Состояние (функциональное a nalysis)

редактировать

В функциональном анализе состояние системы оператора является положительный линейный функционал от нормы 1. Состояния в функциональном анализе обобщают понятие матриц плотности в квантовой механике, которые представляют квантовые состояния, как §§ смешанные состояния, так и Чистые состояния. Матрицы плотности, в свою очередь, обобщают векторы состояний, которые представляют только чистые состояния. Для M операторной системы в C * -алгебре A с единицей множество всех состояний M, иногда обозначаемых S (M), является выпуклым, слабо- * замкнутым в двойственном банаховом пространстве M Таким образом, множество всех состояний M со слабой * топологией образует компактное хаусдорфово пространство, известное как пространство состояний M .

. В C * -алгебраической формулировке квантовой механики состояния в этом предыдущем смысле соответствуют физическим состояниям, т. е. отображениям физических наблюдаемых (самосопряженных элементов C * -алгебры) в ожидаемый результат их измерения (действительное число).

Содержание

1 Разложение Джордана
2 Некоторые важные классы состояний
- 2.1 Чистые состояния
- 2.2 Векторные состояния
- 2.3 Нормальные состояния
- 2.4 Следующие состояния
- 2.5 Факториальные состояния
3 См. Также
4 Ссылки

Разложение Джордана

Состояния можно рассматривать как некоммутативные обобщения вероятностных мер. По представлению Гельфанда любая коммутативная C * -алгебра A имеет вид C 0 (X) для некоторого локально компактного Хаусдорфа X. В этом случае S (A) состоит из положительных Радон измеряет на X, а § чистые состояния являются оценочными функционалами на X.

В более общем плане конструкция GNS показывает, что каждое состояние - это после выбора подходящего представления векторное состояние.

Ограниченный линейный функционал на C * -алгебре A называется самосопряженным, если он является вещественным на самосопряженные элементы A. Самосопряженные функционалы являются некоммутативными аналогами мер со знаком.

разложение Жордана в теории меры утверждает, что каждая мера со знаком может быть выражена как разность двух положительных мер поддерживается на непересекающихся наборах. Это может быть расширено до некоммутативной настройки.

Теорема Каждый самосопряженный f в A может быть записан как f = f + - f -, где f + и f - - положительные функционалы и || f || = || f + || + || f - ||.

Доказательство -

Доказательство можно набросать следующим образом: пусть Ω - слабое * -компактное множество положительных линейных функционалов на A с нормой ≤ 1, а C (Ω) - непрерывные функции на Ω. A можно рассматривать как замкнутое линейное подпространство в C (Ω) (это представление функции Кадисона ). По Хану – Банаху f продолжается до g в C (Ω) * с

. Из приведенного выше разложения следует, что A * - линейная оболочка состояний.

Некоторые важные классы состояний

Чистые состояния

По теореме Крейна-Мильмана пространство состояний M имеет крайние точки. Крайние точки пространства состояний называются чистыми состояниями, а другие состояния известны как смешанные состояния .

Векторные состояния

Для гильбертова пространства H и вектора x в H, уравнение ω x (A): = ⟨Ax, x⟩ (для A в B (H)) определяет положительный линейный функционал на B (H). Поскольку ω x (1) = || x ||, ω x является состоянием, если || x || = 1. Если A - C * -подалгебра в B (H), а M - операторная система в A, то ограничение ω x на M определяет положительный линейный функционал на M. состояния M, которые возникают таким образом из единичных векторов в H, называются векторными состояниями M.

Нормальные состояния

Состояние $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ называется нормальным, если только для каждого монотонного, net $H α {\ displaystyle H _ {\ alpha}}$ $H _ {\ alpha}$ операторов с наименьшей верхней границей $H {\ displaystyle H}$ $H$ , $τ (H α) {\ displaystyle \ tau (H _ {\ alpha}) \;}$ $\ tau (H _ {\ alpha}) \;$ сходится к $τ (H) {\ displaystyle \ tau (H) \;}$ $\ tau (H) \;$ .

Следовые состояния

A следовое состояние - это состояние $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ такое что

τ (AB) = τ (BA). {\ displaystyle \ tau (AB) = \ tau (BA) \ ;.}

\ tau (AB) = \ tau (BA) \ ;.

Для любой сепарабельной C * -алгебры набор следовых состояний представляет собой симплекс Шоке.

Факториальные состояния

A факториал состояние C * -алгебры A - это такое состояние, что коммутант соответствующего GNS-представления A является фактором.

См. также

Ссылки

Lin, H. (2001), An Introduction to the Classification of Amenable C * -algebras, World Scientific