Переменная состояния

A переменная состояния - одна из набора переменных, которые используются для описания математического "состояния" "динамической системы. Интуитивно состояние системы описывает достаточно информации о системе, чтобы определить ее будущее поведение в отсутствие каких-либо внешних сил, влияющих на систему. Считается, что модели, состоящие из связанных дифференциальных уравнений первого порядка, имеют форму переменных состояния.

Содержание

• 1 Примеры
• 2 Разработка систем управления
  • 2.1 Системы с дискретным временем
  • 2.2 Непрерывное время системы
• 3 См. также
• 4 Ссылки

Примеры

• В механических системах координаты положения и скорости механических частей являются типичными переменными состояния; зная их, можно определить будущее состояние объектов в системе.
• В термодинамике переменная состояния является независимой переменной функции состояния например внутренняя энергия, энтальпия и энтропия. Примеры включают температуру, давление и объем. Нагрев и работа не являются функциями состояния, а функциями процесса.
• В электронных / ​​электрических схемах, напряжения узлов и токи через компоненты в цепи обычно являются переменными состояния.

В любой электрической схеме количество переменных состояния равно количеству элементов хранения, которые являются индукторами и конденсаторами. Переменной состояния для катушки индуктивности является ток через катушку индуктивности, а для конденсатора - напряжение на конденсаторе.

• В экосистемных моделях размеры популяций (или концентрации) растений, животных и ресурсов (питательные вещества, органический материал) являются типичными переменными состояния.

Разработка систем управления

В техника управления и другие области науки и техники, переменные состояния используются для представления состояний общей системы. Набор возможных комбинаций значений переменных состояния называется пространством состояний системы. Уравнения, связывающие текущее состояние системы с ее последними входными и прошлыми состояниями, называются уравнениями состояния, а уравнения, выражающие значения выходных переменных через переменные состояния и входные данные, называются выходными уравнениями. Как показано ниже, уравнения состояния и выходные уравнения для системы с линейной инвариантной во времени можно выразить с помощью матриц коэффициентов : A, B, C и D

$A\; \in \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; in\}$R, $B\; \in \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; B\; \backslash \; in\}$R, $C\; \in \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; C\; \backslash \; in\}$R, $D\; \in \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; D\; \backslash \; in\}$R,

где N, L и M - размеры векторов, описывающих состояние, вход и выход соответственно.

Системы с дискретным временем

Вектор состояния (вектор переменных состояния), представляющий текущее состояние системы с дискретным временем (т.е. цифровой системы), равен $x\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [n]\; \backslash ,\}$, где n - дискретный момент времени, в который выполняется оценка системы. Уравнения состояния с дискретным временем:

$x\; [n\; +\; 1]\; =\; A\; x\; [n]\; +\; B\; u\; [n],\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; [n\; +\; 1]\; =\; Ax\; [n]\; +\; Bu\; [n],\; \backslash ,\; \backslash !\}$

, который описывает следующее состояние системы (x [n + 1]) относительно текущего состояния и входов u [n] системы. Выходные уравнения:

$y\; [n]\; =\; C\; x\; [n]\; +\; D\; u\; [n],\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; [n]\; =\; Cx\; [n]\; +\; Du\; [n],\; \backslash ,\; \backslash !\}$

который описывает выход y [n] по отношению к текущим состояниям и входы u [n] в систему.

Системы непрерывного времени

Вектор состояния, представляющий текущее состояние системы непрерывного времени (т. Е. Аналоговой системы), равен $x\; (t),\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t),\; \backslash ,\}$и уравнения состояния в непрерывном времени, дающие эволюцию вектора состояния, равны

$dx\; (t)\; dt\; =\; A\; x\; (t)\; +\; B\; u\; (t),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\; (t)\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; =\; Ax\; (t)\; +\; Bu\; (t),\; \backslash ,\; \backslash !\}$

, который описывает непрерывную скорость изменения $dx\; (t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dx\; (t)\}\; \{dt\}\}\; \backslash ,\; \backslash !\}$состояния системы относительно текущего состояния x (t) и входов u (t) системы. Выходные уравнения:

$y\; (t)\; =\; C\; x\; (t)\; +\; D\; u\; (t),\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (t)\; =\; Cx\; (t)\; +\; Du\; (t),\; \backslash ,\; \backslash !\}$

который описывает выходной сигнал y (t) относительно текущих состояний x (t) и вводит u (t) в систему.

См. Также

• Пространство состояний (элементы управления)
• Управление (теория оптимального управления)
• Теория управления
• Уравнение состояния
• Состояние (информатика)
• Динамические системы
• Состояние (функциональный анализ)
• Диаграмма состояний
• Фильтр переменных состояния

Ссылки