Войти
Двумерное изображение бутылки Клейна , погруженной в трехмерное пространство 
Структура трехмерная бутылка Клейна В топологии, ветви математики, бутылка Клейна () является пример неориентируемой поверхности ; это двумерное многообразие, относительно которого нельзя согласованно определить систему для определения вектора нормали. Неформально это односторонняя поверхность, по которой, если по ней путешествовать, можно проследить до исходной точки, переворачивая путешественника вверх ногами. Другие связанные неориентируемые объекты включают ленту Мёбиуса и реальную проективную плоскость. В то время как полоса Мебиуса - это поверхность с границей, бутылка Клейна не имеет границы. Для сравнения, сфера сфера является ориентируемой поверхностью без границ.
Бутылка Клейна была впервые описана в 1882 году немецким математиком Феликсом Кляйном. Возможно, изначально он назывался Kleinsche Fläche («поверхность Кляйна»), а затем был неверно истолкован как Kleinsche Flasche («бутылка Кляйна»), что в конечном итоге могло привести к принятию этого термина и в немецком языке.
Следующий квадрат представляет собой фундаментальный многоугольник бутылки Клейна. Идея состоит в том, чтобы «склеить» соответствующие цветные края со стрелками, как на схемах ниже. Обратите внимание, что это «абстрактное» склеивание в том смысле, что попытка реализовать это в трех измерениях приводит к самопересекающейся бутылке Клейна.
Чтобы построить бутылку Клейна, склейте вместе красные стрелки квадрата (левая и правая стороны), в результате получится цилиндр. Чтобы склеить концы цилиндра вместе так, чтобы стрелки на кружках совпадали, нужно продеть один конец через боковую часть цилиндра. Это создает круг самопересечения - это погружение бутылки Клейна в трех измерениях.
Это погружение полезно для визуализации многих свойств бутылки Клейна. Например, бутылка Клейна не имеет границы, где поверхность резко останавливается, и она неориентируемая, что отражается в односторонности погружения.
Погруженные бутылки Клейна в Музее науки в Лондоне 
Выдувная бутылка Кляйна Обычная физическая модель бутылки Клейна имеет аналогичную конструкцию. Музей науки в Лондоне демонстрирует коллекцию выдувных вручную стеклянных бутылок Клейна, демонстрирующих множество вариаций на эту топологическую тему. Бутылки датируются 1995 годом и были изготовлены для музея.
Бутылка Клейна, собственно, не пересекается. Тем не менее, есть способ визуализировать бутылку Клейна как содержащуюся в четырех измерениях. Добавив четвертое измерение к трехмерному пространству, самопересечение может быть устранено. Осторожно вытолкните кусок трубы, содержащий пересечение по четвертому измерению, из исходного трехмерного пространства. Полезная аналогия - рассмотреть самопересекающуюся кривую на плоскости; самопересечения можно устранить, приподняв одну прядь с плоскости.
Временная эволюция фигуры Клейна в xyzt-пространстве Предположим для пояснения, что мы принимаем время как это четвертое измерение. Рассмотрим, как можно построить фигуру в xyzt-пространстве. Прилагаемая иллюстрация («Временная эволюция...») показывает одну полезную эволюцию фигуры. При t = 0 стенка прорастает из бутона где-то около точки «пересечения». После того, как фигура выросла на некоторое время, самая ранняя часть стены начинает отступать, исчезая, как Чеширский кот, но оставляя за собой постоянно расширяющуюся улыбку. К тому времени, когда фронт роста достигает того места, где был зародыш, там уже нечего пересекать, и рост завершается без повреждения существующей структуры. 4-фигура, как определено, не может существовать в 3-м пространстве, но легко понимается в 4-м пространстве.
Более формально бутылка Клейна - это факторное пространство, описываемое как квадрат [0,1] × [0,1] со сторонами, определяемыми соотношениями ( 0, y) ~ (1, y) для 0 ≤ y ≤ 1 и (x, 0) ~ (1 - x, 1) для 0 ≤ x ≤ 1.
Как и лента Мёбиуса, бутылка Клейна представляет собой двумерный коллектор, который не ориентируется. В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края. Лента Мёбиуса может быть встроена в трехмерное евклидово пространство R, а бутылка Клейна - нет. Однако он может быть встроен в R .
