Каноническое квантование

Процесс преобразования классической физической теории в теорию, совместимую с квантовой механикой

В физике, каноническое квантование - это процедура для квантования классической теории с попыткой сохранить формальную структуру, такую ​​как симметрии, классическая теория в максимально возможной степени.

Исторически это не совсем путь Вернера Гейзенберга к квантовой механике, но Поль Дирак представил его в своей докторской диссертации 1926 года., «метод классической аналогии» для квантования, и подробно описал его в своем классическом тексте. Слово канонический возникло из гамильтонова подхода к классической механике, в котором динамика системы генерируется с помощью канонических скобок Пуассона, структура, которая лишь частично сохраняется при каноническом квантовании.

Этот метод в дальнейшем был использован в контексте квантовой теории поля Полем Дираком при построении квантовой электродинамики. В контексте теории поля это также называется вторым квантованием, в отличие от полуклассического первого квантования для отдельных частиц.

• 1 История
• 2 Первое квантование
  • 2.1 Одночастичные системы
  • 2.2 Многочастичные системы
• 3 Проблемы и ограничения
  • 3.1 Классические и квантовые скобки
  • 3.2 Groenewold's теорема
  • 3.3 Аксиомы для квантования
• 4 Второе квантование: теория поля
  • 4.1 Полевые операторы
    • 4.1.1 Действительное скалярное поле
    • 4.1.2 Другие поля
  • 4.2 Конденсаты
• 5 Математические квантование
  • 5.1 Деформационное квантование
  • 5.2 Геометрическое квантование
• 6 См. также
• 7 Ссылки
  • 7.1 Исторические ссылки
  • 7.2 Общие технические ссылки
• 8 Внешние ссылки

Когда он был впервые разработан, квантовая физика имела дело только с квантованием движения частиц, оставляя электромагнитное поле классическая, отсюда и название квантовая механика.

Позже электромагнитное поле также было квантовано, и даже сами частицы стали представлены через квантованные поля, в результате чего d развитие квантовой электродинамики (QED) и квантовой теории поля в целом. Таким образом, по соглашению, исходная форма квантовой механики частиц обозначается первым квантованием, тогда как квантовая теория поля формулируется на языке второго квантования.

Однократное квантование. системы частиц

Следующее изложение основано на трактате Дирака по квантовой механике. В классической механике частицы есть динамические переменные, которые называются координатами (x) и импульсами (p). Они определяют состояние классической системы. каноническая структура (также известная как симплектическая структура) классической механики состоит из скобок Пуассона, заключающих эти переменные, например {x, p} = 1. Все преобразования переменных, которые сохраняют эти скобки, разрешены как канонические преобразования в классической механике. Само движение является такой канонической трансформацией.

Напротив, в квантовой механике все существенные характеристики частицы содержатся в состоянии$|\; \psi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\}$, называемое квантовым состоянием. Наблюдаемые представлены операторами, действующими в гильбертовом пространстве таких квантовых состояний.

Собственное значение оператора, действующего на одно из его собственных состояний, представляет собой значение измерения на представленная таким образом частица. Например, энергия считывается оператором гамильтониана $H\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{H\}\}\}$, действующим на состояние $|\; \psi \; N⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\}$, что дает

$H\; ^\; |\; \psi \; n⟩\; =\; E\; n\; |\; \psi \; N⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{H\}\}\; |\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\; =\; E\_\; \{n\}\; |\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\}$,

где E n - характеристическая энергия, связанная с этим $|\; \psi \; N⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\}$собственное состояние.

Любое состояние может быть представлено как линейная комбинация собственных состояний энергии; например,

$|\; \psi ⟩\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; a\; n\; |\; \psi \; N⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; |\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\}$,

где a n - постоянные коэффициенты.

Как и в классической механике, все динамические операторы могут быть представлены функциями положения и импульса, $X\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{X\}\}\}$и $P\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\}$соответственно. Связь между этим представлением и более обычным представлением волновой функции задается собственным состоянием оператора положения $X\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{X\}\}\}$, представляющего частица в позиции $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$, которая обозначается элементом $|\; x⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; x\; \backslash \; rangle\}$в гильбертовом пространстве и удовлетворяет условию $X\; ^\; |\; х⟩\; =\; х\; |\; Икс⟩\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; Hat\; \{X\}\}\; |\; х\; \backslash \; rangle\; =\; x\; |\; x\; \backslash \; rangle\}$. Тогда $\psi \; (x)\; =\; ⟨x\; |\; \psi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (x)\; =\; \backslash \; langle\; x\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\}$.

