Оптическое фазовое пространство

фазовое пространство, используемое в квантовой оптике Оптическая фазовая диаграмма распределения когерентного состояния в фазовом пространстве.

In квантовой оптики, оптическое фазовое пространство - это фазовое пространство, в котором все квантовые состояния оптической системы являются описано. Каждая точка в оптическом фазовом пространстве соответствует уникальному состоянию оптической системы. Для любой такой системы график зависимости друг от друга квадратур, возможно, как функций времени, называется фазовой диаграммой. Если квадратуры являются функциями времени, то оптическая фазовая диаграмма может показать эволюцию квантовой оптической системы во времени.

Оптическая фазовая диаграмма может дать представление о свойствах и поведении системы, которые в противном случае могли бы быть неочевидными. Это может указывать на качества системы, которые могут быть интересны человеку, изучающему оптическую систему, что было бы очень трудно сделать иначе. Еще одно применение оптической фазовой диаграммы состоит в том, что она показывает эволюцию состояния оптической системы. Это можно использовать для определения состояния оптической системы в любой момент времени.

• 1 Общая информация
• 2 Квадратуры
  • 2.1 Свойства квадратур
  • 2.2 Важный результат
• 3 Операторы в фазовом пространстве
  • 3.1 Оператор фазового сдвига
  • 3.2 Оператор смещения
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

При обсуждении квантовой теории света очень часто в качестве модели используют электромагнитный осциллятор. Электромагнитный осциллятор описывает колебания электрического поля. Поскольку магнитное поле пропорционально скорости изменения электрического поля, оно тоже колеблется. Такие колебания описывают свет. Системы, состоящие из таких генераторов, можно описать оптическим фазовым пространством.

Пусть u(x, t) будет векторной функцией , описывающей одномодовый электромагнитного генератора . Для простоты предполагается, что этот электромагнитный осциллятор находится в вакууме. Примером может служить плоская волна, заданная как

$u\; (x,\; t)\; =\; u\; 0\; ei\; (k\; \cdot \; x\; -\; \omega \; t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; =\; \backslash \; mathbf\; \{u\_\; \{0\}\}\; e\; ^\; \{i\; (\backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; -\; \backslash \; omega\; t)\}\}$

где u0- вектор поляризации , k- волновой вектор , $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$частота, а A$\cdot \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cdot\}$Bобозначает скалярное произведение между векторами Aи B . Это уравнение для плоской волны и является простым примером такого электромагнитного осциллятора. Исследуемые генераторы могут быть либо свободными волнами в пространстве, либо нормальной модой, содержащейся в некоторой полости.

Одномодовый электромагнитный генератор изолирован от остальной системы и исследуется. Такой осциллятор при квантовании описывается математикой квантового гармонического осциллятора . Квантовые осцилляторы описываются с помощью операторов создания и уничтожения $a\; ^\; †\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\}$и $a\; ^\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{a\}\}\}$. Физические величины, такие как напряженность электрического поля, затем становятся квантовыми операторами.

Для того, чтобы отличить физическую величину от квантовомеханического оператора, используемого для ее описания, используется «шляпа» над символы операторов. Так, например, где $E\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{i\}\}$может представлять (один компонент) электрического поля, символ $E\; ^\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{E\}\}\; \_\; \{i\}\}$обозначает квантово-механический оператор, описывающий $E\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{i\}\}$. Это соглашение используется на протяжении всей статьи, но не используется в более сложных текстах, в которых не используется шляпа, поскольку она просто загромождает текст.

В режиме квантового осциллятора большинство операторов, представляющих физические величины, обычно выражаются в терминах операторов создания и уничтожения. В этом примере напряженность электрического поля определяется следующим образом:

$E\; ^\; i\; =\; ui\; \ast \; (x,\; t)\; a\; ^\; †\; +\; ui\; (x,\; t)\; a\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{E\}\}\; \_\; \{\; i\}\; =\; u\_\; \{i\}\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; +\; u\_\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; \{\backslash \; widehat\; \{\; a\}\}\}$

(где x i - единственный компонент x, позиция). Гамильтониан для электромагнитного осциллятора находится путем квантования электромагнитного поля для этого осциллятора, и формула имеет вид:

$H\; ^\; =\; \hslash \; \omega \; (\; a\; ^\; †\; a\; ^\; +\; 1/2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{H\}\}\; =\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; (\{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; +\; 1/2)\; \}$

где $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$- частота (пространственно-временного) режима. Оператор уничтожения является оператором бозонного уничтожения, поэтому он подчиняется каноническому соотношению коммутации, задаваемому формулой

$[a\; ^,\; a\; ^\; †]\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; widehat\; \{a\}\},\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}]\; =\; 1\}$

Собственные состояния оператора аннигиляции называются когерентными состояниями :

$a\; ^\; |\; \alpha ⟩\; =\; \alpha \; |\; \alpha ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; alpha\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\}$

Важно отметить, что оператор уничтожения не является эрмитовым ; поэтому его собственные значения $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$могут быть сложными. Это имеет важные последствия.

Наконец, число фотонов дается оператором $N\; ^\; =\; a\; ^\; †\; a\; ^,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{N\}\}\; =\; \{\backslash \; widehat\; \{a\; \}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\},\}$, которая дает количество фотонов в заданном (пространственно-временном) режиме u.

Операторы, заданные

$q\; ^\; =\; 1\; 2\; (a\; ^\; †\; +\; a\; ^)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{q\}\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (\{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; +\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\})\}$

и

$p\; ^\; =\; i\; 2\; (a\; ^\; †\; -\; a\; ^)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{p\}\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{i\}\; \{2\}\; \}\; (\{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; -\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\})\}$

называются квадратурой и представляют действительные и мнимые части комплексной амплитуды, представленные как $a\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\}$. Коммутационное соотношение между двумя квадратурами легко вычисляется:

$[q\; ^,\; p\; ^]\; =\; i\; 4\; [a\; ^\; †\; +\; a\; ^,\; a\; ^\; †\; -\; a\; ^]\; =\; i\; 4\; ([a\; ^\; †,\; a\; ^\; †]\; -\; [a\; ^\; †,\; a\; ^]\; +\; [a\; ^,\; a\; ^\; †]\; -\; [a\; ^,\; a\; ^])\; =\; i\; 4\; (-\; (-\; 1)\; +\; 1)\; =\; i\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; начало\; \{выровнено\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; widehat\; \{q\}\},\; \{\backslash \; widehat\; \{p\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{i\}\; \{4\}\}\; [\{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; +\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\},\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; -\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}]\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{i\}\; \{4\}\}\; ([\{\backslash \; widehat\; \{\; a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\},\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}]\; -\; [\{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\},\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}]\; +\; [\{\backslash \; widehat\; \{a\}\},\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}]\; -\; [\{\backslash \; widehat\; \{a\}\},\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}])\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{i\}\; \{4\}\; \}\; (-\; (-\; 1)\; +1)\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{i\}\; \{2\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Это очень похоже на соотношение коммутации оператора положения и импульса. Таким образом, может быть полезно думать о квадратурах как о положении и импульсе осциллятора, хотя на самом деле они являются «синфазными и противофазными компонентами амплитуды электрического поля пространственно-временной моды»., или u, и не имеют никакого отношения к положению или импульсу электромагнитного осциллятора (так как трудно определить, что подразумевается под положением и импульсом для электромагнитного осциллятора).

Свойства квадратур

собственные состояния операторов квадратур $q\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{q\}\}\}$и $p\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{p\}\}\}$называются квадратурными состояниями. Они удовлетворяют соотношениям:

• $q\; ^\; |\; q⟩\; =\; q\; |\; q⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{q\}\}\; |\; q\; \backslash \; rangle\; =\; q\; |\; q\; \backslash \; rangle\}$и $p\; ^\; |\; p⟩\; =\; p\; |\; п⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{p\}\}\; |\; p\; \backslash \; rangle\; =\; p\; |\; p\; \backslash \; rangle\}$

• $⟨q\; |\; q\; \prime ⟩\; знак\; равно\; \delta \; (q\; -\; q\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; q\; |\; q\; \text{'}\backslash \; rangle\; =\; \backslash \; delta\; (q-q\text{'})\}$и $⟨p\; |\; p\; \prime ⟩\; знак\; равно\; \delta \; (p\; -\; p\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; p\; |\; p\; \text{'}\backslash \; rangle\; =\; \backslash \; delta\; (p-p\text{'})\}$

• $\int \; -\; \infty \; \infty \; |\; q⟩\; ⟨q\; |\; d\; q\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; |\; q\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; q\; |\; \backslash ,\; dq\; =\; 1\}$и $\int \; -\; \infty \; \infty \; |\; p⟩\; ⟨p\; |\; d\; p\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; |\; p\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; p\; |\; \backslash ,\; dp\; =\; 1\}$

как эти наборы полного базиса.

