Преобразование Вигнера-Вейля

В квантовой механике используется преобразование Вигнера-Вейля или Преобразование Вейля – Вигнера (после Германа Вейля и Юджина Вигнера ) - это обратимое отображение между функциями в квантовом формулировке фазового пространства и Гильберта пространство операторы в картинке Шредингера.

Часто отображение функций в фазовом пространстве на операторы называется преобразованием Вейля или квантованием Вейля, тогда как обратное отображение от операторов к функциям на фазовом пространстве называется преобразованием Вигнера . Это отображение было первоначально разработано Германом Вейлем в 1927 году в попытке отобразить симметризованные функции классического фазового пространства в операторы, процедура, известная как квантование Вейля. Теперь понятно, что квантование Вейля не удовлетворяет всем свойствам, которые требуются для квантования, и поэтому иногда дает нефизические ответы. С другой стороны, некоторые из замечательных свойств, описанных ниже, предполагают, что, если кто-то ищет единую согласованную процедуру квантования, отображающую функции на классическом фазовом пространстве в операторы, квантование Вейля - лучший вариант. (Теорема Греневольда гласит, что никакая такая карта не может обладать всеми свойствами, которые хотелось бы в идеале.)

Несмотря на это, преобразование Вейля – Вигнера - это четко определенное интегральное преобразование между фазовым пространством и операторные представления, и дает представление о работе квантовой механики. Наиболее важно то, что квазивероятностное распределение Вигнера является преобразованием Вигнера квантовой матрицы плотности, и, наоборот, матрица плотности является преобразованием Вейля функции Вигнера. В отличие от первоначальных намерений Вейля по поиску последовательной схемы квантования, эта карта просто сводится к изменению представления в рамках квантовой механики; нет необходимости связывать «классические» с «квантовыми» величинами. Например, функция фазового пространства может явно зависеть от постоянной Планка ħ, как это происходит в некоторых известных случаях, связанных с угловым моментом. Это обратимое изменение представления затем позволяет выразить квантовую механику в фазовом пространстве, как это было оценено в 1940-х годах Хильбрандом Дж. Гроенвольдом и Хосе Энрике Мойал.

• 1 Определение квантования Вейля общей наблюдаемой
  • 1.1 Основная формула
  • 1.2 В позиционном представлении
  • 1.3 Обратное отображение
  • 1.4 Квантование Вейля полиномиальных наблюдаемых
• 2 Свойства
  • 2.1 Квантование Вейля полиномов
  • 2.2 Квантование Вейля общих функций
• 3 Деформационное квантование
• 4 Обобщения
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Дополнительная литература

Следующее объясняет преобразование Вейля на простейшем, двумерном евклидовом фазовом пространстве. Пусть координаты на фазовом пространстве равны (q, p), и пусть f - функция, определенная всюду на фазовом пространстве. Далее мы фиксируем операторы P и Q, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям, таким как обычные операторы положения и импульса в представлении Шредингера. Мы предполагаем, что возведенные в степень операторы $eia\; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{iaQ\}\}$и $eib\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{ibP\}\}$составляют неприводимый представление соотношений Вейля, так что выполняется теорема Стоуна – фон Неймана (гарантирующая единственность канонических коммутационных соотношений).

Основная формула

Преобразование Вейля (или квантование Вейля ) функции f задается следующим оператором в гильбертовом пространстве,

$\Phi \; [f]\; =\; 1\; (2\; \pi )\; 2\; \iint \; \iint \; f\; (q,\; p)\; (ei\; (a\; (Q\; -\; q)\; +\; b\; (P\; -\; p)))\; dqdpdadb.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Phi\; [f]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; iint\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash \; iint\; f\; (q,\; p)\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{i\; (a\; (Qq)\; +\; b\; (Pp))\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; q\; \backslash ,\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; p\; \backslash ,\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; a\; \backslash ,\; \{\backslash \; text\; \{d\; \}\}\; b.\}$

На всем протяжении $\hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\}$- это уменьшенная постоянная Планка.

