Теорема Дарбу

редактировать
Эта статья посвящена теореме Дарбу в симплектической геометрии. О теореме Дарбу, связанной с теоремой о промежуточном значении, см . Теорему Дарбу (анализ).

Теорема Дарбу - это теорема в математической области дифференциальной геометрии и, в частности, дифференциальных форм, частично обобщающая теорему интегрирования Фробениуса. Это фундаментальный результат в нескольких областях, главной из которых является симплектическая геометрия. Теорема названа в честь Жана Гастона Дарбу, который установил ее как решение проблемы Пфаффа.

Одно из многих следствий теоремы состоит в том, что любые два симплектических многообразия одной размерности локально симплектоморфны друг другу. То есть любое 2 n -мерное симплектическое многообразие можно сделать локально похожим на линейное симплектическое пространство C n с его канонической симплектической формой. Аналогичное следствие теоремы имеет и применительно к контактной геометрии.

Содержание

  • 1 Утверждение и первые последствия
  • 2 Сравнение с римановой геометрией
  • 3 См. Также
  • 4 Примечания
  • 5 ссылки
  • 6 Внешние ссылки

Заявление и первые последствия

Точное заявление выглядит следующим образом. Предположим, что это дифференциальная 1-форма на n- мерном многообразии с постоянным рангом p. Если θ {\ displaystyle \ theta} d θ {\ displaystyle \ mathrm {d} \ theta}

θ ( d θ ) п знак равно 0 {\ displaystyle \ theta \ wedge \ left (\ mathrm {d} \ theta \ right) ^ {p} = 0} где угодно,

тогда существует локальная система координат, в которой Икс 1 , , Икс п - п , y 1 , , y п {\ Displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {np}, y_ {1}, \ ldots, y_ {p}}

θ знак равно Икс 1 d y 1 + + Икс п d y п {\ Displaystyle \ theta = x_ {1} \, \ mathrm {d} y_ {1} + \ ldots + x_ {p} \, \ mathrm {d} y_ {p}}.

Если же, с другой стороны,

θ ( d θ ) п 0 {\ Displaystyle \ тета \ клин \ влево (\ mathrm {d} \ тета \ вправо) ^ {p} \ neq 0} где угодно,

тогда существует локальная система координат ', в которой Икс 1 , , Икс п - п , y 1 , , y п {\ Displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {np}, y_ {1}, \ ldots, y_ {p}}

θ знак равно Икс 1 d y 1 + + Икс п d y п + d Икс п + 1 {\ displaystyle \ theta = x_ {1} \, \ mathrm {d} y_ {1} + \ ldots + x_ {p} \, \ mathrm {d} y_ {p} + \ mathrm {d} x_ {p + 1}}.

Обратите внимание, если везде и то есть контактная форма. θ ( d θ ) п 0 {\ Displaystyle \ тета \ клин \ влево (\ mathrm {d} \ тета \ вправо) ^ {p} \ neq 0} п знак равно 2 п + 1 {\ displaystyle n = 2p + 1} θ {\ displaystyle \ theta}

В частности, предположим, что симплектическая 2-форма на п = 2 м мерного многообразия М. В окрестности каждой точки p многообразия M по лемме Пуанкаре существует 1-форма с. Более того, удовлетворяет первому набору гипотез теоремы Дарбу, и поэтому локально существует координатная карта U около p, в которой ω {\ displaystyle \ omega} θ {\ displaystyle \ theta} d θ знак равно ω {\ Displaystyle \ mathrm {d} \ theta = \ omega} θ {\ displaystyle \ theta}

θ знак равно Икс 1 d y 1 + + Икс м d y м {\ displaystyle \ theta = x_ {1} \, \ mathrm {d} y_ {1} + \ ldots + x_ {m} \, \ mathrm {d} y_ {m}}.

Теперь взятие внешней производной показывает

ω знак равно d θ знак равно d Икс 1 d y 1 + + d Икс м d y м {\ displaystyle \ omega = \ mathrm {d} \ theta = \ mathrm {d} x_ {1} \ wedge \ mathrm {d} y_ {1} + \ ldots + \ mathrm {d} x_ {m} \ wedge \ mathrm {d} y_ {m}}

Диаграмма U называется диаграммой Дарбу вокруг p. Такими картами можно покрыть многообразие M.

Иначе говоря, отождествляйтесь с позволением. Если это диаграмма Дарбу, то это откат стандартной симплектической формы на: р 2 м {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2m}} C м {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {m}} z j знак равно Икс j + я y j {\ displaystyle z_ {j} = x_ {j} + {\ textit {i}} \, y_ {j}} φ : U C п {\ Displaystyle \ varphi \ двоеточие U \ to \ mathbb {C} ^ {n}} ω {\ displaystyle \ omega} ω 0 {\ displaystyle \ omega _ {0}} C п {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}

ω знак равно ϕ * ω 0 . {\ displaystyle \ omega = \ phi ^ {*} \ omega _ {0}. \,}

Сравнение с римановой геометрией

Этот результат означает, что в симплектической геометрии нет локальных инвариантов: всегда можно взять базис Дарбу, справедливый вблизи любой данной точки. Это резко контрастирует с ситуацией в римановой геометрии, где кривизна является локальным инвариантом, а препятствие для метрики локально является суммой квадратов координатных дифференциалов.

Разница заключается в том, что теорема Дарбу утверждает, что ω можно взять стандартную форму в целом окрестности вокруг р. В римановой геометрии метрика всегда может принимать стандартную форму в любой заданной точке, но не всегда в окрестности этой точки.

Смотрите также

Ноты

  1. ^ Дарбу (1882).
  2. ↑ Пфафф (1814–1815).
  3. ^ Штернберг (1964) стр. 140–141.
  4. ^ Ср. с Макдаффом и Саламоном (1998) стр. 96.

Ссылки

  • Дарбу, Гастон (1882). "Sur le problème de Pfaff". Бык. Sci. Математика. 6: 14–36, 49–68.
  • Пфафф, Иоганн Фридрих (1814–1815). "Methodus generalis, aequationes Differentia Partialium nec non aequationes Differentiales vulgates, ultrasque primi ordinis, inter quotcunque variables, полные интегранды". Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften в Берлине: 76–136.
  • Штернберг, Шломо (1964). Лекции по дифференциальной геометрии. Прентис Холл.
  • McDuff, D.; Саламон, Д. (1998). Введение в симплектическую топологию. Издательство Оксфордского университета. ISBN   0-19-850451-9.

внешние ссылки

Последняя правка сделана 2023-04-16 03:02:16
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте