Исходное условие

редактировать

Параметр в дифференциальных уравнениях и динамических системах

В математике и особенно в динамических системах, начальное условие, в некоторых контекстах называемое начальное значение, является значением развивающейся переменной в некоторый момент времени, обозначенный как начальный момент времени (обычно обозначаемый t = 0). Для системы порядка k (количество временных лагов в дискретном времени или порядок наибольшей производной в непрерывном времени ) и размерность n (то есть с n различными развивающимися переменными, которые вместе могут быть обозначены n-мерным координатным вектором ), обычно требуется nk начальных условий, чтобы проследить переменные системы во времени.

В обоих дифференциальных уравнениях в непрерывном времени и разностных уравнениях в дискретном времени начальные условия влияют на значение динамических переменных (переменных состояния ) в любое время в будущем. В непрерывном времени проблема поиска решения в замкнутой форме для переменных состояния как функции времени и начальных условий называется проблемой начального значения. Соответствующая проблема существует для ситуаций с дискретным временем. Хотя решение в закрытой форме не всегда возможно получить, будущие значения системы с дискретным временем могут быть найдены путем повторения вперед на один период времени за итерацию, хотя ошибка округления может сделать это непрактичным в долгосрочной перспективе.

Содержание

1 Линейная система
- 1.1 Дискретное время
- 1.2 Непрерывное время
2 Нелинейные системы
3 См. Также
4 Ссылки

Линейная система

Дискретное время

Линейное матричное уравнение разностей однородной (не имеющей постоянного члена) формы $X t + 1 = AX t {\ displaystyle X_ {t + 1} = AX_ {t}}$ $X_ { {t + 1}} = AX_ {t}$ имеет решение в закрытой форме $X t = A t X 0 {\ displaystyle X_ {t} = A ^ {t} X_ {0}}$ $X_ {t} = A ^ {t} X_ {0}$ на основе вектор $X 0 {\ displaystyle X_ {0}}$ $X_ {0}$ начальных условий для отдельных переменных, которые складываются в вектор; $X 0 {\ displaystyle X_ {0}}$ $X_ {0}$ называется вектором начальных условий или просто начальным условием и содержит nk единиц информации, n - размерность вектора X, а k = 1 - количество задержек в системе. Начальные условия в этой линейной системе не влияют на качественный характер будущего поведения переменной состояния X; это поведение является стабильным или нестабильным на основе собственных значений матрицы A, но не на основе начальных условий.

В качестве альтернативы, динамический процесс в одной переменной x, имеющий несколько временных задержек, равен

x t = a 1 x t - 1 + a 2 x t - 2 + ⋯ + a k x t - k. {\ displaystyle x_ {t} = a_ {1} x_ {t-1} + a_ {2} x_ {t-2} + \ cdots + a_ {k} x_ {tk}.}

x_ {t} = a_ {1} x_ {t-1} + a_ {2} x_ {t-2} + \ cdots + a_ {k} x_ {tk}.

Здесь размер n = 1 и порядок равен k, поэтому необходимое количество начальных условий для отслеживания системы во времени, итеративно или с помощью решения в закрытой форме, равно nk = k. Опять же, начальные условия не влияют на качественный характер долгосрочной эволюции переменной. Решение этого уравнения находится с помощью его характеристического уравнения $λ k - a 1 λ k - 1 - a 2 λ k - 2 - ⋯ - ak - 1 λ - ak = 0 {\ displaystyle \ lambda ^ {k} -a_ {1} \ lambda ^ {k-1} -a_ {2} \ lambda ^ {k-2} - \ cdots -a_ {k-1} \ lambda -a_ {k} = 0}$ $\ lambda ^ {k} -a_ {1} \ lambda ^ {{k-1}} - a_ {2} \ lambda ^ {{k- 2}} - \ cdots -a _ {{k-1}} \ lambda -a_ {k} = 0$ , чтобы получить k решений последнего, которые являются характеристическими значениями $λ 1,…, λ k, {\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {k},}$ $\ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {k},$ для использования в решении уравнения

xt = c 1 λ 1 t + ⋯ + ck λ kt. {\ displaystyle x_ {t} = c_ {1} \ lambda _ {1} ^ {t} + \ cdots + c_ {k} \ lambda _ {k} ^ {t}.}

x_ {t} = c_ {1} \ lambda _ {1} ^ {t} + \ cdots + c_ {k} \ lambda _ {k} ^ {t}.

Здесь константы $c 1,…, ck {\ displaystyle c_ {1}, \ dots, c_ {k}}$ $c_ {1}, \ dots, c_ {k}$ находятся путем решения системы из k различных уравнений на основе этого уравнения, каждое из которых использует одно из k различных значения t, для которых известно конкретное начальное условие $xt {\ displaystyle x_ {t}}$ $x_ {t}$ .

