Нотация Эйнштейна

В математике, особенно в приложениях линейная алгебра от до физика, нотация Эйнштейна или соглашение о суммировании Эйнштейна - это соглашение об обозначениях, которое подразумевает суммирование по набору проиндексированных членов в формуле, таким образом достигается краткость обозначений. В рамках математики это обозначение подмножества исчисления Риччи ; однако он часто используется в приложениях в физике, которые не различают касательное и котангенсное пространства. Он был введен в физику Альбертом Эйнштейном в 1916 году.

• 1 Введение
  • 1.1 Условное обозначение
  • 1.2 Применение
• 2 Векторные представления
  • 2.1 Верхние индексы и нижние индексы по сравнению только с нижними индексами
  • 2.2 Мнемоника
  • 2.3 Абстрактное описание
• 3 Общие операции в этой нотации
  • 3.1 Внутреннее произведение (следовательно, векторное скалярное произведение)
  • 3.2 Векторное произведение перекрестных чисел
  • 3.3 Матрица- векторное умножение
  • 3.4 Умножение матриц
  • 3.5 Трассировка
  • 3.6 Внешний продукт
  • 3.7 Увеличение и уменьшение индексов
• 4 См. также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Библиография
• 8 Внешние ссылки

Условное обозначение

Согласно этому соглашению, когда индексная переменная появляется дважды в одном термине и не определена иначе (см. free и связанные переменные ), это подразумевает суммирование этого члена по всем значениям индекса. Таким образом, если индексы могут находиться в диапазоне , установите {1, 2, 3},

$y\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; 3\; cixi\; =\; c\; 1\; x\; 1\; +\; c\; 2\; x\; 2\; +\; c\; 3\; x\; 3\; \{\; \backslash \; displaystyle\; y\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{3\}\; c\_\; \{i\}\; x\; ^\; \{i\}\; =\; c\_\; \{1\}\; x\; ^\; \{1\}\; +\; c\_\; \{2\}\; x\; ^\; \{2\}\; +\; c\_\; \{3\}\; x\; ^\; \{3\}\}$

упрощено по соглашению до:

$y\; =\; cixi.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; c\_\; \{i\}\; x\; ^\; \{i\}.\}$

Верхние индексы не являются экспонентами, а являются индексами координат, коэффициентами или базисными векторами. То есть в этом контексте x следует понимать как второй компонент x, а не как квадрат x (иногда это может приводить к двусмысленности). Верхнее положение индекса в x обусловлено тем, что, как правило, индекс встречается один раз в верхней (верхний индекс) и один раз в нижней (нижний) позиции в термине (см. § Приложение ниже). Обычно (x x x) эквивалентно традиционному (x y z).

В общей теории относительности принято считать, что

• греческий алфавит используется для компонентов пространства и времени, где индексы принимают значения 0, 1, 2 или 3 (часто используемые буквы - μ, ν,...),
• латинский алфавит используется только для пространственных компонентов, где индексы принимают значения 1, 2 или 3 (часто используемые буквы: i, j,...),

В общем, индексы могут располагаться в любом индексном наборе, включая бесконечный набор. Это не следует путать с типографически похожим соглашением, используемым для различения нотации тензорного индекса и тесно связанной, но отличной от базисно-независимой абстрактной нотации индекса.

Суммируемый индекс является суммированием index, в данном случае "i". Он также называется фиктивным индексом , поскольку любой символ может заменить «i» без изменения значения выражения при условии, что он не конфликтует с индексными символами в том же термине.

Индекс, который не суммируется, является свободным индексом и должен появляться только один раз за термин. Если такой индекс действительно появляется, он обычно также появляется в терминах, принадлежащих той же сумме, за исключением специальных значений, таких как ноль.

Приложение

Нотация Эйнштейна может применяться несколько иначе. Обычно каждый указатель встречается один раз в верхнем (верхний индекс) и один раз в нижнем (нижний) позициях в термине; однако это соглашение может применяться в более общем смысле к любым повторяющимся индексам в пределах термина. При работе с ковариантными и контравариантными векторами, где позиция индекса также указывает тип вектора, обычно применяется первый случай; ковариантный вектор может быть сокращен только с контравариантным вектором, соответствующим суммированию произведений коэффициентов. С другой стороны, когда есть фиксированный базис координат (или когда не рассматриваются векторы координат), можно выбрать использование только индексов; см. § Верхние и нижние индексы в сравнении только с нижними индексами ниже.

Верхние индексы и нижние индексы по сравнению только с нижними индексами

В терминах ковариации и контравариантности векторов,

• верхние индексы представляют компоненты контравариантных векторов (векторы ),
• нижние индексы представляют собой компоненты ковариантных векторов (ковекторы ).

Они преобразуются контравариантно или ковариантно, соответственно, относительно изменения базиса.

В знак признания этого факта в следующих обозначениях используется один и тот же символ как для вектора или ковектора, так и для его компонентов, например:

$v\; =\; viei\; =\; [e\; 1\; e\; 2\; \cdots \; en]\; [v\; 1\; v\; 2\; ⋮\; vn]\; w\; =\; wiei\; =\; [w\; 1\; w\; 2\; \cdots \; wn]\; [e\; 1\; e\; 2\; ⋮\; en]\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; v\; ^\; \{i\}\; e\_\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; e\_\; \{1\}\; e\_\; \{2\; \}\; \backslash \; cdots\; e\_\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; v\; ^\; \{1\}\; \backslash \backslash \; v\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; v\; ^\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; qquad\; w\; =\; w\_\; \{i\}\; e\; ^\; \{i\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; w\_\; \{1\}\; w\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; w\_\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; e\; ^\; \{1\; \}\; \backslash \backslash \; e\; ^\; \{2\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; e\; ^\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

где v - вектор, а v - его компоненты (не i-й ковектор v), w - ковектор, а w i - его компоненты. Элементы базисного вектора $ei\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{i\}\}$являются векторами-столбцами, а базисные элементы ковектора $ei\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{i\}\}$- ковекторы каждой строки. (См. Также Абстрактное описание; двойственность ниже и примеры )

При наличии невырожденной формы (изоморфизм V → V, например, риманова метрика или метрика Минковского ), можно повышать и понижать индексы.

Базис дает такую ​​форму (через дуальный базис ), следовательно, при работе с ℝ с Евклидова метрика и фиксированный ортонормированный базис, можно работать только с индексами.

Однако, если изменить координаты, способ изменения коэффициентов зависит от дисперсии объекта, и нельзя игнорировать различие ; см. ковариация и контравариантность векторов.

Мнемоника

В приведенном выше примере векторы представлены как матрицы размера n × 1 (векторы-столбцы), а ковекторы представлены как матрицы 1 × n (ковекторы строк)

При использовании соглашения о векторе столбца:

• "Upна индексы переходят вверх вниз; l на индексы переходят l на справа. "
• "Coварианты тензоров: row vec торы с индексами ниже(co-row-below)."
• Ковекторы - это векторы-строки:

  $[w\; 1\; \cdots \; w\; k].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; w\_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; w\_\; \{k\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

  Следовательно, нижний индекс указывает, в каком столбце вы находитесь.
• Контравариантные векторы являются векторами-столбцами:

  $[v\; 1\; ⋮\; vk]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; v\; ^\; \{1\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; v\; ^\; \{k\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

  Следовательно, верхний индекс указывает, в какой строке вы находитесь.

Абстрактное описание

Достоинством системы обозначений Эйнштейна является то, что они представляют инвариантные величины в простой форме.

В физике скаляр инвариантен относительно преобразований базиса. В частности, скаляр Лоренца инвариантен относительно преобразования Лоренца. Отдельных терминов в сумме нет. При изменении базиса компоненты вектора изменяются линейным преобразованием, описываемым матрицей. Это привело Эйнштейна к предложению соглашения о том, что повторяющиеся индексы подразумевают, что суммирование должно выполняться.

Что касается ковекторов, то они меняются обратной матрицей. Это сделано для того, чтобы гарантировать, что линейная функция, связанная с ковектором, сумма, указанная выше, одинакова независимо от того, на каком основании.

Ценность соглашения Эйнштейна состоит в том, что оно применяется к другим векторным пространствам, построенным из V с использованием тензорного произведения и двойственности. Например, V ⊗ V, тензорное произведение V на себя, имеет базис, состоящий из тензоров вида eij= ei⊗ ej. Любой тензор T в V ⊗ V можно записать как:

$T\; =\; T\; ijeij\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{T\}\; =\; T\; ^\; \{ij\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{ij\}\}$.

V *, двойственное к V, имеет базис e, e,..., e, который подчиняется правилу

$ei\; (ej)\; =\; \delta \; ji.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; ^\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{j\})\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{j\}\; ^\; \{i\}.\}$

где δ - дельта Кронекера. Как

$Hom\; \; (V,\; W)\; =\; V\; \ast \; \otimes \; W\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Hom\}\; (V,\; W)\; =\; V\; ^\; \{*\}\; \backslash \; otimes\; W\}$

координаты строки / столбца в матрице соответствуют верхнему / нижнему индексу на тензорном произведении.

В нотации Эйнштейна обычная ссылка на элемент A mn для m-й строки и n-го столбца матрицы A становится А п. Тогда мы можем записать следующие операции в обозначениях Эйнштейна следующим образом.

Внутреннее произведение (отсюда также векторное скалярное произведение )

Используя ортогональный базис, внутреннее произведение представляет собой сумму соответствующих компонентов, умноженных вместе:

$u\; \cdot \; v\; =\; ujvj\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; u\_\; \{j\}\; v\; ^\; \{j\}\}$

Это также можно вычислить, умножив ковектор на вектор.

Векторное векторное произведение

Опять же, используя ортогональный базис (в трех измерениях), перекрестное произведение по сути включает суммирование по перестановкам компонентов:

$u\; \times \; v\; =\; \epsilon \; ijkujvkei\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{i\}\; \{\}\; \_\; \{jk\}\; u\; ^\; \{j\}\; v\; ^\; \{k\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{i\}\}$

где

$\epsilon \; ijk\; =\; \delta \; il\; \epsilon \; ljk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{i\}\; \{\}\; \_\; \{jk\}\; =\; \backslash \; delta\; ^\; \{il\}\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ljk\}\}$

εijk - это символ Леви-Чивиты, а δ - это обобщенная дельта Кронекера. Исходя из этого определения ε, нет никакой разницы между ε jk и ε ijk, кроме положения индексов.

Умножение матрицы на вектор

Произведение матрицы A ij на вектор-столбец v j :

$ui\; =\; (A\; v)\; i\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; NA\; ijvj\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \_\; \{i\}\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{v\})\; \_\; \{i\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; A\_\; \{ij\}\; v\_\; \{j\}\; \}$

эквивалент

$ui\; =\; A\; ijvj\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; ^\; \{i\}\; =\; A\; ^\; \{i\}\; \{\}\; \_\; \{j\}\; v\; ^\; \{j\}\}$

Это особый случай умножения матриц..

Умножение матриц

Матричное произведение двух матриц A ij и B jk :

$C\; ik\; =\; (AB)\; ik\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; NA\; ij\; B\; jk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; \_\; \{ik\}\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\})\; \_\; \{ik\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; A\_\; \{ij\}\; B\_\; \{jk\}\}$

эквивалентно

$C\; ik\; =\; A\; ij\; B\; jk\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{i\}\; \{\}\; \_\; \{k\}\; =\; A\; ^\; \{i\}\; \{\}\; \_\; \{j\}\; B\; ^\; \{j\}\; \{\}\; \_\; \{k\}\}$

След

Для квадратной матрицы A j след представляет собой сумму диагональных элементов, следовательно, сумма по общему индексу A i.

Внешний продукт

Внешнее произведение вектора-столбца u на вектор-строку v j дает матрицу m × n A:

$A\; ij\; =\; uivj\; =\; (uv)\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{i\}\; \{\}\; \_\; \{j\}\; =\; u\; ^\; \{i\}\; v\_\; \{j\}\; =\; (uv)\; ^\; \{i\}\; \{\}\; \_\; \{j\}\}$

Поскольку я и j представляют собой два разных индекса, суммирование и индексы не исключаются при умножении.

Повышение и понижение индексов

Для данного тензора можно повысить или понизить индекс, сжав тензор с метрическим тензором , g μν. Например, возьмем тензор T β, можно поднять индекс:

$T\; \mu \; \alpha \; =\; g\; \mu \; \sigma \; T\; \sigma \; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; alpha\}\; =\; g\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; sigma\}\; T\; \_\; \{\backslash \; sigma\}\; \{\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}$

Или можно уменьшить индекс:

$T\; \mu \; \beta \; =\; g\; \mu \; \sigma \; T\; \sigma \; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; beta\}\; =\; g\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; sigma\}\; T\; ^\; \{\backslash \; sigma\}\; \{\}\; \_\; \{\backslash \; beta\}\}$

См. также

• Тензор
• Обозначение абстрактного индекса
• Обозначение Бра – Кет
• Графическое обозначение Пенроуза
• Обозначение Леви-Чивита
• Обозначение ДеВитта

Примечания

1. Это относится только к числовым индексам. Для абстрактных индексов ситуация обратная. Тогда сами векторы несут верхние абстрактные индексы, а ковекторы - нижние абстрактные индексы, как в примере из введения этой статьи. Элементы базиса векторов могут иметь нижний числовой индекс и верхний абстрактный индекс.

Список литературы

Библиография

• Купцов Л.П. (2001) [1994], Математическая энциклопедия, EMS Press.

Внешние ссылки

В Wikibook Общая теория относительности есть страница по теме: Нотация суммирования Эйнштейна

• Роулингс, Стив (2007 -02-01). «Лекция 10 - Соглашение Эйнштейна о суммировании и тождества векторов». Оксфордский университет. Архивировано с оригинала 06.01.2017. Проверено 2 июля 2008 г.
• «Понимание einsum NumPy». Переполнение стека.