Блочная матрица

редактировать

В математике блочная матрица или секционированная матрица - это матрица , которая интерпретируется как разбитая на разделы, называемые блоками или подматрицами . Интуитивно матрица, интерпретируемая как блочная матрица, может быть визуализирована как исходная матрица с набором горизонтальных и вертикальных линий, которые разбивают ее или разбивают на набор матриц меньшего размера. Любая матрица может интерпретироваться как блочная матрица одним или несколькими способами, причем каждая интерпретация определяется тем, как ее строки и столбцы разделены.

Это понятие можно уточнить для $n {\ displaystyle n}$ $n$ на $m {\ displaystyle m}$ $m$ матрицы $M {\ displaystyle M}$ $M$ путем разделения $n {\ displaystyle n}$ $n$ на коллекцию $rowgroups {\ displaystyle rowgroups}$ $группы строк$ , а затем разделение $m {\ displaystyle m}$ $m$ на коллекцию $colgroups {\ displaystyle colgroups}$ $colgroups$ . Исходная матрица затем рассматривается как "сумма" этих групп в том смысле, что элемент $(i, j) {\ displaystyle (i, j)}$ $(i, j)$ исходной матрицы соответствует в 1-к-1 способом с некоторым $(s, t) {\ displaystyle (s, t)}$ $(s, t)$ смещением записи некоторого $(x, y) {\ displaystyle (x, y)}$ $(x,y)$ , где $x ∈ rowgroups {\ displaystyle x \ in {\ mathit {rowgroups}}}$ $x \ in \ mathit {rowgroups}$ и $y ∈ colgroups {\ displaystyle y \ in {\ mathit {colgroups}}}$ $y \ in \ mathit {colgroups}$ .

Алгебра блочных матриц обычно возникает из двойных произведений в категориях матриц.

Содержание

1 Пример
2 Умножение блочной матрицы
3 Инверсия блочной матрицы
4 Блочные диагональные матрицы
5 Блочные трехдиагональные матрицы
6 Блочные матрицы Теплица
7 Блочное транспонирование
8 Прямая сумма
9 Прямой продукт
10 Приложение
11 Примечания
12 Ссылки

Пример

Блочная матрица размером 168 × 168 элементов с подгруппами 12 × 12, 12 × 24, 24x12 и 24 × 24 Матрицы. Ненулевые элементы выделены синим цветом, нулевые элементы - серым.

Матрица

P = [1 2 2 7 1 5 6 2 3 3 4 5 3 3 6 7] {\ displaystyle \ mathbf {P} = {\ begin {bmatrix} 1 2 2 7 \\ 1 5 6 2 \\ 3 3 4 5 \\ 3 3 6 7 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle \ mathbf {P} = {\ begin {bmatrix} 1 2 2 7 \ \ 1 5 6 2 \\ 3 3 4 5 \\ 3 3 6 7 \ end {bmatrix}}}

можно разбить на четыре блока 2 × 2

P 11 = [1 2 1 5], P 12 = [2 7 6 2], P 21 = [3 3 3 3], P 22 = [4 5 6 7]. {\ displaystyle \ mathbf {P} _ {11} = {\ begin {bmatrix} 1 2 \\ 1 5 \ end {bmatrix}}, \ quad \ mathbf {P} _ {12} = {\ begin {bmatrix} 2 7 \ \ 6 2 \ end {bmatrix}}, \ quad \ mathbf {P} _ {21} = {\ begin {bmatrix} 3 3 \\ 3 3 \ end {bmatrix}}, \ quad \ mathbf {P} _ {22} = {\ begin {bmatrix} 4 5 \\ 6 7 \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle \ mathbf {P} _ {11} = {\ begin {bmatrix} 1 2 \ \ 1 5 \ end {bmatrix}}, \ quad \ mathbf {P} _ {12} = {\ begin {bmatrix} 2 7 \\ 6 2 \ end {bmatrix}}, \ quad \ mathbf {P} _ {21} = {\ begin {bmatrix} 3 3 \\ 3 3 \ end {bmatrix}}, \ quad \ mathbf {P} _ {22} = {\ begin {bmatrix} 4 5 \\ 6 7 \ end {bmatrix}}.}

