Операторы создания и уничтожения

Операторы, полезные в квантовой механике

Операторы создания и уничтожения - это математические операторы, которые имеют широкое применение в квантовой механике, особенно в изучении квантовых гармонических осцилляторов и систем многих частиц. Оператор аннигиляции (обычно обозначаемый $a\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{a\}\}\}$) уменьшает количество частиц в данном состоянии на единицу. Оператор создания (обычно обозначаемый $a\; ^\; †\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\}$) увеличивает количество частиц в данном состоянии на единицу, и это , сопряженный к оператору уничтожения. Во многих подполях физики и химии использование этих операторов вместо волновых функций известно как второе квантование.

Операторы создания и уничтожения могут действуют на состояния различных типов частиц. Например, в квантовой химии и теории многих тел операторы создания и уничтожения часто действуют на электронные состояния. Они также могут конкретно относиться к лестничным операторам для квантового гармонического осциллятора. В последнем случае оператор повышения интерпретируется как оператор создания, добавляющий квант энергии к системе осциллятора (аналогично для оператора понижения). Их можно использовать для представления фононов.

Математика для операторов рождения и уничтожения для бозонов такая же, как и для лестничных операторов квантовой гармоники . осциллятор. Например, коммутатор операторов рождения и уничтожения, которые связаны с одним и тем же состоянием бозона, равен единице, а все остальные коммутаторы равны нулю. Однако для фермионов математика иная, с использованием антикоммутаторов вместо коммутаторов.

Содержание

• 1 Лестничные операторы для квантового гармонического осциллятора
  • 1.1 Явные собственные функции
  • 1.2 Матричное представление
• 2 Обобщенные операторы рождения и уничтожения
• 3 Операторы создания и уничтожения для уравнений реакции-диффузии
• 4 Операторы создания и уничтожения в квантовых теориях поля
  • 4.1 Нормализация
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Сноски

Лестничные операторы для квантового гармонического осциллятора

В контексте квантового гармонического осциллятора операторы лестничной диаграммы интерпретируются как операторы создания и уничтожения, добавляя или вычитая фиксированные кванты энергии в системе осциллятора.

Операторы создания / уничтожения различны для бозонов (целочисленный спин) и фермионов (полуцелочисленный спин). Это потому, что их волновые функции имеют разные свойства симметрии .

Сначала рассмотрим более простой бозонный случай фотонов квантового гармонического осциллятора. Начнем с уравнения Шредингера для одномерного не зависящего от времени квантового гармонического осциллятора,

$(-\; \hslash \; 2\; 2\; md\; 2\; dx\; 2\; +\; 1\; 2\; m\; \omega \; 2\; x\; 2)\; \psi \; (x)\; =\; Е\; \psi \; (х).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\}\; \{dx\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\})\; \}\; m\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; psi\; (x)\; =\; E\; \backslash \; psi\; (x).\}$

Сделайте подстановку координат, чтобы обезразмерить дифференциальное уравнение

$х\; =\; \hslash \; м\; \omega \; q.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; =\; \backslash \; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\}\; \{m\; \backslash \; omega\}\}\}\; q.\}$

Уравнение Шредингера для осциллятора принимает следующий вид:

$\hslash \; \omega \; 2\; (-\; d\; 2\; dq\; 2\; +\; q\; 2)\; \psi \; (q)\; =\; E\; \psi \; (q).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; \backslash \; omega\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\}\; \{dq\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; q\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; psi\; (\; q)\; =\; E\; \backslash \; psi\; (q).\}$

Обратите внимание, что величина $\hslash \; \omega \; =\; h\; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; =\; h\; \backslash \; nu\}$- это та же энергия, что и найдено для световых квантов и что скобка в гамильтониане может быть записана как

$-\; d\; 2\; dq\; 2\; +\; q\; 2\; =\; (-\; ddq\; +\; q)\; (ddq\; +\; q)\; +\; ддкк\; -\; дддк.\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\}\; \{dq\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; q\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dq\}\}\; +\; q\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dq\}\}\; +\; q\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dq\}\}\; qq\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dq\}\}.\}$

Последние два термина можно упростить рассматривая их влияние на произвольную дифференцируемую функцию $f\; (q),\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (q),\}$

$(ddqq\; -\; qddq)\; f\; (q)\; =\; ddq\; (qf\; (q))\; -\; qdf\; (q)\; dq\; знак\; равно\; е\; (q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dq\}\}\; qq\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dq\}\}\; \backslash \; right)\; f\; (q)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dq\; \}\}\; (qf\; (q))\; -\; q\; \{\backslash \; frac\; \{df\; (q)\}\; \{dq\}\}\; =\; f\; (q)\}$

, что означает,

$ddqq\; -\; qddq\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dq\}\}\; qq\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dq\}\}\; =\; 1,\}$

совпадает с обычным каноническим соотношением коммутации $-\; i\; [q,\; p]\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; -i\; [\; q,\; p]\; =\; 1\}$, в пространственном представлении: $p:\; =\; -\; iddq\; \{\backslash \; displaystyle\; p:\; =\; -\; i\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dq\}\}\}$.

Следовательно

$-\; d\; 2\; dq\; 2\; +\; q\; 2\; =\; (-\; ddq\; +\; q)\; (ddq\; +\; q)\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\}\; \{dq\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; q\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dq\}\}\; +\; q\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dq\}\}\; +\; q\; \backslash \; right)\; +1\}$

a уравнение Шредингера для осциллятора принимает вид, с заменой вышеуказанного и перестановкой множителя 1/2,

$\hslash \; \omega \; [1\; 2\; (-\; ddq\; +\; q)\; 1\; 2\; (ddq\; +\; q)\; +\; 1\; 2]\; \psi \; (q)\; =\; E\; \psi \; (q).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dq\}\}\; +\; q\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dq\}\}\; +\; q\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; psi\; (q)\; =\; E\; \backslash \; psi\; (q).\}$

Если определить

$a\; †\; =\; 1\; 2\; (-\; ddq\; +\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; =\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (-\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dq\}\}\; +\; q\; \backslash \; right)\}$

как «оператор создания» или «оператор возведения» и

$a\; =\; 1\; 2\; (ddq\; +\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; \backslash \; =\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash !\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dq\}\}\; +\; q\; \backslash \; right)\}$

в качестве «оператора уничтожения» или «опускающего оператора» уравнение Шредингера для осциллятора сводится к

$\hslash \; \omega \; (a\; †\; a\; +\; 1\; 2)\; \psi \; (q)\; =\; E\; \psi \; (q).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; \backslash \; left\; (a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; a\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; psi\; (q)\; =\; E\; \backslash \; psi\; (q).\}$

Это значительно проще, чем исходный вид. Дальнейшие упрощения этого уравнения позволяют получить все перечисленные выше свойства.

Пусть $p\; =\; -\; iddq\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; -i\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dq\}\}\}$, где $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$- безразмерный оператор импульса, у которого есть

$[q,\; p]\; =\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; [q,\; p]\; =\; i\; \backslash ,\}$

и

$a\; =\; 1\; 2\; (q\; +\; ip)\; =\; 1\; 2\; (q\; +\; ddq)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; (q\; +\; ip)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 2\}\}\}\; \backslash \; left\; (q\; +\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dq\}\}\; \backslash \; right)\}$

$a\; †\; =\; 1\; 2\; (q\; -\; ip)\; =\; 1\; 2\; (q\; -\; ddq).\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; (q-ip)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (q-\; \{\; \backslash \; frac\; \{d\}\; \{dq\}\}\; \backslash \; right).\}$

Обратите внимание, что из этого следует

$[a,\; a\; †]\; =\; 1\; 2\; [q\; +\; ip,\; q\; -\; ip]\; =\; 1\; 2\; ([q,\; -\; ip]\; +\; [ip,\; q])\; =\; -\; я\; 2\; ([q,\; p]\; +\; [q,\; p])\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 2\}\}\; [q\; +\; ip,\; q-ip]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; ([q,\; -ip]\; +\; [ip,\; q])\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-i\}\; \{2\}\}\; (\; [q,\; p]\; +\; [q,\; p])\; =\; 1.\}$

Операторы $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash ,\}$и $a\; †\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{\; \backslash \; dagger\}\; \backslash ,\}$можно противопоставить нормальным операторам, которые коммутируют со своими сопряженными.

Используя приведенные выше коммутационные соотношения, можно выразить гамильтонов оператор как

$H\; ^\; =\; \hslash \; \omega \; (aa\; †\; -\; 1\; 2)\; =\; \hslash \; \omega \; (a\; †\; a\; +\; 1\; 2).\; (*)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; шляпа\; \{H\}\}\; =\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; \backslash \; left\; (a\; \backslash ,\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; \backslash \; left\; (a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash ,\; a\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right).\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; (*)\}$

Можно вычислить коммутационные отношения между $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash ,\}$и $a\; †\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash ,\}$операторы и гамильтониан:

$[H\; ^,\; a]\; =\; [\hslash \; \omega \; (aa\; †\; -\; 1\; 2),\; a]\; =\; \hslash \; \omega \; [aa\; †,\; a]\; =\; \hslash \; \omega \; (a\; [a\; †,\; a]\; +\; [a,\; a]\; a\; †)\; =\; -\; \hslash \; \omega \; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; hat\; \{H\}\},\; a]\; =\; [\backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; \backslash \; left\; (aa\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right),\; a]\; =\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; [aa\; ^\; \{\backslash \; dagger\},\; a]\; =\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; (a\; [a\; ^\; \{\backslash \; dagger\},\; a]\; +\; [a,\; a]\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\})\; =\; -\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; a.\}$

$[H\; ^,\; a\; †]\; =\; \hslash \; \omega \; a\; †.\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; hat\; \{H\}\},\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}]\; =\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; \backslash ,\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}.\}$

Эти соотношения можно использовать, чтобы легко найти все собственные состояния энергии квантовый гармонический осциллятор следующим образом.

Предполагая, что $\psi \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}\}$является собственным состоянием гамильтониана $H\; ^\; \psi \; n\; =\; E\; n\; \psi \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{H\}\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}\; =\; E\_\; \{n\}\; \backslash ,\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}\}$. Используя эти коммутационные соотношения, следует, что

$H\; ^\; a\; \psi \; n\; =\; (E\; n\; -\; \omega )\; a\; \psi \; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{H\}\}\; \backslash ,\; a\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}\; =\; (E\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega)\; \backslash ,\; a\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}.\}$

$H\; ^\; a\; †\; \psi \; n\; =\; (E\; n\; +\; \hslash \; \omega )\; a\; †\; \psi \; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{H\}\}\; \backslash ,\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}\; =\; (E\_\; \{n\}\; +\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega)\; \backslash ,\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}.\}$

Это показывает, что $a\; \psi \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}\}$и $a\; †\; \psi \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}\}$также являются собственными состояниями гамильтониана с собственными значениями $E\; n\; -\; \hslash \; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{n\}\; -\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\}$и $E\; n\; +\; \hslash \; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{n\}\; +\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\}$соответственно. Это определяет операторы $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$и $a\; †\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\}$как операторы «понижения» и «повышения». между соседними собственными состояниями. Разность энергий между соседними собственными состояниями равна $\Delta \; E\; =\; \hslash \; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; E\; =\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\}$.

Основное состояние можно найти, если предположить, что оператор понижения имеет нетривиальное ядро: $a\; \psi \; 0\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash ,\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; =\; 0\}$с $\psi \; 0\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; \backslash \; neq\; 0\}$. Применяя гамильтониан к основному состоянию,

$H\; ^\; \psi \; 0\; =\; \hslash \; \omega \; (a\; †\; a\; +\; 1\; 2)\; \psi \; 0\; =\; \hslash \; \omega \; a\; †\; a\; \psi \; 0\; +\; \hslash \; \omega \; 2\; \psi \; 0\; =\; 0\; +\; \hslash \; \omega \; 2\; \psi \; 0\; =\; E\; 0\; \psi \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{H\}\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; =\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; \backslash \; left\; (a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; a\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; =\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; a\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; \backslash \; omega\}\; \{2\}\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; =\; 0\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; \backslash \; omega\}\; \{2\}\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; =\; E\_\; \{0\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}.\}$

Итак, $\psi \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\}$является собственная функция гамильтониана.

Это дает энергию основного состояния $E\; 0\; =\; \hslash \; \omega \; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{0\}\; =\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; /\; 2\}$, что позволяет идентифицировать собственное значение энергии любого собственного состояния $\psi \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}\}$as

$E\; n\; =\; (n\; +\; 1\; 2)\; \hslash \; \omega .\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; left\; (n\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega.\}$

Кроме того, оказывается, что первый упомянутый оператор в (*), числовой оператор $N\; =\; a\; †\; a,\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; a\; \backslash ,,\}$играет наиболее важную роль в приложениях, в то время как второй, $aa\; †\; \{\backslash \; displaystyle\; aa\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash ,\}$можно просто заменить на $N\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; +\; 1\}$.

Следовательно,

$\hslash \; \omega \; (N\; +\; 1\; 2)\; \psi \; (q)\; =\; E\; \psi \; (q).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (N\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; \backslash \; psi\; (q)\; =\; E\; \backslash ,\; \backslash \; psi\; (q)\; ~.\}$

оператор временной эволюции тогда

$U\; (t)\; =\; exp\; \; (-\; it\; H\; ^\; /\; \hslash )\; =\; exp\; \; (-\; it\; \omega \; (a\; †\; a\; +\; 1/2)),\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (t)\; =\; \backslash \; exp\; (-it\; \{\backslash \; hat\; \{H\}\}\; /\; \backslash \; hbar)\; =\; \backslash \; exp\; (-it\; \backslash \; omega\; (a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; a\; +\; 1/2))\; ~,\}$

$=\; е\; -\; это\; \omega \; /\; 2\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; (e\; -\; i\; \omega \; t\; -\; 1)\; kk!\; а\; †\; к\; а\; к.\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; e\; ^\; \{-\; it\; \backslash \; omega\; /\; 2\}\; ~\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{(e\; ^\; \{-\; i\; \backslash \; omega\; t\}\; -1)\; ^\; \{k\}\; \backslash \; над\; k!\; \}\; a\; ^\; \{\{\backslash \; dagger\}\; \{k\}\}\; a\; ^\; \{k\}\; ~.\}$

Явные собственные функции

Основное состояние $\psi \; 0\; (q)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \backslash \; psi\; \_\; \{\; 0\}\; (q)\}$из квантового гармонического осциллятора можно найти, наложив условие, что

$a\; \psi \; 0\; (q)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; (q)\; =\; 0.\}$

Записанная как дифференциальное уравнение, волновая функция удовлетворяет

$q\; \psi \; 0\; +\; d\; \psi \; 0\; dq\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\}\; \{dq\}\}\; =\; 0\}$

с решением

$\psi \; 0\; (q)\; =\; C\; exp\; \; (-\; q\; 2\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; (q)\; =\; C\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{q\; ^\; \{2\}\; \backslash \; over\; 2\}\; \backslash \; right).\}$

Константа нормализации C равна $1\; /\; \pi \; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; \{\backslash \; sqrt\; [\{4\}]\; \{\backslash \; pi\}\}\}$из $\int \; -\; \infty \; \infty \; \psi \; 0\; \ast \; \psi \; 0\; dq\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; \backslash ,\; dq\; =\; 1\}$, используя интеграл Гаусса. Явные формулы для всех собственных функций теперь можно найти, многократно применяя $a\; †\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\}$к $\psi \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{0\}\; \}$.

Матричное представление

Матричное выражение операторов рождения и уничтожения квантового гармонического осциллятора относительно указанного выше ортонормированного базиса имеет вид

$a\; †\; =\; (0\; 0\; 0\dots \; 0\dots \; 1\; 0\; 0\; \dots \; 0\dots \; 0\; 2\; 0\dots \; 0\dots \; 0\; 0\; 3\dots \; 0\dots \; ⋮\; ⋮\; ⋮\; \ddots \; ⋮\dots \; 0\; 0\; 0\dots \; п\dots \; ⋮\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; \ddots )\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; dots\; 0\; \backslash \; dots\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; sqrt\; \{1\}\}\; 0\; 0\; \backslash \; dots\; 0\; \backslash \; dots\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; 0\; \backslash \; dots\; 0\; \backslash \; dots\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \; dots\; 0\; \backslash \; dots\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; dots\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \backslash \; dots\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; \backslash \; dots\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

$a\; =\; (0\; 1\; 0\; 0\dots \; 0\dots \; 0\; 0\; 2\; 0\dots \; 0\dots \; 0\; 0\; 0\; 3\dots \; 0\dots \; 0\; 0\; 0\; 0\; \ddots \; ⋮\dots \; ⋮\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; \ddots \; n\dots \; 0\; 0\; 0\; 0\dots \; 0\; \ddots \; ⋮\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; \ddots )\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\}\}\; 0\; 0\; \backslash \; dots\; 0\; \backslash \; dots\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; 0\; \backslash \; dots\; 0\; \backslash \; dots\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \backslash \; dots\; 0\; \backslash \; dots\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; dots\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; \backslash \; dots\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 0\; \backslash \; dots\; 0\; \backslash \; ddots\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

Их можно получить с помощью соотношений $aij\; †\; =\; ⟨\psi \; i\; \mid \; a\; †\; \mid \; \psi \; J⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{ij\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mid\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; mid\; \backslash \; psi\; \_\; \{j\}\; \backslash \; rangle\}$и $aij\; =\; ⟨\psi \; я\; \mid \; a\; \mid \; \psi \; j⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mid\; a\; \backslash \; mid\; \backslash \; psi\; \_\; \{j\}\; \backslash \; rangle\}$. Собственные векторы $\psi \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{i\}\}$являются векторами квантового гармонического осциллятора и иногда называются «числовым базисом».

Обобщенные операторы создания и уничтожения

Выведенные выше операторы на самом деле являются частным экземпляром более обобщенного понятия операторов создания и уничтожения. Более абстрактная форма операторов строится следующим образом. Пусть $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$будет одночастичным гильбертовым пространством (то есть любым гильбертовым пространством, рассматриваемым как представляющее состояние отдельной частицы).