Аналогично, собственные состояния $|\; p⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; p\; \backslash \; rangle\}$оператора импульса $P\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\}$задает представление импульса : $\psi \; (p)\; =\; ⟨p\; |\; \psi ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (p)\; =\; \backslash \; langle\; p\; |\; \backslash \; psi\; \backslash \; rangle\}$.

Центральное соотношение между этими операторами является квантовым аналогом приведенной выше скобки Пуассона классической механики, каноническое коммутационное отношение,

$[X\; ^,\; P\; ^]\; =\; X\; ^\; P\; ^\; -\; P\; ^\; X\; ^\; =\; i\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; hat\; \{X\}\},\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\; ]\; =\; \{\backslash \; hat\; \{X\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\; -\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{X\}\}\; =\; i\; \backslash \; hbar\}$.

Это отношение кодирует (и формально приводит к) принцип неопределенности в виде Δx Δp ≥ / 2. Таким образом, эту алгебраическую структуру можно рассматривать как квантовый аналог канонической структуры классической механики.

Многочастичные системы

При переходе к N-частичным системам, т. Е. Системам, содержащим N идентичных частиц (частиц, характеризующихся одинаковыми квантовыми числами, например масса, заряд и спин ), необходимо расширить одночастичную функцию состояния $\psi \; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}$в функцию состояния N частиц $\psi \; (r\; 1,\; r\; 2,...,\; r\; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\; \}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{2\},...,\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{N\})\}$. Фундаментальное различие между классической и квантовой механикой касается концепции неразличимости одинаковых частиц. Таким образом, в квантовой физике возможны только два вида частиц, так называемые бозоны и фермионы, которые подчиняются правилам:

$\psi \; (r\; 1,...,\; rj,...,.,\; rk,...,\; r\; N)\; =\; +\; \psi \; (r\; 1,...,\; rk,...,\; rj,...,\; r\; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{1\},...,\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{j\},...,\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{k\},...,\; \backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{N\}\})\; =\; +\; \backslash \; psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{1\},...,\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{k\},...,\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{j\},...,\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{\; N\})\}$(бозоны),

$\psi \; (r\; 1,...,\; Rj,...,\; Rk,.....,\; R\; N)\; =\; -\; \psi \; (r\; 1,..,\; rk,...,\; rj,...,\; r\; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{1\},...,\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{j\},...,\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{k\},...,\; \backslash \; mathbf\; \{r\_\; \{N\}\})\; =\; -\; \backslash \; psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{1\},...,\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{\; k\},...,\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{j\},...,\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{N\})\}$(фермионы).

Где мы поменяли местами две координаты $(rj,\; rk)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{j\},\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{k\})\}$государственной функции. Обычная волновая функция получается с использованием определителя Слейтера и теории идентичных частиц. На этой основе можно решать различные многочастичные задачи.

Классические и квантовые скобки

В книге Дирака подробно описывается его популярное правило замены скобок Пуассона на коммутаторы :

$\{\; A,\; B\}\; ⟼\; 1\; i\; \hslash \; [A\; ^,\; B\; ^].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{A,\; B\; \backslash \}\; \backslash \; longmapsto\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{i\; \backslash \; hbar\}\}\; [\{\backslash \; hat\; \{A\}\},\; \{\backslash \; hat\; \{B\}\}]\; ~.\}$

Можно интерпретировать это предложение говорит о том, что мы должны искать «карту квантования» $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$, отображающую функцию $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$на классической фазе пробел в оператор $Q\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{f\}\}$в квантовом гильбертовом пространстве, такой что

$Q\; \{f,\; g\}\; =\; 1\; i\; \hslash \; [Q\; f,\; Q\; g]\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; \_\; \{\backslash \; \{f,\; g\; \backslash \}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{i\; \backslash \; hbar\}\}\; [Q\_\; \{f\},\; Q\_\; \{g\}]\}$

Теперь известно, что разумного такая карта квантования, удовлетворяющая указанному выше тождеству, точно для всех функций $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$.