Разделенная матрица может быть записана как

P = [P 11 P 12 P 21 P 22]. {\ displaystyle \ mathbf {P} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {P} _ {11} \ mathbf {P} _ {12} \\\ mathbf {P} _ {21} \ mathbf {P } _ {22} \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle \ mathbf {P } = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {P} _ {11} \ mathbf {P} _ {12} \\\ mathbf {P} _ {21} \ mathbf {P} _ {22} \ end {bmatrix}}.}

Блочное умножение матриц

Можно использовать блочно-разбитое матричное произведение, которое включает только алгебру на подматрицах факторов. Однако разделение факторов не является произвольным и требует «согласованных разделов» между двумя матрицами $A {\ displaystyle A}$ $A$ и $B {\ displaystyle B}$ $B$ таким образом, чтобы были определены все продукты подматрицы, которые будут использоваться. Для матрицы $(m × p) {\ displaystyle (m \ times p)}$ $(m \ times p)$ $A {\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ с $q {\ displaystyle q}$ $q$ разделов строк и $s {\ displaystyle s}$ $s$ столбцов

A = [A 11 A 12 ⋯ A 1 s A 21 A 22 ⋯ A 2 s ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A q 1 A q 2 ⋯ A qs] {\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} _ {11} \ mathbf {A} _ { 12} \ cdots \ mathbf {A} _ {1s} \\\ mathbf {A} _ {21} \ mathbf {A} _ {22} \ cdots \ mathbf {A} _ {2s} \ \\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\\ mathbf {A} _ {q1} \ mathbf {A} _ {q2} \ cdots \ mathbf {A} _ {qs} \ end {bmatrix }}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} _ {11} \ mathbf {A} _ {12} \ cdots \ mathbf {A} _ {1s} \\\ mathbf {A} _ {21} \ mathbf {A} _ { 22} \ cdots \ mathbf {A} _ {2s} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\\ mathbf {A} _ {q1} \ mathbf {A} _ {q2} \ cdots \ mathbf {A} _ {qs} \ end {bmatrix}}}

и $(p × n) {\ displaystyle (p \ times n)}$ ${\ displaystyle (p \ times n)}$ матрица $B {\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ с $s {\ displaystyle s}$ $s$ разделами строк и $r {\ displaystyle r}$ $r$ разделами столбцов

B = [B 11 B 12 ⋯ B 1 р В 21 В 22 ⋯ В 2 р ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ В s 1 В s 2 ⋯ В sr], {\ displaystyle \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {B} _ {11} \ mathbf {B} _ {12} \ cdots \ mathbf {B} _ {1r} \\\ m athbf {B} _ {21} \ mathbf {B} _ {22} \ cdots \ mathbf {B} _ {2r} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\\ mathbf {B } _ {s1} \ mathbf {B} _ {s2} \ cdots \ mathbf {B} _ {sr} \ end {bmatrix}},}

{\ displaystyle \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {B} _ {11} \ mathbf {B} _ {12} \ cdots \ mathbf {B} _ {1r} \\\ mathbf {B} _ {21} \ mathbf {B} _ {22} \ cdots \ mathbf {B} _ {2r} \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\\ mathbf {B} _ {s1} \ mathbf {B} _ {s2} \ cdots \ mathbf {B} _ {sr} \ end {bmatrix}},}

, которые совместимы с разделами $A {\ displaystyle A}$ $A$ , матричный продукт

C = AB {\ displaystyle \ mathbf {C} = \ mathbf {A} \ mathbf {B}}

{\ displaystyle \ mathbf {C} = \ mathbf {A} \ mathbf {B}}

может быть сформирован поблочно, давая $C {\ displaystyle \ mathbf {C}}$ $\ mathbf {C}$ как матрица $(m × n) {\ displaystyle (m \ times n)}$ $(м \ раз п)$ с $q {\ displaystyle q}$ $q$ разделы строки и $r {\ displaystyle r}$ $r$ разделы столбца. Матрицы в результирующей матрице $C {\ displaystyle \ mathbf {C}}$ $\ mathbf {C}$ вычисляются путем умножения:

C q r = ∑ i = 1 s A q i B i r. {\ displaystyle \ mathbf {C} _ {qr} = \ sum _ {i = 1} ^ {s} \ mathbf {A} _ {qi} \ mathbf {B} _ {ir}.}

{\ displaystyle \ mathbf {C} _ {qr} = \ sum _ {i = 1} ^ {s} \ mathbf {A} _ { qi} \ mathbf {B} _ {ir}.}

Или, с использованием нотации Эйнштейна, которая неявно суммирует по повторяющимся индексам:

C qr = A qi B ir. {\ displaystyle \ mathbf {C} _ {qr} = \ mathbf {A} _ {qi} \ mathbf {B} _ {ir}.}

{\ displaystyle \ mathbf {C} _ {qr} = \ mathbf {A} _ {qi} \ mathbf {B} _ {ir}.}

Инверсия блочной матрицы

Если матрица разбита на четыре блока, его можно поблочно инвертировать следующим образом:

[ABCD] - 1 = [A - 1 + A - 1 B (D - CA - 1 B) - 1 CA - 1 - A - 1 B (D - CA - 1 B) - 1 - (D - CA - 1 B) - 1 CA - 1 (D - CA - 1 B) - 1], {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} \ mathbf {B} \\\ mathbf {C} \ mathbf {D} \ end {bmatrix}} ^ {- 1} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} ^ {- 1 } + \ mathbf {A} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ left (\ mathbf {D} - \ mathbf {CA} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ right) ^ {- 1} \ mathbf {CA} ^ {- 1} - \ mathbf {A} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ left (\ mathbf {D} - \ mathbf {CA} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ right) ^ {- 1} \\ - \ left (\ mathbf {D} - \ mathbf {CA} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ right) ^ {- 1} \ mathbf {CA} ^ { -1} \ left (\ mathbf {D} - \ mathbf {CA} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ right) ^ {- 1} \ end {bmatrix}},}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} \ mathbf {B} \\\ mathbf {C} \ mathbf {D} \ end {bmatrix}} ^ {- 1} = {\ begin {bmatrix } \ mathbf {A} ^ {- 1} + \ mathbf {A} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ left (\ mathbf {D} - \ mathbf {CA} ^ {- 1} \ mathbf {B } \ right) ^ {- 1} \ mathbf {CA} ^ {- 1} - \ mathbf {A} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ left (\ mathbf {D} - \ mathbf {CA} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ right) ^ {- 1} \\ - \ left (\ mathbf {D} - \ mathbf {CA} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ right) ^ { -1} \ mathbf {CA} ^ {- 1} \ left (\ mathbf {D} - \ mathbf {CA} ^ {- 1} \ mathbf {B} \ right) ^ {- 1} \ end {bmatrix }},}

где A, B, Cи D имеют произвольный размер. (A и D должны быть квадратными, чтобы их можно было инвертировать. Кроме того, A и D− CABдолжны быть обратимыми.)

Эквивалентно, переставляя блоки:

[ABCD] - 1 = [(A - BD - 1 C) - 1 - (A - BD - 1 C) - 1 BD - 1 - D - 1 C (A - BD - 1 C) - 1 D - 1 + D - 1 C (A - BD - 1 C) - 1 BD - 1]. {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} \ mathbf {B} \\\ mathbf {C} \ mathbf {D} \ end {bmatrix}} ^ {- 1} = {\ begin {bmatrix } \ left (\ mathbf {A} - \ mathbf {BD} ^ {- 1} \ mathbf {C} \ right) ^ {- 1} - \ left (\ mathbf {A} - \ mathbf {BD} ^ {-1} \ mathbf {C} \ right) ^ {- 1} \ mathbf {BD} ^ {- 1} \\ - \ mathbf {D} ^ {- 1} \ mathbf {C} \ left (\ mathbf {A} - \ mathbf {BD} ^ {- 1} \ mathbf {C} \ right) ^ {- 1} \ quad \ mathbf {D} ^ {- 1} + \ mathbf {D} ^ {- 1 } \ mathbf {C} \ left (\ mathbf {A} - \ mathbf {BD} ^ {- 1} \ mathbf {C} \ right) ^ {- 1} \ mathbf {BD} ^ {- 1} \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} \ mathbf {B} \\\ mathbf {C} \ mathbf {D} \ end {bmatrix}} ^ {- 1} = {\ begin {bmatrix} \ left (\ mathbf {A} - \ mathbf {BD} ^ {- 1} \ mathbf {C} \ right) ^ {- 1} - \ left (\ mathbf {A} - \ mathbf {BD} ^ {- 1} \ mathbf {C} \ right) ^ {- 1} \ mathbf {BD} ^ {- 1} \\ - \ mathbf {D} ^ {- 1} \ mathbf {C} \ left (\ mathbf {A} - \ mathbf {BD} ^ {- 1} \ mathbf {C} \ right) ^ {- 1} \ quad \ mathbf {D} ^ {- 1} + \ mathbf {D} ^ {- 1} \ mathbf {C} \ left (\ mathbf {A} - \ mathbf {BD} ^ {- 1} \ mathbf {C} \ right) ^ {- 1} \ mathbf {BD} ^ {- 1} \ end {bmatrix}}.}

