Самосопряженный оператор

редактировать

Плотно определенный оператор в гильбертовом пространстве, область определения которого совпадает с областью определения его сопряженного и равного сопряженному; симметричный оператор, сопряженная область которого равна его собственной области

. В математике, самосопряженный оператор в конечном комплексном векторном пространстве V с внутренним продуктом $⟨⋅, ⋅⟩ {\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ $\langle \cdot,\cdot \rangle$ (эквивалентно, эрмитовский оператор в конечном случае) - это линейное отображение A (из V в себя), которое его собственный сопряженным : $⟨A v, w⟩ = ⟨v, A w⟩ {\ displaystyle \ langle Av, w \ rangle = \ langle v, Aw \ rangle}$ $\langle Av,w\rangle=\langle v,Aw\rangle$ для всех векторов v и w. Если V окончерно с заданным ортонормированным базисом , это эквивалентно условию, что матрица матрицы A является эрмитовой матрицей, т. Е. Равна его конъюгат транспонирует A. Согласно конечной спектральной теореме, V имеет ортонормированный базис такой, что матрица относительно этого базиса является диагональной матрицей с элементами в действительные числа. В этой статье мы рассматриваем обобщения этой концепции на операторы в гильбертовых пространствах произвольной размерности.

Самосопряженные операторы используются в анализом и квантовой механике. В квантовой механике их важна в формулировке Дирака - фон Неймана квантовой механики, в которой физические наблюдаемые, такие как положение, импульс, угловой момент и спин представлены самосопряженными операторами в гильбертовом визуом. Особое значение имеет оператор гамильтониана $H ^ {\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\hat {H}}$ , определенный как

H ^ ψ = - ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ + V ψ, {\ displaystyle {\ hat {H}} \ psi = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ psi + V \ psi,}

{\hat {H}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi,

, которая как наблюдаемая соответствует полной энергии частиц m в потенциальном поле V. Дифференциальные операторы важными классом неограниченных операторов.

Структура самосопряженных операторов на бесконечномерных Гильбертовы пространства по сути напоминают конечный случай. Иными словами, операторы являются самосопряженными тогда и только тогда, когда они унитарно эквивалентны операторам действительного умножения. С помощью модификаций этот результат может быть распространен на, возможно, неограниченные операторы в бесконечных пространствах. В данном случае необходимо внимательно относиться к проблеме области. Это объясняется ниже более подробно.

Содержание

1 Ограниченные самосопряженные операторы
- 1.1 Свойства ограниченных самосопряженных операторов
2 Симметричные операторы
- 2.1 Тонкости неограниченного случая
- 2.2 Определение симметричного оператора
- 2.3 Простой пример
- 2.4 Свойства симметричных операторов
3 Самосопряженные операторы
- 3.1 Определение самосопряженного оператора
- 3.2 Существенная самосопряженность
- 3.3 Геометрическая интерпретация
- 3.4 Пример
4 Различие между симметричными и самосопряженными Операми
- 4.1 Граничные условия
- 4.2 Операторы Шредингера с сингулярными возможностямими
5 Спектральная теорема
- 5.1 Формулировка спектральной теоремы
- 5.2 Функциональный исчисление
- 5.3 Разрешение тождества
- 5.4 Формулировка в физической литературе
6 Расширения симметричных операторов
- 6.1 Самосопряженные расширения в квантовой механике
7 Формулы фон Неймана
8 Примеры
- 8.1 Симметричный оператор, который не явл яется по существу самосопряженным
- 8.2 Постоянный коэффициент операторы
9 Теория спектральной множественности
- 9.1 Равномерная множественность
- 9.2 Прямые интегралы
- 9.3 Пример: структура лапласиана
10 Чистый точечный спектр
11 См. также
12 Цитаты
13 Ссылки

Ограниченные самосопряженные операторы

Предположим, $A {\ displaystyle A}$ $A$ является ограниченным линейным оператором из гильбертова пространства H в сам. Тогда существует уникальный ограниченный оператор $A ∗ {\ displaystyle A ^ {*}}$ $A^{*}$ , называемый сопряженным к $A {\ displaystyle A}$ $A$ такой, что (в обозначении бюстгальтера )

⟨A x | y⟩ = ⟨x | A ∗ y⟩ {\ displaystyle \ langle Ax | y \ rangle = \ left \ langle x | A ^ {*} y \ right \ rangle}

\langle Ax|y\rangle =\left\langle x|A^{*}y\right\rangle

для всех $x, y {\ displaystyle x, y}$ $x,y$ в H. Мы говорим, что A самосопряженный (физики используют термин «эрмитов »), Если $A ∗ = A {\ displaystyle A ^ {*} = A}$ $A^{*}=A$ . Эквивалентно, ограниченный оператор A самосопряжен, если

A x | y⟩ = ⟨x | A y⟩ {\ displaystyle \ langle Ax | y \ rangle = \ langle x | Ay \ rangle}

\langle Ax|y\rangle =\langle x|Ay\rangle

для всех $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $y {\ displaystyle y }$ $y$ в H.

Любой ограниченный линейный оператор T: H → H в гильбертовом визуом H можно записать в виде $T = A + i B {\ displaystyle T = A + iB }$ $T=A+iB$ где A: H → H и B: H → H - ограниченные самосопряженные опе раторы.

Свойства ограниченных самосопряженных сопряженные операторы

Пусть H b ea гильбертово пространство и пусть A: H → H - ограниченный самосопряженный линейный оператор, определенный на $D ⁡ (A) = H {\ displaystyle \ operatorname {D} \ left (A \ right) = H}$ $\operatorname {D} \left(A\right)=H$ .

$⟨Час, A час⟩ {\ displaystyle \ left \ langle h, Ah \ right \ rangle}$ $\left\langle h,Ah\right\rangle$ реально для всех $h ∈ H {\ displaystyle h \ in H}$ $h\in H$ .
$‖ A ‖ = sup {| ⟨H, A h⟩ | : ‖ Час ‖ знак равно 1} {\ displaystyle \ left \ | A \ right \ | = \ sup \ left \ {| \ langle h, А \ rangle |: \ | h \ | = 1 \ right \}}$ $\left\|A\right\|=\sup \left\{|\langle h,Ah\rangle |:\|h\|=1\right\}$ .
Если изображение A, обозначенное $Im ⁡ A {\ displaystyle \ operatorname {Im} A}$ $\operatorname {Im} A$ , плотно в H, то $A: H → Im ⁡ A {\ displaystyle A: H \ to \ operatorname {Im} A}$ $A:H\to \operatorname {Im} A$ обратимо.
Собственные значения A действительны, а собственные элементы, принадлежащие разным собственным значениям, ортогональны.
Если λ {\ displaystyle \ lambda}- собственное значение A, тогда | λ | ≤ ‖ A ‖ {\ Displaystyle | \ лямбда | \ Leq \ | A \ |}; в частности, | λ | ≤ sup {| ⟨Час, A час⟩: ‖ час ‖ ≤ 1} {\ displaystyle | \ лямбда | \ leq \ sup \ left \ {| \ langle h, А \ rangle: \ | h \ | \ leq 1 \ right \}}.
- В общем, может не существовать никакого собственного значения $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ такое, что $| λ | = sup {| ⟨Час, A час⟩: ‖ час ‖ ≤ 1} {\ displaystyle | \ лямбда | = \ sup \ left \ {| \ langle h, А \ rangle: \ | h \ | \ leq 1 \ right \}}$ $|\lambda |=\sup \left\{|\langle h,Ah\rangle :\|h\|\leq 1\right\}$ , но если вдобавок A компактно, то обязательно существует собственное значение $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ , равное либо $‖ A ‖ {\ Displaystyle \ | A \ |}$ $\|A\|$ или $- ‖ A ‖ {\ displaystyle - \ | A \ |}$ $-\|A\|$ , так что $| λ | = sup {| ⟨Час, A час⟩: ‖ час ‖ ≤ 1} {\ displaystyle | \ лямбда | = \ sup \ left \ {| \ langle h, А \ rangle: \ | h \ | \ leq 1 \ right \}}$ $|\lambda |=\sup \left\{|\langle h,Ah\rangle :\|h\|\leq 1\right\}$ ,
Если последовательность ограниченных самосопряженных линейных операторов сходится, то предел самосопряженный.
Существует число $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\lambda$ , равное на $‖ A ‖ {\ displaystyle \ | A \ |}$ $\|A\|$ или $- ‖ A ‖ {\ displaystyle - \ | A \ |}$ $-\|A\|$ и последовательность $(xi) i = 1 ∞ ⊆ H {\ displaystyle \ left (x_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty} \ substeq H}$ $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq H$ такая, что $lim i → ∞ A xi - λ xi = 0 {\ displaystyle \ lim _ {i \ to \ infty} Ax_ {i} - \ lambda x_ {i} = 0}$ $\lim _{i\to \infty }Ax_{i}-\lambda x_{i}=0$ и $‖ Xi ‖ = 1 {\ displaystyle \ | x_ {i} \ | = 1}$ $\|x_{i}\|=1$ для всех i.

Симметричные операторы

Тонкие неограниченные операторы

. Примеры включают позиционные, импульсные и гамильтоновы операторы в квантовой механике, а также многие дифференциальные операторы. В неограниченном случае есть ряд тонких технических проблем, которые необходимо решить. В частности, существуют принципиальные различия между операторами, которые просто «симметричны» (используются в этом разделе), и операторами, которые являются «самосопряженными» (в следующем разделе). В случае динамических операторов, определенных в ограниченных областях, эти технические проблемы связаны с правильным выбором граничных условий.

Определение симметричного оператора

Теперь рассмотрим неограниченный оператор A в гильбертовом пространстве H. Это означает, что A является линейным отображением из подпространства H - «домен» A, обозначенный $Dom ⁡ (A) {\ displaystyle \ operatorname {Dom} (A)}$ $\operatorname {Dom} (A)$ - для самого H. Обычно мы предполагаем, что $Dom ⁡ (A) {\ displaystyle \ operatorname {Dom } (A)}$ $\operatorname {Dom} (A)$ является плотным подпространством H. Такой оператор называется симметричным, если, в скобках ,

⟨A x | y⟩ = ⟨x | Y⟩ {\ displaystyle \ langle Axe | y \ rangle = \ langle x | Ay \ rangle}

\langle Ax|y\rangle =\langle x|Ay\rangle

для всех элементов x и y в области A.

Если A симметрично и $D om (A) = H {\ displaystyle \ mathrm {Dom} (A) = H }$ $\mathrm {Dom} (A)=H$ , тогда A обязательно ограничено. Другими словами, неограниченный симметричный оператор не может быть определен на всем гильбертовом пространстве. Не ограничены, их невозможно определить как симметричные операторы на всем гильбертовом пространстве.

В литературе по физике термин эрмитов используется вместо термина «симметричный». В литературе по физике, как правило, игнорируется различие между операторами, которые являются просто симметричными, и операторами, являющимися фактически самосопряженными (как определено в следующем разделе).

Хотя понятие симметричного оператора легко, это не «правильное» понятие в общем неограниченном случае. В частности, спектральная теорема используется только к самосопряженным операторам (определенным в следующем разделе), а не к большинству операторов, которые являются просто симметричными. В конкретных, хотя собственные действующие значения симметричного оператора обязательно, симметричный оператор не обязательно должен иметь какие-либо собственные ресурсы, не говоря уже об их ортонормированном базисе.

В более общем смысле, частично определенный линейный оператор A из топологического обеспечения пространства E в его непрерывное двойное пространство E называется симметричным если

⟨A x | y⟩ = ⟨x | Y⟩ {\ displaystyle \ langle Axe | y \ rangle = \ langle x | Ay \ rangle}

\langle Ax|y\rangle =\langle x|Ay\rangle

для всех элементов x и y в области A. Это использование довольно стандартно в литературе по функциональному анализу.

Простой пример

Как отмечалось выше, спектральная теорема применима только к самосопряженным операторам, а не к симметричным операм в целом. Тем не менее, здесь мы можем привести простой пример симметричного оператора, который имеет ортонормированный базис из собственных векторов. (Этот оператор на самом деле является «существующим самосопряженным».) Оператор A ниже может иметь компактный обратный, что означает, что соответствующее дифференциальное уравнение Af = g решается некоторым интегралом, поэтому компактным, оператор G. оператор G имеет счетное семейство собственных векторов, полных в L. То же самое можно сказать и о A.

Рассмотрим комплексное гильбертово пространство L [0,1] и дифференциальный оператор

A = - d 2 dx 2 {\ displaystyle A = - {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}}}

A=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}

с $D om (A) {\ displaystyle \ mathrm {Dom} (A)}$ $\mathrm {Dom} (A)$ , состоящий из всех комплекснозначных бесконечно дифференцируемых функций f на [0, 1], удовлетворяющих граничным условиям

f (0) = f (1) = 0. {\ displaystyle f (0) = f (1) = 0.}

f(0)=f(1)=0.

Тогда интегрирование по частям внутреннее произведение показывает, что A симметрична. Читателю предлагается выполнить интегрирование по частям дважды и убедиться, что заданные граничные условия для $Dom ⁡ (A) {\ displaystyle \ operatorname {Dom} (A)}$ $\operatorname {Dom} (A)$ гарантируют, что граничные условия в интегрировании по частям исчезает.

Собственные функции A являются синусоиды

fn (x) = sin ⁡ (n π x) n = 1, 2,… {\ displaystyle f_ {n} (x) = \ sin (n \ pi x) \ qquad n = 1,2, \ ldots}

f_{n}(x)=\sin(n\pi x)\qquad n=1,2,\ldots

с действующими собственными значениями nπ; хорошо известная ортогональность синусоидальных функций следует как следствие свойств симметрии.

Ниже мы рассмотрим обобщения этого оператора.

Свойства симметричных операторов

Пусть H будет гильбертовым пространством и пусть A будет H-значным линейным оператором, определенным на $D ⁡ (A) ⊆ H {\ displaystyle \ operatorname {D} \ left (A \ right) \ substeq H}$ $\operatorname {D} \left(A\right)\subseteq H$ .

Если A симметрично, то $⟨h, A h⟩ {\ displaystyle \ left \ langle h, Ah \ right \ rangle}$ $\left\langle h,Ah\right\rangle$ реально для всех $h ∈ D ⁡ (A) {\ displaystyle h \ in \ operatorname {D} (A)}$ $h\in \operatorname {D} (A)$ .

Самосопряженные операторы

Определение самосопряженного оператора

Вкратце, плотно определенный линейный оператор A в гильбертовом пространстве является самосопряженным, если он равен своему сопряженному. Иными словами, A является самосопряженным, если (1) область определения A совпадает с областью определения этой сопряженной, и (2) оператор A согласован со своим сопряженным в общей области.

Теперь мы подробнее остановимся на приведенном выше определении. Для плотно определенного линейного оператора A в его сопряженном A определяется следующим образом:

Область определения A состоит из векторов x в H таких, что
$y ↦ ⟨x | Y⟩ {\ displaystyle y \ mapsto \ langle x | Ay \ rangle}$ $y\mapsto \langle x|Ay\rangle$

(которая является плотно нестандартной линейной картой) является непрерывным линейным функционалом. По непрерывности и плотности области определения A, она продолжается до единственного непрерывного линейного функционала на всем H.

По теореме о представлении Рисса для линейных функционалов, если x находится в области определения A, существует единственный вектор z в H такой, что
$⟨x | A y⟩ = ⟨z | y⟩ ∀ y ∈ Dom ⁡ A {\ displaystyle \ langle x | Ay \ rangle = \ langle z | y \ rangle \ qquad \ forall y \ in \ operatorname {Dom} A}$ $\langle x|Ay\rangle =\langle z|y\rangle \qquad \forall y\in \operatorname {Dom} A$

Этот вектор z как определен Топор. Можно показать, что зависимость z от x линейна.

Обратите внимание, что плотность определения области оператора, наряду с некоторыми уникальности представления, гарантирует, что сопряженный оператор определен правильно.

Результат типа Хеллингера-Теплица гласит, что оператор, имеющий всюду определенное ограниченное сопряжение, ограничен.

Условие самосопряженности линейного оператора в гильбертовом пространстве сильнее, чем симметричности. Хотя это различие носит технический характер, оно очень важно; спектральная теорема применима только к самосопряженным операторам, а не к просто симметричным операторам. Подробное обсуждение различий см. В главе 9 зал (2013).

Для любого плотно определенного оператора A в гильбертовом можно определить его сопряженный оператор A. Для симметричного оператора A область определения оператора A содержит область определения оператора A, а ограничение оператора A на определение A совпадает с оператором A, т. е. A ⊆ A, другими словами A является расширением A. Для самосопряженного оператора A области определения такой же, как область определения A, и A = A См. Также Расширения симметричных операторов и неограниченный оператор.

Существенная самосопряженность

Симметричный оператор A всегда закрываемый; то есть замыкание графика A - это график оператора. Симметричный оператор A называется по существу самосопряженным, если замыкание A самосопряженное. Эквивалентно, A по существу самосопряженный, если он имеет уникальное самосопряженное расширение. С практической точки зрения, наличие по существу самосопряженного оператора почти так же хорошо, как самосопряженного оператора, как нам просто нужно выполнить замыкание, чтобы получить самосопряженный оператор.

Геометрическая интерпретация

Существует полезный геометрический способ взглянуть на сопряженный оператор A следующим образом: мы рассматриваем граф G (A) оператора A определяется как

G ⁡ (A) знак равно {(ξ, A ξ): ξ ∈ Dom ⁡ A} ⊆ H ⊕ H. {\ displaystyle \ operatorname {G} (A) = \ {(\ xi, A \ xi): \ xi \ in \ operatorname {Dom} A \} \ substeq H \ oplus H.}

\operatorname {G} (A)=\{(\xi,A\xi):\xi \in \operatorname {Dom} A\}\subseteq H\oplus H.

Теорема . Пусть J будет симплектическим отображением

{H ⊕ H → H ⊕ HJ: (ξ, η) ↦ (- η, ξ) {\ displaystyle {\ begin {cases} H \ oplus H \ to H \ oplus H \\\ operatorname {J}: (\ xi, \ eta) \ mapsto (- \ eta, \ xi) \ end {ases}}}

\begin{cases} H \oplus H \to H \oplus H \\ \operatorname{J}: (\xi, \eta) \mapsto (-\eta, \xi) \end{cases}

Тогда график A является ортогональным дополнением из JG (A):

G ⁡ (A ∗) = (J ⁡ G ⁡ (A)) ⊥ = {(x, y) ∈ H ⊕ H: ⟨(x, y) | (- A ξ, ξ)⟩ знак равно 0 ∀ ξ ∈ Dom ⁡ A} {\ displaystyle \ operatorname {G} (A ^ {*}) = (\ operatorname {J} \ operatorname {G} (A)) ^ {\ perp} = \ {(x, y) \ в H \ oplus H: \ langle (x, y) | (-A \ xi, \ xi) \ rangle = 0 \; \; \ forall \ xi \ in \ operatorname {Dom} A \}}

\operatorname {G} (A^{*})=(\operatorname {J} \operatorname {G} (A))^{\perp }=\{(x,y)\in H\oplus H:\langle (x,y)|(-A\xi,\xi)\rangle =0\;\;\forall \xi \in \operatorname {Dom} A\}

Плотно определенный оператор A симметричен тогда и только тогда, когда A ⊆ A, где обозначение подмножества A ⊆ A означает G (A) ⊆ G (А). Оператор A является самосопряженным тогда и только тогда, когда A = A; то есть тогда и только тогда, когда G (A) = G (A).

Пример

Рассмотрим комплексное гильбертово пространство L (R ) и оператор, который умножает заданную функцию на x:

A f (x) = xf (x) {\ displaystyle Af (x) = xf (x)}

Af(x)=xf(x)

Область A - это пространство всех L функций $f (x) {\ displaystyle f (x)}$ $f(x)$ , для которого $xf (x) {\ displaystyle xf (x)}$ $xf(x)$ также интегрируем с квадратом. Тогда А самосопряжен. С другой стороны, A не имеет собственных функций. (Точнее, у A нет нормируемых собственных векторов, то есть собственные векторы, которые фактически находятся в гильбертовом пространстве, на котором определено A.)

Как мы увидим позже, самосопряженные операторы имеют очень важные спектральные свойства; на самом деле они являются операторами умножения на общих пространствах с мерой.

Различие между симметричными и самосопряженными операторами

Как обсуждалось выше, хотя различие между симметричным оператором и самосопряженным (или по существу самосопряженным) оператором является тонким одним, это важно, поскольку самосопряженность - это гипотеза спектральной теоремы. Здесь мы обсуждаем некоторые примеры различных; см. ниже расширенных симметрических разделов операторов для общей теории.

Граничные условия

В случае, когда гильбертово пространство является пространством функций в ограниченной области, эти различия имеют отношение к известной проблеме квантовой физики: нельзя определить оператор - такие как импульс или оператор Гамильтона - в ограниченной области без указания граничных условий. С математической точки зрения выбор граничных условий означает выбор подходящей области для оператора. Рассмотрим, например, гильбертово пространство $L 2 ([0, 1]) {\ displaystyle L ^ {2} ([0,1])}$ $L^{2}([0,1])$ (пространство интегрируемых с квадратом функций на отрезке [0,1]). Давайте определим на этом пространстве оператор «импульса» A по обычной формуле, установив постоянную Планка равной 1:

A f = - idfdx {\ displaystyle Af = -i {\ frac {df} {dx}}}

Af=-i{\frac {df}{dx}}

Теперь мы должны указать область для A, что составляет выбор граничных условий. Если мы выберем

Dom ⁡ (A) = {smooth functions} {\ displaystyle \ operatorname {Dom} (A) = \ left \ {{\ text {smooth functions}} \ right \}}

\operatorname {Dom} (A)=\left\{{\text{smooth functions}}\right\}

, то A не является симметричным (поскольку граничные члены при интегрировании по частям не обращаются в нуль).

Если мы выберем

Dom ⁡ (A) = {гладкие функции f | е (0) знак равно е (1) = 0} {\ displaystyle \ operatorname {Dom} (A) = \ left \ {{\ text{гладкие функции}} \, f | f (0) = f (1) = 0 \ right \}}

\operatorname {Dom} (A)=\left\{{\text{smooth functions}}\,f|f(0)=f(1)=0\right\}

то, используя интегрирование по частям, легко проверить, что A симметрична. Этот оператор, по сути, не является самосопряженным, однако в основном потому, что мы указали слишком много граничных условий для области определения A, что делает область сопряженной области слишком большой. (Этот пример также обсуждается в разделе «Примеры» ниже.)

В частности, с указанным выше выбором домена для A, домен замыкания $A cl {\ displaystyle A ^ {\ mathrm {cl}}}$ $A^{\mathrm {cl} }$ из A равно

Dom ⁡ (A cl) = {функции f с двумя производными в L 2 | е (0) знак равно е (1) = 0} {\ displaystyle \ operatorname {Dom} \ left (A ^ {\ mathrm {cl}} \ right) = \ left \ {{\ text {functions}} f {\ текст {с двумя производными в}} L ^ {2} | f (0) = f (1) = 0 \ right \}}

\operatorname {Dom} \left(A^{\mathrm {cl} }\right)=\left\{{\text{functions }}f{\text{ with two derivatives in }}L^{2}|f(0)=f(1)=0\right\}

, тогда как область сопряженного $A ∗ {\ displaystyle A ^ {*}}$ $A^{*}$ из A равно

Dom ⁡ (A ∗) = {функции f с двумя производными в L 2} {\ displaystyle \ operatorname {Dom} \ left (A ^ {*} \ right) = \ left \ {{\ text {functions}} f { \ text {с двумя производными в}} L ^ {2} \ right \}}

\operatorname {Dom} \left(A^{*}\right)=\left\{{\text{functions }}f{\text{ with two derivatives in }}L^{2}\right\}

То есть область замыкания имеет то же граничные условия как область самой A, просто менее строгое предположение гладкости. Между тем, поскольку на A «слишком много» граничных условий, для $A ∗ {\ displaystyle A ^ {*}}$ <387 «слишком мало» (фактически, в данном случае вообще нет)>. Если мы вычислим $⟨g, A f⟩ {\ displaystyle \ langle g, Af \ rangle}$ $\langle g,Af\rangle$ для $f ∈ Dom ⁡ (A) {\ displaystyle f \ in \ operatorname {Dom } (A)}$ $f\in \operatorname {Dom} (A)$ с использованием интегрирования по частям, тогда, поскольку $f {\ displaystyle f}$ $f$ исчезает на обоих концах интервала, нет граничных условий на $g { \ displaystyle g}$ $g$ необходим для исключения граничных членов при интегрировании по частям. Таким образом, любой достаточно гладкая функция $g {\ displaystyle g}$ $g$ находится в области $A ∗ {\ displaystyle A ^ {*}}$ $A^{*}$ , с $A ∗ g = - idg / dx {\ displaystyle A ^ {*} g = -i \, dg / dx}$ $A^{*}g=-i\,dg/dx$ .

Временного замыкания и области сопряж не совпадают, A по существу является не самосопряженный. В конце концов, общий результат говорит о том, что область определения сопряженной к $A cl {\ displaystyle A ^ {\ mathrm {cl}}}$ $A^{\mathrm {cl} }$ такая же, как область определения сопряженной к A. Таким образом, в этом случае домен сопряженного элемента $A cl {\ displaystyle A ^ {\ mathrm {cl}}}$ $A^{\mathrm {cl} }$ больше, чем домен $A cl {\ displaystyle Само A ^ {\ mathrm {cl}}}$ $A^{\mathrm {cl} }$ , форма, что $A cl {\ displaystyle A ^ {\ mathrm {cl}}}$ $A^{\mathrm {cl} }$ не является самосопряженным, что по определению означает, что A по существу не является самосопряженным.

Проблема с предыдущим примером заключается в том, что мы наложили слишком много граничных условий в области A. Лучшим области было бы использование периодических граничных условий:

Dom ⁡ (A) = {гладкие функции f | е (0) знак равно е (1)} {\ displaystyle \ operatorname {Dom} (A) = \ {{\ text {smooth functions}} \, f | f (0) = f (1) \}}

\operatorname {Dom} (A)=\{{\text{smooth functions}}\,f|f(0)=f(1)\}

В области A по существу самосопряжен.

В этом случае мы можем понять последствия проблем области для спектральной теоремы. Если мы используем первый выбор домена (без граничных условий), все функции $f β (x) = e β x {\ displaystyle f _ {\ beta} (x) = e ^ {\ beta x}}$ $f_{\beta }(x)=e^{\beta x}$ для $β ∈ C {\ displaystyle \ beta \ in \ mathbb {C}}$ $\beta \in \mathbb {C}$ - собственные конструкции с собственными значениями $- i β {\ displaystyle -i \ beta}$ $-i\beta$ , поэтому спектр представляет собой всю комплексную плоскость. Если мы используем второй выбор области (с граничными условиями Дирихле), A вообще не имеет собственных векторов. Если мы воспользуемся третьим выбором (с периодическими граничными условиями), мы сможем найти ортонормированный базис собственных векторов для A, функции $fn (x): = e 2 π inx {\ displaystyle f_ {n} (x): = e ^ {2 \ пи дюйм x}}$ $f_{n}(x):=e^{2\pi inx}$ . Таким образом, в этом случае поиск области, в которой A является самосопряженным, является компромиссом: должна быть достаточно маленькой, чтобы A была симметричной, но достаточно большой, чтобы $D (A ∗) = D (A) {\ displaystyle D (A ^ {*}) = D (A)}$ $D(A^{*})=D(A)$ .

Операторы Шредингера с сингулярными возможностямими

Более тонкий пример различия между симметричными и (по сути) самосопряженными операторами взят из Операторы Шредингера в квантовой механике. Если потенциальная энергия сингулярна - особенно потенциал неограничен снизу, - ассоциированный оператор Шредингера может не быть по существу самосопряженным. В одном измерении, например, оператор

H ^: = P 2 2 m - X 4 {\ displaystyle {\ hat {H}}: = {\ frac {P ^ {2}} {2m}} - X ^ {4}}

{\hat {H}}:={\frac {P^{2}}{2m}}-X^{4}

по существу не является самосопряженным пространством гладких, быстро убывающих функций. В этом случае нарушение существенной самосопряженности отражает патологию в лежащей в основе классической системе: классическая часть с потенциалом $- x 4 {\ displaystyle -x ^ {4}}$ $-x^4$ убегает в бесконечность за конечное время. Этот оператор не имеет единственного самосопряженного, но он допускает самосопряженные расширения, полученные путем задания «граничных условий на бесконечности». (Так как $H ^ {\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\hat {H}}$ - вещественный оператор, он коммутирует с комплексным сопряжением. Таким образом, индексы дефекта автоматически равны, что является условием наличия самосопряженное расширение. См. Обсуждение расширений симметричных операторов ниже.)

В этом случае, если мы изначально определим $H ^ {\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\hat {H}}$ на простран гладких, быстро убывающих функций, сопряженным будет «тот же» оператор (т. Е. Заданная той же формулой), но в максимально возможной области, а именно

Dom ⁡ (H ^ ∗) = {дважды дифференцируемые функции f ∈ L 2 (R) | (- ℏ 2 2 m d 2 f d x 2 - x 4 f (x)) ∈ L 2 (R)}. {\ displaystyle \ operatorname {Dom} \ left ({\ hat {H}} ^ {*} \ right) = \ left \ {{\ text {дважды дифференцируемые функции}} f \ in L ^ {2} (\ mathbb {R}) \ left | \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2} f} {dx ^ {2}}} - x ^ {4} f (x) \ right) \ в L ^ {2} (\ mathbb {R}) \ right. \ right \}.}

\operatorname {Dom} \left({\hat {H}}^{*}\right)=\left\{{\text{twice differentiable functions }}f\in L^{2}(\mathbb {R})\left|\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}-x^{4}f(x)\right)\in L^{2}(\mathbb {R})\right.\right\}.

Тогда можно показать, что $H ^ ∗ {\ displaystyle {\ hat {H}} ^ {*}}$ ${\hat {H}}^{*}$ не является симметричным оператором, что, безусловно, означает, что $H ^ {\ displaystyle {\ hat {H}}}$ ${\hat {H}}$ по существу не самосопряжен. Действительно, $H ^ ∗ {\ displaystyle {\ hat {H}} ^ {*}}$ ${\hat {H}}^{*}$ имеет собственные конструкции с чисто мнимыми собственными значениями, что невозможно для симметричного оператора. Этот странный случай возможен из-за отмены между двумя терминалами в $H ^ ∗ {\ displaystyle {\ hat {H}} ^ {*}}$ ${\hat {H}}^{*}$ : Есть функции $f {\ displaystyle f }$ $f$ в домене $H ^ ∗ {\ displaystyle {\ hat {H}} ^ {*}}$ ${\hat {H}}^{*}$ , для которого ни $d 2 f / dx 2 { \ displaystyle d ^ {2} f / dx ^ {2}}$ $d^{2}f/dx^{2}$ ни $x 4 f (x) {\ displaystyle x ^ {4} f (x)}$ $x^{4}f(x)$ находится отдельно в $L 2 (R) {\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ $L^2(\mathbb{R})$ , но их комбинация встречается в $H ^ ∗ {\ displaystyle {\ шляпа {H}} ^ {*}}$ ${\hat {H}}^{*}$ находится в $L 2 (R) {\ displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R})}$ $L^2(\mathbb{R})$ . Это позволяет $H ^ ∗ {\ displaystyle {\ hat {H}} ^ {*}}$ ${\hat {H}}^{*}$ быть несимметричным, даже если оба $d 2 / dx 2 {\ displaystyle d ^ {2 } / dx ^ {2}}$ $d^{2}/dx^{2}$ и $X 4 {\ displaystyle X ^ {4}}$ $X^{4}$ - симметричные операторы. Такой отмены не произойдет, если мы заменим отталкивающий потенциал $- x 4 {\ displaystyle -x ^ {4}}$ $-x^4$ на ограничивающий потенциал $x 4 {\ displaystyle x ^ {4}}$ $x^4$ .

Условия самосопряженных операторов Шредингера можно найти в различных учебниках, например, в учебниках Березина и Шубина, Рида и Саймона, перечисленных в ссылках.

Спектральная теорема

В физической литературе спектральная теорема часто формулируется, говоря, что самосопряженный оператор имеет ортонормированный базис из собственных векторов. Однако физикам хорошо известно явление «непрерывного шума»; таким образом, когда они говорят об «ортонормированном базисе», они имеют либо ортонормированный базис в класс смысле, либо некоторый его непрерывный аналог. В случае изображения импульса $P = - id / dx {\ displaystyle P = -i \, d / dx}$ $P=-i\,d/dx$ , например, физики сказали бы, что собственные конструкции - это функции $fp ( x): = eipx {\ displaystyle f_ {p} (x): = e ^ {ipx}}$ $f_{p}(x):=e^{ipx}$ , явно нет в гильбертовом пространстве $L 2 (R) {\ Displaystyle L ^ { 2} (\ mathbb {R})}$ $L^2(\mathbb{R})$ . (Физики сказали бы, что собственные конструкции «ненормализуемы».) Затем физики продолжали бы говорить, что эти «собственные» конструкции ортонормированы в непрерывном смысле, где обычная конструкция Кронекера $δ i, j {\ displaystyle \ delta _ {i, j}}$ $\delta_{i,j}$ заменяется дельта-функция Дирака $δ (p - p ') {\ displaystyle \ delta \ left (pp' \ right)}$ $\delta \left(p-p'\right)$ .

Хотя эти утверждения могут показаться математикам сбивающими с толку, их можно точными с помощью преобразования Фурье, которое позволяет выразить общую функцию $L 2 {\ displaystyle L ^ {2}}$ $L^{2}$ как «суперпозиция» (т.е. интеграл) функций $eipx {\ displaystyle e ^ {ipx}}$ $e^{ipx}$ , даже если эти функции не находятся в $L 2 {\ displaystyle L ^ {2}}$ $L^{2}$ . Преобразование Фурье «диагонализует» оператор импульса; то есть преобразует его в оператор умножения на $p {\ displaystyle p}$ $p$ , где $p {\ displaystyle p}$ $p$ - переменная Фурье преобразовать.

Спектральная теорема в целом может быть выражена аналогично возможности «диагонализации» операции, что он унитарно эквивалентен оператору умножения. Другими версиями предполагается, что самосопряженный оператор может иметь «электрические возможности».

Формулировка спектральной теоремы

Частично операторы A, B в гильбертовых пространствах H, K унитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда унитарное преобразование U: H → K такое, что

U отображает dom A биективно на dom B,
$BU ξ = UA ξ, ∀ ξ ∈ dom ⁡ A. {\ displaystyle BU \ xi = UA \ xi, \ qquad \ forall \ xi \ in \ operatorname {dom} A.}$ $B U \xi = U A \xi,\qquad \forall \xi \in \operatorname{dom}A.$

A оператор умножения определенным образом: Пусть (X, Σ, μ) будет счетно-аддитивная мера пространства и действительная измеримая функция на X. Оператор T вида

[T ψ] (x) = f (x) ψ (x) {\ displaystyle [T \ psi] (x) = f (x) \ psi (x)}

[T\psi ](x)=f(x)\psi (x)

, область определения которого является пространством ψ, правая часть которого находится в L, называется оператором умножения.

Один из вариантов спектральной теоремы можно сформулировать следующим образом.

Теорема. Любой оператор умножения является (плотно определенным) самосопряженным оператором. Любой самосопряженный оператор унитарно эквивалентен оператору умножения.

Другие версии спектральной теоремы можно найти в статье о спектральных теоремах, ссылки на приведенные выше.

Спектральная теорема для неограниченных самосопряженных операторов может быть доказана возможности к спектральной теореме для унитарных (следовательно, ограниченных) операторов. Это сокращение использует преобразование Кэли для самосопряженных операторов, определенное в следующем разделе. Мы бы отметили, что если T является умножением на f, то может иметь спектр T - это просто существенный диапазон f.

Функциональное исчисление

Одним из важных приложений спектральной теоремы является определение «функционального исчисления ». То есть, если $h {\ displaystyle h}$ $h$ - функция на действующей строке, а $T {\ displaystyle T}$ $T$ - самосопряженный оператор, мы хотим определить оператор $час (T) {\ displaystyle h (T)}$ $h(T)$ . Если $T {\ displaystyle T}$ $T$ имеет истинный ортонормированный базис собственных векторов $ej {\ displaystyle e_ {j}}$ $e_{j}$ с собственными значениями $λ j {\ displaystyle \ lambda _ {j}}$ $\lambda _{j}$ , тогда $h (T) {\ displaystyle h (T)}$ $h(T)$ - оператор с собственными векторами $ej {\ displaystyle e_ {j}}$ $e_{j}$ и собственные значения $h (λ j) {\ displaystyle h \ left (\ lambda _ {j} \ right)}$ $h\left(\lambda _{j}\right)$ . Цель функционального исчисления - распространить эту идею на случай, когда $T {\ displaystyle T}$ $T$ имеет непрерывный спектр.

Особое значение для квантовой физики имеет случай, в котором $T {\ displaystyle T}$ $T$ - это оператор Гамильтона $H ^ {\ displaystyle {\ hat {H} }}$ ${\hat {H}}$ и $h (x): = e - itx / ℏ {\ displaystyle h (x): = e ^ {- itx / \ hbar}}$ $h(x):=e^{-itx/\hbar }$ - это экспоненциальный. В этом случае функциональное исчисление должно позволить нам определить оператор

U (t): = h (H ^) = e - it H ^ ℏ, {\ displaystyle U (t): = h \ left ({ \ hat {H}} \ right) = e ^ {\ frac {-it {\ hat {H}}} {\ hbar}},}

U(t):=h\left({\hat {H}}\right)=e^{\frac {-it{\hat {H}}}{\hbar }},

, который является оператором, определяющим эволюцию во времени в квантовой механике.

Учитывая представление T как оператора умножения на $f {\ displaystyle f}$ $f$ - что гарантировано спектральной теоремой - легко охарактеризовать функциональное исчисление: если h - ограниченная вещественнозначная борелевская функция на R, тогда h (T) - оператор умножения на композицию $h ∘ f {\ displaystyle h \ circ f}$ $h\circ f$ .

Разрешение идентичность

Было принято использовать следующие обозначения

ET ⁡ (λ) = 1 (- ∞, λ] (T) {\ displaystyle \ operatorname {E} _ {T} (\ лямбда) = \ mathbf {1} _ {(- \ infty, \ lambda]} (T)}

\operatorname {E} _{T}(\lambda)=\mathbf {1} _{(-\infty,\lambda ]}(T)

где $1 (- ∞, λ] {\ displaystyle \ mathbf {1} _ {(- \ infty, \ lambda]}}$ $\mathbf{1}_{(-\infty, \lambda]}$ - характеристическая функция интервала $(- ∞, λ] {\ displaystyle (- \ infty, \ lambda]}$ $(-\infty, \lambda]$ . Семейство проекционных операторов E T (λ) называется разрешением тождества для T. Более того, может быть доказано следующее интегральное представление Стилтьеса для T:

Т = ∫ - ∞ + ∞ λ d E T ⁡ (λ). {\ displaystyle T = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ lambda d \ operatorname {E} _ {T} (\ lambda).}

T=\int _{-\infty }^{+\infty }\lambda d\operatorname {E} _{T}(\lambda).

Определение операционного интеграла, приведенное выше, может быть сокращено к скалярнозначному интегралу Стилтьеса с использованием слабой операторной топологии. Однако в более современных методах лечения этого представления обычно избегают, поскольку m \ {{\ text {гладкие функции}} \ right \}} <151>html