Логистическая карта

Логистическая карта - это полиномиальное отображение (эквивалентно, рекуррентное отношение ) степени 2, часто цитируемое как архетипический пример того, как сложное, хаотическое поведение может возникнуть из очень простого нелинейного динамические уравнения. Эта карта была популяризирована в 1976 году в статье биолога Роберта Мэя, частично как демографическая модель с дискретным временем, аналогичная логистическому уравнению, впервые созданному Пьером Франсуа Ферхюльстом. Математически логистическая карта записывается как

$xn\; +\; 1\; =\; rxn\; (1\; -\; xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\; +\; 1\}\; =\; rx\_\; \{n\}\; \backslash \; left\; (1-x\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\}$

(1)

где x n - число от нуля до единицы, которое представляет отношение существующей совокупности к максимально возможной совокупности. Интересующие значения параметра r (иногда также обозначаемого μ) находятся в интервале [0,4]. Это нелинейное разностное уравнение предназначено для учета двух эффектов:

• воспроизводство, при котором популяция будет увеличиваться со скоростью , пропорциональной текущей популяции, когда размер популяции невелик.
• голод (плотность -зависимая смертность), где темпы роста будут снижаться со скоростью, пропорциональной значению, полученному путем принятия теоретической «несущей способности» окружающей среды за вычетом текущего населения.

Однако в качестве демографической модели логистическая карта имеет патологическую проблему, заключающуюся в том, что некоторые начальные условия и значения параметров (например, если r>4) приводят к отрицательным размерам популяции. Эта проблема не проявляется в более старой модели Рикера, которая также демонстрирует хаотическую динамику.

Случай r = 4 логистической карты - это нелинейное преобразование как карты битового сдвига, так и случая μ = 2 карты палатки.

• 1 Характеристики карты
  • 1.1 Поведение в зависимости от r
  • 1.2 Хаос и логистическая карта
• 2 Особые случаи карты
  • 2.1 Верхняя граница при 0 ≤ r ≤ 1
  • 2.2 Решение при r = 4
  • 2.3 Поиск циклов любой длины при r = 4
• 3 Понятия, связанные с данным
  • 3.1 Универсальность Фейгенбаума для одномерных карт
• 4 См. также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Поведение в зависимости от r

На изображении ниже показано амплитудное и частотное содержимое некоторой итерации логистической карты для значений параметров в диапазоне от 2 до 4.

При изменении параметра r наблюдается следующее поведение:

Эволюция различных начальных условий в зависимости от r

• При значении r от 0 до 1 популяция в конечном итоге погибнет, независимо от начального населения.
• С r между n 1 и 2, популяция быстро приблизится к значению r - 1 / r, независимо от начальной популяции.
• При r между 2 и 3 популяция также в конечном итоге приблизится к тому же значению r - 1 / r, но сначала будет колебаться около этого значения в течение некоторого времени. Скорость сходимости линейна, за исключением r = 3, когда она очень медленная, менее чем линейная (см. Бифуркационная память ).
• с r между 3 и 1 + √6 ≈ 3,44949, из почти для всех начальных условий популяция будет приближаться к постоянным колебаниям между двумя значениями. Эти два значения зависят от r.
• При r между 3,44949 и 3,54409 (приблизительно), почти от всех начальных условий совокупность будет приближаться к постоянным колебаниям среди четырех значений. Последнее число является корнем полинома 12-й степени (последовательность A086181 в OEIS ).
• При увеличении r выше 3,54409, почти из всех начальных условий популяция будет приближаться к колебаниям между 8 значениями, затем 16, 32 и т. д. Длина интервалов параметров, которые приводят к колебаниям данной длины, быстро уменьшается; отношение между длинами двух последовательных интервалов бифуркации приближается к постоянной Фейгенбаума δ ≈ 4.66920. Такое поведение является примером f a каскад удвоения периода.
• При r ≈ 3,56995 (последовательность A098587 в OEIS ) - начало хаоса в конце каскада удвоения периода. Практически из всех начальных условий мы больше не видим колебаний конечного периода. Незначительные изменения в исходной популяции дают резко разные результаты со временем, что является основной характеристикой хаоса.
• Большинство значений r выше 3,56995 демонстрируют хаотическое поведение, но все же есть определенные изолированные диапазоны r, которые показывают нехаотическое поведение ; их иногда называют островками стабильности. Например, начиная с 1 + √8 (приблизительно 3,82843) существует диапазон параметров r, которые показывают колебания между тремя значениями, а для немного более высоких значений r колебания между 6 значениями, затем 12 и т. Д.
• Развитие хаотического поведения логистической последовательности при изменении параметра r от примерно 3,56995 до примерно 3,82843 иногда называют сценарием Помо-Манневилля, характеризующимся периодической (ламинарной) фазой, прерываемой всплесками апериодического поведения. Такой сценарий находит применение в полупроводниковых устройствах. Есть и другие диапазоны, которые дают колебания между 5 значениями и т. Д.; все периоды колебаний происходят при некоторых значениях r. Окно удвоения периода с параметром c представляет собой диапазон значений r, состоящий из последовательности поддиапазонов. K-й поддиапазон содержит значения r, для которых существует устойчивый цикл (цикл, который привлекает множество начальных точек единичной меры) периода 2c. Эта последовательность поддиапазонов называется каскадом гармоник. В поддиапазоне со стабильным циклом периода 2c есть нестабильные циклы периода 2c для всех k < k*. The r value at the end of the infinite sequence of sub-ranges is called the point of accumulation of the cascade of harmonics. As r rises there is a succession of new windows with different c values. The first one is for c = 1; all subsequent windows involving odd c occur in decreasing order of c starting with arbitrarily large c.
• За пределами r = 4 почти все начальные значения в конечном итоге покидают интервал [0,1] и расходятся.

