекс; гомологии этого комплекса зависит только от F и X и является, по определению, п -й производный функтор из F, применительно к X. F 1 {\ displaystyle F_ {1}} п 1 : F 1 Икс . {\ displaystyle p_ {1}: от F_ {1} \ до X.} F 2 {\ displaystyle F_ {2}} п 2 : F 2 кер ( п 1 ) . {\ displaystyle p_ {2}: F_ {2} \ to \ ker \ left (p_ {1} \ right).} F п {\ displaystyle F_ {n}} п п {\ displaystyle p_ {n}} ЧАС п {\ displaystyle H_ {n}}

Обычно групповые (ко) гомологии используются для классификации возможных групп расширений E, которые содержат данный G -модуль M, как нормальную подгруппу и имеют данную фактор-группу G, так что ЧАС 2 ( грамм , M ) {\ displaystyle H ^ {2} (G, M)} грамм знак равно E / M . {\ Displaystyle G = E / M.}

Другие теории гомологии

Функторы гомологии

Цепные комплексы образуют категорию : морфизм цепного комплекса () к цепному комплексу () - это последовательность гомоморфизмов, такая что для всех n. П -й гомологии Н п можно рассматривать как ковариантный функтор из категории цепных комплексов в категорию абелевых групп (или модулей). d п : А п А п - 1 {\ displaystyle d_ {n}: от A_ {n} \ до A_ {n-1}} е п : B п B п - 1 {\ displaystyle e_ {n}: B_ {n} \ to B_ {n-1}} ж п : А п B п {\ displaystyle f_ {n}: от A_ {n} \ до B_ {n}} ж п - 1 d п знак равно е п ж п {\ displaystyle f_ {n-1} \ circ d_ {n} = e_ {n} \ circ f_ {n}}

Если цепной комплекс ковариантно зависит от объекта X (это означает, что любой морфизм индуцирует морфизм из цепного комплекса X в цепной комплекс Y), то H n являются ковариантными функторами из категории, к которой принадлежит X, в категория абелевых групп (или модулей). Икс Y {\ displaystyle X \ to Y}

Единственное различие между гомологией и когомологиями является то, что в когомологиях цепных комплексы зависят в контравариантном образе на X, и что, следовательно, группа гомологии (которые называются группами когомологий в этом контексте и обозначат через H п) образуют контравариантные функторы из категории этой X принадлежит к категории абелевых групп или модулей.

Характеристики

Если () - цепной комплекс такой, что все A n, кроме конечного числа, равны нулю, а остальные - конечно порожденные абелевы группы (или конечномерные векторные пространства), то мы можем определить эйлерову характеристику d п : А п А п - 1 {\ displaystyle d_ {n}: от A_ {n} \ до A_ {n-1}}

χ знак равно ( - 1 ) п р а п k ( А п ) {\ Displaystyle \ хи = \ сумма (-1) ^ {п} \, \ mathrm {ранг} (A_ {п})}

(используя ранг в случае абелевых групп и размерность Гамеля в случае векторных пространств). Оказывается, эйлерова характеристика также может быть вычислена на уровне гомологии:

χ знак равно ( - 1 ) п р а п k ( ЧАС п ) {\ Displaystyle \ хи = \ сумма (-1) ^ {п} \, \ mathrm {ранг} (Н_ {п})}

и, особенно в алгебраической топологии, это обеспечивает два способа вычисления важного инварианта для объекта X, который дал начало цепному комплексу. χ {\ displaystyle \ chi}

Каждая короткая точная последовательность

0 А B C 0 {\ displaystyle 0 \ rightarrow A \ rightarrow B \ rightarrow C \ rightarrow 0}

цепных комплексов порождает длинную точную последовательность групп гомологий

ЧАС п ( А ) ЧАС п ( B ) ЧАС п ( C ) ЧАС п - 1 ( А ) ЧАС п - 1 ( B ) ЧАС п - 1 ( C ) ЧАС п - 2 ( А ) {\ Displaystyle \ cdots \ к H_ {n} (A) \ к H_ {n} (B) \ к H_ {n} (C) \ к H_ {n-1} (A) \ к H_ {n-1 } (B) \ to H_ {n-1} (C) \ to H_ {n-2} (A) \ to \ cdots}

Все отображения в этой длинной точной последовательности индуцированы отображениями между цепными комплексами, за исключением отображений. Последние называются связывающими гомоморфизмами и доставляются леммой о зигзаге. Эту лемму можно применять к гомологиям множеством способов, которые помогают в вычислении групп гомологий, таких как теории относительной гомологии и последовательности Майера-Виеториса. ЧАС п ( C ) ЧАС п - 1 ( А ) {\ Displaystyle Н_ {п} (С) \ к Н_ {п-1} (А)}

Приложения

Применение в чистой математике

Известные теоремы, доказанные с использованием гомологии, включают следующее:

Применение в науке и технике

В топологическом анализе данных наборы данных рассматриваются как выборка облака точек многообразия или алгебраического разнообразия, встроенного в евклидово пространство. Соединяя ближайшие соседние точки в облаке в триангуляцию, создается симплициальное приближение многообразия и могут быть вычислены его симплициальные гомологии. Поиск методов для надежного вычисления гомологии с использованием различных стратегий триангуляции в нескольких масштабах длины является темой постоянной гомологии.

В сенсорных сетях сенсоры могут передавать информацию через специальную сеть, которая динамически изменяется во времени. Чтобы понять глобальный контекст этого набора локальных измерений и путей связи, полезно вычислить гомологию топологии сети, чтобы оценить, например, пробелы в покрытии.

В теории динамических систем в физике Пуанкаре был одним из первых, кто рассмотрел взаимодействие между инвариантным многообразием динамической системы и ее топологическими инвариантами. Теория Морса связывает динамику градиентного потока на многообразии, например, с его гомологиями. Гомологии Флоера распространили это на бесконечномерные многообразия. Теорема КАМ установила, что периодические орбиты могут следовать по сложным траекториям; в частности, они могут образовывать косы, которые можно исследовать с помощью гомологии Флора.

В одном классе методов конечных элементов, краевые задачи для дифференциальных уравнений с участием оператора Ходжи-Лаплас могут потребоваться быть решены на топологический нетривиальных областях, например, в электромагнитном моделировании. В этом моделировании решение поддерживается путем фиксации класса когомологий решения на основе выбранных граничных условий и гомологии области. Области FEM могут быть триангулированы, из которых могут быть вычислены симплициальные гомологии.

Программное обеспечение

Для вычисления групп гомологии конечных клеточных комплексов были разработаны различные программные пакеты. Linbox - это библиотека C ++ для выполнения быстрых матричных операций, включая нормальную форму Смита ; он взаимодействует как с Gap, так и с Maple. Chomp, CAPD:: Redhom и Perseus также написаны на C ++. Все три реализуют алгоритмы предварительной обработки, основанные на простой гомотопической эквивалентности и дискретной теории Морса, для выполнения сохраняющих гомологию редукций входных клеточных комплексов, прежде чем прибегать к матричной алгебре. Кензо написано на Лиспе, и в дополнении к гомологии он также может быть использован для создания презентации из гомотопических групп конечных симплициальных комплексов. Gmsh включает в себя решатель гомологий для конечно-элементных сеток, который может генерировать базы когомологий, непосредственно используемые программным обеспечением конечных элементов.

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

Внешние ссылки

  • Группа гомологий в энциклопедии математики
Последняя правка сделана 2023-03-27 07:44:19
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте