Инвариант Громова – Виттена

редактировать

В математике, в частности в симплектической топологии и алгебраической геометрии, инвариантами Громова – Виттена (GW) являются рациональные числа, которые в определенных ситуациях считаются псевдоголоморфные кривые, удовлетворяющие заданным условиям в данном симплектическом многообразии. Инварианты GW могут быть упакованы как класс гомологии или когомологии в соответствующем пространстве, или как деформированный чашечный продукт из квантовой когомологии. Эти инварианты использовались для различения симплектических многообразий, которые ранее были неразличимы. Они также играют решающую роль в закрытой теории струн типа IIA. Они названы в честь Михаила Громова и Эдварда Виттена.

Строгое математическое определение инвариантов Громова – Виттена длинно и сложно, поэтому оно рассматривается отдельно в стабильном отображении статья. В этой статье делается попытка более интуитивного объяснения того, что означают инварианты, как они вычисляются и почему они важны.

Содержание

1 Определение
2 Вычислительные методы
3 Связанные инварианты и другие конструкции
4 Применение в физике
5 См. Также
6 Ссылки
7 Дополнительная литература

Определение

Рассмотрим следующее:

X: замкнутое симплектическое многообразие размерности 2k,
A: двумерная гомология класс в X,
g: неотрицательное целое число,
n: неотрицательное целое число.

Теперь мы определяем инварианты Громова – Виттена, связанные с 4-кортежем: (X, A, g, n). Пусть $M ¯ g, n {\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n}}$ $\ overline {{\ mathcal {M}}} _ {{g, n}}$ будет пространством модулей Делиня – Мамфорда кривых рода g с n отмеченными точками и $M ¯ g, n (X, A) {\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n} (X, A)}$ $\ overline {{\ mathcal {M}}} _ {{g, n}} (X, A)$ обозначают пространство модулей стабильных отображений в X класса A для некоторой выбранной почти комплексной структуры J на X, совместимой с ее симплектической формой. Элементы $M ¯ g, n (X, A) {\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n} (X, A)}$ $\ overline {{\ mathcal {M}}} _ {{g, n}} (X, A)$ имеют форма:

(C, x 1,…, xn, f) {\ displaystyle (C, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, f)}

{\ displaystyle (C, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, f)}

где C - это (не обязательно стабильная) кривая с n отмеченными точками x 1,..., x n и f: C → X псевдоголоморфна. Пространство модулей имеет действительную размерность

d: = 2 c 1 X (A) + (2 k - 6) (1 - g) + 2 n. {\ displaystyle d: = 2c_ {1} ^ {X} (A) + (2k-6) (1-g) + 2n.}

d: = 2c_ {1} ^ {X} (A) + (2k-6) (1-g) + 2n.

Пусть

st (C, x 1,…, xn) ∈ M ¯ g, n {\ displaystyle \ mathrm {st} (C, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n}}

{\ displaystyle \ mathrm {st} (C, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in {\ overline { \ mathcal {M}}} _ {g, n}}

обозначает стабилизацию кривой. Пусть

Y: = M ¯ g, n × X n, {\ displaystyle Y: = {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n} \ times X ^ {n},}

Y: = \ overline {{\ mathcal {M}}} _ {{g, n}} \ times X ^ {n},

имеющий действительный размер $6 г - 6 + 2 (k + 1) n {\ displaystyle 6g-6 + 2 (k + 1) n}$ ${\ displaystyle 6g-6 + 2 (k + 1) n}$ . Имеется оценочная карта

{ev: M ¯ g, n (X, A) → Y ev (C, x 1,…, xn, f) = (st ⁡ (C, x 1,…, xn), f (x 1),…, f (xn)). {\ displaystyle {\ begin {cases} \ mathrm {ev}: {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n} (X, A) \ to Y \\\ mathrm {ev} (C, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, f) = \ left (\ operatorname {st} (C, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), f (x_ {1}), \ ldots, f (x_ {n}) \ right). \ end {ases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ mathrm {ev}: {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n} (X, A) \ to Y \\\ mathrm {ev } (C, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, f) = \ left (\ operatorn ame {st} (C, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), f (x_ {1}), \ ldots, f (x_ {n}) \ right). \ end {cases}}}

Карта оценки отправляет фундаментальный класс из $M ¯ g, n (X, A) {\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n} (X, A)}$ $\ overline {{\ mathcal {M}}} _ {{g, n}} (X, A)$ к d-мерному классу рациональных гомологий в Y, обозначенному

GW g, n X, A ∈ H d (Y, Q). {\ displaystyle GW_ {g, n} ^ {X, A} \ in H_ {d} (Y, \ mathbb {Q}).}

{\ displaystyle GW_ {g, n} ^ {X, A} \ in H_ {d} (Y, \ mathbb {Q}).}

В некотором смысле этот класс гомологии является классом Громова – Виттена инвариант X для данных g, n и A. Это инвариант симплектического изотопического класса симплектического многообразия X.

Интерпретировать инвариант Громова – Виттена геометрически, пусть β будет классом гомологии в $M ¯ g, n {\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, n}}$ $\ overline {{\ mathcal {M}}} _ {{g, n}}$ и $α 1,…, Α n {\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}}$ $\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}$ классы гомологии в X, такие, что сумма коразмерностей $β, α 1,…, α n {\ displaystyle \ beta, \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}}$ ${\ displaystyle \ beta, \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}}$ равно d. Они индуцируют классы гомологии в Y по формуле Кюннета. Пусть

GW g, n X, A (β, α 1,…, α n): = GW g, n X, A ⋅ β ⋅ α 1 ⋯ α n ∈ H 0 (Y, Q), {\ displaystyle GW_ {g, n} ^ {X, A} (\ beta, \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}): = GW_ {g, n} ^ {X, A} \ cdot \ beta \ cdot \ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {n} \ in H_ {0} (Y, \ mathbb {Q}),}

{\ displaystyle GW_ {g, n} ^ {X, A} (\ beta, \ alpha _ { 1}, \ ldots, \ alpha _ {n}): = GW_ {g, n} ^ {X, A} \ cdot \ beta \ cdot \ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {n} \ in H_ {0} (Y, \ mathbb {Q}),}

где $⋅ {\ displaystyle \ cdot}$ $\ cdot$ обозначает произведение пересечений в рациональных гомологиях Y. Это рациональное число, инвариант Громова – Виттена для данных классов. Это число дает "виртуальный" подсчет числа псевдоголоморфных кривых (в классе A, рода g, с областью определения в β-части пространства Делиня – Мамфорда), n отмеченных точек которых отображаются в циклы, представляющие $α i {\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ $\ alpha _ {i}$ .

Проще говоря, инвариант GW подсчитывает, сколько существует кривых, пересекающих n выбранных подмногообразий X. Однако из-за «виртуального» характера подсчета он не обязательно должно быть натуральным числом, как можно было бы ожидать от счетчика. Ибо пространство стабильных отображений - это орбифолд, точки изотропии которого могут вносить нецелочисленные значения в инвариант.

Существует множество вариантов этой конструкции, в которых когомологии используются вместо гомологий, интегрирование заменяет пересечение, классы Черна, извлеченные из пространства Делиня-Мамфорда, также интегрируются и т. Д.

Вычислительная техника

Инварианты Громова – Виттена, как правило, сложно вычислить. Хотя они определены для любой общей почти сложной структуры J, для которой линеаризация D элемента $∂ ¯ j, J {\ displaystyle {\ bar {\ partial}} _ {j, J}}$ ${\ bar \ partial} _ {{j, J}}$ Оператор сюръективен, они фактически должны быть вычислены относительно определенного, выбранного J. Наиболее удобно выбирать J со специальными свойствами, такими как неуниверсальные симметрии или интегрируемость. Действительно, вычисления часто проводятся на кэлеровых многообразиях с использованием методов алгебраической геометрии.

Однако специальный J может индуцировать несюръективное D и, следовательно, пространство модулей псевдоголоморфных кривых, которое больше, чем ожидалось. Грубо говоря, этот эффект корректируют, формируя из коядра D векторной связки , называемой связкой препятствий, а затем реализуя инвариант GW как интеграл класса Эйлера пучка препятствий. Чтобы сделать эту идею точной, требуются серьезные технические аргументы с использованием структур Кураниши.

Основным вычислительным методом является локализация . Это применимо, когда X является торическим, что означает, что на него действует комплексный тор или, по крайней мере, локально торический. Затем можно использовать теорему Атьи – Ботта о неподвижной точке, Майкла Атья и Рауля Ботта, чтобы сократить или локализовать вычисление инварианта GW. к интегрированию по геометрическому объекту действия с фиксированной точкой.

