Операторы, полезные в квантовой механике
Операторы создания и уничтожения - это математические операторы, которые имеют широкое применение в квантовой механике, особенно в изучении квантовых гармонических осцилляторов и систем многих частиц. Оператор аннигиляции (обычно обозначаемый ) уменьшает количество частиц в данном состоянии на единицу. Оператор создания (обычно обозначаемый ) увеличивает количество частиц в данном состоянии на единицу, и это , сопряженный к оператору уничтожения. Во многих подполях физики и химии использование этих операторов вместо волновых функций известно как второе квантование.
Операторы создания и уничтожения могут действуют на состояния различных типов частиц. Например, в квантовой химии и теории многих тел операторы создания и уничтожения часто действуют на электронные состояния. Они также могут конкретно относиться к лестничным операторам для квантового гармонического осциллятора. В последнем случае оператор повышения интерпретируется как оператор создания, добавляющий квант энергии к системе осциллятора (аналогично для оператора понижения). Их можно использовать для представления фононов.
Математика для операторов рождения и уничтожения для бозонов такая же, как и для лестничных операторов квантовой гармоники . осциллятор. Например, коммутатор операторов рождения и уничтожения, которые связаны с одним и тем же состоянием бозона, равен единице, а все остальные коммутаторы равны нулю. Однако для фермионов математика иная, с использованием антикоммутаторов вместо коммутаторов.
Содержание
- 1 Лестничные операторы для квантового гармонического осциллятора
- 1.1 Явные собственные функции
- 1.2 Матричное представление
- 2 Обобщенные операторы рождения и уничтожения
- 3 Операторы создания и уничтожения для уравнений реакции-диффузии
- 4 Операторы создания и уничтожения в квантовых теориях поля
- 5 См. Также
- 6 Ссылки
- 7 Сноски
Лестничные операторы для квантового гармонического осциллятора
В контексте квантового гармонического осциллятора операторы лестничной диаграммы интерпретируются как операторы создания и уничтожения, добавляя или вычитая фиксированные кванты энергии в системе осциллятора.
Операторы создания / уничтожения различны для бозонов (целочисленный спин) и фермионов (полуцелочисленный спин). Это потому, что их волновые функции имеют разные свойства симметрии .
Сначала рассмотрим более простой бозонный случай фотонов квантового гармонического осциллятора. Начнем с уравнения Шредингера для одномерного не зависящего от времени квантового гармонического осциллятора,
Сделайте подстановку координат, чтобы обезразмерить дифференциальное уравнение
Уравнение Шредингера для осциллятора принимает следующий вид:
Обратите внимание, что величина - это та же энергия, что и найдено для световых квантов и что скобка в гамильтониане может быть записана как
Последние два термина можно упростить рассматривая их влияние на произвольную дифференцируемую функцию
, что означает,
совпадает с обычным каноническим соотношением коммутации , в пространственном представлении: .
Следовательно
a уравнение Шредингера для осциллятора принимает вид, с заменой вышеуказанного и перестановкой множителя 1/2,
Если определить
как «оператор создания» или «оператор возведения» и
в качестве «оператора уничтожения» или «опускающего оператора» уравнение Шредингера для осциллятора сводится к
Это значительно проще, чем исходный вид. Дальнейшие упрощения этого уравнения позволяют получить все перечисленные выше свойства.
Пусть , где - безразмерный оператор импульса, у которого есть
и
Обратите внимание, что из этого следует
Операторы и можно противопоставить нормальным операторам, которые коммутируют со своими сопряженными.
Используя приведенные выше коммутационные соотношения, можно выразить гамильтонов оператор как
Можно вычислить коммутационные отношения между и операторы и гамильтониан:
Эти соотношения можно использовать, чтобы легко найти все собственные состояния энергии квантовый гармонический осциллятор следующим образом.
Предполагая, что является собственным состоянием гамильтониана . Используя эти коммутационные соотношения, следует, что
Это показывает, что и также являются собственными состояниями гамильтониана с собственными значениями и соответственно. Это определяет операторы и как операторы «понижения» и «повышения». между соседними собственными состояниями. Разность энергий между соседними собственными состояниями равна .
Основное состояние можно найти, если предположить, что оператор понижения имеет нетривиальное ядро: с . Применяя гамильтониан к основному состоянию,
Итак, является собственная функция гамильтониана.
Это дает энергию основного состояния , что позволяет идентифицировать собственное значение энергии любого собственного состояния as
Кроме того, оказывается, что первый упомянутый оператор в (*), числовой оператор играет наиболее важную роль в приложениях, в то время как второй, можно просто заменить на .
Следовательно,
оператор временной эволюции тогда
Явные собственные функции
Основное состояние из квантового гармонического осциллятора можно найти, наложив условие, что
Записанная как дифференциальное уравнение, волновая функция удовлетворяет
с решением
Константа нормализации C равна из , используя интеграл Гаусса. Явные формулы для всех собственных функций теперь можно найти, многократно применяя к .
Матричное представление
Матричное выражение операторов рождения и уничтожения квантового гармонического осциллятора относительно указанного выше ортонормированного базиса имеет вид
Их можно получить с помощью соотношений и . Собственные векторы являются векторами квантового гармонического осциллятора и иногда называются «числовым базисом».
Обобщенные операторы создания и уничтожения
Выведенные выше операторы на самом деле являются частным экземпляром более обобщенного понятия операторов создания и уничтожения. Более абстрактная форма операторов строится следующим образом. Пусть будет одночастичным гильбертовым пространством (то есть любым гильбертовым пространством, рассматриваемым как представляющее состояние отдельной частицы).
(бозонная ) алгебра CCR над - это алгебра-с-оператором сопряжения ( называется *) абстрактно генерируется элементами , где свободно распространяется с учетом соотношений
в бюстгальтере– Кет-запись.
Карта из к бозонной алгебре CCR должен быть сложной антилинейной (это добавляет больше связей). Его сопряженный равен , а карта - это комплексный линейный в H. Таким образом, вкладывается как комплексное векторное подпространство своей собственной алгебры CCR. В представлении этой алгебры элемент будет реализован как оператор аннигиляции, а в качестве оператора создания.
В общем случае алгебра CCR бесконечномерна. Если мы возьмем пополнение банахова пространства, оно станет C * -алгеброй. Алгебра CCR над тесно связана, но не идентична алгебре Вейля.
Для фермионов (фермионная) CAR алгебра на строится аналогично, но с использованием вместо него антикоммутаторных отношений, а именно
Алгебра CAR конечномерна, только если конечномерно. Если мы возьмем пополнение банахова пространства (необходимое только в бесконечномерном случае), оно станет алгеброй . Алгебра CAR тесно связана с алгеброй Клиффорда.
, но не идентична ей, удаляет (т. Е. Уничтожает) частица в состоянии тогда как создает частицу в состоянии .
свободное поле состояние вакуума - это состояние | 0 без частиц, характеризуемый
Если нормализовано так, что , тогда дает количество частиц в состоянии .
Операторы создания и уничтожения для уравнений реакции-диффузии
Описание операторов уничтожения и создания также было полезно для анализа классических уравнений реакции-диффузии, таких как ситуация, когда газ из молекул диффундирует и взаимодействует при контакте с образованием инертного продукта: . Чтобы увидеть, как этот вид реакции может быть описан формализмом оператора уничтожения и созидания, рассмотрим частицы в узле i на одномерной решетке. Каждая частица движется вправо или влево с определенной вероятностью, и каждая пара частиц в одном и том же месте аннигилирует друг друга с определенной другой вероятностью.
Вероятность того, что одна частица покинет объект в течение короткого периода времени dt, пропорциональна , скажем, вероятность перейти влево и прыгнуть вправо. Все частицы останутся на месте с вероятностью . (Так как dt очень короткое, вероятность того, что двое или больше уйдут в течение dt, очень мала и будет проигнорирована.)
Теперь мы можем описать занятие частиц на решетке в виде "кета" вида
. Он представляет собой сопоставление (или соединение, или тензорное произведение) числовых состояний , , расположенные в отдельных узлах решетки. Напомним
и
для всех n ≥ 0, а
Это определение операторов теперь будет изменено с учетом «неквантовой» природы этой проблемы, и мы будем использовать следующее определение:
обратите внимание, что даже несмотря на то, что поведение операторов на кетах было изменено, эти операторы по-прежнему подчиняются соотношению коммутации
Теперь определите так, чтобы он применял - . Соответственно, определите как применение к . Так, например, чистый эффект заключается в перемещении частицы из до сайт при умножении на соответствующий коэффициент.
Это позволяет записать чистое диффузионное поведение частиц как
где сумма превышает .
Член реакции можно вывести, отметив, что частицы могут взаимодействуют разными способами, так что вероятность того, что пара аннигилирует, равна , что дает член
где число состояние n заменено числом sta te n - 2 на сайте с определенной скоростью.
Таким образом, состояние развивается по
Другие виды взаимодействия могут быть включены аналогичным образом.
Такой вид обозначений позволяет использовать методы квантовой теории поля для анализа систем реакционной диффузии.
Операторы рождения и уничтожения в квантовых теориях поля
В квантовых теориях поля и задачах многих тел работают с операторами создания и уничтожения квантовых состояния, и . Эти операторы изменяют собственные значения числового оператора ,
- ,
по одному, по аналогии с гармоническим осциллятором. Индексы (например, ) представляют квантовые числа, которые маркируют одночастичные состояния системы; следовательно, они не обязательно являются отдельными числами. Например, кортеж квантовых чисел используется для обозначения состояний в атоме водорода.
Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в системе с несколькими бозонами равны,
где - коммутатор и - это дельта Кронекера.
Для фермионов коммутатор заменяется на антикоммутатор ,
Следовательно, замена непересекающихся (т.е. ) операторы в продукте операторов создания или уничтожения изменят знак в фермионных системах, но не в бозонных системах.
Если состояния, помеченные i, являются ортонормированным базисом гильбертова пространства H, то результат этой конструкции совпадает с конструкцией алгебры CCR и алгебры CAR в предыдущем разделе, кроме одного. Если они представляют собой «собственные векторы», соответствующие непрерывному спектру некоторого оператора, как для несвязанных частиц в КТП, тогда интерпретация будет более тонкой.
Нормализация
Пока Зи получает импульсное пространство нормализация с помощью симметричного соглашения для преобразований Фурье, Тонг и Пескин и Шредер используют общее асимметричное соглашение для получения . Каждый выводит .
Средницки дополнительно объединяет лоренц-инвариантную меру в свою асимметричную меру Фурье , что дает .
См. также
Ссылки
- Ричард П. Фейнман (1998) [1972]. Статистическая механика: Сборник лекций (2-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-36076-9. Cite имеет пустой неизвестный параметр:
| coauthors =
() CS1 maint: ref = harv (ссылка ) - Альберт Мессия, 1966. Квантовая механика (том I), английский перевод с французского, сделанный GM Temmer. North Holland, John Wiley Sons. Ch. XII. онлайн
Сноски
- ^(Фейнман 1998, стр. 151)
- ^(Фейнман 1998, стр. 167)
- ^(Feynman 1998, pp. 174–5)
- ^Нормальный оператор имеет представление A = B + i C, где B, C являются самосопряженными и коммутируют, т.е. . Напротив, a имеет представление , где являются самосопряженными, но . Тогда B и C имеют общий набор собственных функций (и одновременно диагонализуемы), тогда как p и q, как известно, их нет и нет.
- ^ Брэнсон, Джим. «Квантовая физика в Калифорнийском университете в США». Проверено 16 мая 2012 г.
- ^Этот и дальнейший операторный формализм можно найти в Glimm and Jaffe, Quantum Physics, pp. 12–20.
- ^Зи, А. (2003). В двух словах о квантовой теории поля. Издательство Принстонского университета. п. 63. ISBN 978-0691010199.
- ^Тонг, Дэвид (2007). Квантовая теория поля. п. 24,31. Проверено 3 декабря 2019 г.
- ^Пескин М. ; Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Westview Press. ISBN 978-0-201-50397-5.
- ^Средницки, Марк (2007). Квантовая теория поля. Издательство Кембриджского университета. С. 39, 41. ISBN 978-0521-8644-97. Проверено 3 декабря 2019 г.