Уравнение Эйлера – Лагранжа

В вариационном исчислении уравнение Эйлера является вторым порядок уравнения в частных производных, решениями которого являются функции, для которых данный функционал является стационарным. Его разработали швейцарский математик Леонард Эйлер и итальянский математик Жозеф-Луи Лагранж в 1750-х годах.

Поскольку дифференцируемый функционал стационарен в своих локальных экстремумах, уравнение Эйлера – Лагранжа полезно для решения оптимизационных задач, в которых при задании некоторого функционала ищут функция минимизации или максимизации. Это аналогично теореме Ферма в исчислении, утверждающей, что в любой точке, где дифференцируемая функция достигает локального экстремума, ее производная равна нулю.

В лагранжевой механике, согласно принципу Гамильтона стационарного действия, эволюция физической системы описывается решениями уравнения Эйлера для действие системы. В этом контексте уравнения Эйлера обычно называют уравнениями Лагранжа . В классической механике он эквивалентен законам движения Ньютона, но имеет то преимущество, что принимает ту же форму в любой системе обобщенных координат, и он лучше подходит для обобщений. В классической теории поля существует аналогичное уравнение для расчета динамики поля .

• 1 История
• 2 Утверждение
• 3 Примеры
• 4 Обобщения
  • 4.1 Отдельная функция одной переменной с более высокими производными
  • 4.2 Несколько функций одной переменной с одной производной
  • 4.3 Отдельная функция нескольких переменных с одной производной
  • 4.4 Несколько функций нескольких переменных с одной производной
  • 4.5 Отдельная функция двух переменных с высшими производными
  • 4.6 Несколько функций нескольких переменных с высшими производными
• 5 Обобщение на многообразия
• 6 См. также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки

Уравнение Эйлера – Лагранжа было разработано в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем в связи с их исследованиями проблемы таутохрон. Это проблема определения кривой, по которой взвешенная частица упадет в фиксированную точку за фиксированный промежуток времени, независимо от начальной точки.

Лагранж решил эту проблему в 1755 году и отправил решение Эйлеру. Оба далее развили метод Лагранжа и применили его к механике, что привело к формулировке лагранжевой механики. Их соответствие в конечном итоге привело к вариационному исчислению, термину, введенному самим Эйлером в 1766 году.

Уравнение Эйлера – Лагранжа - это уравнение, которому удовлетворяет функция q действительного аргумента t, который является стационарной точкой функционала

$S\; (q)\; =\; \int \; ab\; L\; (t,\; q\; (t),\; q\; \dot{}\; (t))\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; S\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\})\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; L\; (t,\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\}\; (t),\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\}\}\; (t))\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}$

где:

• $q\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\}\}$- функция должен быть найден:

$q:\; [a,\; b]\; \subset \; R\; \to \; X\; t\; \mapsto \; x\; =\; q\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\}\; \backslash \; двоеточие\; [a,\; b]\; \backslash \; подмножество\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; to\; X\; \backslash \backslash \; t\; \backslash \; mapsto\; x\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\}\; (t)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

такое, что $q\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; q\}\}\}$дифференцируемо, $q\; (a)\; =\; xa\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\}\; (a)\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{x\}\}\; \_\; \{a\}\}$и $q\; (b)\; =\; xb\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\}\; (b)\; =\; \{\backslash \; b\; oldsymbol\; \{x\}\}\; \_\; \{b\}\}$.

• $q\; \dot{}\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\}\}\}$является производным от $q\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\}\}$:

  $q\; \dot{}:\; [a,\; b]\; \to \; T\; q\; X\; t\; \mapsto \; v\; =\; q\; \dot{}\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \backslash \; двоеточие\; [a,\; b]\; \backslash \; to\; T\_\; \{q\}\; X\; \backslash \backslash \; t\; \backslash \; mapsto\; v\; =\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; (t).\; \backslash \; конец\; \{выровнен\}\}\}$

$T\; q\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{q\}\; X\}$обозначает касательную связку к $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$вдоль кривой $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$, (непересекающееся) объединение всех касательных пространств $T\; q\; (t)\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{q\; (t)\}\; X\}$(см. касательное пространство ) к $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$в точках $\{q\; (t)\; \forall \; t\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{q\; (t)\; ~\; \backslash \; forall\; t\; \backslash \}\}$кривой $q\; \{\backslash \; displaystyle\; q\}$.

• $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$- функция с действительным знаком с непрерывные первые частные производные :

  $L:\; [a,\; b]\; \times \; TX\; \to \; R\; (t,\; (x,\; v))\; \mapsto \; L\; (t,\; x,\; v).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; L\; \backslash \; двоеточие\; [a,\; b]\; \backslash \; times\; TX\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \backslash \; (t,\; (x,\; v))\; \backslash \; mapsto\; L\; (t,\; x,\; v).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

$TX\; \{\backslash \; displaystyle\; TX\}$, являющийся касательной связкой для $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, определяемой

$TX\; =\; \bigcup \; x\; \in \; X\; \{x\}\; \times \; T\; x\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; TX\; =\; \backslash \; bigcup\; \_\; \{x\; \backslash \; in\; X\}\; \backslash \; \{x\; \backslash \}\; \backslash \; times\; T\_\; \{x\}\; X\}$.

Эйлера – Лагранжа тогда уравнение задается следующим образом:

$L\; x\; (t,\; q\; (t),\; q\; \dot{}\; (t))\; -\; ddt\; L\; v\; (t,\; q\; (t),\; q\; \dot{}\; (t))\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{x\}\; (t,\; q\; (t),\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; (t))\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; L\_\; \{v\}\; (t,\; q\; (t),\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; (t))\; =\; 0.\}$

Здесь $L\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{x\}\}$и $L\; v\; \{\; \backslash \; displaystyle\; L\_\; \{v\}\}$обозначают частные производные от $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$по второму и третьему аргументам соответственно.

Если размерность пространства $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$больше 1, это система дифференциальных уравнений, по одному для каждого компонента:

$\partial \; L\; \partial \; qi\; (t,\; q\; (t),\; q\; \dot{}\; (t))\; -\; ddt\; \partial \; L\; \partial \; q\; \dot{}\; i\; (t,\; q\; (t),\; q\; \dot{}\; (t))\; =\; 0\; для\; i\; =\; 1,\dots ,\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; q\_\; \{i\}\}\}\; (t,\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\}\; (t),\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\}\}\; (t))\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; dot\; \{q\}\}\; \_\; \{i\}\}\}\; (t,\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; q\}\}\; (t),\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{q\}\}\}\; (t))\; =\; 0\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; i\; =\; 1,\; \backslash \; dots,\; n.\}$

Получение единицы -мерное уравнение Эйлера – Лагранжа

Вывод одномерного уравнения Эйлера – Лагранжа - одно из классических доказательств в математике. Он основан на фундаментальной лемме вариационного исчисления. Мы хотим найти функцию $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, которая удовлетворяет граничным условиям $f\; (a)\; =\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (a)\; =\; A\}$, $f\; (b)\; =\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (b)\; =\; B\}$, и который увеличивает функционал $J\; =\; \int \; ab\; F\; (x,\; f\; (x),\; f\; \prime \; (x))\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; F\; (x,\; f\; (x),\; f\; \text{'}(x))\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; \backslash .\}$ Мы предполагаем, что $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$дважды непрерывно дифференцируемо. Можно использовать более слабое предположение, но доказательство становится сложнее. Если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$экстремально увеличивает функционал, подчиняющийся граничным условиям, то любое незначительное отклонение $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, который сохраняет граничные значения, должно либо увеличиваться $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$(если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$- минимизатор) или уменьшить $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$(если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$- максимизатор). Пусть $g\; \epsilon \; (x)\; =\; f\; (x)\; +\; \epsilon \; \eta \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\; (x)\; =\; f\; (x)\; +\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; eta\; (x)\; \}$быть результатом такого возмущения $\epsilon \; \eta \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; eta\; (x)\}$of $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, где $\epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\}$является маленьким, а $\eta \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (x)\}$- дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию $\eta \; (a)\; =\; \eta \; (b)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (a)\; =\; \backslash \; eta\; (b)\; =\; 0\}$. Затем определите $J\; \epsilon \; =\; \int \; ab\; F\; (x,\; g\; \epsilon \; (x),\; g\; \epsilon \; \prime \; (x))\; dx\; =\; \int \; ab\; F\; \epsilon \; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; F\; (x,\; g\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\; (x),\; g\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\; \text{'}(x))\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; F\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}$ где $F\; \epsilon \; =\; F\; (x,\; g\; \epsilon \; (x),\; g\; \epsilon \; \prime \; (x))\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\; =\; F\; (x,\; \backslash ,\; g\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\; (x),\; \backslash ,\; g\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\; \text{'}(x))\}$. Теперь мы хотим вычислить полную производную от $J\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{\backslash \; varepsilon\}\}$относительно ε. $d\; J\; \epsilon \; d\; \epsilon \; =\; d\; d\; \epsilon \; \int \; a\; b\; F\; \epsilon \; d\; x\; =\; \int \; a\; b\; d\; F\; \epsilon \; d\; \epsilon \; d\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; J\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; varepsilon\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; varepsilon\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; F\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; F\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; varepsilon\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x.\}$ Из полной производной следует, что $d F ε d ε = dxd ε ∂ F ε ∂ x + dg ε d ε ∂ F ε ∂ g ε + dg ε ′ d ε ∂ F ε ∂ g ε ′ = dg ε d ε ∂ F ε ∂ g ε + dg ε ′ d ε ∂ F ε ∂ g ε ′ = η (x) ∂ F ε ∂ g ε + η ′ (x) ∂ F ε ∂ g ε ′. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d} F _ {\ varepsilon}} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} = {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} {\ frac {\ partial F _ {\ varepsilon}} {\ partial x}} + {\ frac {\ mathrm {d} g _ {\ varepsilon}} {\ mathrm {d} \ varepsilon} } {\ frac {\ partial F _ {\ varepsilon}} {\ partial g _ {\ varepsilon}}} + {\ frac {\ mathrm {d} g _ {\ varepsilon} '} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} {\ frac {\ partial F _ {\ varepsilon}} {\ partial g _ {\ varepsilon} '}} \\ = {\ frac {\ mathrm {d} g _ {\ varepsilon}} {\ mathrm {d} \ varepsilon }} {\ frac {\ partial F _ {\ varepsilon}} {\ partial g _ {\ varepsilon}}} + {\ frac {\ mathrm {d} g '_ {\ varepsilon}} {\ mathrm {d} \ varepsilon }} {\ frac {\ partial F _ {\ varepsilon}} {\ partial g '_ {\ varepsilon}}} \\ = \ eta (x) {\ frac {\ partial F _ {\ varepsilon}} {\ partial g _ {\ varepsilon}}} + \ eta '(x) {\ frac {\ partial F _ {\ varepsilon}} {\ partial g _ {\ varepsilon}'}} \. \\\ конец {выровнено}}}$ Итак $d\; J\; \epsilon \; d\; \epsilon \; =\; \int \; ab\; [\eta \; (x)\; \partial \; F\; \epsilon \; \partial \; g\; \epsilon \; +\; \eta \; \prime \; (x)\; \partial \; F\; \epsilon \; \partial \; g\; \epsilon \; \prime ]\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; J\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; varepsilon\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; eta\; (x)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\; \{\backslash \; partial\; g\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\}\; +\; \backslash \; eta\; \text{'}(x)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\; \{\backslash \; partial\; g\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\text{'}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; right]\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; \backslash .\}$ Когда ε = 0, мы имеем g ε = f, F ε = F (x, f ( x), f '(x)) и J ε имеет значение экстремума , так что $d\; J\; \epsilon \; d\; \epsilon \; |\; \epsilon \; =\; 0\; =\; \int \; a\; b\; [\eta \; (x)\; \partial \; F\; \partial \; f\; +\; \eta \; \prime \; (x)\; \partial \; F\; \partial \; f\; \prime ]\; d\; x\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; J\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; varepsilon\}\}\; \{\backslash \; bigg\; |\}\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\; =\; 0\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\; \}\; \backslash \; left\; [\backslash \; eta\; (x)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; f\}\}\; +\; \backslash \; eta\; \text{'}(x)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; f\text{'}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; right]\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; =\; 0\; \backslash .\}$ Следующим шагом является использование интегрирования по частям во втором члене подынтегральной функции, что дает $\int \; ab\; [\partial \; F\; \partial \; f\; -\; ddx\; \partial \; F\; \partial \; f\; \prime ]\; \eta \; (x)\; dx\; +\; [\eta \; (x)\; \partial \; F\; \partial \; f\; \prime ]\; ab\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; f\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; f\; \text{'}\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; eta\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; +\; \backslash \; left\; [\backslash \; eta\; (x)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; f\; \text{'}\}\}\; \backslash \; right]\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; =\; 0\; \backslash .\}$ Использование граничных условий $\eta \; (a)\; =\; \eta \; (b)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (a)\; =\; \backslash \; eta\; (b)\; =\; 0\}$, $\int \; ab\; [\partial \; F\; \partial \; f\; -\; ddx\; \partial \; F\; \partial \; f\; \prime ]\; \eta \; (x)\; dx\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; f\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; f\; \text{'}\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; eta\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; =\; 0\; \backslash .\}$ Применение фундаментальной леммы вариационного исчисления теперь дает уравнение Эйлера – Лагранжа $\partial \; F\; \partial \; f\; -\; ddx\; \partial \; F\; \partial \; f\; \prime \; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; f\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; F\}\; \{\backslash \; partial\; f\; \text{'}\; \}\}\; =\; 0\; \backslash .\}$

Альтернативный вывод одномерного уравнения Эйлера – Лагранжа

Дан функционал $J\; =\; \int \; ab\; F\; (t,\; y\; (t),\; y\; \prime \; (t))\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; F\; (t,\; y\; (t),\; y\; \text{'}(t))\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}$ на $C\; 1\; ([\; a,\; b])\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{1\}\; ([a,\; b])\}$с граничными условиями $y\; (a)\; =\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (a)\; =\; A\}$и $y\; (b)\; =\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (b)\; =\; B\}$, мы прибегаем к аппроксимации экстремальной кривой ломаной с $n\; \{\; \backslash \; displaystyle\; n\}$сегментов и переход к пределу, когда количество сегментов становится сколь угодно большим. Разделите интервал $[a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; [a,\; b]\}$на $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$равных сегментов. с конечными точками $t\; 0\; =\; a,\; t\; 1,\; t\; 2,\dots ,\; tn\; =\; b\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{0\}\; =\; a,\; t\_\; \{1\},\; t\_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; t\_\; \{n\}\; =\; b\; \}$и пусть $\Delta \; t\; =\; tk\; -\; tk\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; t\; =\; t\_\; \{k\}\; -t\_\; \{k-1\}\}$. Вместо гладкой функции $y\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (t)\}$мы рассматриваем ломаную с вершинами $(t\; 0,\; y\; 0),\dots ,\; (tn,\; yn)\; \{\backslash \; displaystyle\; (t\_\; \{0\},\; y\_\; \{0\}),\; \backslash \; ldots,\; (t\_\; \{n\},\; y\_\; \{n\})\}$, где $y\; 0\; =\; A\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{0\}\; =\; A\}$и $yn\; =\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{n\}\; =\; B\}$. Соответственно, наш функционал становится реальной функцией $n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n-1\}$переменных, заданных как $J\; (y\; 1,\dots ,\; yn\; -\; 1)\; \approx \; \sum \; k\; =\; 0\; n\; -\; 1\; F\; (tk,\; yk,\; yk\; +\; 1\; -\; yk\; \Delta \; t)\; \Delta \; t.\; \{\backslash \; Displaystyle\; J\; (y\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; y\_\; \{n-1\})\; \backslash \; приблизительно\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; F\; \backslash \; left\; (t\_\; \{k\},\; y\_\; \{k\},\; \{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{k\; +\; 1\}\; -y\_\; \{k\}\}\; \{\backslash \; Delta\; t\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Delta\; t.\}$ Экстремали этого нового функционала, определенные на дискретных точках $t\; 0,\dots ,\; tn\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{0\},\; \backslash \; ldots,\; t\_\; \{n\}\}$соответствуют точкам, где $\partial \; J\; (y\; 1,\dots ,\; yn)\; \partial \; ym\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; J\; (y\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; y\_\; \{n\})\}\; \{\backslash \; partial\; y\_\; \{m\}\}\}\; =\; 0.\}$ Вычисление этой частной производной дает $\partial \; J\; \partial \; ym\; =\; F\; y\; (tm,\; ym,\; ym\; +\; 1\; -\; ym\; \Delta \; t)\; \Delta \; t\; +\; F\; y\; \prime \; (tm\; -\; 1,\; ym\; -\; 1,\; ym\; -\; ym\; -\; 1\; \Delta \; t)\; -\; F\; y\; \prime \; (tm,\; ym,\; ym\; +\; 1\; -\; ym\; \Delta \; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; J\}\; \{\backslash \; partial\; y\_\; \{m\}\}\}\; =\; F\_\; \{y\}\; \backslash \; left\; (t\_\; \{m\},\; y\_\; \{m\},\; \{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{m\; +\; 1\}\; -y\_)\; \{m\}\}\; \{\backslash \; Delta\; t\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; Delta\; t\; +\; F\_\; \{y\; \text{'}\}\; \backslash \; left\; (t\_\; \{m-1\},\; y\_\; \{m-1\},\; \{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{m\}\; -y\_\; \{\; m-1\}\}\; \{\backslash \; Delta\; t\}\}\; \backslash \; right)\; -F\_\; \{y\; \text{'}\}\; \backslash \; left\; (t\_\; \{m\},\; y\_\; \{m\},\; \{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{m\; +\; 1\}\; -y\_\; \{m\}\}\; \{\; \backslash \; Delta\; t\}\}\; \backslash \; right).\}$ Разделив приведенное выше уравнение на $\Delta \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; t\}$, получим $\partial \; J\; \partial \; ym\; \Delta \; t\; =\; F\; y\; (\; tm,\; ym,\; ym\; +\; 1\; -\; ym\; \Delta \; t)\; -\; 1\; \Delta \; t\; [F\; y\; \prime \; (tm,\; ym,\; ym\; +\; 1\; -\; ym\; \Delta \; t)\; -\; F\; y\; \prime \; (tm\; -\; 1,\; ym\; -\; 1,\; ym\; -\; ym\; -\; 1\; \Delta \; t)],\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; J\}\; \{\backslash \; partial\; y\_\; \{m\}\; \backslash \; Delta\; t\}\}\; =\; F\_\; \{y\}\; \backslash \; left\; (t\_\; \{m\},\; y\_\; \{m\},\; \{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{m\; +\; 1\}\; -y\_\; \{m\}\}\; \{\backslash \; Delta\; t\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Delta\; t\}\}\; \backslash \; left\; [F\_\; \{y\; \text{'}\}\; \backslash \; left\; (t\_\; \{m\},\; y\_\; \{m\},\; \{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{m\; +\; 1\}\; -y\_\; \{m\}\}\; \{\backslash \; Delta\; t\}\}\; \backslash \; right)\; -F\_\; \{y\; \text{'}\}\; \backslash \; left\; (t\_\; \{m-1\},\; y\_\; \{m\; -1\},\; \{\backslash \; frac\; \{y\_\; \{m\}\; -y\_\; \{m-1\}\}\; \{\backslash \; Delta\; t\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right],\}$ и взяв предел как $\Delta \; t\; \to \; 0\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; t\; \backslash \; to\; 0\}$в правой части этого выражения дает $F\; y\; -\; ddt\; F\; y\; \prime \; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{y\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; mathrm\; \{\; d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; F\_\; \{y\; \text{'}\}\; =\; 0.\}$ Левая часть предыдущего уравнения - это функциональная производная $\delta \; J\; /\; \delta \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; J\; /\; \backslash \; delta\; y\}$функционала $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$. Необходимым условием того, чтобы дифференцируемый функционал имел экстремум на некоторой функции, является то, что его функциональная производная на этой функции равна нулю, что дается последним уравнением.

Стандартный пример - поиск вещественной функции y (x) на интервале [a, b], такой, что y (a) = c и y (b) = d, для что path length вдоль кривой кривой, проведенной по y, является как можно короче.

$s\; =\; \int \; abdx\; 2\; +\; dy\; 2\; =\; \int \; ab\; 1\; +\; y\; \prime \; 2\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{s\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\; \}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; y\; \text{'}^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\; \}\; x,\}$

функция подынтегрального выражения L (x, y, y ′) = √1 + y ′ ².

Частные производные от L:

$\partial \; L\; (x,\; y,\; y\; \prime )\; \partial \; y\; \prime \; =\; y\; \prime \; 1\; +\; y\; \prime \; 2\; и\; \partial \; L\; (x,\; y,\; y\; \prime )\; \partial \; y\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\; (x,\; y,\; y\; \text{'})\}\; \{\backslash \; partial\; y\text{'}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{y\; \text{'}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; y\text{'}\; ^\; \{2\}\}\; \}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{и\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\; (x,\; y,\; y\; \text{'})\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; =\; 0.\}$

Подставляя их в уравнение Эйлера – Лагранжа уравнения, получаем

$ddxy\; \prime \; (x)\; 1\; +\; (y\; \prime \; (x))\; 2\; =\; 0\; y\; \prime \; (x)\; 1\; +\; (y\; \prime \; (x))\; 2\; =\; C\; =\; constant\; \Rightarrow \; y\; \prime \; (x)\; =\; C\; 1\; -\; C\; 2:\; =\; A\; \Rightarrow \; y\; (x)\; =\; A\; x\; +\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; y\; \text{'}(x)\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1+\; (y\text{'}\; (x))\; ^\; \{2\}\}\}\}\; =\; 0\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{y\; \text{'}(x)\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1+\; (y\text{'}\; (x))\; ^\; \{2\}\}\}\}\; =\; C\; =\; \{\backslash \; text\; \{constant\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; Стрелка\; вправо\; y\; \text{'}(x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{C\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-C\; ^\; \{2\}\; \}\}\}:\; =\; A\; \backslash \backslash \backslash \; Rightarrow\; y\; (x)\; =\; Ax\; +\; B\; \backslash \; end\; \{выравнивание\}\}\}$

то есть функция должна иметь постоянную первую производную, и, следовательно, ее график - это прямая линия.

Отдельная функция одной переменной с более высокими производными

Стационарные значения фу nctional

$I\; [f]\; =\; \int \; x\; 0\; x\; 1\; L\; (x,\; f,\; f\; \text{'},\; f\; ″,\dots ,\; f\; (k))\; d\; x;\; е\; \text{'}:\; =\; dfdx,\; f\; ″:\; =\; d\; 2\; fdx\; 2,\; f\; (k):\; =\; dkfdxk\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; [f]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{x\_\; \{0\}\}\; ^\; \{x\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; L\}\}\; (x,\; f,\; f\; \text{'},\; f\text{'}\; \text{'},\; \backslash \; dots,\; f\; ^\; \{(k)\})\; ~\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; ~;\; ~~\; f\text{'}:\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; f\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\},\; ~\; f\; \text{'}\text{'}:\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{2\}\; f\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; ^\; \{2\}\}\},\; ~\; f\; ^\; \{(k)\}:\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{k\}\; f\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; ^\; \{k\}\}\}\}$

можно получить из уравнения Эйлера – Лагранжа

$\partial \; L\; \partial \; е\; -\; ddx\; (\partial \; L\; \partial \; f\; \prime )\; +\; d\; 2\; dx\; 2\; (\partial \; L\; \partial \; f\; ″)\; -\; \cdots \; +\; (-\; 1)\; kdkdxk\; (\partial \; L\; \partial \; f\; (k))\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; f\}\}\; -\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; f\; \text{'}\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; cfrac\; \{\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; f\; \text{'}\text{'}\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \backslash \; dots\; +\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{k\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; ^\; \{k\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; f\; ^\; \{(k)\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 0\}$

при фиксированном граничные условия для самой функции, а также для первого $k\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; k-1\}$производные (т.е. для всех $f\; (i),\; i\; \in \; \{0,...,\; k\; -\; 1\}\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(i)\},\; i\; \backslash \; in\; \backslash \; \{0,...,\; k-1\; \backslash \}\}$). Значения конечных точек старшей производной $f\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{(k)\}\}$остаются гибкими.

Несколько функций одной переменной с одной производной

Если проблема связана с поиском нескольких функций ($f\; 1,\; f\; 2,\dots ,\; fm\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{1\},\; f\_\; \{\; 2\},\; \backslash \; dots,\; f\_\; \{m\}\}$) одной независимой переменной ($x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$), которые определяют экстремум функционала

$I\; [f\; 1,\; f\; 2,\dots ,\; fm]\; =\; \int \; x\; 0\; x\; 1\; L\; (x,\; f\; 1,\; f\; 2,\dots ,\; fm,\; f\; 1\; \prime ,\; f\; 2\; \prime ,\dots ,\; fm\; \prime )\; dx;\; fi\; \prime :\; =\; dfidx\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; [f\_\; \{1\},\; f\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; f\_\; \{m\}]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{x\_\; \{0\}\}\; ^\; \{x\_\; \{1\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\; \}\}\; (x,\; f\_\; \{1\},\; f\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; f\_\; \{m\},\; f\_\; \{1\}\; \text{'},\; f\_\; \{2\}\text{'},\; \backslash \; dots,\; f\_\; \{m\}\; \text{'})\; ~\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; ~;\; ~~\; f\_\; \{i\}\; \text{'}:\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; f\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\}\}$

, то соответствующие уравнения Эйлера – Лагранжа

$\partial \; L\; \partial \; fi\; -\; ddx\; (\partial \; L\; \partial \; fi\; \prime )\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{i\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{i\}\; \text{'}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Одна функция нескольких переменных с одной производной

Многомерное обобщение происходит из рассмотрения функции от n переменных. Если $\Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\}$- некоторая поверхность, то

$I\; [f]\; =\; \int \; \Omega \; L\; (x\; 1,\dots ,\; xn,\; f,\; f\; 1,\dots ,\; fn)\; dx;\; fj:\; знак\; равно\; \partial \; е\; \partial \; xj\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; [f]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\},\; f,\; f\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; f\_\; \{n\})\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash ,\; \backslash !\; ~;\; ~~\; f\_\; \{j\}:\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\; \}\}$

экстремизируется, только если f удовлетворяет уравнению в частных производных

$\partial \; L\; \partial \; f\; -\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; \partial \; \partial \; xj\; (\partial \; L\; \partial \; fj)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; f\}\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{j\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 0.\}$

Когда n = 2 и работает $I\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{I\}\; \}\}$- это функционал энергии, это приводит к проблеме минимальной поверхности мыльной пленки .

Несколько функций нескольких переменных с одной производной

Если необходимо определить несколько неизвестных функций и несколько переменных, таких что

$I\; [f\; 1,\; f\; 2,\dots ,\; fm]\; =\; \int \; \Omega \; L\; (x\; 1,\dots ,\; xn,\; f\; 1,\dots ,\; fm,\; f\; 1,\; 1,\dots ,\; f\; 1,\; n,\dots ,\; fm,\; 1,\dots ,\; fm,\; n)\; dx;\; fi,\; j:\; знак\; равно\; \partial \; fi\; \partial \; xj\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; [f\_\; \{1\},\; f\_\; \{2\},\; \backslash \; dots,\; f\_\; \{m\}]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; (x\_\; \{\; 1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\},\; f\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; f\_\; \{m\},\; f\_\; \{1,1\},\; \backslash \; dots,\; f\_\; \{1,\; n\},\; \backslash \; dots,\; f\_\; \{m,\; 1\},\; \backslash \; dots,\; f\_\; \{m,\; n\})\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash ,\; \backslash !\; ~;\; ~~\; f\_\; \{i,\; j\}:\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\}\}$

система уравнений Эйлера – Лагранжа имеет вид

$\partial \; L\; \partial \; f\; 1\; -\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; \partial \; \partial \; xj\; (\partial \; L\; \partial \; f\; 1,\; j)\; =\; 0\; 1\; \partial \; L\; \partial \; f\; 2\; -\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; \partial \; \partial \; xj\; (\partial \; L\; \partial \; f\; 2,\; j)\; =\; 0\; 2\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; \partial \; L\; \partial \; fm\; -\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; \partial \; \partial \; xj\; (\partial \; L\; \partial \; fm,\; j)\; =\; 0\; м.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{1\}\}\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{1,\; j\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 0\_\; \{1\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{2\}\}\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\; \}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{2,\; j\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 0\_\; \{2\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; qquad\; \backslash \; vdots\; \backslash \; qquad\; \backslash \; quad\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{m\}\}\}\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\; \backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{m,\; j\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 0\_\; \{m\}.\; \backslash \; end\; \{выровнено\; \}\}\}$

