В математике, сложная структура в реальном векторном пространстве. V - это автоморфизм слова V, который квадратирует до минус тождества, −I. Такая структура на V позволяет определять умножение на комплексные скаляры каноническим способом, чтобы рассматривать V как комплексное векторное пространство.
Каждое комплексное векторное пространство может быть оснащено совместимой сложной структурой, однако в целом канонической такой структуры не существует. Сложные структуры имеют приложения в теории представлений, а также в сложной геометрии, где они играют существенную роль в определении почти сложных многообразий, в отличие от комплексные многообразия. Термин «сложная структура» часто относится к этой структуре на коллекторах; когда он вместо этого ссылается на структуру в векторных пространствах, ее можно назвать линейной комплексной структурой .
A сложная структура на вещественное векторное пространство V - вещественное линейное преобразование
такое, что
Здесь J означает J составленный из самого себя и Id V - это карта идентичности на V. То есть эффект от применения J дважды такой же, как и от умножения на -1. Это напоминает умножение на мнимую единицу , i. Сложная структура позволяет наделить V структурой комплексного векторного пространства . Комплексное скалярное умножение можно определить следующим образом:
для всех действительных чисел x, y и все векторы v в V. Можно проверить, что это действительно дает V структуру комплексного векторного пространства, которое мы обозначаем V J.
. Идя в другом направлении, если начать с комплексного векторного пространства W, то можно определить сложную структуру в базовом реальном пространстве, определив Jw = iw для всех w ∈ W.
Более формально линейная комплексная структура в вещественном векторном пространстве - это представление алгебры комплексных чисел C, рассматриваемых как ассоциативная алгебра над действительными числами. Эта алгебра конкретно реализована как
, что соответствует i = −1. Тогда представление C - это вещественное векторное пространство V вместе с действием C на V (отображение C → End (V)). Конкретно, это всего лишь действие i, поскольку оно порождает алгебру, а оператор, представляющий i (образ i в End (V)), в точности равен J.
Если V J имеет комплексную размерность n, тогда V должна иметь действительную размерность 2n. То есть конечномерное пространство V допускает сложную структуру, только если оно четномерно. Нетрудно увидеть, что каждое четномерное векторное пространство допускает сложную структуру. Можно определить J на парах e, f базисных векторов формулами Je = f и Jf = −e, а затем продолжить по линейности на все V. Если (v 1,…, v n) является базисом для комплексного векторного пространства V J, затем (v 1, Jv 1,…, v n, Jv n) является базисом для лежащего в основе реального пространства V.
Действительное линейное преобразование A: V → V - это комплексное линейное преобразование соответствующего комплексного пространства. V Jтогда и только тогда, когда A коммутирует с J, то есть тогда и только тогда, когда
Аналогично, вещественное подпространство U в V является комплексным подпространством V J тогда и только тогда, когда J сохраняет U, т. е. тогда и только если
Основным примером линейной комплексной структуры является структура на R, происходящая из сложной структуры на C . То есть комплексное n-мерное пространство C также является реальным 2n-мерным пространством - с использованием того же векторного сложения и действительного скалярного умножения - в то время как умножение на комплексное число i - это не только комплексное линейное преобразование пространство, рассматриваемое как сложное векторное пространство, но также реальное линейное преобразование пространства, рассматриваемое как реальное векторное пространство. Конкретно это потому, что скалярное умножение на i коммутируется со скалярным умножением на действительные числа - и распределяет по сложению векторов. Как комплексная матрица размера n × n, это просто скалярная матрица с i на диагонали. Соответствующая вещественная матрица 2n × 2n обозначается J.
Учитывая базис для комплексного пространства, этот набор вместе с этими векторами, умноженными на i, а именно образуют основу для реального пространства. Существует два естественных способа упорядочить этот базис, в зависимости от того, записывается ли тензорное произведение как или вместо этого как
Если упорядочить базис как тогда матрица для J принимает форму блочной диагонали (для указания размера добавлены нижние индексы):
Преимущество этого порядка в том, что он учитывает прямой суммы сложных векторных пространств, что означает здесь, что основа для то же самое, что и для
С другой стороны, если упорядочить базис как , то матрица для J является блочно-антидиагональной:
Этот порядок более естественен, если думать о реальном пространстве как прямая сумма вещественных пространств, как описано ниже.
Данные реального векторного пространства и матрицы J точно такие же, как данные комплексного векторного пространства, поскольку матрица J позволяет определять комплексное умножение. На уровне алгебр Ли и групп Ли это соответствует включению gl (n, C ) в gl (2n, R ) (алгебры Ли - матрицы, не обязательно обратимые) и GL (n, C) в GL (2n, R ):
Включение соответствует забыванию сложной структуры (и сохранению только действительного), в то время как подгруппа GL (n, C ) может быть охарактеризована (задана в уравнениях) как матрицы, которые коммутируют с J:
Соответствующее утверждение об алгебрах Ли состоит в том, что подалгебра gl (n, C ) комплексных матриц - это те скобка Ли с J исчезает, что означает другими словами, как ядро карты заключения в скобки с J,
Обратите внимание, что определяющими уравнениями для этих операторов являются sa меня, поскольку совпадает с , что то же самое, что и , хотя значение исчезновения скобки Ли не столь очевидно геометрически, как значение поездок на работу.
Если V - любое вещественное векторное пространство, существует каноническая комплексная структура на прямой сумме V ⊕ V, заданной как
блочная матрица форма J имеет вид
где - тождественное отображение на V. Это соответствует комплексной структуре на тензорном произведении
Если B является билинейной формой на V, тогда мы говорят, что J сохраняет B, если
для всех u, v ∈ V. Эквивалентная характеризация состоит в том, что J является кососопряженным относительно B:
Если g является внутренним продуктом на V, то J сохраняет g тогда и только тогда, когда J является ортогональным преобразованием. Точно так же J сохраняет невырожденную, кососимметричную форму ω тогда и только тогда, когда J является симплектическим преобразованием (т.е. если ω (Ju, Jv) = ω (u, v)). Для симплектических форм ω обычно существует дополнительное ограничение совместимости между J и ω, а именно
для всех ненулевых u в V. Если это условие выполнено, то говорят, что J приручит ω.
Для симплектической формы ω и линейной комплексной структуры J можно определить ассоциированную симметричную билинейную форму g J на V J
Поскольку симплектическая форма невырождена, ассоциированная билинейная форма также является невырожденной. Более того, ассоциированная форма сохраняется J тогда и только тогда, когда симплектическая форма является, и если ω приручена J, то ассоциированная форма является положительно определенный. Таким образом, в этом случае ассоциированной формой является эрмитова форма, а V J - это внутреннее пространство продукта.
Для любого вещественного векторного пространства V мы можем определить его комплексификацию с помощью расширения скаляров :
Это комплексное векторное пространство, комплексная размерность которого равна реальной размерности V. Он имеет каноническое комплексное спряжение, определенное как
Если J - комплексная структура на V, мы можем расширить J по линейности до V:
Поскольку C является алгебраически замкнутым, J гарантированно имеет собственных значений, которые удовлетворяют λ = −1, а именно λ = ± i. Таким образом, мы можем написать
где V и V - это собственных подпространств of + i и −i соответственно. Комплексное сопряжение меняет местами V и V. Отображения проекций на собственные подпространства задаются как
Так что
Существует естественный комплексный линейный изоморфизм между V J и V, так что эти векторные пространства можно рассматривать как одно и то же, в то время как V можно рассматривать как комплексно сопряженное V J.
. Обратите внимание, что если V J имеет комплексную размерность n, то оба V и V имеют комплексную размерность n, а V - комплексную размерность 2n.
Абстрактно, если начать с комплексного векторного пространства W и взять комплексификацию лежащего в основе реального пространства, то получится пространство, изоморфное прямой сумме W и его сопряженного:
Пусть V - вещественное векторное пространство с комплексным структура J. двойственное пространство V * имеет естественную комплексную структуру J *, заданную двойственным (или транспонированным ) пространством J. Таким образом, комплексификация двойственного пространства (V *) имеет естественное разложение
в собственные подпространства ± i J *. При естественном отождествлении (V *) с (V) * можно охарактеризовать (V *) как те комплексные линейные функционалы, которые обращаются в нуль на V. Подобным образом (V *) состоит из тех комплексных линейных функционалов, которые обращаются в нуль на V.
(Комплексный) тензор, симметричный и внешние алгебры над V также допускают разложения. Внешняя алгебра, пожалуй, самое важное применение этого разложения. В общем случае, если векторное пространство U допускает разложение U = S ⊕ T, то внешние степени U могут быть разложены следующим образом:
Сложная структура J на V поэтому индуцирует разложение
где
Все внешние степени берутся над комплексными числами. Итак, если V J имеет комплексную размерность n (действительная размерность 2n), то
Размеры складываются правильно как следствие идентичности Вандермонда.
Пространство (p, q) -форм Λ V J * - это пространство (комплексных) полилинейных форм на V, которые обращаются в нуль на однородных элементах, если p не из V, а q из V. Также можно рассматривать Λ V J * как пространство реальных полилинейных отображений от V J до C, которые являются комплексными. линейные по p и сопряженно-линейные по q.
См. комплексную дифференциальную форму и почти комплексное многообразие для приложений этих идей.