Важный результат

Следующее важное соотношение, которое может быть выведено из вышеизложенного, оправдывает нашу интерпретацию, согласно которой квадратуры являются действительной и мнимой частями комплекса $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$(т.е. синфазная и противофазная составляющие электромагнитного генератора)

$⟨\alpha \; |\; q\; ^\; |\; \alpha ⟩\; =\; 2\; -\; 1/2\; (⟨\alpha \; |\; a\; ^\; †\; |\; \alpha ⟩\; +\; ⟨\alpha \; |\; a\; ^\; |\; \alpha ⟩)\; =\; 2\; -\; 1/2\; (\alpha \; \ast \; ⟨\alpha \; |\; \alpha ⟩\; +\; \alpha \; ⟨\alpha \; |\; \alpha ⟩)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; alpha\; |\; \{\backslash \; widehat\; \{q\}\}\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\; =\; 2\; ^\; \{-\; 1/2\}\; (\backslash \; langle\; \backslash \; alpha\; |\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\; +\; \backslash \; langle\; \backslash \; alpha\; |\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle)\; =\; 2\; ^\; \{-\; 1/2\}\; (\backslash \; alpha\; ^\; \{*\}\; \backslash \; langle\; \backslash \; alpha\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; langle\; \backslash \; alpha\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle)\}$

Следующее является соотношением, которое может быть использовано для оценки вышеизложенного и определяется следующим образом:

$⟨\alpha \; \prime \; |\; \alpha ⟩\; знак\; равно\; е\; (-\; 1/2)\; (|\; \alpha \; \prime \; |\; 2\; +\; |\; \alpha \; |\; 2)\; +\; \alpha \; \prime \; \ast \; \alpha \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; alpha\; \text{'}|\; \backslash \; альфа\; \backslash \; rangle\; =\; е\; ^\; \{(-\; 1/2)\; (|\; \backslash \; alpha\; \text{'}|\; ^\; \{2\}\; +\; |\; \backslash \; alpha\; |\; ^\; \{2\})\; +\; \backslash \; alpha\text{'}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; alpha\}\}$

Это дает нам следующее:

$⟨\alpha \; |\; q\; ^\; |\; \alpha ⟩\; знак\; равно\; 2-1\; /\; 2\; (\alpha \; \ast \; +\; \alpha )\; знак\; равно\; Q\; \alpha \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; альфа\; |\; \{\backslash \; widehat\; \{q\}\}\; |\; \backslash \; альфа\; \backslash \; rangle\; =\; 2\; ^\; \{-\; 1/2\}\; (\backslash \; альфа\; ^\; \{*\}\; +\; \backslash \; alpha)\; =\; q\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}$

$⟨\alpha \; |\; p\; ^\; |\; \alpha ⟩\; знак\; равно\; я\; 2\; -\; 1/2\; (\alpha \; \ast \; -\; \alpha )\; знак\; равно\; п\; \alpha \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; альфа\; |\; \{\backslash \; widehat\; \{p\}\}\; |\; \backslash \; альфа\; \backslash \; rangle\; =\; i2\; ^\; \{-\; 1/2\}\; (\backslash \; альфа\; ^\; \{*\}\; -\; \backslash \; alpha)\; =\; p\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}$тем же способом, что и выше.

$\alpha \; =\; 2\; -\; 1/2\; (⟨\alpha \; |\; q\; ^\; |\; \alpha ⟩\; +\; i\; ⟨\; \alpha \; |\; п\; ^\; |\; \alpha ⟩)\; знак\; равно\; 2\; -\; 1/2\; (д\; \alpha \; +\; ip\; \alpha )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; альфа\; =\; 2\; ^\; \{-\; 1/2\}\; (\backslash \; langle\; \backslash \; альфа\; |\; \{\backslash \; widehat\; \{q\}\}\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\; +\; i\; \backslash \; langle\; \backslash \; alpha\; |\; \{\backslash \; widehat\; \{p\}\}\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle)\; =\; 2\; ^\; \{-\; 1/2\}\; (q\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; +\; ip\; \_\; \{\backslash \; alpha\})\}$

Таким образом, $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$- это просто композиция квадратур.