Для любого значения r существует не более одного устойчивого цикла. Если существует стабильный цикл, он глобально устойчив и привлекает почти все точки. Некоторые значения r со стабильным циклом некоторого периода имеют бесконечно много неустойчивых циклов разных периодов.

Бифуркационная диаграмма справа резюмирует это. Горизонтальная ось показывает возможные значения параметра r, в то время как вертикальная ось показывает набор значений x, посещаемых асимптотически из почти всех начальных условий посредством итераций логистического уравнения с этим значением r.

Бифуркационная диаграмма для логистической карты. Аттрактор для любого значения параметра r показан на вертикальной линии в точке r.

Бифуркационная диаграмма является самоподобной : если мы увеличим масштаб выше При упомянутом значении r ≈ 3.82843 и фокусировке на одном плече из трех, ситуация рядом выглядит как уменьшенная и слегка искаженная версия всей диаграммы. То же верно и для всех остальных не хаотических точек. Это пример глубокой и повсеместной связи между хаосом и фракталами.

Увеличение хаотической области карты. Устойчивые области внутри хаотической области.

Хаос и логистическая карта

Двумерные и трехмерные графики Пуанкаре показывают растягивающую и складывающуюся структуру логистической карты A паутинную диаграмму логистической карты, демонстрируя хаотическое поведение для большинства значения r>3,57 Логистическая функция f (синий) и ее повторные версии f, f, f и f для r = 3,5. Например, для любого начального значения на горизонтальной оси f дает значение итерации через четыре итерации.

Относительная простота логистической карты делает ее широко используемой точкой входа в рассмотрение концепции хаоса. Грубое описание хаоса состоит в том, что хаотические системы проявляют большую чувствительность к начальным условиям - свойство логистической карты для большинства значений r между примерно 3,57 и 4 (как отмечалось выше). Обычным источником такой чувствительности к начальным условиям является то, что карта представляет собой повторяющееся сворачивание и растяжение пространства, на котором она определена. В случае логистической карты квадратичное разностное уравнение, описывающее его, можно рассматривать как операцию растягивания и сворачивания на интервале (0,1).

На следующем рисунке показано растяжение и сворачивание последовательности итераций карты. На рисунке (a) слева показан двумерный график Пуанкаре логистической карты пространства состояний для r = 4 и четко показана квадратичная кривая разностного уравнения (1). Однако мы можем встроить ту же последовательность в трехмерное пространство состояний, чтобы исследовать более глубокую структуру карты. Рисунок (b) справа демонстрирует это, показывая, как первоначально близлежащие точки начинают расходиться, особенно в тех областях x t, соответствующих более крутым участкам графика.