Другой подход - использовать симплектические операции, чтобы связать X с одним или несколькими другими пространствами, чьи инварианты GW вычислить легче. Конечно, сначала нужно понять, как инварианты ведут себя при операциях. Для таких приложений часто используются более сложные относительные инварианты GW, которые подсчитывают кривые с заданными условиями касания вдоль симплектического подмногообразия X вещественной коразмерности два.

Связанные инварианты и другие конструкции

Инварианты GW тесно связаны с рядом других концепций в геометрии, включая инварианты Дональдсона и инварианты Зайберга – Виттена в симплектической категории и теория Дональдсона – Томаса в алгебраической категории. Для компактных симплектических четырехмерных многообразий Клиффорд Таубс показал, что один из вариантов инвариантов ГВ (см. инвариант Громова Таубса ) эквивалентен инвариантам Зайберга – Виттена. Предполагается, что для трехмерных алгебраических многообразий они содержат ту же информацию, что и целочисленные инварианты Дональдсона – Томаса. Физические соображения также приводят к инвариантам Гопакумара – Вафы, которые предназначены для подсчета целых чисел, лежащих в основе типично рациональной теории Громова-Виттена. Инварианты Гопакумара-Вафа в настоящее время не имеют строгого математического определения, и это одна из основных проблем в данной области.

Инварианты Громова-Виттена гладких проективных многообразий могут быть полностью определены в рамках алгебраической геометрии. Классическая перечислительная геометрия плоских кривых и рациональных кривых в однородных пространствах фиксируется инвариантами GW. Однако главное преимущество инвариантов GW по сравнению с классическими перечислительными счетчиками состоит в том, что они инвариантны относительно деформаций сложной структуры цели. Инварианты GW также дают деформации структуры произведения в кольце когомологий симплектического или проективного многообразия; их можно организовать для построения кольца квантовых когомологий многообразия X, которое является деформацией обычных когомологий. Ассоциативность деформированного продукта по существу является следствием самоподобной природы пространства модулей стабильных отображений, которые используются для определения инвариантов.

Кольцо квантовых когомологий, как известно, изоморфно симплектической гомологии Флоера с ее произведением пары штанов.

Применение в физике

Инварианты ГВ представляют интерес в теории струн, области физики, которая пытается объединить общую теорию относительности и квантовую механику. Согласно этой теории, все во Вселенной, начиная с элементарных частиц, состоит из крошечных струн. Когда струна движется в пространстве-времени, она очерчивает поверхность, называемую мировым листом струны. К сожалению, пространство модулей таких параметризованных поверхностей, по крайней мере априори, бесконечномерно; нет подходящей меры на этом пространстве, и поэтому интегралы по путям теории не имеют строгого определения.

Ситуация улучшается в варианте, известном как закрытая A-модель. Здесь есть шесть пространственно-временных измерений, которые составляют симплектическое многообразие, и оказывается, что мировые листы обязательно параметризуются псевдоголоморфными кривыми, пространства модулей которых только конечномерны. Инварианты GW, как интегралы по этим пространствам модулей, в этом случае являются интегралами по путям теории. В частности, свободная энергия A-модели в рода g является производящей функцией инвариантов GW рода g.

См. Также

Котангенс-комплекс - для теории деформации
Исчисление Шуберта

Ссылки

McDuff, Dusa Salamon, Dietmar (2004). J-голоморфные кривые и симплектическая топология. Публикации коллоквиума Американского математического общества. ISBN 0-8218-3485-1. Аналитический обзор инвариантов Громова – Виттена и квантовых когомологий для симплектических многообразий, очень технически полный
Пюнихин, Сергей; Саламон, Дитмар и Шварц, Маттиас (1996). «Симплектическая теория Флоера – Дональдсона и квантовые когомологии». В Томасе, С. Б. (ред.). Контактная и симплектическая геометрия. Издательство Кембриджского университета. Стр. 171 –200. ISBN 0-521-57086-7.

Дополнительная литература

Пространства модулей стабильных карт первого рода, виртуальные классы и упражнения по теории пересечений - Андреа Тирелли
Коцк, Иоахим; Вайнсенчер, Израиль (2007). Приглашение к квантовым когомологиям: формула Концевича для рациональных плоских кривых. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-8176-4456-7.Хорошее введение с историей и упражнениями к формальному понятию пространства модулей, подробно рассматривается случай проективных пространств используя основы на языке схем.
Вакил, Рави (2006). «Пространство модулей кривых и теория Громова – Виттена». arXiv : math / 0602347. Цитировать журнал требует |journal=()