Здесь D и A− BDCдолжны быть обратимыми.

Для получения дополнительной информации и вывода с использованием блочного разложения LDU см. Дополнение Шура.

Блочно-диагональные матрицы

A блочно-диагональная матрица - это блочная матрица, которая является квадратной матрицей таким образом, что блоки главной диагонали являются квадратными матрицами, а все недиагональные блоки являются нулевыми матрицами. То есть блочно-диагональная матрица A имеет вид

A = [A 1 0 ⋯ 0 0 A 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ A n] {\ displaystyle \ mathbf {A } = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} _ {1} 0 \ cdots 0 \\ 0 \ mathbf {A} _ {2} \ cdots 0 \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ 0 0 \ cdots \ mathbf {A} _ {n} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} _ {1} 0 \ cdots 0 \\ 0 \ mathbf {A} _ {2} \ cdots 0 \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ 0 0 \ cdots \ mathbf {A} _ {n} \ end {bmatrix}}}

где Ak- квадратная матрица для всех k = 1,..., n. Другими словами, матрица A представляет собой прямую сумму для A1,..., An. Он также может обозначаться как A1⊕ A2⊕... ⊕ Anили diag (A1, A2,..., An) (последний - тот же формализм, который используется для диагональной матрицы ). Любую квадратную матрицу можно тривиально рассматривать как блочно-диагональную матрицу только с одним блоком.

Для определителя и трассировки выполняются следующие свойства

det A = det A 1 × ⋯ × det A n, tr ⁡ A = tr ⁡ А 1 + ⋯ + tr ⁡ A n. {\ displaystyle {\ begin {align} \ det \ mathbf {A} = \ det \ mathbf {A} _ {1} \ times \ cdots \ times \ det \ mathbf {A} _ {n}, \\\ имя оператора {tr} \ mathbf {A} = \ operatorname {tr} \ mathbf {A} _ {1} + \ cdots + \ operatorname {tr} \ mathbf {A} _ {n}. \ end {выровнено}} }

{\ displaystyle {\ begin {align} \ det \ mathbf {A} = \ det \ mathbf {A} _ {1} \ times \ cdots \ times \ det \ mathbf {A} _ {n}, \ \\ operatorname {tr} \ mathbf {A} = \ operatorname {tr} \ mathbf {A} _ {1} + \ cdots + \ operatorname {tr} \ mathbf {A} _ {n}. \ end {выровнено }}}

Блочно-диагональная матрица обратима тогда и только тогда, когда каждый из ее главных-диагональных блоков обратим, и в этом случае ее обратная матрица - это другая блочно-диагональная матрица, заданная как

(A 1 0 ⋯ 0 0 A 2 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ A n) - 1 = (A 1 - 1 0 ⋯ 0 0 A 2 - 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ A n - 1). {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ mathbf {A} _ {1} 0 \ cdots 0 \\ 0 \ mathbf {A} _ {2} \ cdots 0 \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ 0 0 \ cdots \ mathbf {A} _ {n} \ end {pmatrix}} ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {A} _ {1} ^ {- 1} 0 \ cdots 0 \\ 0 \ mathbf {A} _ {2} ^ {- 1} \ cdots 0 \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ 0 0 \ cdots \ mathbf {A} _ {n } ^ {- 1} \ end {pmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ mathbf {A} _ {1} 0 \ cdots 0 \\ 0 \ mathbf {A} _ {2} \ cdots 0 \\\ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ 0 0 \ cdots \ mathbf {A} _ {n} \ end {pmatrix}} ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {A} _ {1} ^ {- 1} 0 \ cdots 0 \\ 0 \ mathbf {A} _ {2} ^ {- 1} \ cdots 0 \\ \ vdots \ vdots \ ddots \ vdots \\ 0 0 \ cdots \ mathbf {A} _ {n} ^ {- 1} \ end {pmatrix}}.}