(бозонная ) алгебра CCR над $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$- это алгебра-с-оператором сопряжения ( называется *) абстрактно генерируется элементами $a\; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (f)\}$, где $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash ,\}$свободно распространяется $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$с учетом соотношений

$[a\; (f),\; a\; (g)]\; =\; [a\; †\; (f),\; a\; †\; (g)]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [a\; (f),\; a\; (g)]\; =\; [a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (f),\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (g)]\; =\; 0\}$

$[a\; (f),\; a\; †\; (g)]\; =\; ⟨е\; \mid \; g⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; [a\; (f),\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (g)]\; =\; \backslash \; langle\; f\; \backslash \; mid\; g\; \backslash \; rangle,\}$

в бюстгальтере– Кет-запись.

Карта $a:\; f\; \to \; a\; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; a:\; f\; \backslash \; to\; a\; (f)\}$из $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$к бозонной алгебре CCR должен быть сложной антилинейной (это добавляет больше связей). Его сопряженный равен $a\; †\; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (f)\}$, а карта $f\; \to \; a\; †\; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; to\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (f)\}$- это комплексный линейный в H. Таким образом, $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$вкладывается как комплексное векторное подпространство своей собственной алгебры CCR. В представлении этой алгебры элемент $a\; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (f)\}$будет реализован как оператор аннигиляции, а $a\; †\; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (f)\}$в качестве оператора создания.

В общем случае алгебра CCR бесконечномерна. Если мы возьмем пополнение банахова пространства, оно станет C * -алгеброй. Алгебра CCR над $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$тесно связана, но не идентична алгебре Вейля.

Для фермионов (фермионная) CAR алгебра на $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$строится аналогично, но с использованием вместо него антикоммутаторных отношений, а именно

$\{a\; (f),\; a\; (g)\}\; =\; \{a\; †\; (f),\; a\; †\; (g)\}\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{a\; (f),\; a\; (g)\; \backslash \}\; =\; \backslash \; \{a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (f),\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\; \}\; (g)\; \backslash \}\; =\; 0\}$

$\{a\; (f),\; a\; †\; (g)\}\; =\; ⟨f\; \mid \; g⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{a\; (f),\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (g)\; \backslash \}\; =\; \backslash \; langle\; f\; \backslash \; mid\; g\; \backslash \; rangle.\}$

Алгебра CAR конечномерна, только если $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$конечномерно. Если мы возьмем пополнение банахова пространства (необходимое только в бесконечномерном случае), оно станет алгеброй $C\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{*\}\}$. Алгебра CAR тесно связана с алгеброй Клиффорда.

, но не идентична ей, $a\; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (f)\}$удаляет (т. Е. Уничтожает) частица в состоянии $|\; е⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; f\; \backslash \; rangle\}$тогда как $a\; †\; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (f)\}$создает частицу в состоянии $|\; е⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; f\; \backslash \; rangle\}$.

свободное поле состояние вакуума - это состояние | 0 $⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; rangle\}$без частиц, характеризуемый

$a\; (f)\; |\; 0⟩\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (f)\; \backslash \; left\; |\; 0\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; =\; 0.\}$

Если $|\; f⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; f\; \backslash \; rangle\}$нормализовано так, что $⟨f\; |\; е⟩\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; f\; |\; f\; \backslash \; rangle\; =\; 1\}$, тогда $N\; =\; a\; †\; (f)\; a\; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; (f)\; a\; (f)\}$дает количество частиц в состоянии $|\; f⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; f\; \backslash \; rangle\}$.

Операторы создания и уничтожения для уравнений реакции-диффузии

Описание операторов уничтожения и создания также было полезно для анализа классических уравнений реакции-диффузии, таких как ситуация, когда газ из молекул $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$диффундирует и взаимодействует при контакте с образованием инертного продукта: $A\; +\; A\; \to \; \varnothing \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; +\; A\; \backslash \; to\; \backslash \; emptyset\}$. Чтобы увидеть, как этот вид реакции может быть описан формализмом оператора уничтожения и созидания, рассмотрим $n\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{i\}\}$частицы в узле i на одномерной решетке. Каждая частица движется вправо или влево с определенной вероятностью, и каждая пара частиц в одном и том же месте аннигилирует друг друга с определенной другой вероятностью.

Вероятность того, что одна частица покинет объект в течение короткого периода времени dt, пропорциональна $nidt\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{i\}\; \backslash ,\; dt\}$, скажем, вероятность $\alpha \; nidt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; n\_\; \{i\}\; dt\}$перейти влево и $\alpha \; nidt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; n\_\; \{i\}\; \backslash ,\; dt\}$прыгнуть вправо. Все $ni\; \{\backslash \; displaystyle\; n\_\; \{i\}\}$частицы останутся на месте с вероятностью $1-2\; \alpha \; nidt\; \{\backslash \; displaystyle\; 1-2\; \backslash \; alpha\; n\_\; \{i\}\; \backslash ,\; dt\}$. (Так как dt очень короткое, вероятность того, что двое или больше уйдут в течение dt, очень мала и будет проигнорирована.)

Теперь мы можем описать занятие частиц на решетке в виде "кета" вида

$|\; \dots ,\; N\; -\; 1,\; n\; 0,\; n\; 1,\dots ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; dots,\; n\; \_\; \{-\; 1\},\; n\_\; \{0\},\; n\_\; \{1\},\; \backslash \; dots\; \backslash \; rangle\}$. Он представляет собой сопоставление (или соединение, или тензорное произведение) числовых состояний $\dots ,\; |\; n\; -\; 1⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; dots,\; |\; n\; \_\; \{-\; 1\}\; \backslash \; rangle\}$$|\; n\; 0⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; n\_\; \{0\}\; \backslash \; rangle\}$, $|\; n\; 1⟩,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; |\; n\_\; \{1\}\; \backslash \; rangle,\; \backslash \; dots\}$, расположенные в отдельных узлах решетки. Напомним

$a\; \mid \; n⟩\; =\; n\; |\; n\; -\; 1⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; mid\; \backslash !\; n\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\}\}\; \backslash \; |\; n-1\; \backslash \; rangle\}$

$a\; †\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\}$и

$a\; †\; \mid \; N⟩\; =\; n\; +\; 1\; \mid \; n\; +\; 1⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; mid\; \backslash !\; N\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\; +\; 1\}\}\; \backslash \; mid\; \backslash \; !\; n\; +\; 1\; \backslash \; rangle,\}$

для всех n ≥ 0, а

$[a,\; a\; †]\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}]\; =\; 1\}$

Это определение операторов теперь будет изменено с учетом «неквантовой» природы этой проблемы, и мы будем использовать следующее определение:

$a\; \mid \; n⟩\; =\; n\; |\; n\; -\; 1⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; mid\; \backslash !\; n\; \backslash \; rangle\; =\; n\; \backslash \; |\; n-1\; \backslash \; rangle\}$

$a\; †\; \mid \; n⟩\; =\; \mid \; n\; +\; 1⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; mid\; \backslash !\; n\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; \backslash \; mid\; n\; +\; 1\; \backslash \; rangle\}$

обратите внимание, что даже несмотря на то, что поведение операторов на кетах было изменено, эти операторы по-прежнему подчиняются соотношению коммутации

$[a,\; a\; †]\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}]\; =\; 1\}$

Теперь определите $ai\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\}$так, чтобы он применял $a\; \{\; \backslash \; displaystyle\; a\}$- $|\; n\; я⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; n\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\}$. Соответственно, определите $ai\; †\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\}$как применение $a\; †\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\}$к $|\; n\; я⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; n\_\; \{i\}\; \backslash \; rangle\}$. Так, например, чистый эффект $ai\; -\; 1\; ai\; †\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i-1\}\; a\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\}$заключается в перемещении частицы из $(i\; -\; 1)\; th\; \{\backslash \; displaystyle\; (i-1)\; ^\; \{\backslash \; text\; \{th\}\}\}$до $i\; th\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; ^\; \{\backslash \; text\; \{th\}\}\; \}$сайт при умножении на соответствующий коэффициент.

Это позволяет записать чистое диффузионное поведение частиц как

$\partial \; t\; \mid \; \psi ⟩\; =\; -\; \alpha \; \sum \; (2\; ai\; †\; ai\; -\; ai\; -\; 1\; †\; ai\; -\; ai\; +\; 1\; †\; ai)\; \mid \; \psi ⟩\; Знак\; равно\; -\; \alpha \; \sum \; (ai\; †\; -\; ai\; -\; 1\; †)\; (ai\; -\; ai\; -\; 1)\; \mid \; \psi ⟩,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; \backslash \; mid\; \backslash !\; \backslash \; Psi\; \backslash \; rangle\; =\; -\; \backslash \; alpha\; \backslash \; sum\; (2a\_\; \{\; i\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; a\_\; \{i\}\; -a\_\; \{i-1\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; a\_\; \{i\}\; -a\_\; \{i\; +\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; a\_\; \{i\})\; \backslash \; mid\; \backslash !\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\; =\; -\; \backslash \; alpha\; \backslash \; sum\; (a\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; -a\_\; \{i-1\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\})\; (a\_\; \{i\}\; -a\_\; \{i-1\})\; \backslash \; mid\; \backslash !\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle,\}$

где сумма превышает $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$.