Это растягивание и сворачивание приводит не только к постепенному расхождению последовательностей итераций, но и к экспоненциальному расхождению (см. показатели Ляпунова ), о чем также свидетельствует сложность и непредсказуемость хаотической логистической карты. Фактически, экспоненциальное расхождение последовательностей итераций объясняет связь между хаосом и непредсказуемостью: небольшая ошибка в предполагаемом начальном состоянии системы будет иметь тенденцию соответствовать большой ошибке в дальнейшем в ее развитии. Следовательно, предсказания о будущих состояниях становятся прогрессивно (действительно, экспоненциально ) хуже, когда есть даже очень маленькие ошибки в наших знаниях о начальном состоянии. Это качество непредсказуемости и кажущейся случайности привело к тому, что уравнение логистической карты использовалось в качестве генератора псевдослучайных чисел на ранних компьютерах.

Поскольку карта ограничена интервалом на реальном числе линии, ее размер меньше или равен единице. Численные оценки дают размерность корреляции 0,500 ± 0,005 (Грассбергер, 1983), размерность Хаусдорфа около 0,538 (Грассбергер 1981) и информационное измерение примерно 0,5170976 (Грассбергер 1983) для r ≈ 3,5699456 (начало хаоса). Примечание. Можно показать, что размерность корреляции определенно находится между 0,4926 и 0,5024.

Однако часто можно сделать точные и точные утверждения о вероятности будущего состояния в хаотической системе. Если (возможно, хаотическая) динамическая система имеет аттрактор, тогда существует мера вероятности, которая дает долгосрочную долю времени, затраченного системой на различные области аттрактора. В случае логистической карты с параметром r = 4 и начальным состоянием в (0,1) аттрактором также является интервал (0,1), а вероятностная мера соответствует бета-распределению с параметры a = 0,5 и b = 0,5. В частности, инвариантная мера равна

$1\; \pi \; x\; (1\; -\; x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; (1-x)\}\}\}\}.\}$

Непредсказуемость - это не случайность, но в некоторых обстоятельствах очень похожа на нее. Следовательно, и к счастью, даже если мы очень мало знаем о начальном состоянии логистической карты (или какой-либо другой хаотической системы), мы все же можем сказать что-то о распределении состояний в произвольном отдалении в будущем и использовать эти знания для информирования решения исходя из состояния системы.

Верхняя граница, когда 0 ≤ r ≤ 1

Хотя точные решения рекуррентного отношения доступны только в небольшом количестве случаев, закрытый -form верхняя граница логистической карты известна, когда 0 ≤ r ≤ 1. Есть два аспекта поведения логистической карты, которые должны быть зафиксированы верхней границей в этом режиме: асимптотическое геометрическое затухание с постоянным r и быстрое начальное затухание, когда x 0 близко к 1, вызванное членом (1 - x n) в рекуррентном соотношении. Следующая граница отражает оба этих эффекта:

$\forall \; n\; \in \; \{0,\; 1,\dots \}\; и\; x\; 0,\; r\; \in \; [0,\; 1],\; x\; n\; \le \; x\; 0\; r\; -\; n\; +\; x\; 0\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; n\; \backslash \; in\; \backslash \; \{0,1,\; \backslash \; ldots\; \backslash \}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; x\_\; \{0\},\; r\; \backslash \; in\; [0,1],\; \backslash \; quad\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{x\_\; \{0\}\}\; \{r\; ^\; \{-\; n\}\; +\; x\_\; \{0\}\; n\}\}.\}$

Решение при r = 4

Особый случай r = 4 может в факт решается точно, как и в случае с r = 2; однако общий случай можно предсказать только статистически. Решение, когда r = 4, есть,

$xn\; =\; sin\; 2\; \; (2\; n\; \theta \; \pi ),\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (2\; ^\; \{n\}\; \backslash \; theta\; \backslash \; pi\; \backslash \; справа),\}$

где параметр начального условия θ задается как

$\theta \; =\; 1\; \pi \; sin\; -\; 1\; \; (x\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{x\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; right).\}$

Для рационального θ после конечное число итераций x n отображается в периодическую последовательность. Но почти все θ иррациональны, а для иррациональных θ x n никогда не повторяется - это непериодично. Это уравнение решения ясно демонстрирует две ключевые особенности хаоса - растяжение и сворачивание: множитель 2 показывает экспоненциальный рост растяжения, что приводит к чувствительной зависимости от начальных условий, в то время как функция квадрата синуса сохраняет x n свернуто в диапазоне [0,1].

Для r = 4 эквивалентное решение в терминах комплексных чисел вместо тригонометрических функций:

$xn\; =\; -\; \alpha \; 2\; n\; -\; \alpha \; -\; 2\; n\; +\; 2\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\; ^\; \{n\}\}\; -\; \backslash \; alpha\; ^\; \{-\; 2\; ^\; \{n\}\}\; +\; 2\}\; \{4\}\}\}$

где α - любое из комплексных чисел

$\alpha \; =\; 1\; -\; 2\; x\; 0\; \pm \; (1-2\; x\; 0)\; 2\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; 1-2x\_\; \{0\}\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (1-2x\_\; \{0\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; 1\}\}\}$

с модулем, равным 1. Так же, как квадрат синусоидальной функции в тригонометрическом решении не приводит ни к сокращению, ни к расширению набора посещенных точек, в последнем решении этот эффект достигается. единичным модулем α.

Напротив, решение при r = 2 равно

$xn\; =\; 1\; 2\; -\; 1\; 2\; (1-2\; x\; 0)\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{\; 2\}\}\; -\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (1-2x\_\; \{0\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\; ^\; \{n\}\}\}$

для x 0 ∈ [0, 1). Поскольку (1 - 2x 0) ∈ (−1,1) для любого значения x 0, кроме нестабильной фиксированной точки 0, член (1 - 2x 0) переходит в 0, когда n стремится к бесконечности, поэтому x n переходит к устойчивой фиксированной точке 1/2.

Поиск циклов любой длины при r = 4

Для случая r = 4 почти из всех начальных условий итерационная последовательность является хаотической. Тем не менее, существует бесконечное количество начальных условий, которые приводят к циклам, и действительно существуют циклы длины k для всех целых чисел k ≥ 1. Мы можем использовать связь логистической карты с диадическим преобразованием ( также известная как карта битового сдвига), чтобы найти циклы любой длины. Если x следует логистической карте x n + 1 = 4x n (1 - x n), а y следует двоичному преобразованию

, то эти два связаны гомеоморфизмом

$xn\; =\; sin\; 2\; \; (2\; \pi \; yn).\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (2\; \backslash \; pi\; y\_\; \{n\}\; \backslash \; right).\}$

Причина, по которой диадическое преобразование также называется картой битового сдвига, заключается в том, что когда y записывается в двоичной системе счисления, карта перемещает двоичную точку на одну позицию вправо (и если бит слева от двоичной точки стал «1», эта «1» заменяется на «0»). Цикл длины 3, например, возникает, если итерация имеет 3-битную повторяющуюся последовательность в своем двоичном расширении (которая также не является однобитовой повторяющейся последовательностью): 001, 010, 100, 110, 101 или 011. Итерация 001001001… преобразуется в 010010010…, которая преобразуется в 100100100…, которая в свою очередь преобразуется в исходную 001001001…; так что это 3 цикла карты битового сдвига. А другие три повторяющиеся последовательности двоичного разложения дают 3 цикла 110110110… → 101101101… → 011011011… → 110110110.… Любой из этих 3-х циклов может быть преобразован в дробную форму: например, первый заданный 3-цикл может записывается как 1/7 → 2/7 → 4/7 → 1/7. Использование приведенного выше преобразования из карты битового сдвига в логистическую карту $r\; =\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 4\}$дает соответствующий логистический цикл 0,611260467… → 0,950484434… → 0,188255099… → 0,611260467.… Мы могли бы аналогичным образом преобразовать другой 3-цикл битового сдвига в соответствующий ему логистический цикл. Точно так же циклы любой длины k можно найти в карте битового сдвига и затем преобразовать в соответствующие логистические циклы.

Однако, поскольку почти все числа в [0,1) иррациональны, почти все начальные условия отображения битового сдвига приводят к непериодичности хаоса. Это один из способов увидеть, что логистическая карта r = 4 хаотична почти для всех начальных условий.