Теорема Греневольда

Одна конкретная версия Из приведенного выше утверждения о невозможности является теорема Гроенвольда (по словам голландского физика-теоретика Хильбранда Дж. Греневольда ), которую мы описываем для системы с одной степенью свободы для простоты. Примем следующие «основные правила» для карты $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$. Во-первых, $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$должен отправить постоянную функцию 1 оператору идентичности. Во-вторых, $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$должен принимать $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$на обычные операторы положения и импульса $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$. В-третьих, $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$должен принимать многочлен от $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$в «многочлен» в $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$, то есть в конечные линейные комбинации продуктов. из $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$, которые могут быть взяты в любом желаемом порядке. В своей простейшей форме теорема Гроенвольда утверждает, что не существует карты, удовлетворяющей вышеуказанным основным правилам, а также условию скобок

$Q\; \{f,\; g\}\; =\; 1\; i\; \hslash \; [Q\; f,\; Q\; g]\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; \_\; \{\backslash \; \{\; f,\; g\; \backslash \}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{i\; \backslash \; hbar\}\}\; [Q\_\; \{f\},\; Q\_\; \{g\}]\}$

для всех многочленов $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$.

Фактически, отсутствие такой карты происходит уже к тому времени, когда мы достигаем полиномов четвертой степени. Обратите внимание, что скобка Пуассона двух многочленов четвертой степени имеет шестую степень, поэтому не имеет смысла требовать отображения многочленов четвертой степени для соблюдения условия скобки. Однако мы можем потребовать, чтобы условие скобок выполнялось, когда $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$имеют степень три. Теорема Гроенвольда может быть сформулирована следующим образом:

Теорема : не существует карты квантования $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\}$(в соответствии с указанными выше основными правилами) для полиномов степени меньше или равно четырем, что удовлетворяет

$Q\; \{f,\; g\}\; =\; 1\; я\; i\; [Q\; f,\; Q\; g]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; quad\; Q\; \_\; \{\backslash \; \{f,\; g\; \backslash \}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{i\; \backslash \; hbar\}\}\; [Q\_\; \{f\},\; Q\_\; \{g\}]\}$

всякий раз, когда $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$иметь степень меньше или равную трем. (Обратите внимание, что в этом случае $\{f,\; g\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{f,\; g\; \backslash \}\}$имеет степень меньше или равную четырем.)

Доказательство можно изложить в общих чертах следующим образом. Предположим, мы сначала пытаемся найти карту квантования для многочленов степени меньше или равной трем, удовлетворяющих условию скобок всякий раз, когда $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$имеет степень меньше или равную двум и $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$имеет степень меньше или равную двум. Тогда существует ровно одно такое отображение, и это квантование Вейля. Результат невозможности теперь получается путем записи того же многочлена четвертой степени в виде скобки Пуассона многочленов третьей степени двумя разными способами. В частности, мы имеем

$x\; 2\; p\; 2\; =\; 1\; 9\; \{x\; 3,\; p\; 3\}\; =\; 1\; 3\; \{x\; 2\; p,\; xp\; 2\}\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; p\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{9\}\}\; \backslash \; \{x\; ^\; \{3\},\; p\; ^\; \{3\}\; \backslash \}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; \{x\; ^\; \{2\}\; p,\; xp\; ^\; \{2\}\; \backslash \}\}$

С другой стороны, мы уже видели, что если будет отображаться отображение квантования на полиномах третьей степени, то это должно быть квантование Вейля; то есть мы уже определили единственно возможное квантование всех кубических многочленов выше.

Аргумент завершается вычислением грубой силы, что

$1\; 9\; [Q\; (x\; 3),\; Q\; (p\; 3)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{9\}\}\; [Q\; (\; x\; ^\; \{3\}),\; Q\; (p\; ^\; \{3\})]\}$

не совпадает с

$1\; 3\; [Q\; (x\; 2\; p),\; Q\; (xp\; 2)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{3\}\}\; [Q\; (x\; ^\; \{2\}\; p),\; Q\; (xp\; ^\; \{2\})]\}$.

Таким образом, у нас есть два несовместимых требования к значению $Q\; (x\; 2\; p\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; (x\; ^\; \{2\}\; p\; ^\; \{2\})\}$.

Аксиомы для квантования

Если Q представляет карту квантования, которая действует на функции f в классическом фазовом пространстве, то следующие свойства обычно считаются желательными:

1. $Q\; x\; \psi \; =\; x\; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{x\}\; \backslash \; psi\; =\; x\; \backslash \; psi\}$и $Q\; p\; \psi \; =\; -\; i\; \hslash \; \partial \; x\; \psi \; \{\backslash \; displaystyle\; Q\_\; \{p\}\; \backslash \; psi\; =\; -i\; \backslash \; hbar\; \backslash \; partial\; \_\; \{x\}\; \backslash \; psi\; ~~\}$(элементарные операторы положения / импульса)
2. $f\; ⟼\; Q\; f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; longmapsto\; Q\_\; \{f\}\; ~~\}$- линейная карта
3. $[Q\; f,\; Q\; g]\; =\; i\; \hslash \; Q\; \{f,\; g\}\; \{\backslash \; displaystyle\; [Q\_\; \{f\},\; Q\_\; \{g\}]\; =\; i\; \backslash \; hbar\; Q\; \_\; \{\backslash \; \{f,\; g\; \backslash \}\}\; ~~\}$(скобка Пуассона)
4. $Q\; g\; \circ \; f\; =\; g\; (Q\; f)\; \{\backslash \; displaystyl\; e\; Q\_\; \{g\; \backslash \; circ\; f\}\; =\; g\; (Q\_\; \{f\})\; ~~\}$(правило фон Неймана).

Однако не только эти четыре свойства несовместимы друг с другом, но и любые три из них тоже непоследовательно! Оказывается, единственными парами этих свойств, которые приводят к самосогласованным нетривиальным решениям, являются 2 и 3, и, возможно, 1 и 3 или 1 и 4. Принятие свойств 1 и 2 вместе с более слабым условием, что 3 будет истинным. только асимптотически в пределе ħ → 0 (см. скобка Мойала ), приводит к квантованию деформации, и должна быть предоставлена ​​некоторая посторонняя информация, как в стандартных теориях, используемых в большей части физики. Принятие свойств 1, 2 и 3, но ограничение пространства квантованных наблюдаемых для исключения таких терминов, как кубические в приведенном выше примере, составляет геометрическое квантование.

Квантовая механика была успешно описывал нерелятивистские системы с фиксированным числом частиц, но требовалась новая структура для описания систем, в которых частицы могут быть созданы или разрушены, например, электромагнитное поле, рассматриваемое как совокупность фотонов. В конце концов стало понятно, что специальная теория относительности несовместима с одночастичной квантовой механикой, так что теперь все частицы описываются релятивистски квантовыми полями.

. Когда к полю применяется процедура канонического квантования, такие как электромагнитное поле, классические переменные field становятся квантовыми операторами. Таким образом, нормальные моды, составляющие амплитуду поля, квантуются, а кванты отождествляются с отдельными частицами или возбуждениями. Например, кванты электромагнитного поля отождествляются с фотонами. В отличие от первого квантования, обычное второе квантование полностью однозначно, по сути, это функтор .

Исторически, квантование классической теории отдельной частицы привело к возникновению волновой функции. Классические уравнения движения поля обычно идентичны по форме (квантовым) уравнениям для волновой функции одного из его квантов. Например, уравнение Клейна – Гордона является классическим уравнением движения для свободного скалярного поля, а также квантовым уравнением для волновой функции скалярной частицы. Это означало, что квантование поля было похоже на квантование теории, которая уже была квантована, что привело к причудливому термину второе квантование в ранней литературе, которое до сих пор используется для описания квантования поля, даже несмотря на то, что современные Подробная интерпретация отличается.

Один из недостатков канонического квантования для релятивистского поля состоит в том, что при использовании гамильтониана для определения временной зависимости релятивистская инвариантность больше не проявляется. Таким образом, необходимо проверить, что релятивистская инвариантность не потеряна. Альтернативно, интегральный подход Фейнмана доступен для квантования релятивистских полей, и он явно инвариантен. Для нерелятивистских теорий поля, таких как те, которые используются в физике конденсированного состояния, лоренц-инвариантность не является проблемой.

Операторы поля

Квантово-механически, переменные поля (например, амплитуда поля в данной точке) представлены операторами в гильбертовом пространстве. В общем, все наблюдаемые конструируются как операторы в гильбертовом пространстве, а эволюция операторов во времени регулируется гамильтонианом , который должен быть положительным оператором. Состояние $|\; 0⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; 0\; \backslash \; rangle\}$, аннигилированное гамильтонианом, должно быть идентифицировано как вакуумное состояние, которое является основой для построения всех других состояний. В теории невзаимодействующего (свободного) поля вакуум обычно определяется как состояние, содержащее нулевые частицы. В теории с взаимодействующими частицами определение вакуума является более тонким из-за поляризации вакуума, что означает, что физический вакуум в квантовой теории поля никогда не бывает пустым. Для дальнейшей разработки см. Статьи о квантовомеханическом вакууме и вакууме квантовой хромодинамики. Детали канонического квантования зависят от квантованного поля, а также от того, является ли оно свободным или взаимодействующим.

Действительное скалярное поле

A теория скалярного поля представляет собой хороший пример процедуры канонического квантования. Обычно скалярное поле представляет собой набор из бесконечного количества осциллятора нормальных режимов. Достаточно рассмотреть 1 + 1-мерное пространство-время ℝ × S 1, в котором пространственное направление компактифицировано в круг с окружностью 2π, что делает импульсы дискретными.

Классическая плотность лагранжиана описывает бесконечность связанных гармонических осцилляторов, обозначенных x, которые теперь являются меткой, а не динамической переменной смещения, которая должна быть квантована, обозначенной классическим полем φ,

$L\; (\varphi )\; =\; 1\; 2\; (\partial \; t\; \varphi )\; 2-1\; 2\; (\partial \; x\; \varphi )\; 2-1\; 2\; м\; 2\; \varphi \; 2\; -\; V\; (\varphi ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; (\backslash \; phi)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (\backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; \backslash \; phi)\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (\backslash \; partial\; \_\; \{x\; \}\; \backslash \; phi)\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; m\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; ^\; \{2\}\; -V\; (\backslash \; phi),\}$

где V (φ) - потенциальный член, часто рассматриваемый как многочлен или одночлен степени 3 или выше. Функционал действия равен

$S\; (\varphi )\; =\; \int \; L\; (\varphi )\; dxdt\; =\; \int \; L\; (\varphi ,\; \partial \; t\; \varphi )\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; (\backslash \; phi)\; =\; \backslash \; int\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; (\backslash \; phi)\; dxdt\; =\; \backslash \; int\; L\; (\backslash \; phi,\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; \backslash \; phi)\; dt\}$.

Канонический импульс, полученный с помощью преобразования Лежандра с использованием действия L, равен $\pi \; =\; \partial \; t\; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\; \backslash \; phi\}$, и классический гамильтониан оказывается

$H\; (\varphi ,\; \pi )\; =\; \int \; dx\; [\; 1\; 2\; \pi \; 2\; +\; 1\; 2\; (\partial \; x\; \varphi )\; 2\; +\; 1\; 2\; м\; 2\; \varphi \; 2\; +\; V\; (\varphi )].\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (\backslash \; phi,\; \backslash \; pi)\; =\; \backslash \; int\; dx\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (\backslash \; partial\; \_\; \{\; x\}\; \backslash \; phi)\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; m\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; ^\; \{2\}\; +\; V\; (\backslash \; phi)\; \backslash \; right].\}$

Каноническое квантование обрабатывает переменные $\varphi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; (x)\}$и $\pi \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; (x)\}$как операторы с канонические коммутационные соотношения в момент времени t = 0, заданные как

$[\varphi \; (x),\; \varphi \; (y)]\; =\; 0,\; [\pi \; (x),\; \pi \; (y)]\; =\; 0,\; [\varphi \; (x),\; \pi \; (y)]\; =\; i\; \hslash \; \delta \; (x\; -\; y).\; \{\backslash \; Displaystyle\; [\backslash \; фи\; (х),\; \backslash \; фи\; (у)]\; =\; 0,\; \backslash \; \backslash \; [\backslash \; пи\; (х),\; \backslash \; пи\; (у)]\; =\; 0,\; \backslash \; \backslash \; [\backslash \; фи\; (х),\; \backslash \; пи\; (у)]\; =\; i\; \backslash \; hbar\; \backslash \; delta\; (xy).\}$

Операторы, составленные из $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$и $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$можно тогда формально определить в другое время через временную эволюцию, порожденную гамильтонианом:

$O\; (t)\; =\; eit\; HO\; e\; -\; it\; H.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; (t)\; =\; e\; ^\; \{itH\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\; e\; ^\; \{-\; itH\}.\}$

Однако, поскольку φ и π больше не коммутируют, это выражение неоднозначно на квантовом уровне. Проблема состоит в том, чтобы построить представление соответствующих операторов $O\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\}$в гильбертовом пространстве $H\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; mathcal\; \{H\}\}\}$и построить положительный оператор H как квантовый оператор в этом гильбертовом пространстве таким образом, чтобы он давал эту эволюцию для операторов $O\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{O\}\}\}$, как указано в предыдущем уравнении, и чтобы показать, что $H\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\}$содержит состояние вакуума $|\; 0⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; 0\; \backslash \; rangle\}$, на котором H имеет нулевое собственное значение. На практике это построение представляет собой сложную проблему для взаимодействующих теорий поля и было полностью решено только в нескольких простых случаях с помощью методов конструктивной квантовой теории поля. Многие из этих проблем можно обойти с помощью интеграла Фейнмана, как описано для конкретного V (φ) в статье по теории скалярного поля.