Поучительно выполнить интегралы p и q в приведенных выше первая формула, которая дает результат вычисления обычного преобразования Фурье $f\; ~\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{f\}\}\}$функции $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, оставив оператор $ei\; (a\; Q\; +\; b\; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{i\; (aQ\; +\; bP)\}\}$. В этом случае преобразование Вейля можно записать как

$\Phi \; [f]\; =\; 1\; (2\; \pi )\; 2\; \iint \; f\; ~\; (a,\; b)\; eia\; Q\; +\; ib\; P\; dadb\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; [f]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; iint\; \{\backslash \; tilde\; \{f\}\}\; (a,\; b)\; e\; ^\; \{iaQ\; +\; ibP\}\; \backslash ,\; da\; \backslash ,\; db\}$.

Поэтому мы можем представьте себе карту Вейля следующим образом: мы берем обычное преобразование Фурье функции $f\; (p,\; q)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (p,\; q)\}$, но затем, применяя обращение Фурье формулу, мы заменяем квантовые операторы $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$и $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$на исходные классические переменные $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$и $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$, таким образом получая «квантовую версию $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$».

Менее симметричная форма, но удобная для приложений:

$\Phi \; [f]\; =\; 2\; (2\; \pi \; \hslash )\; 3/2\; \iint \; \iint \; dqdpdx\; ~\; dp\; ~\; ei\; \hslash \; (x\; ~\; p\; ~\; -\; 2\; (p\; ~\; -\; p)\; (x\; ~\; -\; q))\; f\; (q,\; p)\; |\; x\; ~⟩\; ⟨p\; ~\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; [f]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{(2\; \backslash \; pi\; \backslash \; hbar)\; ^\; \{3/2\}\}\}\; \backslash \; iint\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash !\; \backslash \; iint\; \backslash !\; \backslash !\; dqdpd\; \{\backslash \; tilde\; \{\; x\}\}\; d\; \{\backslash \; tilde\; \{p\}\}\; ~\; e\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{i\}\; \{\backslash \; hbar\}\}\; (\{\backslash \; tilde\; \{x\}\}\; \{\backslash \; tilde\; \{p\}\}\; -\; 2\; (\{\backslash \; tilde\; \{p\})\; \}\; -p)\; (\{\backslash \; tilde\; \{x\}\}\; -\; q))\}\; ~\; f\; (q,\; p)\; ~\; |\; \{\backslash \; tilde\; \{x\}\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; tilde\; \{p\}\}\; |.\}$

В позиционном представлении

карта Вейля также может быть выражена через интегральные матричные элементы ядра этого оператора,

$⟨x\; |\; \Phi \; [f]\; |\; у⟩\; знак\; равно\; \int \; -\; \infty \; \infty \; д\; п\; ч\; е\; я\; п\; (х\; -\; у)\; /\; \hslash \; е\; (х\; +\; у\; 2,\; р).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x\; |\; \backslash \; Phi\; [f]\; |\; y\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\{\backslash \; text\; \{d\}\}\; p\; \backslash \; over\; h\}\; ~\; e\; ^\; \{ip\; (xy)\; /\; \backslash \; hbar\}\; ~\; f\; \backslash \; left\; (\{x\; +\; y\; \backslash \; over\; 2\},\; p\; \backslash \; right).\}$

Обратное отображение

Обратное отображение Вейля выше - это Вигнер map, которая возвращает оператор Φ к исходной ядерной функции f фазового пространства,

$f\; (q,\; p)\; =\; 2\; \int \; -\; \infty \; \infty \; dye\; -\; 2\; ipy\; /\; \hslash \; ⟨q\; +\; y\; |\; \Phi \; [f]\; |\; д\; -\; у.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (q,\; p)\; =\; 2\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; text\; \{d\}\}\; y\; ~\; e\; ^\; \{-\; 2ipy\; /\; \backslash \; hbar\}\; ~\; \backslash \; langle\; q\; +\; y\; |\; \backslash \; Phi\; [f]\; |\; qy\; \backslash \; rangle.\}$

Если заменить $\Phi \; [f]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; [f]\}$в приведенном выше выражении на произвольный оператор, результирующая функция f может зависеть от постоянной Планка ħ и вполне может описывать квантово-механические процессы, при условии, что оно правильно составлено с помощью звездного произведения, ниже. В свою очередь, отображение Вейля отображения Вигнера резюмируется формулой Гроенвольда,