Непрерывное время

Система дифференциальных уравнений первого порядка с n переменными, сложенными в вектор X:

d X d t = A X. {\ displaystyle {\ frac {dX} {dt}} = AX.}

{\ frac {dX} {dt}} = AX.

Его поведение во времени можно проследить с помощью решения в замкнутой форме, обусловленного вектором начального состояния $X 0 {\ displaystyle X_ {0} }$ $X_ {0}$ . Количество требуемых исходных единиц информации - это размерность системы n, умноженная на порядок k = 1 системы, или n. Начальные условия не влияют на качественное поведение (стабильное или нестабильное) системы.

Одно линейное уравнение k-го порядка с одной переменной x:

dkxdtk + ak - 1 dk - 1 xdtk - 1 + ⋯ + a 1 dxdt + a 0 x = 0. {\ displaystyle {\ гидроразрыв {d ^ {k} x} {dt ^ {k}}} + a_ {k-1} {\ frac {d ^ {k-1} x} {dt ^ {k-1}}} + \ cdots + a_ {1} {\ frac {dx} {dt}} + a_ {0} x = 0.}

{\ frac {d ^ {k} x} {dt ^ {k}}} + a_ {k -1} {\ frac {d ^ {k-1} x} {dt ^ {k-1}}} + \ cdots + a_ {1} {\ frac {dx} {dt}} + a_ {0} x = 0.

Здесь количество начальных условий, необходимых для получения решения в замкнутой форме, равно размерности n = 1, умноженной на порядок k или просто k. В этом случае k начальных единиц информации обычно будут не разными значениями переменной x в разные моменты времени, а скорее значениями x и ее первых k - 1 производных, все в некоторый момент времени, например, в нулевой момент времени. Начальные условия не влияют на качественный характер поведения системы. характеристическое уравнение этого динамического уравнения: $λ k + ak - 1 λ k - 1 + ⋯ + a 1 λ + a 0 = 0, {\ displaystyle \ lambda ^ {k} + a_ {k-1} \ lambda ^ {k-1} + \ cdots + a_ {1} \ lambda + a_ {0} = 0,}$ $\ lambda ^ {k} + a _ {{k-1}} \ lambda ^ {{k-1}} + \ cdots + a_ {1} \ lambda + a_ {0} = 0,$ , решениями которого являются характеристические значения $λ 1,…, λ k; {\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {k};}$ $\ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {k};$ они используются в решении уравнения

x (t) = c 1 e λ 1 t + ⋯ + cke λ kt. {\ displaystyle x (t) = c_ {1} e ^ {\ lambda _ {1} t} + \ cdots + c_ {k} e ^ {\ lambda _ {k} t}.}

x (t) = c_ {1} e ^ {{\ lambda _ {1} t}} + \ cdots + c_ {k} e ^ {{\ lambda _ {k} t}}.

Это уравнение и его первые k - 1 производные образуют систему k уравнений, которую можно решить для параметров k $c 1,…, ck, {\ displaystyle c_ {1}, \ dots, c_ {k},}$ $c_ {1}, \ dots, c_ {k},$ при известных начальных условиях на x и значениях его производных k - 1 в некоторый момент времени t.

Нелинейные системы

Нелинейные системы могут демонстрировать значительно более разнообразное поведение, чем линейные системы. В частности, от начальных условий может зависеть, расходится ли система на бесконечность или сходится к тому или иному аттрактору системы. Каждый аттрактор, (возможно, несвязанная) область значений, к которой некоторые динамические пути приближаются, но никогда не покидают ее, имеет (возможно, отключенный) бассейн притяжения, так что переменные состояния с начальными условиями в этом бассейне (и нигде больше) будет развиваться к этому аттрактору. Даже близкие начальные условия могут находиться в бассейнах притяжения различных аттракторов (см. Например метод Ньютона # Бассейны притяжения ).

Более того, в тех нелинейных системах, демонстрирующих хаотическое поведение, эволюция переменных демонстрирует чувствительную зависимость от начальных условий : повторяющиеся значения любых двух очень близких точек на один и тот же странный аттрактор, каждый из которых остается на аттракторе, со временем будет расходиться друг от друга. Таким образом, даже на одном аттракторе точные значения начальных условий имеют существенное значение для будущих положений итераций. Эта функция делает точное моделирование будущих значений затруднительным и невозможным на длительных горизонтах, потому что задание начальных условий с точной точностью редко возможно и потому что ошибка округления неизбежна даже после нескольких итераций от точного начального условия..

См. Также

Вектор инициализации в криптографии

Ссылки