Цилиндрическая система координат

редактировать

3-мерная система координат

Цилиндрическая система координат с началом O, полярной осью A и продольной осью L. точка - точка с радиальным расстоянием ρ = 4, угловой координатой φ = 130 ° и высотой z = 4.

A цилиндрическая система координат - это трехмерная система координат, определяющая положения точек расстояние от выбранной опорной оси, направление от оси по отношению к выбранному опорного направления, и расстоянию от выбранной базовой плоскости, перпендикулярной оси. Последнее расстояние задается как положительное или отрицательное число, зависящее от какой стороны от опорной плоскости обращена к точке.

Начало системы - это точка, в которой все три координаты могут быть заданы равными нулю. Это точка пересечения базовой плоскости и оси. Ось по-разному называется цилиндрической или продольной осью, чтобы отличать ее от полярной оси, которая представляет собой луч , который лежит в плоскости отсчета, начиная с начала координат и указывая в направлении отсчета. Остальные направления, перпендикулярные продольной оси, называются радиальными линиями.

Расстояние от оси может называться радиальным расстоянием или радиусом, тогда как угловая координата иногда упоминается как угловое положение или как азимут. Радиус и азимут вместе называются полярными координатами, так как они соответствуют двумерной полярной системе координат в плоскости, проходящей через точку, параллельную базовой плоскости. Третья координата может называться высотой или высотой (если базовая плоскость считается горизонтальной), продольным положением или осевым положением.

Цилиндрические координаты полезны в связи с объектами и явлениями, которые имеют некоторое вращение симметрия относительно продольной оси, такая как поток воды в прямой трубе с круглым поперечным сечением, распределение тепла в металлическом цилиндре, электромагнитные поля, создаваемые электрический ток в длинном прямом проводе, аккреционные диски, в астрономии и т. д.

Иногда их называют «цилиндрическими полярными координатами» и «полярными цилиндрическими координатами», и иногда они используются для указания положения звезд в галактике («галактоцентрические цилиндрические полярные координаты»).

Содержание

1 Определение
- 1.1 Уникальные цилиндрические координаты
- 1.2 Условные обозначения
2 Преобразование систем координат
- 2.1 Декартовы координаты
- 2.2 Сферические координаты
3 Линейные и объемные элементы
4 Цилиндрические гармоники
5 См. Также
6 Ссылки
7 Дополнительная литература
8 Внешние ссылки

Определение

Три координаты (ρ, φ, z) точки P определяются как:

Осевое расстояние или радиальное расстояние ρ - это евклидово расстояние от оси z до точки P.
Азимут φ - это угол между опорным направлением на выбранной плоскости и линия от начала координат до проекции P на плоскость.
Осевая координата или высота z - это расстояние со знаком от выбранной плоскости до точки P.

Un Цилиндрические координаты

Как и в полярных координатах, одна и та же точка с цилиндрическими координатами (ρ, φ, z) имеет бесконечно много эквивалентных координат, а именно (ρ, φ ± n × 360 °, z) и (−ρ, φ ± (2n + 1) × 180 °, z), где n - любое целое число. Более того, если радиус ρ равен нулю, азимут произвольный.

В ситуациях, когда кому-то нужен уникальный набор координат для каждой точки, можно ограничить радиус неотрицательным (ρ ≥ 0), а азимут φ лежать в определенном интервал, охватывающий 360 °, например [-180 °, + 180 °] или [0,360 °].

Условные обозначения

Обозначения для цилиндрических координат неоднородны. Стандарт ISO 31-11 рекомендует (ρ, φ, z), где ρ - радиальная координата, φ - азимут, а z - высота. Однако радиус также часто обозначается как r или s, азимут - как θ или t, а третья координата - как h или (если цилиндрическая ось считается горизонтальной) x, или любая буква, зависящая от контекста.

Координатные поверхности цилиндрических координат (ρ, φ, z). Красный цилиндр показывает точки с ρ = 2, синяя плоскость показывает точки с z = 1, а желтая полуплоскость показывает точки с φ = -60 °. Ось z расположена вертикально, а ось x выделена зеленым цветом. Три поверхности пересекаются в точке P с этими координатами (показана черной сферой); декартовы координаты точки P примерно равны (1.0, -1.732, 1.0).

Цилиндрические координатные поверхности. Три ортогональных компонента: ρ (зеленый), φ (красный) и z (синий), каждый из которых увеличивается с постоянной скоростью. Точка находится на пересечении трех цветных поверхностей.

В конкретных ситуациях и на многих математических иллюстрациях положительная угловая координата измеряется против часовой стрелки, если смотреть из любой точки с положительной высотой.

Преобразования систем координат

Цилиндрическая система координат является одной из многих трехмерных систем координат. Для преобразования между ними можно использовать следующие формулы.