Одна функция двух переменных с высшими производными

Если необходимо определить одну неизвестную функцию f, которая зависит от двух переменных x 1 и x 2 и если функционал зависит от высших производных f до n-го порядка, таких что

$I\; [f]\; =\; \int \; \Omega \; L\; (x\; 1,\; x\; 2,\; f,\; f\; 1,\; f\; 2,\; f\; 11,\; f\; 12,\; f\; 22,\dots ,\; f\; 22\dots \; 2)\; dxfi:\; =\; \partial \; f\; \partial \; xi,\; fij\; :\; =\; \partial \; 2\; е\; \partial \; xi\; \partial \; xj,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; I\; [f]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; (x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\},\; f,\; f\_\; \{1\},\; f\_\; \{2\},\; f\_\; \{11\},\; f\_\; \{12\},\; f\_\; \{22\},\; \backslash \; dots,\; f\_\; \{22\; \backslash \; dots\; 2\})\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\; \}\; \backslash \backslash \; \backslash \; qquad\; \backslash \; quad\; f\_\; \{i\}:\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\; \backslash ;,\; \backslash \; quad\; f\_\; \{ij\}:\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{\; 2\}\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\; \backslash \; partial\; x\_\; \{j\}\}\}\; \backslash ;,\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash \; dots\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

тогда уравнение Эйлера – Лагранжа

$∂ L ∂ f - ∂ ∂ x 1 (∂ L ∂ f 1) - ∂ ∂ x 2 (∂ L ∂ f 2) + ∂ 2 ∂ x 1 2 (∂ L ∂ f 11) + ∂ 2 ∂ x 1 ∂ x 2 ( ∂ L ∂ е 12) + ∂ 2 ∂ x 2 2 (∂ L ∂ f 22) - ⋯ + (- 1) n ∂ n ∂ x 2 n (∂ L ∂ f 22… 2) = 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f}} - {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {1}}} \ right) - {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {2}}} \ right) + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {1} ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {11}}} \ right) + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ part ial x_ {1} \ partial x_ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {12}}} \ right) + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {2} ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial f_ {22}}} \ right) \\ - \ dots + (- 1) ^ {n} {\ frac {\ partial ^ {n}} {\ partial x_ {2} ^ {n}}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}) }} {\ partial f_ {22 \ dots 2}}} \ right) = 0 \ end {выровнено}}}$

что может быть кратко представлено как:

$\partial \; L\; \partial \; f\; +\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; \sum \; \mu \; 1\; \le \dots \; \le \; \mu \; j\; (-\; 1)\; j\; \partial \; j\; \partial \; x\; \mu \; 1\dots \; \partial \; x\; \mu \; j\; (\partial \; L\; \partial \; f\; \mu \; 1\dots \; \mu \; j)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L)\; \}\}\}\; \{\backslash \; partial\; f\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; ldots\; \backslash \; leq\; \backslash \; mu\; \_\; \{j\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{j\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{j\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; \_\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; partial\; x\; \_\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{j\}\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; f\; \_\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{j\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 0\}$

где $\mu \; 1\dots \; \mu \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{j\}\}$- это индексы, которые охватывают количество переменных, то есть здесь они идут от 1 до 2. Здесь суммирование по $\mu \; 1\dots \; \mu \; J\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; му\; \_\; \{1\}\; \backslash \; точки\; \backslash \; м\; u\; \_\; \{j\}\}$индексы только больше $\mu \; 1\; \le \; \mu \; 2\; \le \dots \; \le \; \mu \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; ldots\; \backslash \; leq\; \backslash \; mu\; \_\; \{j\}\}$, чтобы избежать многократного подсчета одной и той же частной производной, например, $f\; 12\; =\; f\; 21\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{12\}\; =\; f\_\; \{21\}\}$появляется только один раз в предыдущем уравнении.

Несколько функций нескольких переменных с более высокими производными

Если необходимо определить p неизвестных функций f i, которые зависят от m переменных x 1... x m и если функционал зависит от высших производных f i до n-го порядка, так что

$I\; [f\; 1,\dots ,\; fp]\; =\; \int \; \Omega \; L\; (x\; 1,\dots ,\; xm;\; f\; 1,\dots ,\; fp;\; f\; 1,\; 1,\dots ,\; fp,\; m;\; f\; 1,\; 11,\dots ,\; fp,\; мм;\dots ;\; fp,\; 1\dots \; 1,\dots ,\; fp,\; m\dots \; m)\; dxfi,\; \mu :\; =\; \partial \; fi\; \partial \; x\; \mu ,\; fi,\; \mu \; 1\; \mu \; 2:\; =\; \partial \; 2\; fi\; \partial \; x\; \mu \; 1\; \partial \; x\; \mu \; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; I\; [\; f\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; f\_\; \{p\}]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\; (x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{m\};\; f\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; f\_\; \{p\};\; f\_\; \{1,1\},\; \backslash \; ldots,\; f\_\; \{p,\; m\};\; f\_\; \{1,11\},\; \backslash \; ldots,\; f\_\; \{p,\; mm\};\; \backslash \; ldots;\; f\_\; \{p,\; 1\; \backslash \; ldots\; 1\},\; \backslash \; ldots,\; f\_\; \{p,\; m\; \backslash \; ldots\; m\})\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; qquad\; \backslash \; quad\; f\_\; \{i,\; \backslash \; mu\}:\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}\}\; \backslash ;,\; \backslash \; quad\; f\_\; \{i,\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}:\; =\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; f\_\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; \_\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}\; \backslash \; partial\; x\; \_\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}\}\}\; \backslash ;,\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash \; dots\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где $\mu \; 1\dots \; \mu \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{j\}\}$- это индексы, охватывающие количество переменных, то есть они идут от 1 до m. Тогда уравнение Эйлера – Лагранжа имеет вид