Другое очень важное свойство когерентных состояний становится очень очевидным в этом формализме. Когерентное состояние - это не точка в оптическом фазовом пространстве, а скорее его распределение. Это можно увидеть через

$q\; \alpha \; =\; ⟨\alpha \; |\; q\; ^\; |\; \alpha ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; alpha\; |\; \{\backslash \; widehat\; \{q\}\}\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\}$

и

$p\; \alpha \; =\; ⟨\alpha \; |\; p\; ^\; |\; \alpha ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; alpha\; |\; \{\backslash \; widehat\; \{p\}\}\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\}$.

Это только математические ожидания $q\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{q\}\}\}$и $p\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{p\}\}\}$для состояния $|\; \alpha ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\}$.

Можно показать, что квадратуры подчиняются принципу неопределенности Гейзенберга, задаваемому формулой

$\Delta \; q\; \Delta \; p\; \ge \; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; q\; \backslash \; Delta\; p\; \backslash \; geq\; 1/2\}$(где $\Delta \; q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; q\}$и $\Delta \; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; p\}$- дисперсии распределений q и p соответственно)

Это неравенство не обязательно должно быть насыщенным, и типичным примером таких состояний являются сжатые когерентные состояния. Когерентные состояния - это гауссовские распределения вероятностей в фазовом пространстве, локализованные вокруг $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$.

Можно определить операторы для перемещения когерентные состояния вокруг фазового пространства. Они могут создавать новые когерентные состояния и позволяют нам перемещаться по фазовому пространству.

Оператор фазового сдвига

Оператор фазового сдвига, действующий на когерентное состояние, поворачивая его на угол $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$в фазовом пространстве.

Оператор фазового сдвига поворачивает когерентное состояние на угол $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$в оптическом фазовом пространстве. Этот оператор задается следующим образом:

$U\; ^\; (\theta )\; =\; e\; -\; i\; \theta \; N\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; (\backslash \; theta)\; =\; e\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; theta\; \{\backslash \; widehat\; \{N\}\}\; \}\}$

Важное соотношение

$U\; ^\; (\theta )\; †\; a\; ^\; U\; ^\; (\theta )\; =\; a\; ^\; e\; -\; i\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; (\backslash \; theta)\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; \{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; (\backslash \; theta)\; =\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; e\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; theta\}\}$

получается следующим образом:

$d\; /\; d\; \theta \; (U\; ^\; †\; a\; ^\; U\; ^)\; =\; i\; N\; ^\; U\; ^\; †\; a\; ^\; U\; ^\; -\; i\; U\; ^\; †\; a\; ^\; U\; ^\; N\; ^\; =\; U\; ^\; †\; i\; [N\; ^,\; a\; ^]\; U\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; /\; d\; \backslash \; theta\; (\{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; \{\backslash \; widehat\; \{U\}\})\; =\; i\; \{\backslash \; widehat\; \{N\}\}\; \{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; \{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; -\; i\; \{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; \{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; \{\backslash \; widehat\; \{N\}\; \}\; =\; \{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; i\; [\{\backslash \; widehat\; \{N\}\},\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}]\; \{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\}$

$=\; U\; ^\; †\; i\; (a\; ^\; †\; a\; ^\; a\; ^\; -\; a\; ^\; a\; ^\; †\; a\; ^)\; U\; ^\; =\; U\; ^\; †\; i\; [a\; ^\; †,\; a\; ^]\; a\; ^\; U\; ^\; =\; -\; i\; U\; ^\; †\; a\; ^\; U\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; i\; (\{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; -\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; \{\backslash \; widehat\; \{\; a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\})\; \{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; =\; \{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; i\; [\{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\},\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}]\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; \{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; =\; -\; i\; \{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; \{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\}$

и решение этого дифференциального уравнения дает желаемый результат.

