Фазовая плоскость

В прикладной математике, в частности в контексте анализа нелинейных систем, a фазовая плоскость - это визуальное отображение определенных характеристик определенных видов дифференциальных уравнений ; координатная плоскость с осями, являющимися значениями двух переменных состояния, скажем (x, y) или (q, p) и т. д. (любая пара переменных). Это двумерный случай общего n-мерного фазового пространства.

Метод фазовой плоскости относится к графическому определению существования предельных циклов в решениях дифференциального уравнения.

Решения дифференциального уравнения представляют собой семейство функций. Графически это можно отобразить на фазовой плоскости как двумерное векторное поле . Отрисовываются векторы, представляющие производные точек по параметру (скажем, времени t), то есть (dx / dt, dy / dt), в репрезентативных точках. При наличии достаточного количества этих стрелок можно визуализировать поведение системы в анализируемых областях плоскости и легко определить предельные циклы.

Все поле представляет собой фазовый портрет, конкретный путь, пройденный вдоль линии потока (т.е. путь, всегда касающийся векторов), является фазовым путем. Потоки в векторном поле показывают временную эволюцию системы, описываемой дифференциальным уравнением.

Таким образом, фазовые плоскости полезны для визуализации поведения физических систем ; в частности, колебательных систем, таких как модели хищник-жертва (см. уравнения Лотки – Вольтерра ). В этих моделях фазовые траектории могут «закручиваться» по направлению к нулю, «по спирали» к бесконечности или достигать нейтрально устойчивых ситуаций, называемых центрами, где траектория может быть либо круговой, эллиптической, либо овальной, либо каким-либо его вариантом. Это полезно для определения того, является ли динамика стабильной или нет.

Другими примерами колебательных систем являются определенные химические реакции с несколькими стадиями, некоторые из которых включают динамическое равновесие, а не реакции, которые идут до завершения. В таких случаях можно смоделировать рост и падение концентрации реагента и продукта (или массы, или количества вещества) с помощью правильных дифференциальных уравнений и хорошего понимания химической кинетики.

• 1 Пример линейная система
  • 1.1 Решение с использованием собственных значений
  • 1.2 Собственные векторы и узлы
  • 1.3 Повторяющиеся собственные значения
  • 1.4 Комплексные собственные значения
• 2 См. также
• 3 Ссылки
• 4 Внешние ссылки

Двумерная система линейных дифференциальных уравнений может быть записана в форме:

$dxdt\; =\; A\; x\; +\; B\; ydydt\; =\; C\; x\; +\; D\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{dt\}\}\; =\; Ax\; +\; By\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dt\}\}\; =\; Cx\; +\; Dy\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

который может быть организованным в матрицу уравнение:

$ddt\; (xy)\; =\; (ABCD)\; (xy)\; dxdt\; =\; A\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; x\; \backslash \backslash \; y\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; AB\; \backslash \backslash \; CD\; \backslash \; \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; x\; \backslash \backslash \; y\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; \{dt\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где A - матрица коэффициентов 2 × 2 выше, а x = (x, y) является вектором координат двух независимых переменных.

. Такие системы могут быть решены аналитически, в этом случае путем интегрирования:

$dydx\; =\; C\; x\; +\; D\; y\; A\; x\; +\; B\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{dx\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Cx\; +\; Dy\}\; \{Ax\; +\; By\}\}\}$

, хотя решениями являются неявные функции по x и y, и трудно интерпретировать.

Решение с использованием собственных значений

Чаще они решаются с коэффициентами правой части, записанными в матричной форме с использованием собственных значений λ, заданных определитель :

$det\; (A\; -\; \lambda \; I)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; -\; \backslash \; lambda\; \backslash \; mathbf\; \{I\})\; =\; 0\}$

и собственные векторы :

$А\; Икс\; знак\; равно\; \lambda \; Икс\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; мат\; hbf\; \{x\}\; =\; \backslash \; lambda\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}$

Собственные значения представляют степени экспоненциальных компонентов, а собственные векторы - коэффициенты. Если решения записаны в алгебраической форме, они выражают основной мультипликативный множитель экспоненциального члена. Из-за неединственности собственных векторов каждое решение, полученное таким образом, имеет неопределенные константы c 1, c 2,... c n.

Общее решение:

$х\; =\; [к\; 1\; к\; 2]\; с\; 1\; е\; \lambda \; 1\; т\; +\; [к\; 3\; к\; 4]\; с\; 2\; е\; \lambda \; 2\; т.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; k\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; k\_\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; c\_\; \{1\}\; e\; ^\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{1\}\; t\}\; +\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; k\_\; \{3\}\; \backslash \backslash \; k\_\; \{4\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; c\_\; \{2\}\; e\; ^\; \{\backslash \; lambda\; \_\; \{2\}\; t\}.\}$

где λ 1 и λ 2 - собственные значения, а (k 1, k 2), (k 3, k 4) - основные собственные векторы. Константы c 1 и c 2 учитывают неединственность собственных векторов и не разрешимы, если для системы не задано начальное условие.

Вышеупомянутый определитель приводит к характеристическому многочлену :

$\lambda \; 2\; -\; (A\; +\; D)\; \lambda \; +\; (AD\; -\; BC)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; -\; (A\; +\; D)\; \backslash \; lambda\; +\; (AD-BC)\; =\; 0\}$

который представляет собой просто квадратное уравнение в форме:

$\lambda \; 2\; -\; p\; \lambda \; +\; q\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\; -p\; \backslash \; lambda\; +\; q\; =\; 0\}$

где;

$p\; =\; A\; +\; D\; =\; tr\; (A),\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; A\; +\; D\; =\; \backslash \; mathrm\; \{tr\}\; (\backslash \; mathbf\; \{A\})\; \backslash ,,\}$

(«tr» означает трассировка ) и

$q\; =\; AD\; -\; BC\; =\; det\; (A).\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; AD-BC\; =\; \backslash \; det\; (\backslash \; mathbf\; \{A\})\; \backslash ,.\}$

Явное решение собственных значений затем дается квадратной формулой :

$\lambda \; =\; 1\; 2\; (p\; \pm \; \Delta )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (p\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; Delta\}\})\; \backslash ,\}$

где

$\Delta \; =\; p\; 2\; -\; 4\; q.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; =\; p\; ^\; \{2\}\; -4q\; \backslash ,.\}$

Собственные векторы и узлы

Собственные векторы и узлы определяют профиль фазовых путей, обеспечивая наглядную интерпретацию решения динамическая система, как показано ниже.

Классификация точек равновесия линейной автономной системы. Эти профили также возникают для нелинейных автономных систем в линеаризованных приближениях.

Затем сначала настраивается фазовая плоскость путем рисования прямых линий, представляющих два собственных вектора (которые представляют устойчивые ситуации, когда система либо сходится к этим линиям, либо расходится. от них). Затем фазовая плоскость строится с использованием сплошных линий вместо штрихов поля направлений. Знаки собственных значений указывают на поведение фазовой плоскости:

• Если знаки противоположны, пересечение собственных векторов является седловой точкой.
• Если оба знака положительные, собственные векторы представляют стабильные ситуации, когда система отклоняется, и пересечение является нестабильным узлом.
• Если оба знака отрицательны, собственные векторы представляют стабильные ситуации, к которым система сходится, и пересечение является стабильным узлом .

Сказанное выше можно визуализировать, вспомнив поведение экспоненциальных членов в решениях дифференциальных уравнений.

Повторяющиеся собственные значения

В этом примере рассматривается только случай реальных отдельных собственных значений. Действительные повторяющиеся собственные значения требуют решения матрицы коэффициентов с неизвестным вектором и первым собственным вектором для генерации второго решения системы два на два. Однако, если матрица симметрична, можно использовать ортогональный собственный вектор для генерации второго решения.

Комплексные собственные значения

Комплексные собственные значения и собственные векторы генерируют решения в форме синусов и косинусов, а также экспонент. Одна из простостей этой ситуации состоит в том, что для генерации полного набора решений для системы необходимы только одно из собственных значений и один из собственных векторов.

• Фазовая линия, одномерный случай
• Фазовое пространство, n-мерный случай
• Фазовый портрет

• Университет Ламара, Online Math Notes - Phase Plane, P. Dawkins
• Lamar University, Online Math Notes - Системы дифференциальных уравнений, P. Dawkins
• Обзор метода фазовой плоскости