Собственные значения и собственные векторы $A {\ displaystyle A}$ $A$ - это просто таковые для $A 1 {\ displaystyle A_ {1}}$ $A_ {1}$ и $A 2 {\ displaystyle A_ {2}}$ $A_ {2}$ и... и $A n {\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ вместе взятые.

Блочные трехдиагональные матрицы

A Блочная трехдиагональная матрица - это еще одна специальная блочная матрица, которая аналогична блочно-диагональной матрице квадратной матрице, имеющей квадратные матрицы (блоки) в нижняя диагональ, главная диагональ и верхняя диагональ, при этом все остальные блоки представляют собой нулевые матрицы. По сути, это трехдиагональная матрица , но в ней есть подматрицы вместо скаляров. Блочная трехдиагональная матрица A имеет вид

A = [B 1 C 1 ⋯ 0 A 2 B 2 C 2 ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ A k B k C k ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ A n - 1 B n - 1 C n - 1 0 ⋯ A n B n] {\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {B} _ {1} \ mathbf {C} _ {1} \ cdots 0 \\\ mathbf {A} _ {2} \ mathbf {B} _ {2} \ mathbf {C} _ {2} \\ \ ddots \ ddots \ ddots \ vdots \ \ \ mathbf {A} _ {k} \ mathbf {B} _ {k} \ mathbf {C} _ {k} \\\ vdots \ ddots \ ddots \ ddots \\ \ mathbf {A} _ {n-1} \ mathbf {B} _ {n-1} \ mathbf {C} _ {n-1} \\ 0 \ cdots \ mathbf {A} _ {n} \ mathbf {B} _ {n} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {B} _ {1} \ mathbf {C} _ {1} \ cdots 0 \\\ mathbf {A} _ {2} \ mathbf {B} _ {2} \ mathbf {C} _ {2} \\ \ ddots \ ddots \ ddots \ vdots \\ \ mathbf {A} _ {k} \ mathbf {B} _ {k} \ mathbf {C} _ {k} \\\ vdots \ ddots \ ddots \ ddots \\ \ mathbf {A} _ {n-1} \ mathbf {B} _ {n-1} \ mathbf {C} _ {n-1} \\ 0 \ cdots \ mathbf {A} _ {n} \ mathbf {B} _ {n} \ end {bmatrix}}}

где Ak, Bkи Ck- квадратные подматрицы нижней, главной и верхней диагонали соответственно.

Блочные трехдиагональные матрицы часто встречаются при численных решениях инженерных задач (например, вычислительная гидродинамика ). Доступны оптимизированные численные методы для факторизации LU и, следовательно, эффективные алгоритмы решения для систем уравнений с блочной трехдиагональной матрицей в качестве матрицы коэффициентов. Алгоритм Томаса, используемый для эффективного решения систем уравнений, включающих трехдиагональную матрицу, также может применяться с использованием матричных операций для блокирования трехдиагональных матриц (см. Также Блочная декомпозиция LU ).

Блок-матрицы Теплица

A Блок-матрица Теплица - это еще одна специальная блочная матрица, которая содержит блоки, которые повторяются по диагоналям матрицы, так как матрица Теплица имеет повторяющиеся элементы по диагонали. Отдельные элементы блочной матрицы Aij также должны быть тёплицевой матрицей.