Бутылку Клейна можно рассматривать как пучок волокон над кругом S, с волокном S, следующим образом: берется квадрат (по модулю края, определяющего эквивалентность отношение) сверху как E, все пространство, а базовое пространство B задается единичным интервалом в y по модулю 1 ~ 0. Тогда проекция π: E → B задается формулой π ([x, y]) = [y].
Бутылка Клейна может быть сконструирована (в четырехмерном пространстве, потому что в трехмерном пространстве это невозможно сделать, не позволяя поверхности пересекаться сама с собой), соединяя края двух лент Мебиуса вместе, как описано в следующий лимерик Лео Мозер :
Математик по имени Клейн. думал, что лента Мебиуса божественна.. Сказал он: «Если склеить. края двух,. У тебя будет такая странная бутылка, как моя. "
Первоначальное построение бутылки Клейна путем определения противоположных краев квадрата показывает, что бутылке Клейна можно придать комплексную структуру CW с одной 0-ячейкой P, двумя 1-ячейками C 1, C 2 и одна 2-клеточная D. Следовательно, его эйлерова характеристика равна 1-2 + 1 = 0. Граничный гомоморфизм задается выражением ∂D = 2C 1 и ∂C 1 = ∂C 1 = 0, в результате чего группы гомологии бутылки Клейна K будут H 0 (K, Z ) = Z, H 1 (K, Z ) = Z×(Z/2Z) и H n (K, Z ) = 0 для n>1.
Имеется покрывающая карта 2-1 от тора до бутылки Клейна, потому что две копии фундаментальной области Клейна Бутылка, одна из которых помещается рядом с зеркальным отображением другой, дает фундаментальную область тора. Универсальная крышка как тора, так и бутылки Клейна - это плоскость R.
фундаментальная группа бутылки Клейна может быть определена как группа преобразований колоды универсальной обложки и имеет вид презентации ⟨a, b | ab = ba⟩.
Шести цветов достаточно, чтобы раскрасить любую карту на поверхности бутылки Клейна; это единственное исключение из гипотезы Хивуда, обобщения теоремы о четырех цветах, для которого потребовалось бы семь.
Бутылка Клейна гомеоморфна связанной сумме двух проективных плоскостей. Он также гомеоморфен сфере плюс два перекрестных колпачка.
При вложении в евклидово пространство бутылка Клейна односторонняя. Однако есть и другие топологические 3-пространства, и в некоторые из неориентируемых примеров бутылка Клейна может быть встроена так, что она двусторонняя, хотя из-за природы пространства она остается неориентируемой.
В результате рассечения бутылки Клейна получаются полоски Мёбиуса. Разрезание бутылки Клейна пополам вдоль ее плоскости симметрии приводит к двум зеркальным отражениям полоски Мебиуса, то есть один с левым полувращением, а другой с правым полувручением (один из них изображен справа). Помните, что изображенного перекрестка на самом деле нет.
Одно из описаний типов простых замкнутых кривых, которые могут появляться на поверхности бутылки Клейна, дается с использованием первой группы гомологии бутылки Клейна. рассчитывается с целыми коэффициентами. Эта группа изоморфна Z×Z2. С точностью до смены ориентации единственными классами гомологий, которые содержат простые замкнутые кривые, являются следующие: (0,0), (1,0), (1,1), (2,0), (0,1). Вплоть до изменения ориентации простой замкнутой кривой, если она находится внутри одной из двух перемычек, составляющих бутылку Клейна, то она находится в классе гомологии (1,0) или (1,1); если он разрезает бутылку Клейна на две ленты Мёбиуса, то она находится в классе гомологии (2,0); если он разрезает бутылку Клейна на кольцо, то он находится в классе гомологии (0,1); и если ограничивает круг, то он находится в классе гомологий (0,0).
Погружение бутылки Клейна в "восьмерку". 
Поперечное сечение бублика Клейна с использованием кривой восьмерки (лемниската Героно ).Чтобы сделать «восьмерку» или «бублик» погружение бутылки Клейна, можно начать с ленты Мебиуса и загнуть ее так, чтобы край приблизился к средней линии. ; поскольку есть только одно ребро, оно встретится там, проходя через среднюю линию. Его особенно простая параметризация представляет собой тор в виде восьмерки с полувращением:
для 0 ≤ θ < 2π, 0 ≤ v < 2π and r>2.