$\Phi \; [f]\; =\; h\; \iint \; d\; a\; d\; b\; e\; i\; a\; Q\; +\; i\; b\; P\; Tr\; \; (e\; -\; i\; a\; Q\; -\; i\; b\; P\; \Phi ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; [f]\; =\; h\; \backslash \; iint\; \backslash ,\; da\; \backslash ,\; db\; ~\; e\; ^\; \{iaQ\; +\; ibP\}\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; (e\; ^\; \{-\; iaQ-ibP\}\; \backslash \; Phi).\}$

Вейль квантование полиномиальных наблюдаемых

Хотя приведенные выше формулы дают хорошее представление о квантовании Вейля очень общей наблюдаемой на фазовом пространстве, они не очень удобны для вычислений на простых наблюдаемых, таких как те, которые являются полиномами от $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$и $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$. В следующих разделах мы увидим, что на таких полиномах квантование Вейля представляет собой полностью симметричный порядок некоммутирующих операторов $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$и $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$. Например, отображение Вигнера квантового оператора квадрата углового момента L - это не просто классический квадрат углового момента, но и дополнительно содержит член смещения −3ħ / 2, который учитывает ненулевой угловой момент основного состояния орбита Бора.

квантование Вейля полиномов

Действие квантования Вейля на полиномиальные функции $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$и $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$полностью определяется следующей симметричной формулой:

$(aq\; +\; bp)\; n\; ⟼\; (a\; Q\; +\; b\; P)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; (aq\; +\; bp)\; ^\; \{n\}\; \backslash \; longmapsto\; (aQ\; +\; bP)\; ^\; \{n\}\}$

для всех комплексных чисел $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$и $b\; \{\; \backslash \; displaystyle\; b\}$. Из этой формулы нетрудно показать, что квантование Вейля функции вида $qkpl\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; ^\; \{k\}\; p\; ^\; \{l\}\}$дает среднее из всех возможных упорядочения $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$факторов $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$и $l\; \{\backslash \; displaystyle\; l\}$коэффициенты $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$. Например, у нас есть

$6\; p\; 2\; q\; 2\; ⟼\; P\; 2\; Q\; 2\; +\; Q\; 2\; P\; 2\; +\; P\; Q\; P\; Q\; +\; P\; Q\; 2\; P\; +\; Q\; P\; Q\; P\; +\; Q\; P\; 2\; Q.\; \{\backslash \; displaystyle\; 6p\; ^\; \{2\}\; q\; ^\; \{2\}\; ~~\; \backslash \; longmapsto\; ~~\; P\; ^\; \{2\}\; Q\; ^\; \{2\}\; +\; Q\; ^\; \{2\}\; P\; ^\; \{2\}\; +\; PQPQ\; +\; PQ\; ^\; \{2\}\; P\; +\; QPQP\; +\; QP\; ^\; \{2\}\; Q.\}$

Хотя этот результат концептуально естественен, он неудобен для вычислений, когда $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$и $l\; \{\backslash \; displaystyle\; l\}$большие. В таких случаях мы можем использовать вместо этого формулу Маккоя

$pmqn\; ⟼\; 1\; 2\; n\; \sum \; r\; =\; 0\; n\; (nr)\; Q\; r\; P\; m\; Q\; n\; -\; r\; =\; 1\; 2\; m\; \sum \; s\; =\; 0\; m\; (ms)\; P\; s\; Q\; n\; П\; м\; -\; с.\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{m\}\; q\; ^\; \{n\}\; ~~\; \backslash \; longmapsto\; ~~\; \{1\; \backslash \; over\; 2\; ^\; \{n\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{r\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; choose\; r\}\; Q\; ^\; \{\; r\}\; P\; ^\; \{m\}\; Q\; ^\; \{nr\}\; =\; \{1\; \backslash \; over\; 2\; ^\; \{m\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{s\; =\; 0\}\; ^\; \{m\}\; \{m\; \backslash \; choose\; s\}\; P\; ^\; \{s\}\; Q\; ^\; \{n\; \}\; P\; ^\; \{ms\}.\}$

Это выражение дает явно другой ответ для случая $p\; 2\; q\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{2\}\; q\; ^\; \{2\}\}$из полностью симметричное выражение выше. Однако здесь нет противоречия, поскольку канонические коммутационные соотношения допускают более одного выражения для одного и того же оператора. (Читатель может найти поучительным использовать коммутационные соотношения, чтобы переписать полностью симметричную формулу для случая $p\; 2\; q\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; ^\; \{2\}\; q\; ^\; \{2\}\}$в члены операторов $P\; 2\; Q\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{2\}\; Q\; ^\; \{2\}\}$, $QP\; 2\; Q\; \{\backslash \; displaystyle\; QP\; ^\; \{2\}\; Q\}$и $Q\; 2\; P\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; ^\; \{2\}\; P\; ^\; \{2\}\}$и проверьте первое выражение в формуле Маккоя с помощью $m\; =\; n\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; =\; n\; =\; 2\}$.)

