Эта статья посвящена теореме Дарбу в симплектической геометрии. О теореме Дарбу, связанной с теоремой о
промежуточном значении, см
. Теорему Дарбу (анализ).
Теорема Дарбу - это теорема в математической области дифференциальной геометрии и, в частности, дифференциальных форм, частично обобщающая теорему интегрирования Фробениуса. Это фундаментальный результат в нескольких областях, главной из которых является симплектическая геометрия. Теорема названа в честь Жана Гастона Дарбу, который установил ее как решение проблемы Пфаффа.
Одно из многих следствий теоремы состоит в том, что любые два симплектических многообразия одной размерности локально симплектоморфны друг другу. То есть любое 2 n -мерное симплектическое многообразие можно сделать локально похожим на линейное симплектическое пространство C n с его канонической симплектической формой. Аналогичное следствие теоремы имеет и применительно к контактной геометрии.
Содержание
- 1 Утверждение и первые последствия
- 2 Сравнение с римановой геометрией
- 3 См. Также
- 4 Примечания
- 5 ссылки
- 6 Внешние ссылки
Заявление и первые последствия
Точное заявление выглядит следующим образом. Предположим, что это дифференциальная 1-форма на n- мерном многообразии с постоянным рангом p. Если
- где угодно,
тогда существует локальная система координат, в которой
- .
Если же, с другой стороны,
- где угодно,
тогда существует локальная система координат ', в которой
- .
Обратите внимание, если везде и то есть контактная форма.
В частности, предположим, что симплектическая 2-форма на п = 2 м мерного многообразия М. В окрестности каждой точки p многообразия M по лемме Пуанкаре существует 1-форма с. Более того, удовлетворяет первому набору гипотез теоремы Дарбу, и поэтому локально существует координатная карта U около p, в которой
- .
Теперь взятие внешней производной показывает
Диаграмма U называется диаграммой Дарбу вокруг p. Такими картами можно покрыть многообразие M.
Иначе говоря, отождествляйтесь с позволением. Если это диаграмма Дарбу, то это откат стандартной симплектической формы на:
Сравнение с римановой геометрией
Этот результат означает, что в симплектической геометрии нет локальных инвариантов: всегда можно взять базис Дарбу, справедливый вблизи любой данной точки. Это резко контрастирует с ситуацией в римановой геометрии, где кривизна является локальным инвариантом, а препятствие для метрики локально является суммой квадратов координатных дифференциалов.
Разница заключается в том, что теорема Дарбу утверждает, что ω можно взять стандартную форму в целом окрестности вокруг р. В римановой геометрии метрика всегда может принимать стандартную форму в любой заданной точке, но не всегда в окрестности этой точки.
Смотрите также
Ноты
- ^ Дарбу (1882).
- ↑ Пфафф (1814–1815).
- ^ Штернберг (1964) стр. 140–141.
- ^ Ср. с Макдаффом и Саламоном (1998) стр. 96.
Ссылки
- Дарбу, Гастон (1882). "Sur le problème de Pfaff". Бык. Sci. Математика. 6: 14–36, 49–68.
- Пфафф, Иоганн Фридрих (1814–1815). "Methodus generalis, aequationes Differentia Partialium nec non aequationes Differentiales vulgates, ultrasque primi ordinis, inter quotcunque variables, полные интегранды". Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften в Берлине: 76–136.
- Штернберг, Шломо (1964). Лекции по дифференциальной геометрии. Прентис Холл.
- McDuff, D.; Саламон, Д. (1998). Введение в симплектическую топологию. Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850451-9.
внешние ссылки