В этом погружении круг самопересечения (где sin (v) равен нулю) представляет собой геометрическую окружность в плоскости xy. Положительная постоянная r - это радиус этого круга. Параметр θ дает угол в плоскости xy, а также поворот фигуры 8, а v указывает положение вокруг 8-образного поперечного сечения. С вышеуказанной параметризацией поперечное сечение представляет собой 2: 1 кривую Лиссажу.
Непересекающуюся 4-мерную параметризацию можно смоделировать после того, как плоский тор :
где R и P - константы, определяющие соотношение сторон, θ и v аналогичны определенным выше. v определяет положение вокруг восьмерки, а также положение в плоскости x-y. θ определяет угол поворота восьмерки и положение вокруг плоскости z-w. ε - любая малая константа, а ε sinv - это небольшая зависящая от v выпуклость в пространстве z-w, чтобы избежать самопересечения. V-образный выступ заставляет самопересекающуюся 2-мерную / плоскую фигуру-8 распространяться в трехмерную стилизованную «картофельную стружку» или форму седла в пространстве x-y-w и x-y-z, видимых с краю. Когда ε = 0, самопересечение представляет собой окружность в плоскости zw <0, 0, cosθ, sinθ>.
Погружение бутылки Клейна в сжатый тор. Сжатый тор, возможно, является простейшей параметризацией клейна бутылка в трех и четырех измерениях. Это тор, который в трех измерениях сплющивается и проходит через себя с одной стороны. К сожалению, в трех измерениях эта параметризация имеет две точки защемления, что делает ее нежелательной для некоторых приложений. В четырех измерениях амплитуда z превращается в амплитуду w, и здесь нет самопересечений или точек защемления.
Можно рассматривать это как трубу или цилиндр, который обвивается вокруг, как в торе, но его круглое поперечное сечение переворачивается в четырех измерениях, представляя его "заднюю сторону" при его повторном соединении, точно так же, как поперечное сечение ленты Мёбиуса вращается перед повторным соединением. Трехмерная ортогональная проекция этого - сжатый тор, показанный выше. Так же, как лента Мёбиуса является подмножеством полнотория, трубка Мёбиуса является подмножеством тороидально замкнутого сфериндра (твердого тела).
Параметризация трехмерного погружения самой бутылки намного сложнее.
Бутылка Клейна с небольшой прозрачностью 
для 0 ≤ u < π and 0 ≤ v < 2π.
Обычные трехмерные вложения бутылки Клейна делятся на три обычных гомотопических класса (четыре, если их раскрашивать). Все три представлены как
Традиционное вложение бутылки Клейна в виде фигуры ахирал. Вложение в виде восьмерки является хиральным (приведенное выше вложение в виде защемленного тора не является правильным, поскольку у него есть точки защемления, поэтому в этом разделе оно не имеет значения). Три приведенных выше вложения не могут быть плавно преобразованы друг в друга в трех измерениях. Если традиционную бутылку Клейна разрезать продольно, она распадается на две противоположно хиральные полосы Мебиуса.
Если разрезать бутылку Кляйна в форме восьмерки для левой руки, она распадается на две полоски Мёбиуса для левой руки, и аналогично для бутылки Клейна в форме восьмерки для правой руки.
Если традиционная бутылка Клейна окрашена в два цвета, это вызывает у нее хиральность, создавая четыре гомотопических класса.
Обобщение бутылки Клейна на высший род дается в статье о фундаментальном многоугольнике.
В другом порядке идей, построение 3-многообразия, известно, что твердая бутылка Клейна гомеоморфна декартову произведению ленты ленты Мебиуса и закрытый антракт. Твердая бутылка Клейна - это неориентируемая версия полнотория, эквивалентная
A поверхность Клейна, как и римановы поверхности, поверхность с атласом, позволяющим карты перехода должны быть составлены с использованием комплексного сопряжения. Можно получить так называемую дианалитическую структуру пространства.
 | Викискладе есть медиафайлы, связанные с бутылкой Клейна. |