. В случае свободного поля, с V (φ) = 0, процедура квантования относительно проста. Удобно преобразовать Фурье поля так, чтобы

$\varphi \; k\; =\; \int \; \varphi \; (x)\; e\; -\; i\; k\; x\; d\; x,\; \pi \; k\; =\; \int \; \pi \; (x)\; e\; -\; i\; k\; x\; d\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{k\}\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; phi\; (x)\; e\; ^\; \{-\; ikx\}\; dx,\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; pi\; \_\; \{k\}\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; pi\; (x)\; e\; ^\; \{-\; ikx\}\; dx.\}$

Реальность полей означает, что

$\varphi \; -\; k\; =\; \varphi \; k\; †,\; \pi \; -\; k\; =\; \pi \; k\; †\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; \_\; \{-\; k\}\; =\; \backslash \; phi\; \_\; \{k\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\},\; ~~~\; \backslash \; pi\; \_\; \{-\; k\}\; =\; \backslash \; pi\; \_\; \{k\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\}$.

Классический гамильтониан может быть разложен по модам Фурье как

$H\; =\; 1\; 2\; \sum \; k\; =\; -\; \infty \; \infty \; [\pi \; К\; \pi \; К\; †\; +\; \omega \; К\; 2\; \varphi \; К\; \varphi \; k\; †],\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; [\; \backslash \; pi\; \_\; \{k\}\; \backslash \; pi\; \_\; \{k\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; +\; \backslash \; omega\; \_\; \{k\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; phi\; \_\; \{k\}\; \backslash \; phi\; \_\; \{k\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; right],\}$

где $\omega \; k\; =\; k\; 2\; +\; m\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{k\; ^\; \{2\}\; +\; m\; ^\; \{2\}\}\}\}$.

Таким образом, этот гамильтониан распознаваемый как бесконечная сумма классических нормальных мод возбуждений осциллятора φ k, каждое из которых квантовано стандартным способом, поэтому свободный квантовый гамильтониан выглядит идентично. Это φ k s, которые стали операторами, подчиняющимися стандартным коммутационным соотношениям, [φ k, π k ] = [φ k, π k ] = iħ, все остальные равны нулю. Коллективное гильбертово пространство всех этих осцилляторов, таким образом, построено с использованием операторов рождения и уничтожения, построенных из этих мод,

$ak\; =\; 1\; 2\; \hslash \; \omega \; k\; (\omega \; k\; \varphi \; k\; +\; i\; \pi \; k),\; ak\; †\; =\; 1\; 2\; \hslash \; \omega \; k\; (\omega \; К\; \varphi \; К\; †\; -\; я\; \pi \; К\; †),\; \{\backslash \; Displaystyle\; a\_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; \_\; \{k\}\}\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; omega\; \_\; \{\; k\}\; \backslash \; phi\; \_\; \{k\}\; +\; i\; \backslash \; pi\; \_\; \{k\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; \backslash \; a\_\; \{k\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; \_\; \{k\; \}\}\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; omega\; \_\; \{k\}\; \backslash \; phi\; \_\; \{k\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; -i\; \backslash \; pi\; \_\; \{k\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; right),\}$

для которого [a k, a k ] = 1 для всех k, при этом все остальные коммутаторы равны нулю.

Вакуум $|\; 0⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; 0\; \backslash \; rangle\}$считается уничтоженным всеми a k и $H\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{H\}\}\}$- гильбертово пространство, построенное путем применения любой комбинации бесконечного набора операторов создания от a k до $|\; 0⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; 0\; \backslash \; rangle\}$. Это гильбертово пространство называется пространством Фока. Для каждого k эта конструкция идентична квантовому гармоническому осциллятору . Квантовое поле - это бесконечный набор квантовых осцилляторов. Квантовый гамильтониан тогда составляет

$H\; =\; \sum \; k\; =\; -\; \infty \; \infty \; \hslash \; \omega \; kak\; †\; ak\; =\; \sum \; k\; =\; -\; \infty \; \infty \; \hslash \; \omega \; k\; N\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; \_\; \{k\}\; a\_\; \{k\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; a\_\; \{k\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; \_\; \{k\}\; N\_\; \{k\}\}$,

, где N k может интерпретироваться как числовой оператор, задающий количество частиц в состоянии с импульсом k.