Количество циклов (минимальной) длины k = 1, 2, 3,… для логистической карты с r = 4 (tent map с μ = 2) является известным целым числом. последовательность (последовательность A001037 в OEIS ): 2, 1, 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, 630, 1161…. Это говорит нам, что логистическая карта с r = 4 имеет 2 фиксированные точки, 1 цикл длины 2, 2 цикла длины 3 и так далее. Эта последовательность принимает особенно простой вид для простого k: 2 ⋅ 2 - 1 / k. Например: 2 ⋅ 2 - 1/13 = 630 - количество циклов длины 13. Поскольку этот случай логистической карты хаотичен почти для всех начальных условий, все эти циклы конечной длины нестабильны.

Универсальность Фейгенбаума одномерных карт

Универсальность одномерных карт с параболическими максимумами и константами Фейгенбаума $\delta \; =\; 4.669201...\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; =\; 4.669201...\}$,$\alpha \; =\; 2.502907...\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; 2.502907...\}$хорошо виден с картой, предложенной в виде игрушки модель дискретной лазерной динамики: $x\; \to \; G\; x\; (1\; -\; tanh\; \; (x))\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; rightarrow\; Gx\; (1-\; \backslash \; tanh\; (x))\}$, где $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$обозначает амплитуду электрического поля, $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$- коэффициент усиления лазера как параметр бифуркации.

Бифуркационная диаграмма для гиперболического касательного отображения. Это самоподобный в более широком диапазоне параметра бифуркации G. Это еще одна повсеместная связь между хаосом и фракталами.

Постепенное увеличение $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$с интервалом $[0,\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; \backslash \; infty)\}$изменяет динамику с регулярной на хаотическую с тем же качественно бифуркационная диаграмма, как для логистической карты.

• Логистическая функция, решение непрерывного аналога логистической карты: Логистическое дифференциальное уравнение.
• Устойчивость Ляпунова # Определение для систем с дискретным временем
• Мальтузианская модель роста
• Периодические точки сложных квадратичных отображений, из которых логистическая карта является частным случаем, ограниченным реальной линией
• Радиальная базисная сеть функций, которая иллюстрирует обратную задачу для логистической карты.
• Уравнение Шредера
• Жесткое уравнение

• Grassberger, P. ; Прокачча, И. (1983). «Измерение странностей странных аттракторов». Физика Д. 9 (1–2): 189–208. Bibcode : 1983PhyD.... 9..189G. doi : 10.1016 / 0167-2789 (83) 90298-1.
• Грассбергер, П. (1981). «О хаусдорфовой размерности фрактальных аттракторов». Журнал статистической физики. 26 (1): 173–179. Bibcode : 1981JSP.... 26..173G. doi : 10.1007 / BF01106792.
• Спротт, Жюльен Клинтон (2003). Хаос и анализ временных рядов. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-850840-3.
• Строгац, Стивен (2000). Нелинейная динамика и хаос. Издательство "Персей". ISBN 978-0-7382-0453-6.
• Туфилларо, Николас; Эбботт, Тайлер; Рейли, Иеремия (1992). Экспериментальный подход к нелинейной динамике и хаосу. Эддисон-Уэсли Нью-Йорк. ISBN 978-0-201-55441-0.

В Викиучебнике есть книга на тему: Фракталы / Итерации_реальных_числов / r_iterations # Logistic_map

• Логистическая карта. Содержит интерактивную компьютерную симуляцию логистической карты.
• Гипертексток Хаоса. Введение в хаос и фракталы.
• Интерактивная логистическая карта с итерационными и бифуркационными диаграммами на Java.
• Интерактивная логистическая карта с фиксированными точками.
• Логистическая карта и хаос от Элмер Г. Винс
• Сложность и хаос (аудиокнига) Роджера Уайта. Глава 5 посвящена логистическому уравнению.
• "История повторных карт, "в A New Kind of Science Стивен Вольфрам. Шампейн, Иллинойс: Wolfram Media, стр. 918, 2002.
• «Очень краткая история универсальности в удвоении периода» П. Цвитановича
• «Не очень короткая история универсальной функции» П. Цвитановича
• Дискретное логистическое уравнение Марека Боднар после работы Фила Рамсдена, Wolfram Demonstrations Project.
• Мультипликативное соединение двух логистических карт К. Пеллисером-Лостао и Р. Лопес-Руисом после работы Эда Пегга младшего, Wolfram Demonstrations Project.
• Использование SAGE для исследования дискретного уравнения логистики