Ортогональное преобразование

В линейной алгебре ортогональное преобразование - это линейное преобразование T: V → V на реальном внутреннем пространстве продукта V, которое сохраняет внутренний продукт. То есть для каждой пары u, v элементов V выполняется

$⟨u,\; v⟩\; =\; ⟨T\; u,\; T\; v⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; u,\; v\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; Tu,\; Tv\; \backslash \; rangle\; \backslash ,.\}$

Поскольку длины векторов и углы между ними определяются через внутреннее произведение, ортогональные преобразования сохраняют длины векторов и углов между ними. В частности, ортогональные преобразования отображают ортонормированные базисы в ортонормированные базисы.

Ортогональные преобразования в двух- или трехмерном евклидовом пространстве - это жесткие вращения, отражения или комбинации поворота и отражения ( также известный как неправильный поворот ). Отражения - это преобразования, которые меняют направление спереди назад, ортогонально плоскости зеркала, как это делают (в реальном мире) зеркала. Матрицы, соответствующие правильным поворотам (без отражения), имеют определитель , равный +1. Преобразования с отражением представлены матрицами с определителем −1. Это позволяет обобщить концепцию вращения и отражения на более высокие измерения.

В конечномерных пространствах матричное представление (относительно ортонормированного базиса ) ортогонального преобразования является ортогональной матрицей. Его строки являются взаимно ортогональными векторами с единичной нормой, так что строки составляют ортонормированный базис V. Столбцы матрицы образуют другой ортонормированный базис V.

Обратное к ортогональному преобразованию является другим ортогональным преобразованием. Его матричное представление является транспонированным матричным представлением исходного преобразования.

Рассмотрим пространство внутреннего продукта $(R\; 2,\; ⟨\cdot ,\; \cdot ⟩)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\},\; \backslash \; langle\; \backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rangle)\}$со стандартным евклидовым внутренним произведением и стандартной основой. Затем матричное преобразование

$T\; =\; [cos\; \; (\theta )\; -\; sin\; \; (\theta )\; sin\; \; (\theta )\; cos\; \; (\theta )]:\; R\; 2\; \to \; R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; -\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \backslash \backslash \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{\; R\}\; ^\; \{2\}\}$

ортогонален. Чтобы увидеть это, рассмотрим

$T\; e\; 1\; =\; [соз\; \; (\theta )\; sin\; \; (\theta )]\; T\; e\; 2\; =\; [-\; sin\; \; (\theta )\; cos\; \; (\theta )]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; Te\_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; \backslash \backslash \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; Te\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; -\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; \backslash \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Тогда

$⟨T e 1, T e 1⟩ = [cos ⁡ (θ) sin ⁡ (θ)] ⋅ [cos ⁡ (θ) sin ⁡ (θ)] = cos 2 ⁡ (θ) + sin 2 ⁡ (θ) = 1 ⟨T e 1, T e 2⟩ = [cos ⁡ (θ) sin ⁡ (θ) ] ⋅ [- sin ⁡ (θ) cos ⁡ (θ)] = sin ⁡ (θ) cos ⁡ (θ) - sin ⁡ (θ) cos ⁡ (θ) = 0 ⟨T e 2, T e 2⟩ = [ - грех ⁡ (θ) соз ⁡ (θ)] ⋅ [- грех ⁡ (θ) соз ⁡ (θ)] = грех 2 ⁡ (θ) + соз 2 ⁡ (θ) = 1 {\ Displaystyle {\ begin {выровнено } \ langle Te_ {1}, Te_ {1} \ rangle = {\ begin {bmatrix} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} \ cos (\ theta) \\\ sin (\ theta) \ end {bmatrix}} = \ cos ^ {2} (\ theta) + \ sin ^ {2} (\ theta) = 1 \\ \ langle Te_ { 1}, Te_ {2} \ rangle = {\ begin {bmatrix} \ cos (\ theta) \ sin (\ theta) \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} - \ s в (\ theta) \\\ cos (\ theta) \ end {bmatrix}} = \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) - \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) = 0 \\ \ langle Te_ {2}, Te_ {2} \ rangle = {\ begin {bmatrix} - \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} - \ sin (\ theta) \\\ cos (\ theta) \ end {bmatrix}} = \ sin ^ {2} (\ theta) + \ cos ^ {2} (\ theta) = 1 \\\ end {выровнено} }}$

Предыдущий пример можно расширить для построения всех ортогональных преобразований. Например, следующие матрицы определяют ортогональные преобразования на $(R\; 3,\; ⟨\cdot ,\; \cdot ⟩)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\},\; \backslash \; langle\; \backslash \; cdot,\; \backslash \; cdot\; \backslash \; rangle)\}$:

$[cos\; \; (\theta )\; -\; sin\; \; (\theta )\; 0\; sin\; \; (\theta )\; cos\; \; (\theta )\; 0\; 0\; 0\; 1],\; [cos\; \; (\theta )\; 0\; -\; sin\; \; (\theta )\; 0\; 1\; 0\; sin\; \; (\theta ))\; 0\; соз\; \; (\theta )],\; [1\; 0\; 0\; 0\; соз\; \; (\theta )\; -\; грех\; \; (\theta )\; 0\; грех\; \; (\theta )\; соз\; \; (\theta )]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; -\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; 0\; -\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; 0\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; -\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta)\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}$

• Неправильное вращение
• Линейное преобразование
• Ортогональная матрица
• Унитарное преобразование