Блочная матрица Теплица A имеет вид

A = [A (1, 1) A (1, 2) ⋯ A (1, n - 1) A (1, n) A (2, 1) A (1, 1) A (1, 2) A (1, n - 1) ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ A (2, 1) A (1, 1) A (1, 2) ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ A (n - 1, 1) A (2, 1) A (1, 1) A (1, 2) A (n, 1) A (n - 1, 1) ⋯ A (2, 1) А (1, 1)]. {\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} _ {(1,1)} \ mathbf {A} _ {(1,2)} \ cdots \ mathbf {A } _ {(1, n-1)} \ mathbf {A} _ {(1, n)} \\\ mathbf {A} _ {(2,1)} \ mathbf {A} _ {(1, 1)} \ mathbf {A} _ {(1,2)} \ mathbf {A} _ {(1, n-1)} \\ \ ddots \ ddots \ ddots \ vdots \\ \ mathbf {A} _ {(2,1)} \ mathbf {A} _ {(1,1)} \ mathbf {A} _ {(1,2)} \\\ vdots \ ddots \ ddots \ ddots \\\ mathbf {A} _ {(n-1,1)} \ mathbf {A} _ {(2,1)} \ mathbf {A} _ {(1,1)} \ mathbf {A} _ {(1,2)} \\\ mathbf {A} _ {(n, 1)} \ mathbf {A} _ {(n-1,1)} \ cdots \ mathbf {A} _ {(2,1)} \ mathbf {A} _ {(1,1)} \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {A} _ {(1,1)} \ mathbf {A} _ {(1,2)} \ cdots \ mathbf { A} _ {(1, n-1)} \ mathbf {A} _ {(1, n)} \\\ mathbf {A} _ {(2,1)} \ mathbf {A} _ {( 1,1)} \ mathbf {A} _ {(1,2)} \ mathbf {A} _ {(1, n-1)} \\ \ ddots \ ddots \ ddots \ vdots \ \ \ mathbf {A} _ {(2,1)} \ mathbf {A} _ {(1,1)} \ mathbf {A} _ {(1,2)} \\\ vdots \ ddots \ ddots \ ddots \\\ mathbf {A} _ {(n-1,1)} \ mathbf {A} _ {(2,1)} \ mathbf {A} _ {(1, 1)} \ mathbf {A} _ {(1,2)} \\\ mathbf {A} _ {(n, 1)} \ mathbf {A} _ {(n-1,1)} \ cdots \ mathbf {A} _ {(2,1)} \ mathbf {A} _ {(1,1)} \ end {bmatrix}}.}

Транспонирование блока

Специальная форма матрицы транспонирование также может быть определено для блочных матриц, где отдельные блоки переупорядочиваются, но не транспонируются. Пусть $A = (B ij) {\ displaystyle A = (B_ {ij})}$ ${\ displaystyle A = (B_ {ij})}$ будет a $k × l {\ displaystyle k \ times l}$ ${\ displaystyle k \ times l}$ блочная матрица с $m × n {\ displaystyle m \ times n}$ $m \ times n$ блоками $B ij {\ displaystyle B_ {ij}}$ $B_ {ij}$ , транспонирование блока $A {\ displaystyle A}$ $A$ - это $l × k {\ displaystyle l \ times k}$ ${\ displaystyle l \ times k}$ блочная матрица $AB {\ displaystyle A ^ {\ mathcal { B}}}$ ${\ displaystyle A ^ {\ mathcal { B}}}$ с $m × n {\ displaystyle m \ times n}$ $m \ times n$ блоками $(AB) ij = B ji {\ displaystyle (A ^ {\ mathcal {B}}) _ {ij} = B_ {ji}}$ ${\ displaystyle (A ^ {\ mathcal {B}}) _ {ij} = B_ {ji}}$ .

Как и в случае с обычным оператором трассировки, транспонирование блока - это линейное отображение, такое что $(A + C) B = AB + CB {\ displaystyle (A + C) ^ {\ mathcal {B}} = A ^ {\ mathcal {B}} + C ^ {\ mathcal {B}}}$ ${\ displaystyle (A + C) ^ {\ mathcal {B}} = A ^ {\ mathcal {B}} + C ^ {\ mathcal {B}}}$ . Однако в целом свойство $(AC) B = CBAB {\ displaystyle (AC) ^ {\ mathcal {B}} = C ^ {\ mathcal {B}} A ^ {\ mathcal {B}}}$ ${\ Displaystyle (AC) ^ {\ mathcal {B}} = C ^ {\ mathcal {B}} A ^ {\ mathcal {B}}}$ не выполняется, если блоки $A {\ displaystyle A}$ $A$ и $C {\ displaystyle C}$ $C$ не коммутируются.

Прямая сумма

Для любых произвольных матриц A (размера m × n) и B (размера p × q) имеем прямая сумма из A и B, обозначается A $⊕ {\ displaystyle \ oplus}$ $\ oplus$ Bи определяется как

A ⊕ B = [a 11 ⋯ a 1 n 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ am 1 ⋯ amn 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 b 11 b 1 q ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ 0 ⋯ 0 bp 1 ⋯ bpq]. {\ displaystyle \ mathbf {A} \ oplus \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} a_ {11} \ cdots a_ {1n} 0 \ cdots 0 \\\ vdots \ cdots \ vdots \ vdots \ cdots \ vdots \\ a_ {m1} \ cdots a_ {mn} 0 \ cdots 0 \\ 0 \ cdots 0 b_ {11} \ cdots b_ {1q} \\\ vdots \ cdots \ vdots \ vdots \ cdots \ vdots \\ 0 \ cdots 0 b_ {p1} \ cdots b_ {pq} \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle \ mathbf {A } \ oplus \ mathbf {B} = {\ begin {bmatrix} a_ {11} \ cdots a_ {1n} 0 \ cdots 0 \\\ vdots \ cdots \ vdots \ vdots \ cdots \ vdots \ \ a_ {m1} \ cdo ts a_ {mn} 0 \ cdots 0 \\ 0 \ cdots 0 b_ {11} \ cdots b_ {1q} \\\ vdots \ cdots \ vdots \ vdots \ cdots \ vdots \\ 0 \ cdots 0 b_ {p1} \ cdots b_ {pq} \ end {bmatrix}}.}

Например,

[1 3 2 2 3 1] ⊕ [1 6 0 1] = [1 3 2 0 0 2 3 1 0 0 0 0 0 1 6 0 0 0 0 1]. {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 3 2 \\ 2 3 1 \ end {bmatrix}} \ oplus {\ begin {bmatrix} 1 6 \\ 0 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 3 2 0 0 \\ 2 3 1 0 0 \\ 0 0 0 1 6 \\ 0 0 0 0 1 \ end {bmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 3 2 \\ 2 3 1 \ end {bmatrix}} \ oplus {\ begin {bmatrix} 1 6 \\ 0 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 3 2 0 0 \\ 2 3 1 0 0 \\ 0 0 0 1 6 \\ 0 0 0 0 1 \ end {bmatrix}}.}

Эта операция естественным образом обобщается на массивы произвольных размеров (при условии, что A и B имеют одинаковое количество измерений).

Обратите внимание, что любой элемент в прямой сумме двух векторных пространств матриц может быть представлен как прямая сумма двух матриц.

Прямой продукт

Приложение

В терминах линейной алгебры использование блочной матрицы соответствует наличию линейного отображения мыслится в терминах соответствующих «пучков» базисных векторов. Это снова совпадает с идеей различения разложений прямой суммы домена и диапазона. Всегда особенно важно, если блоком является нулевая матрица ; который несет информацию, которую слагаемое отображает в подсумму.

Учитывая интерпретацию с помощью линейных отображений и прямых сумм, существует специальный тип блочной матрицы, который встречается для квадратных матриц (случай m = n). Для них мы можем принять интерпретацию как эндоморфизм n-мерного пространства V; блочная структура, в которой группировка строк и столбцов одинакова, важна, потому что она соответствует разложению одной прямой суммы на V (а не двум). В этом случае, например, все диагональные блоки в очевидном смысле являются квадратными. Этот тип структуры требуется для описания нормальной формы Джордана.

Этот метод используется для сокращения вычислений матриц, разложения столбцов на строки и многих компьютерных приложений, включая Конструкция микросхемы СБИС. Примером может служить алгоритм Штрассена для быстрого матричного умножения, а также кодирование Хэмминга (7,4) для обнаружения ошибок и восстановления при передаче данных.

Примечания

Ссылки

Стрэнг, Гилберт (1999). «Лекция 3: Умножение и обратные матрицы». Посуда открытого курса MIT. 18: 30–21: 10.