Широко распространено мнение, что квантование Вейля среди всех схем квантования максимально приближено к отображению скобки Пуассона на классической стороне на коммутатор на квантовой боковая сторона. (Точное соответствие невозможно в свете теоремы Греневольда.) Например,

Теорема : Если $f\; (q,\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (q,\; p)\; \}$- многочлен степени не выше 2, а $g\; (q,\; p)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (q,\; p)\}$- произвольный многочлен, тогда мы имеем $\Phi \; (\{е,\; g\})\; знак\; равно\; 1\; я\; \hslash \; [\Phi \; (f),\; \Phi \; (g)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; \{f,\; g\; \backslash \})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{i\; \backslash \; hbar\; \}\}\; [\backslash \; Phi\; (f),\; \backslash \; Phi\; (g)]\}$.

Квантование Вейля общих функций

• Если f является вещественной функцией, то ее изображение отображения Вейля Φ [ f] является самосопряженным.
• Если f является элементом пространства Шварца, то Φ [f] является классом трассировки.
• В более общем смысле, Φ [f] является плотно определенный неограниченный оператор.
• Отображение Φ [f] взаимно однозначно на пространстве Шварца (как подпространство интегрируемых с квадратом функций).

Интуитивно понятно, что деформация математического объекта - это семейство объектов того же типа, которые зависят от некоторого параметра (ов). Здесь он предоставляет правила того, как деформировать «классическую» коммутативную алгебру наблюдаемых в квантовую некоммутативную алгебру наблюдаемых.

Основная установка в теории деформации - начать с алгебраической структуры (скажем, алгебры Ли ) и спросить: существует ли один или несколько параметров семейства схожих структур, такой, что для начального значения параметра (ов) у него такая же структура (алгебра Ли), с которой начиналась? (Самой древней иллюстрацией этого может быть реализация Эратосфена в древнем мире, что плоская Земля была деформируемой до сферической Земли с параметром деформации 1 / R ⊕.) Например, можно определить некоммутативный тор как квантование деформации через ★ -продукт, чтобы неявно обратиться ко всем тонкостям сходимости (обычно не учитываемым при формальном квантовании деформации). Поскольку алгебра функций в пространстве определяет геометрию этого пространства, изучение звездного произведения приводит к изучению деформации некоммутативной геометрии этого пространства.

В контексте приведенного выше примера с плоским фазовым пространством звездное произведение (произведение Мойала, фактически введенное Гроенвольдом в 1946 году), ★ħпары функций в f 1, f 2 ∈ C (ℜ), определяется как

$\Phi \; [f\; 1\; \star \; f\; 2]\; =\; \Phi \; [f\; 1]\; \Phi \; [f\; 2].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; [f\_\; \{1\}\; \backslash \; star\; f\_\; \{2\}]\; =\; \backslash \; Phi\; [f\_\; \{1\}]\; \backslash \; Phi\; [f\_\; \{2\}].\; \backslash ,\}$

Звездное произведение в целом не коммутативно, но переходит к обычному коммутативному произведению функций в пределе ħ → 0. Как таковой, говорят, что он определяет деформацию коммутативной алгебры C (ℜ).