$\partial \; L\; \partial \; fi\; +\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; \sum \; \mu \; 1\; \le \dots \; \le \; \mu \; j\; (-\; 1)\; j\; \partial \; j\; \partial \; x\; \mu \; 1\dots \; \partial \; x\; \mu \; j\; (\partial \; L\; \partial \; fi,\; \mu \; 1\dots \; \mu \; j)\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{i\}\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; ldots\; \backslash \; leq\; \backslash \; mu\; \_\; \{j\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{j\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{j\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; \_\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \}\; \backslash \; dots\; \backslash \; partial\; x\; \_\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{j\}\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{i,\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{j\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 0\}$

где суммирование по $\mu \; 1\dots \; \mu \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{j\}\}$избегает подсчета одной и той же производной $fi,\; \mu \; 1\; \mu \; 2\; =\; fi,\; \mu \; 2\; \mu \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{i,\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\}\; =\; f\_\; \{i,\; \backslash \; mu\; \_\; \{2\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}\}$несколько раз, как в предыдущем подразделе. Более компактно это можно выразить как

$\sum \; j\; =\; 0\; n\; \sum \; \mu \; 1\; \le \dots \; \le \; \mu \; j\; (-\; 1)\; j\; \partial \; \mu \; 1\dots \; \mu \; jj\; (\partial \; L\; \partial \; fi,\; \mu \; 1\dots \; \mu \; j)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; ldots\; \backslash \; leq\; \backslash \; mu\; \_\; \{j\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{j\}\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; ldots\; \backslash \; mu\; \_\; \{j\}\}\; ^\; \{j\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; mathcal\; \{L\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; f\_\; \{i,\; \backslash \; mu\; \_\; \{1\}\; \backslash \; dots\; \backslash \; mu\; \_\; \{j\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; 0\}$

Пусть $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$будет гладким многообразием, и пусть $C\; \infty \; ([a,\; b])\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; ([a,\; b])\}$обозначает пространство гладких функций $f:\; [a,\; b]\; \to \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; [a,\; b]\; \backslash \; к\; M\}$. Тогда для функционалов $S:\; C\; \infty \; ([a,\; b])\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; S:\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; ([a,\; b])\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$формы

$S\; [f]\; =\; \int \; ab\; (L\; \circ \; f\; \dot{})\; (t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; [f]\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; (L\; \backslash \; circ\; \{\backslash \; dot\; \{f\}\})\; (t)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}$

где $L:\; TM\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; L:\; TM\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$- лагранжиана утверждение $d\; S\; f\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; S\_\; \{f\}\; =\; 0\}$эквивалентно утверждению, что для всех $t\; \in \; [a,\; b]\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; [a,\; b]\}$, каждый координатный фрейм trivialization $(xi,\; X\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{i\},\; X\; ^\; \{i\})\}$окрестности $f\; \dot{}\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{f\}\}\; (t)\}$дает следующее $тусклый\; \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; dim\; M\}$уравнения:

$\forall \; i:\; ddt\; \partial \; L\; \partial \; X\; i\; |\; f\; \dot{}\; (t)\; =\; \partial \; L\; \partial \; x\; i\; |\; f\; \dot{}\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; forall\; i:\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; X\; ^\; \{i\}\}\}\; \{\backslash \; bigg\; |\}\; \_\; \{\{\backslash \; dot\; \{f\}\}\; (t)\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{i\}\}\}\; \{\backslash \; bigg\; |\}\; \_\; \{\{\backslash \; dot\; \{f\}\}\; (t)\}.\; \}$

Найдите уравнение Эйлера – Лагранжа в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Лагранжева механика
• Гамильтонова механика
• Аналитическая механика
• Тождество Бельтрами
• Функциональная производная

• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. «Дифференциальное уравнение Эйлера-Лагранжа». MathWorld.
• «Вариационное исчисление». PlanetMath.
• Гельфанд, Израиль Моисеевич (1963). Вариационное исчисление. Дувр. ISBN 0-486-41448-5.
• Рубичек, Т.: Вариационное исчисление. Глава 17 в: Математические инструменты для физиков. (Ред. М. Гринфельд) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN 978-3-527-41188-7, pp.551-588.