Член реакции можно вывести, отметив, что $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$частицы могут взаимодействуют $n\; (n\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; (n-1)\}$разными способами, так что вероятность того, что пара аннигилирует, равна $\lambda \; n\; (n\; -\; 1)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; n\; (n-1)\; dt\}$, что дает член

$\lambda \; \sum \; (aiai\; -\; ai\; †\; ai\; †\; aiai)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \backslash \; sum\; (a\_\; \{i\}\; a\_\; \{i\}\; -a\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; a\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; a\_\; \{i\}\; a\_\; \{i\})\}$

где число состояние n заменено числом sta te n - 2 на сайте $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$с определенной скоростью.

Таким образом, состояние развивается по

$\partial \; t\; \mid \; \psi ⟩\; =\; -\; \alpha \; \sum \; (ai\; †\; -\; ai\; -\; 1\; †)\; (ai\; -\; ai\; -\; 1)\; \mid \; \psi ⟩\; +\; \lambda \; \sum \; (ai\; 2\; -\; ai\; †\; 2\; ai\; 2)\; \mid \; \psi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; \backslash \; mid\; \backslash !\; \backslash \; Psi\; \backslash \; rangle\; =\; -\; \backslash \; alpha\; \backslash \; sum\; (a\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; -a\_\; \{i-1\}\; ^\; \{\; \backslash \; dagger\})\; (a\_\; \{i\}\; -a\_\; \{i-1\})\; \backslash \; mid\; \backslash !\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\; +\; \backslash \; lambda\; \backslash \; sum\; (a\_\; \{i\}\; ^\; \{2\}\; -a\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\; 2\}\; a\_\; \{i\}\; ^\; \{2\})\; \backslash \; mid\; \backslash !\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\}$

Другие виды взаимодействия могут быть включены аналогичным образом.

Такой вид обозначений позволяет использовать методы квантовой теории поля для анализа систем реакционной диффузии.

Операторы рождения и уничтожения в квантовых теориях поля

В квантовых теориях поля и задачах многих тел работают с операторами создания и уничтожения квантовых состояния, $ai\; †\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\}$и $ai\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash ,\}\}$. Эти операторы изменяют собственные значения числового оператора ,

$N\; =\; \sum \; ini\; =\; \sum \; iai\; †\; ai\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; n\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; a\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; a\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash ,\}\}$,

по одному, по аналогии с гармоническим осциллятором. Индексы (например, $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$) представляют квантовые числа, которые маркируют одночастичные состояния системы; следовательно, они не обязательно являются отдельными числами. Например, кортеж квантовых чисел $(n,\; l,\; m,\; s)\; \{\backslash \; displaystyle\; (n,\; l,\; m,\; s)\}$используется для обозначения состояний в атоме водорода.

Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в системе с несколькими бозонами равны,

$[ai,\; aj\; †]\; \equiv \; aiaj\; †\; -\; aj\; †\; ai\; =\; \delta \; ij,\; \{\backslash \; displaystyle\; [a\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash ,\},\; a\_\; \{j\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}]\; \backslash \; Equiv\; a\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash ,\}\; a\_\; \{j\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; -a\_\; \{j\; \}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; a\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash ,\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\},\}$

$[ai\; †,\; aj\; †]\; =\; [ai,\; aj]\; =\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; [a\_\; \{i\; \}\; ^\; \{\backslash \; dagger\},\; a\_\; \{j\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}]\; =\; [a\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash ,\},\; a\_\; \{j\}\; ^\; \{\backslash ,\}]\; =\; 0,\}$

где $[,]\; \{\backslash \; displaystyle\; [\backslash \; \backslash ,\; \backslash \; \backslash ]\}$- коммутатор и $\delta \; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\}$- это дельта Кронекера.

Для фермионов коммутатор заменяется на антикоммутатор $\{,\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; \backslash ,\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \}\}$,

$\{ai,\; aj\; †\}\; \equiv \; aiaj\; †\; +\; aj\; †\; ai\; =\; \delta \; ij,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{a\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash ,\},\; a\_\; \{j\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \}\; \backslash \; Equiv\; a\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash ,\}\; a\_\; \{j\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; +\; a\_\; \{j\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; a\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash ,\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\},\}$

$\{ai\; †,\; aj\; †\}\; =\; \{ai,\; aj\}\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\; a\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\},\; a\_\; \{j\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \}\; =\; \backslash \; \{a\_\; \{i\}\; ^\; \{\backslash ,\},\; a\_\; \{j\}\; ^\; \{\backslash ,\}\; \backslash \}\; =\; 0.\}$

Следовательно, замена непересекающихся (т.е. $i\; \ne \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; neq\; j\}$) операторы в продукте операторов создания или уничтожения изменят знак в фермионных системах, но не в бозонных системах.

Если состояния, помеченные i, являются ортонормированным базисом гильбертова пространства H, то результат этой конструкции совпадает с конструкцией алгебры CCR и алгебры CAR в предыдущем разделе, кроме одного. Если они представляют собой «собственные векторы», соответствующие непрерывному спектру некоторого оператора, как для несвязанных частиц в КТП, тогда интерпретация будет более тонкой.

Нормализация

Пока Зи получает импульсное пространство нормализация $[a\; ^\; p,\; a\; ^\; q\; †]\; =\; \delta \; (p\; -\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; [\; \{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\},\; \{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}]\; =\; \backslash \; delta\; (\backslash \; mathbf\; \{p\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{\; q\})\}$с помощью симметричного соглашения для преобразований Фурье, Тонг и Пескин и Шредер используют общее асимметричное соглашение для получения $[a\; ^\; p,\; a\; ^\; q\; †]\; =\; (2\; \pi )\; 3\; \delta \; (p\; -\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\},\; \{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{q\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\; \}]\; =\; (2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{3\}\; \backslash \; delta\; (\backslash \; mathbf\; \{p\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{q\})\}$. Каждый выводит $[\varphi \; ^\; (x),\; \pi \; ^\; (x\; \prime )]\; =\; i\; \delta \; (x\; -\; x\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; hat\; \{\backslash \; phi\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}),\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; pi\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \text{'})]\; =\; i\; \backslash \; delta\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\text{'})\}$.

Средницки дополнительно объединяет лоренц-инвариантную меру в свою асимметричную меру Фурье $dk\; ~\; знак\; равно\; d\; 3\; К\; (2\; \pi )\; 3\; 2\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{dk\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{3\}\; k\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{3\}\; 2\; \backslash \; omega\}\}\}$, что дает $[a\; ^\; k,\; a\; ^\; k\; \prime \; †]\; =\; (2\; \pi )\; 3\; 2\; \omega \; \delta \; (k\; -\; k\; \prime )\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; hat\; \{\; a\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\},\; \{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\; \text{'}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}]\; =\; (2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{3\}\; 2\; \backslash \; omega\; \backslash ,\; \backslash \; delta\; (\backslash \; mathbf\; \{k\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \text{'})\}$.

См. также

• Пространство Сегала – Баргмана
• Преобразования Боголюбова - возникает в теории квантовой оптики.
• Оптическая фаза пространство
• пространство Фока
• Канонические коммутационные соотношения

Ссылки

• Ричард П. Фейнман (1998) [1972]. Статистическая механика: Сборник лекций (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-36076-9. Cite имеет пустой неизвестный параметр: | coauthors =() CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Альберт Мессия, 1966. Квантовая механика (том I), английский перевод с французского, сделанный GM Temmer. North Holland, John Wiley Sons. Ch. XII. онлайн

Сноски

1. ^(Фейнман 1998, стр. 151)
2. ^(Фейнман 1998, стр. 167)
3. ^(Feynman 1998, pp. 174–5)
4. ^Нормальный оператор имеет представление A = B + i C, где B, C являются самосопряженными и коммутируют, т.е. $BC\; =\; CB\; \{\backslash \; displaystyle\; BC\; =\; CB\}$. Напротив, a имеет представление $a\; =\; q\; +\; ip\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; q\; +\; ip\}$, где $p,\; q\; \{\backslash \; displaystyle\; p,\; q\}$являются самосопряженными, но $[p,\; q]\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; [p,\; q]\; =\; 1\}$. Тогда B и C имеют общий набор собственных функций (и одновременно диагонализуемы), тогда как p и q, как известно, их нет и нет.
5. ^ Брэнсон, Джим. «Квантовая физика в Калифорнийском университете в США». Проверено 16 мая 2012 г.
6. ^Этот и дальнейший операторный формализм можно найти в Glimm and Jaffe, Quantum Physics, pp. 12–20.
7. ^Зи, А. (2003). В двух словах о квантовой теории поля. Издательство Принстонского университета. п. 63. ISBN 978-0691010199.
8. ^Тонг, Дэвид (2007). Квантовая теория поля. п. 24,31. Проверено 3 декабря 2019 г.
9. ^Пескин М. ; Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Westview Press. ISBN 978-0-201-50397-5.
10. ^Средницки, Марк (2007). Квантовая теория поля. Издательство Кембриджского университета. С. 39, 41. ISBN 978-0521-8644-97. Проверено 3 декабря 2019 г.