Для приведенного выше примера карты Вейля произведение ★ может быть записано в терминах скобки Пуассона как

$f\; 1\; \star \; f\; 2\; =\; \sum \; п\; знак\; равно\; 0\; \infty \; 1\; п!\; (i\; \hslash \; 2)\; n\; n\; (f\; 1,\; f\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\}\; \backslash \; star\; f\_\; \{2\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n!\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{i\; \backslash \; hbar\}\; \{\; 2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; \backslash \; Pi\; ^\; \{n\}\; (f\_\; \{1\},\; f\_\; \{2\}).\}$

Здесь Π - бивектор Пуассона, оператор, определенный таким что его мощности равны

$\Pi \; 0\; (f\; 1,\; f\; 2)\; =\; f\; 1\; f\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; ^\; \{0\}\; (f\_\; \{1\},\; f\_\; \{2\})\; =\; f\_\; \{1\}\; f\_\; \{2\}\; \}$

и

$\Pi \; 1\; (f\; 1,\; f\; 2)\; =\; \{f\; 1,\; f\; 2\}\; =\; \partial \; f\; 1\; \partial \; q\; \partial \; f\; 2\; \partial \; p\; -\; \partial \; f\; 1\; \partial \; p\; \partial \; f\; 2\; \partial \; q,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; ^\; \{1\}\; (f\_\; \{1\},\; f\_\; \{2\})\; =\; \backslash \; \{f\_\; \{1\},\; f\_\; \{2\}\; \backslash \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; p\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; partial\; p\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; \}\}\; ~,\}$

где {f 1, f 2 } - это скобка Пуассона. В более общем смысле,

$\Pi \; n\; (f\; 1,\; f\; 2)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (-\; 1)\; k\; (nk)\; (\partial \; k\; \partial \; pk\; \partial \; n\; -\; k\; \partial \; qn\; -\; kf\; 1)\; \times \; (\partial \; n\; -\; k\; \partial \; pn\; -\; К\; \partial \; К\; \partial \; qkf\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Pi\; ^\; \{n\}\; (f\_\; \{1\},\; f\_\; \{2\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\; \}\; \{n\; \backslash \; выберите\; k\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{k\}\}\; \{\backslash \; partial\; p\; ^\; \{k\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{nk\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{nk\}\; \}\}\; f\_\; \{1\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; times\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{nk\}\}\; \{\backslash \; partial\; p\; ^\; \{nk\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{k\}\}\; \{\backslash \; partial\; q\; ^\; \{k\}\}\}\; f\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\}$

где $(nk)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{n\; \backslash \; choose\; k\}\}$- биномиальный коэффициент.

Таким образом, например, гауссианы составляют гиперболически,

$exp\; \; (-\; a\; (q\; 2\; +\; p\; 2))\; \star \; exp\; \; (-\; b\; (q\; 2\; +\; p\; 2))\; =\; 1\; 1\; +\; \hslash \; 2\; ab\; exp\; \; (\; -\; a\; +\; b\; 1\; +\; \hslash \; 2\; ab\; (q\; 2\; +\; p\; 2)),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{a\}\; (q\; ^\; \{2\}\; +\; p\; ^\; \{2\})\; \backslash \; right)\; ~\; \backslash \; star\; ~\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{b\}\; (q\; ^\; \{2\}\; +\; p\; ^\; \{2\})\; \backslash \; right)\; =\; \{1\; \backslash \; over\; 1+\; \backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; ab\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (-\; \{a\; +\; b\; \backslash \; over\; 1+\; \backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; ab\}\; (q\; ^\; \{2\}\; +\; p\; ^\; \{2\})\; \backslash \; right),\}$

или

$\delta \; (q)\; \star \; \delta \; (p)\; =\; 2\; h\; exp\; \; (2\; iqp\; \hslash ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; (q)\; ~\; \backslash \; star\; ~\; \backslash \; delta\; (p)\; =\; \{2\; \backslash \; over\; h\}\; \backslash \; exp\; \backslash \; le\; ft\; (2i\; \{qp\; \backslash \; over\; \backslash \; hbar\}\; \backslash \; right),\}$

и т. д. Эти формулы основаны на координатах, в которых бивектор Пуассона постоянен (простые плоские скобки Пуассона). По поводу общей формулы на произвольных пуассоновых многообразиях ср. формула квантования Концевича.

Антисимметризация этого ★ -продукта дает скобку Мойала, правильную квантовую деформацию скобки Пуассона и изоморф в фазовом пространстве (преобразование Вигнера) квантового коммутатора в более обычной формулировке квантовой механики в гильбертовом пространстве. Таким образом, он является краеугольным камнем динамических уравнений наблюдаемых в этой формулировке фазового пространства.

В результате получается полная формулировка квантовой механики в фазовом пространстве,, полностью эквивалентная представлению оператора в гильбертовом пространстве, с изоморфно параллельными операциями умножения в виде звездочки.

Ожидаемые значения при квантовании в фазовом пространстве получаются изоморфно отслеживанию операторных наблюдаемых Φ с матрицей плотности в гильбертовом пространстве: они получаются с помощью интегралов по фазовому пространству наблюдаемых, таких как приведенная выше f с вигнеровской квазигруппой. распределение вероятностей, фактически служащее мерой.

Таким образом, выражая квантовую механику в фазовом пространстве (та же область, что и для классической механики), приведенное выше отображение Вейля облегчает признание квантовой механики как деформации (обобщение, ср. принцип соответствия ) классической механики, с параметром деформации ħ / S. (Другие известные деформации в физике включают деформацию классической ньютоновской механики в релятивистскую механику с параметром деформации v / c или деформацию ньютоновской гравитации в общую теорию относительности с параметром деформации радиус Шварцшильда / характеристическое измерение. И наоборот, группа сокращение приводит к недеформированным теориям исчезающего параметра - классическим пределам.)

Классические выражения, наблюдаемые и операции (такие как скобки Пуассона) модифицируются с помощью-зависимых квантовых поправок, поскольку обычное коммутативное умножение, применяемое в классической механике, обобщается на некоммутативное звездное умножение, характеризующее квантовую механику и лежащее в основе ее принципа неопределенности.

Несмотря на свое название, деформационное квантование не представляет собой успешную схему квантования, а именно метод создания квантовой теории из классической. Это сводится к простому изменению представления от гильбертова пространства к фазовому пространству.

В более общем плане квантование Вейля изучается в случаях, когда фазовое пространство представляет собой симплектическое многообразие или, возможно, пуассоново многообразие. Связанные структуры включают группы Пуассона – Ли и алгебры Каца – Муди.

1. ^Weyl, H. (1927). "Quantenmechanik und Gruppentheorie". Zeitschrift für Physik. 46: 1–46. Bibcode : 1927ZPhy... 46.... 1W. doi : 10.1007 / BF02055756.
2. ^Groenewold, H.J. (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Physica. 12(7): 405–446. Bibcode : 1946Phy.... 12..405G. doi : 10.1016 / S0031-8914 (46) 80059-4.
3. ^Moyal, J. E.; Бартлетт, М. С. (1949). «Квантовая механика как статистическая теория». Математические труды Кембриджского философского общества. 45 : 99. Bibcode : 1949PCPS... 45... 99M. doi : 10.1017 / S0305004100000487.
4. ^Curtright, T. L.; Захос, К. К. (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве». Информационный бюллетень по физике Азиатско-Тихоокеанского региона. 1 : 37–46. arXiv : 1104.5269. doi : 10.1142 / S2251158X12000069.
5. ^Холл 2013 Раздел 13.3
6. ^Холл 2013 Определение 13.7
7. ^Кубо, Р. (1964). "Вигнеровское представление квантовых операторов и его приложения к электронам в магнитном поле". Журнал Физического общества Японии. 19(11): 2127–2139. Bibcode : 1964JPSJ... 19.2127K. doi : 10.1143 / JPSJ.19.2127.
8. ^ Curtright, T. L.; Fairlie, D. B.; Захос, К. К. (2014). Краткий трактат по квантовой механике в фазовом пространстве. World Scientific. ISBN 9789814520430.
9. ^Холл 2013 Предложение 13.3
10. ^Маккой, Нил (1932). «О функции в квантовой механике, которая соответствует данной функции в классической механике», Proc Nat Acad Sci USA 19 674, онлайн.
11. ^Hall 2013 Предложение 13.11

• Hall, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Springer, ISBN 978-1461471158

• Case, Уильям Б. (октябрь 2008 г.). «Функции Вигнера и преобразования Вейля для пешеходов». Американский журнал физики. 76(10): 937–946. Bibcode : 2008AmJPh..76..937C. doi : 10.1119 / 1.2957889.(В разделах с I по IV этой статьи дается обзор преобразования Вигнера – Вейля, распределения квазивероятностей Вигнера, формулировка фазового пространства квантовой механики и пример квантового гармонического осциллятора.)
• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]