Псевдоголоморфная кривая

В математике, особенно в топологии и геометрии, псевдоголоморфная кривая (или J-голоморфная кривая ) - это гладкое отображение из римановой поверхности в почти комплексное многообразие, удовлетворяющий уравнению Коши – Римана. Представленные в 1985 г. Михаилом Громовым, псевдоголоморфные кривые с тех пор произвели революцию в изучении симплектических многообразий. В частности, они приводят к инвариантам Громова – Виттена и гомологии Флоера и играют важную роль в теории струн.

• 1 Определение
• 2 Аналогия с классическими уравнениями Коши – Римана
• 3 Приложения в симплектической топологии
• 4 Приложения в физике
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Пусть $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- почти сложное многообразие с почти сложной структурой $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$. Пусть $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$будет гладкой римановой поверхностью (также называемой сложной кривой ) со сложной структурой $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$. A псевдоголоморфная кривая в $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$- это карта $f:\; C\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; C\; \backslash \; to\; X\}$, которое удовлетворяет уравнению Коши – Римана

$\partial \; ¯\; j,\; J\; f:\; =\; 1\; 2\; (df\; +\; J\; \circ \; df\; \circ \; j)\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; partial\}\}\; \_\; \{j,\; J\; \}\; f:\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (df\; +\; J\; \backslash \; circ\; df\; \backslash \; circ\; j)\; =\; 0.\}$

Поскольку $J\; 2\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{2\}\; =\; -1\}$, это условие эквивалентно

$J\; \circ \; df\; =\; df\; \circ \; j,\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; \backslash \; circ\; df\; =\; df\; \backslash \; circ\; j,\}$

, что просто означает, что дифференциал $df\; \{\backslash \; displaystyle\; df\}$является комплексно-линейным, то есть $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$отображает каждое касательное пространство

$T\; xf\; (C)\; \subseteq \; T\; x\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{x\}\; f\; (C)\; \backslash \; substeq\; T\_\; \{x\}\; X\}$

самому себе. По техническим причинам часто предпочтительнее ввести какой-либо неоднородный член $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$и изучить карты, удовлетворяющие возмущенному уравнению Коши – Римана

$\partial \; ¯\; j,\; J\; f\; =\; \nu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{\backslash \; partial\}\}\; \_\; \{j,\; J\}\; f\; =\; \backslash \; nu.\}$

Псевдоголоморфная кривая, удовлетворяющая этому уравнению, может быть названа, более конкретно, a $(j,\; J,\; \nu )\; \{\backslash \; displaystyle\; (j,\; J,\; \backslash \; nu)\}$-голоморфная кривая . Иногда предполагается, что возмущение $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$генерируется гамильтонианом (особенно в теории Флора), но в целом это не обязательно.

Псевдоголоморфная кривая по определению всегда параметризована. В приложениях часто действительно интересны непараметризованные кривые, то есть встроенные (или погруженные) двухподмногообразия $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$, поэтому можно изменить параметризацию области, сохраняющую соответствующие структура. В случае инвариантов Громова – Виттена, например, мы рассматриваем только закрытые домены $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$фиксированного рода $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$и вводим $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$отмеченные точки (или проколы ) на $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$. Как только проколотая эйлерова характеристика $2-2\; g\; -\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; 2-2g-n\}$отрицательна, существует лишь конечное число голоморфных репараметризаций $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$, сохраняющие отмеченные точки. Кривая домена $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$является элементом пространства модулей Делиня – Мамфорда кривых.