Этот гамильтониан отличается от предыдущего выражения вычитанием энергии нулевой точки ħω k / 2 каждого гармонического осциллятора. Это удовлетворяет условию, что H должен уничтожить вакуум, не влияя на временную эволюцию операторов с помощью указанной выше операции возведения в степень. Это вычитание нулевой энергии можно рассматривать как разрешение неоднозначности упорядочения квантовых операторов, поскольку оно эквивалентно требованию, чтобы все операторы рождения появлялись слева от операторов уничтожения в разложении гамильтониана. Эта процедура известна как упорядочение по фитилю или нормальное упорядочение .

Другие поля

Все другие поля могут быть квантованы путем обобщения этой процедуры. Векторные или тензорные поля просто имеют больше компонентов, и для каждого независимого компонента должны быть введены независимые операторы создания и уничтожения. Если поле имеет какую-либо внутреннюю симметрию , то операторы создания и уничтожения также должны быть введены для каждого компонента поля, связанного с этой симметрией. Если имеется симметрия датчика , то количество независимых компонентов поля должно быть тщательно проанализировано, чтобы избежать чрезмерного подсчета эквивалентных конфигураций, и при необходимости может быть применена фиксация датчика.

Оказывается, коммутационные соотношения полезны только для квантования бозонов, для которых число занятых состояний любого состояния не ограничено. Для квантования фермионов, удовлетворяющих принципу исключения Паули, необходимы антикоммутаторы. Они определены как {A, B} = AB + BA.

При квантовании фермионов поля расширяются в операторах создания и уничтожения, θ k, θ k, которые удовлетворяют

$\{\theta \; k,\; \theta \; l\; †\; \}\; =\; \delta \; kl,\; \{\theta \; k,\; \theta \; l\}\; =\; 0,\; \{\theta \; k\; †,\; \theta \; l\; †\}\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{\backslash \; theta\; \_\; \{k\},\; \backslash \; theta\; \_\; \{l\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{kl\},\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \{\backslash \; theta\; \_\; \{k\},\; \backslash \; theta\; \_\; \{l\}\; \backslash \}\; =\; 0,\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \{\backslash \; theta\; \_\; \{k\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\},\; \backslash \; theta\; \_\; \{l\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \}\; =\; 0.\}$

Состояния построены в вакууме | 0>, аннигилированном θ k и пространством Фока строится путем применения всех произведений операторов создания θ k к | 0>. Принцип исключения Паули выполняется, поскольку $(\theta \; k\; †)\; 2\; |\; 0⟩\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; theta\; \_\; \{k\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\})\; ^\; \{2\}\; |\; 0\; \backslash \; rangle\; =\; 0\}$, в силу антикоммутационных соотношений.

Конденсируется

При построении состояний скалярного поля выше предполагалось, что потенциал был минимизирован при φ = 0, так что вакуум, минимизирующий гамильтониан, удовлетворяет 〈φ〉 = 0, указывая, что ожидаемое значение вакуума (VEV) поля равно нулю. В случаях, связанных со спонтанным нарушением симметрии , возможно иметь ненулевое значение VEV, поскольку потенциал минимизирован для значения φ = v. Это происходит, например, если V (φ) = gφ - 2mφ с g>0 и m>0, для которого минимальная энергия находится при v = ± m / √g. Величину v в одном из этих вакуумов можно рассматривать как конденсат поля φ. Затем каноническое квантование может быть выполнено для смещенного поля φ (x, t) −v, и состояния частиц по отношению к смещенному вакууму определяются путем квантования смещенного поля. Эта конструкция используется в механизме Хиггса в стандартной модели физики элементарных частиц.

Деформационное квантование

классическая теория описывается с помощью пространственного слоения пространства-времени с состоянием в каждом слое, описываемым элементом симплектического многообразия с временная эволюция, заданная симплектоморфизмом, порожденным функцией гамильтониана над симплектическим многообразием. Квантовая алгебра «операторов» представляет собой ħ- деформацию алгебры гладких функций над симплектическим пространством так, что главный член в разложении Тейлора по ħ элемента коммутатор [A, B], выраженный в формулировке фазового пространства, равен iħ {A, B}. (Здесь фигурные скобки обозначают скобку Пуассона. Все вспомогательные члены закодированы в скобке Мойала, подходящей квантовой деформации скобки Пуассона.) В общем, для величин. (наблюдаемые) и обеспечивающие аргументы в пользу таких скобок,-деформации весьма неоднозначны - квантование - это «искусство» и определяется физическим контекстом. (Две разные квантовые системы могут представлять две разные неэквивалентные деформации одного и того же классического предела, ħ → 0.)

Теперь ищем унитарные представления это квантовая алгебра. Что касается такого унитарного представления, симплектоморфизм в классической теории теперь деформируется в (метаплектическое) унитарное преобразование. В частности, симплектоморфизм временной эволюции, порожденный классическим гамильтонианом, деформируется в унитарное преобразование, порожденное соответствующим квантовым гамильтонианом.

Дальнейшее обобщение - рассмотреть пуассоново многообразие вместо симплектического пространства для классической теории и выполнить ħ-деформацию соответствующей алгебры Пуассона или даже Супермногообразия Пуассона.

Геометрическое квантование

В отличие от теории деформационного квантования, описанной выше, геометрическое квантование стремится построить реальное гильбертово пространство и операторы на нем. Начиная с симплектического многообразия $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$, сначала строится предквантовое гильбертово пространство, состоящее из пространства интегрируемых с квадратом секций соответствующего линейного расслоения над $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$. На этом пространстве можно отобразить все классические наблюдаемые в операторы в предквантовом гильбертовом пространстве, причем коммутатор точно соответствует скобке Пуассона. Предквантовое гильбертово пространство, однако, явно слишком велико для описания квантования $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$.

Затем переходят к выбору поляризации, то есть (грубо говоря) к выбору $n\; \{\; \backslash \; displaystyle\; n\}$переменные в $2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 2n\}$-мерном фазовом пространстве. Квантовое гильбертово пространство - это пространство секций, которые зависят только от $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$выбранных переменных в том смысле, что они ковариантно постоянны в других $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$направлений. Если выбранные переменные действительны, мы получим что-то вроде традиционного гильбертова пространства Шредингера. Если выбранные переменные сложны, мы получим что-то вроде пространства Сегала – Баргмана.

• Принцип соответствия
• Операторы создания и уничтожения
• Скобка Дирака
• Скобка Мойала
• Фаза пространственная формулировка (квантовой механики)
• Геометрическое квантование

1. ^Дирак, П.А.М. (1925). «Основные уравнения квантовой механики». Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки. 109 (752): 642. Bibcode : 1925RSPSA.109..642D. doi : 10.1098 / rspa.1925.0150.
2. ^ Дирак, П.А.М. (1982). Принципы квантовой механики. USA: Oxford University Press. ISBN 0-19-852011-5.
3. ^van der Waerden, B.L. (1968). Sources of quantum mechanics. Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0486618811.
4. ^Schweber, S.S. (1983). QED and the men who made it. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0691033277.
5. ^Hall 2013Theorem 13.13
6. ^H.J. Groenewold, "On the Principles of elementary quantum mechanics", Physica,12(1946) pp. 405–46. doi :10.1016/S0031-8914(46)80059-4
7. ^Hall 2013Section 13.4
8. ^J. R. Shewell, "On the Formation of Quantum-Mechanical Operators." Am.J.Phys., 27(1959). doi :10.1119/1.1934740
9. ^S. T. Ali, M. Engliš, "Quantization Methods: A Guide for Physicists and Analysts." Rev.Math.Phys., 17(2005) pp. 391-490. doi :10.1142/S0129055X05002376
10. ^This treatment is based primarily on Ch. 1 in Connes, Alain ; Marcolli, Matilde (2008). Noncommutative Geometry, Quantum Fields, and Motives (PDF). Американское математическое общество. ISBN 0-8218-4210-2.

Historical References

• Silvan S. Schweber : QED and the men who made it, Princeton Univ. Press, 1994, ISBN 0-691-03327-7

General Technical References

• Alexander Altland, Ben Simons: Condensed matter field theory, Cambridge Univ. Press, 2009, ISBN 978-0-521-84508-3
• James D. Bjorken, Sidney D. Drell: Relativistic quantum mechanics, New York, McGraw-Hill, 1964
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, 267, Springer, ISBN 978-1461471158.
• An introduction to quantum field theory, by M.E. Peskin and H.D. Schroeder, ISBN 0-201-50397-2
• Franz Schwabl: Advanced Quantum Mechanics, Berlin and elsewhere, Springer, 2009 ISBN 978-3-540-85061-8

• What is "Relativistic Canonical Quantization"?
• Pedagogic Aides to Quantum Field Theory Click on the links for Chaps. 1 and 2 at this site to find an extensive, simplified introduction to second quantization. See Sect. 1.5.2 in Chap. 1. See Sect. 2.7 and the chapter summary in Chap. 2.