Таким образом, используя вышеизложенное, становится ясно, что

$U\; ^\; (\theta )\; |\; \alpha ⟩\; =\; |\; \alpha \; е\; -\; я\; \theta ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; (\backslash \; theta)\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\; =\; |\; \backslash \; alpha\; e\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; theta\}\; \backslash \; rangle\}$,

или поворот на угол тета о когерентном состоянии в фазовом пространстве. Следующее иллюстрирует это более ясно:

$a\; ^\; (U\; ^\; |\; \alpha ⟩)\; =\; U\; ^\; a\; ^\; e\; -\; i\; \theta \; |\; \alpha ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; (\{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle)\; =\; \{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; e\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; theta\}\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\}$

(который получается с использованием того факта, что оператор фазового сдвига унитарный

$a\; ^\; (U\; ^\; |\; \alpha ⟩)\; =\; U\; ^\; \alpha \; e\; -\; i\; \theta \; |\; \alpha ⟩\; =\; \alpha \; е\; -\; я\; \theta \; (U\; ^\; |\; \alpha ⟩)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; (\{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle)\; =\; \{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; \backslash \; alpha\; e\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; theta\}\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; alpha\; e\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; theta\}\; (\{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle)\}$

Таким образом,

$(\alpha \; e\; -\; i\; \theta ,\; U\; ^\; |\; \alpha ⟩)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; alpha\; e\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; theta\},\; \{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle)\}$

- собственная пара из

$a\; ^\; U\; ^\; |\; \alpha ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; \{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\}$.

Отсюда можно увидеть, что

$(\alpha \; e\; -\; i\; \theta \; =\; 2\; -\; 1/2\; [q\; \alpha \; cos\; \; (\theta )\; +\; p\; \alpha \; sin\; \; (\theta )]\; +\; i\; 2\; -\; 1/2\; [-\; q\; \alpha \; sin\; \; (\theta )\; +\; p\; \alpha \; cos\; \; (\theta )],\; U\; ^\; |\; \alpha ⟩\; знак\; равно\; |\; \alpha \; е\; -\; я\; \theta ⟩)\; \{\backslash \; Displaystyle\; (\backslash \; альфа\; е\; ^\; \{-\; я\; \backslash \; тета\}\; =\; 2\; ^\; \{-\; 1/2\}\; [д\; \_\; \{\backslash \; альфа\}\; \backslash \; соз\; (\backslash \; тета)\; +\; p\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)]\; +\; i2\; ^\; \{-\; 1/2\}\; [-\; q\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; +\; p\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)],\; \{\backslash \; widehat\; \{U\}\}\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\; =\; |\; \backslash \; alpha\; e\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; theta\}\; \backslash \; rangle)\}$

другой способ выражения собственной пары, которая более четко иллюстрирует влияние оператора фазового сдвига на когерентные состояния.

Оператор смещения

Оператор смещения, действующий на когерентное состояние, смещая его на некоторое значение $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$в фазовом пространстве.

Оператор смещения - это унитарный оператор, который берет когерентное состояние и превращает его в другое унитарное состояние. Оператор смещения задается следующим образом:

$D\; ^\; (\alpha )\; =\; e\; \alpha \; a\; ^\; †\; -\; \alpha \; \ast \; a\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{D\}\}\; (\backslash \; alpha)\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \{\backslash \; widehat\; \{a\; \}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; -\; \backslash \; alpha\; ^\; \{*\}\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\}\}$

и его название происходит от важного отношения

$a\; ^\; (\alpha )\; \equiv \; D\; ^\; †\; (\alpha )\; a\; ^\; D\; ^\; (\alpha )\; знак\; равно\; a\; ^\; +\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; (\backslash \; alpha)\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; widehat\; \{D\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (\backslash \; alpha)\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; \{\backslash \; widehat\; \{D\}\}\; (\backslash \; alpha)\; =\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; +\; \backslash \; alpha\}$.

Действительно, давайте временно введем $a\; ^\; (s)\; =\; a\; ^\; (s\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; widehat\; \{a\}\}\; (s)\; =\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; (s\; \backslash \; alpha)\}$с реальным $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$и подумайте, как $a\; ^\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; (s)\}$изменяется, когда $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$изменяется с 0 на 1. Дифференцируя $a\; ^\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; (s)\}$по отношению к $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$, мы находим

$\partial \; \partial \; sa\; ^\; (s)\; =\; D\; †\; (s\; \alpha )\; [\alpha \; \ast \; a\; ^\; -\; \alpha \; a\; ^\; †,\; a\; ^]\; D\; (s\; \alpha )\; =\; \alpha ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\; \backslash \; партия\; al\; s\}\}\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; (s)\; =\; D\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (s\; \backslash \; alpha)\; [\backslash \; alpha\; ^\; \{*\}\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; -\; \backslash \; alpha\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\},\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}]\; D\; (s\; \backslash \; alpha)\; =\; \backslash \; alpha,\}$

так, чтобы $a\; ^\; (s)\; =\; a\; ^\; (0)\; +\; s\; \alpha .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; (s)\; =\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; (0)\; +\; s\; \backslash \; alpha.\}$

Поскольку когерентные состояния являются собственными состояниями как оператора аннигиляции, так и оператора умножения на числа, легко видеть, что действительно оператор смещения перемещает когерентные состояния, или, точнее,

$D\; ^\; (\alpha )\; |\; \beta ⟩\; =\; |\; \alpha \; +\; \beta ⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{D\}\}\; (\backslash \; alpha)\; |\; \backslash \; beta\; \backslash \; rangle\; =\; |\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; \backslash \; rangle.\}$

Действительно, полученное выше соотношение можно переписать как $a\; ^\; D\; ^\; (\alpha )\; знак\; равно\; D\; ^\; (\alpha )\; (a\; ^\; +\; \alpha )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; \{\backslash \; widehat\; \{D\}\}\; (\backslash \; alpha)\; =\; \{\backslash \; widehat\; \{D\}\}\; (\backslash \; alpha)\; (\{\; \backslash \; widehat\; \{a\}\}\; +\; \backslash \; alpha)\}$, затем

$a\; ^\; D\; ^\; (\alpha )\; |\; \beta ⟩\; =\; D\; ^\; (\alpha )\; (a\; ^\; +\; \alpha )\; |\; \beta ⟩\; =\; (\alpha \; +\; \beta )\; D\; ^\; (\alpha )\; |\; \beta ⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; \{\backslash \; widehat\; \{D\}\}\; (\backslash \; alpha)\; |\; \backslash \; beta\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; widehat\; \{D\}\}\; (\backslash \; alpha)\; (\{\backslash \; widehat\; \{a\}\}\; +\; \backslash \; alpha)\; |\; \backslash \; beta\; \backslash \; rangle\; =\; (\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta)\; \{\backslash \; widehat\; \{D\}\}\; (\backslash \; alpha)\; |\; \backslash \; beta\; \backslash \; rangle.\}$

Таким образом, $D\; ^\; (\alpha )\; |\; \beta ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{D\}\}\; (\backslash \; alpha)\; |\; \backslash \; beta\; \backslash \; rangle\}$- собственное состояние оператора уничтожения с собственным значением $\alpha \; +\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\}$, следовательно, $D\; ^\; (\alpha )\; |\; \beta ⟩\; =\; |\; \alpha \; +\; \beta ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{D\}\}\; (\backslash \; alpha)\; |\; \backslash \; beta\; \backslash \; rangle\; =\; |\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; beta\; \backslash \; rangle\}$.

В частности,

$D\; ^\; (-\; \alpha )\; |\; \alpha ⟩\; =\; |\; 0⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; widehat\; \{D\}\}\; (-\; \backslash \; alpha)\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\; =\; |\; 0\; \backslash \; rangle\}$

, что приводит к

$|\; \alpha ⟩\; =\; D\; ^\; (\alpha )\; |\; 0⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; widehat\; \{D\}\}\; (\backslash \; alpha)\; |\; 0\; \backslash \; rangle\}$.

Это важно, поскольку показывает, что все когерентные состояния могут быть получены как смещения основное состояние, которое в оптике также является вакуумным состоянием.

• Неклассический свет
• Оператор вращения (квантовая механика)
• Квантовый гармонический осциллятор
• Распределение квазивероятностей
• Представление Husimi Q
• Сжатое когерентное состояние
• Распределение квазивероятностей Вигнера