Классический случай возникает, когда $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$и $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$оба являются просто плоскостью комплексного числа. В реальных координатах

$j\; =\; J\; =\; [0\; -\; 1\; 1\; 0],\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; =\; J\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; -1\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\}$

и

$df\; =\; [du\; /\; dxdu\; /\; dydv\; /\; dxdv\; /\; dy],\; \{\backslash \; displaystyle\; df\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; du\; /\; dx\; du\; /\; dy\; \backslash \backslash \; dv\; /\; dx\; dv\; /\; dy\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\}$

где $f\; (x,\; y)\; =\; (u\; (x,\; y),\; v\; (x,\; y))\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; (u\; (x,\; y),\; v\; (x,\; y))\}$. После перемножения этих матриц в двух разных порядках сразу становится видно, что уравнение

$J\; \circ \; df\; =\; df\; \circ \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; \backslash \; circ\; df\; =\; df\; \backslash \; circ\; j\}$

, написанное выше, эквивалентно классическому уравнению Коши– Уравнения Римана

$\{du\; /\; dx\; =\; dv\; /\; dydv\; /\; dx\; =\; -\; du\; /\; dy.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; du\; /\; dx\; =\; dv\; /\; dy\; \backslash \backslash \; dv\; /\; dx\; =\; -du\; /\; dy.\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Хотя они могут быть определенным для любого почти сложного многообразия, псевдоголоморфные кривые особенно интересны, когда $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$взаимодействует с симплектической формой $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$. Почти сложная структура $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$называется $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$-tame тогда и только тогда. если

$\omega \; (v,\; J\; v)>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; (v,\; Jv)>0\}$

для всех ненулевых касательных векторов $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$. Прирученность означает, что формула

$(v,\; w)\; =\; 1\; 2\; (\omega \; (v,\; J\; w)\; +\; \omega \; (w,\; J\; v))\; \{\backslash \; displaystyle\; (v,\; w)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \}\; \backslash \; left\; (\backslash \; omega\; (v,\; Jw)\; +\; \backslash \; omega\; (w,\; Jv)\; \backslash \; right)\}$

определяет риманову метрику на $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$. Громов показал, что для заданного $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$пространство $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$-tame $J\; \{\backslash \; displaystyle\; J\}$непусто и стягиваемо. Он использовал эту теорию, чтобы доказать теорему о несжимаемости, касающуюся симплектических вложений сфер в цилиндры.

Громов показал, что некоторые пространства модулей псевдоголоморфных кривых (удовлетворяющие дополнительным заданным условиям) компактны, и описал способ, которым псевдоголоморфные кривые могут вырождаться, когда предполагается только конечная энергия. (Условие конечной энергии выполняется особенно для кривых с фиксированным классом гомологии в симплектическом многообразии, где J $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$-tame или $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \}$-совместимо). Эта теорема Громова о компактности, теперь значительно обобщенная с помощью стабильных отображений, делает возможным определение инвариантов Громова – Виттена, которые подсчитывают псевдоголоморфные кривые в симплектических многообразиях.

Компактные пространства модулей псевдоголоморфных кривых также используются для построения гомологий Флоера, которые Андреас Флоер (и более поздние авторы, в большей степени) использовали для доказательства знаменитой гипотезы из Владимир Арнольд о количестве неподвижных точек гамильтоновых потоков.

В теории струн типа II рассматриваются поверхности, очерченные струнами, как они путешествовать по тропам в Калаби – Яу 3-мерном. Следуя формулировке интеграла по путям из квантовой механики, нужно вычислить определенные интегралы по пространству всех таких поверхностей. Поскольку такое пространство бесконечномерно, эти интегралы по путям в общем случае не определены математически корректно. Однако из этого можно вывести, что поверхности параметризованы псевдоголоморфными кривыми, и поэтому интегралы по путям сводятся к интегралам по пространствам модулей псевдоголоморфных кривых (или, скорее, стабильным отображениям), которые конечномерны. В теории струн закрытого типа IIA, например, эти интегралы являются в точности инвариантами Громова – Виттена.

• Голоморфная кривая

• Дуса Макдафф и Дитмар Саламон, J-голоморфные кривые и симплектическая топология, публикации коллоквиума Американского математического общества, 2004. ISBN 0-8218-3485-1.
• Михаил Леонидович Громов, Псевдоголоморфные кривые в симплектических многообразиях. Inventiones Mathematicae vol. 82, 1985, стр. 307-347.
• Дональдсон, Саймон К. (октябрь 2005 г.). «Что такое... псевдоголоморфная кривая?» (PDF ). Уведомления Американского математического общества. 52(9): 1026–1027. Проверено 17 января 2008 г.