Пониженная гомология

редактировать

В математике, редуцированная гомология - это небольшая модификация теории гомологии в алгебраической топологии, призванная сделать точку его группы гомологии нулевые. Это изменение требуется для составления утверждений без некоторых исключительных случаев (например, двойственность Александра ).

Если P - одноточечное пространство, то согласно обычным определениям группа целочисленных гомологий

H0(P)

изоморфна $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ (бесконечная циклическая группа ), в то время как для i ≥ 1 мы имеем

Hi(P) = {0}.

В более общем случае, если X является симплициальным комплексом или конечный комплекс CW, то группа H 0 (X) является свободной абелевой группой с компонентами связности из X как генераторы. Приведенные гомологии должны заменить эту группу ранга r, скажем, рангом r - 1. В противном случае группы гомологий должны остаться неизменными. Специальный способ сделать это - представить 0-й класс гомологии не как формальную сумму связанных компонентов, а как такую формальную сумму, в которой коэффициенты в сумме равны нулю.

В обычном определении гомологии пространства X мы рассматриваем цепной комплекс

⋯ ⟶ ∂ n + 1 C n ⟶ ∂ n C n - 1 ⟶ ∂ n - 1 ⋯ ⟶ ∂ 2 C 1 ⟶ ∂ 1 C 0 ⟶ ∂ 0 0 {\ displaystyle \ dotsb {\ overset {\ partial _ {n + 1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n} {\ overset {\ частичное _ {n}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n-1} {\ overset {\ partial _ {n-1}} {\ longrightarrow \,}} \ dotsb {\ overset {\ partial _ {2 }} {\ longrightarrow \,}} C_ {1} {\ overset {\ partial _ {1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {0} {\ overset {\ partial _ {0}} {\ longrightarrow \,}} 0}

\ dotsb {\ overset {\ partial _ {n + 1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n} {\ overset {\ partial _ {n}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n-1} { \ overset {\ partial _ {n-1}} {\ longrightarrow \,}} \ dotsb {\ overset {\ partial _ {2}} {\ longrightarrow \,}} C_ {1} {\ overset {\ partial _ {1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {0} {\ overset {\ partial _ {0}} {\ longrightarrow \,}} 0

и определим группы гомологий следующим образом: $H n (X) = ker ⁡ (∂ n) / im (∂ n + 1) {\ displaystyle H_ {n} (X) = \ ker (\ partial _ {n}) / \ mathrm {im} (\ partial _ {n + 1})}$ ${\ displaystyle H_ {n} (X) = \ ker (\ partial _ {n}) / \ mathrm {im} (\ partial _ {n + 1})}$ .

Чтобы определить редуцированную гомологию, мы начнем с расширенного цепного комплекса

$⋯ ⟶ ∂ n + 1 C n ⟶ ∂ N C N - 1 ⟶ ∂ N - 1 ⋯ ⟶ ∂ 2 C 1 ⟶ ∂ 1 C 0 ⟶ ϵ Z → 0 {\ displaystyle \ dotsb {\ overset {\ partial _ {n + 1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n} {\ overset {\ partial _ {n}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n-1} {\ overset {\ partial _ {n-1}} {\ longrightarrow \, }} \ dotsb {\ overset {\ partial _ {2}} {\ longrightarrow \,}} C_ {1} {\ overset {\ partial _ {1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {0} {\ overset {\ epsilon} { \ longrightarrow \,}} \ mathbb {Z} \ to 0}$ $\ dotsb {\ overset {\ partial _ {{n + 1}}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n} {\ overset {\ partial _ {n}} {\ longrightarrow \,}} C_ {{n-1}} {\ overset {\ partial _ {{n-1}}} {\ longrightarrow \,}} \ dotsb {\ overset {\ partial _ { 2}} {\ longrightarrow \,}} C_ {1} {\ overset {\ partial _ {1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {0} {\ overset {\ epsilon} {\ longrightarrow \,}} {\ mathbb {Z}} \ to 0$

где $ϵ (∑ ini σ i) = ∑ ini {\ displaystyle \ epsilon \ left (\ sum _ {i} n_ {i} \ sigma _ {i} \ right) = \ sum _ {i} n_ {i}}$ $\ epsilon \ left (\ sum _ {i} n_ {i} \ sigma _ {i} \ right) = \ sum _ {i} n_ {i }$ . Теперь мы определяем редуцированные группы гомологий следующим образом:

H n ~ (X) = ker ⁡ (∂ n) / im (∂ n + 1) {\ displaystyle {\ tilde {H_ {n}}} (X) = \ ker (\ partial _ {n}) / \ mathrm {im} (\ partial _ {n + 1})}

{\ tilde {H_ {n}}} (X) = \ ker (\ partial _ {n}) / {\ mathrm {im}} (\ partial _ {{n + 1}})

для положительного n и

H ~ 0 (X) = ker ⁡ (ϵ) / им (∂ 1) {\ displaystyle {\ tilde {H}} _ {0} (X) = \ ker (\ epsilon) / \ mathrm {im} (\ partial _ {1})}

{\ tilde {H}} _ {0} (X) = \ ker (\ epsilon) / {\ mathrm {im}} (\ partial _ {1})

один может показать, что $H 0 (X) = H ~ 0 (X) ⊕ Z {\ displaystyle H_ {0} (X) = {\ tilde {H}} _ {0} (X) \ oplus \ mathbb { Z}}$ $H_ {0} (X) = {\ tilde {H}} _ {0} (X) \ oplus {\ mathbb {Z}}$ ; очевидно $H n (X) = H ~ n (X) {\ displaystyle H_ {n} (X) = {\ tilde {H}} _ {n} (X)}$ $H_ {n} (X) = {\ тильда {H}} _ {n} (X)$ для всех положительный п.

Вооружившись этим модифицированным комплексом, стандартные способы получения гомологии с коэффициентами путем применения тензорного произведения или сокращенных групп когомологий из коцепного комплекса, созданный с помощью функтора Hom, может быть применен.

Ссылки

Hatcher, A., (2002) Algebraic Topology Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0. Подробное обсуждение теорий гомологий для симплициальных комплексов и многообразий, особых гомологий и т. Д.