декартовы координаты

Для преобразования между цилиндрической и декартовой системе координат, это удобно считать, что плоскость отсчета первого является декартовой плоскости ху (с уравнением г = 0), и цилиндрическая ось - декартова ось z. Тогда координата z одинакова в обеих системах, и соответствие между цилиндрической (ρ, φ, z) и декартовой (x, y, z) такой же, как для полярных координат, а именно

x = ρ cos ⁡ φ Y знак равно ρ грех ⁡ φ Z знак равно Z {\ Displaystyle {\ begin {align} x = \ rho \ cos \ varphi \\ y = \ rho \ sin \ varphi \\ z = z \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align}} x = \ rho \ cos \ varphi \\ y = \ rho \ sin \ varphi \\ z = z \ end {align}}}

в одном направлении, и

ρ = x 2 + y 2 φ = {0, если x = 0, и y = 0, arcsin ⁡ (y ρ), если x ≥ 0, arctan ⁡ (yx), если x>0 - arcsin ⁡ (y ρ) + π, если x < 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi ={\begin{cases}0{\t_dv{if }}x=0{\t_dv{ and }}y=0\\\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right){\t_dv{if }}x\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right){\t_dv{if }}x>0 \\ - \ arcsin \ left ({\ frac {y} {\ rho}} \ right) + \ pi {\ t_dv {if}} x <0\end{cases}}\end{aligned}}}

{\begin{aligned}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi ={\begin{cases}0{\t_dv{if }}x=0{\t_dv{ and }}y=0\\\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right){\t_dv{if }}x\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right){\t_dv{if }}x>0 \\ - \ arcsin \ left ({\ frac {y} {\ rho}} \ right) + \ pi {\ t_dv {if}} x <0\end{cases}}\end{aligned}}

в другом. Функция arcsin является обратной по отношению к функции sine, и предполагается, что она возвращает угол в диапазоне [−π / 2, + π / 2] = [−90 °, + 90 °]. Эти формулы дают азимут φ в диапазоне [-90 °, + 270 °]. Для других формул см. статью о полярных координатах.

Многие современные языки программирования предоставляют функцию, которая будет вычислять правильный азимут φ в диапазоне (-π, π), заданные x и y, без необходимости выполнять анализ случая, как указано выше. Например, эта функция вызывается atan2 (y, x) в языке программирования C и atan (y, x) в Common Lisp <260.>Сферические координаты

Сферические координаты (радиус r, высота или наклон θ, азимут φ) могут быть преобразованы в цилиндрические координаты следующим образом:

θ - высота:	θ - наклон:
$ρ знак равно р соз ⁡ θ φ знак равно φ z знак равно р грех ⁡ θ {\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ rho = r \ cos \ theta \\\ varphi = \ varphi \\ z = r \ sin \ тета \ конец {выровнено}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ rho = r \ cos \ theta \\\ varphi = \ varphi \\ z = r \ sin \ theta \ end {выровнено}}}$	$ρ = р грех ⁡ θ φ = φ z = r соз ⁡ θ {\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ rho = r \ sin \ theta \\\ varphi = \ varphi \\ z = r \ cos \ theta \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ rho = r \ sin \ theta \\\ varphi = \ varphi \\ z = r \ cos \ theta \ end {align}}}$

Цилиндрические координаты могут быть преобразованы в сферические координаты следующим образом:

θ - высота:

θ - наклон:

р знак равно ρ 2 + Z 2 θ = arctg ⁡ (z ρ) φ = φ {\ displaystyle {\ begin {align} r = {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}} \ \\ theta = \ arctan \ left ({\ tfrac {z} {\ rho}} \ right) \\\ varphi = \ varphi \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} r = {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}} \\\ theta = \ arctan \ left ({\ tfrac {z} {\ rho }} \ right) \\\ varphi = \ varphi \ end {align}}}

r = ρ 2 + z 2 θ = arctan ⁡ (ρ z) φ = φ {\ dis playstyle {\ begin {align} r = {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}} \\\ theta = \ arctan \ left ({\ tfrac {\ rho} {z}} \ справа) \\\ varphi = \ varphi \ end {align}}}

{\ Displaystyle {\ begin {выровнено} r = {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}} \\\ theta = \ arctan \ left ({\ tfrac {\ rho} {z}} \ right) \\\ varphi = \ varphi \ end {align}}}

Элементы линии и объема

См. множественный интеграл для получения подробной информации об интегрировании объема в цилиндрических координатах и Del в цилиндрических и сферических координатах для формул векторного исчисления.

Во многих задачах, связанных с цилиндрическими полярными координатами, полезно знать элементы линии и объема; они используются при интеграции для решения проблем, связанных с путями и объемами.

Элемент строки - это

d r = d ρ ρ ^ + ρ d φ φ ^ + d z z ^. {\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {r} = \ mathrm {d} \ rho \, {\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}} + \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi \, { \ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} + \ mathrm {d} z \, \ mathbf {\ hat {z}}.}

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {r} = \ mathrm {d} \ rho \, {\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}} + \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi \, {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} + \ mathrm {d} z \, \ mathbf {\ hat {z}}.}

Элемент объема равен

d V = ρ d ρ d φ dz. {\ displaystyle \ mathrm {d} V = \ rho \, \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} z.}

\ mathrm {d} V = \ rho \, \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} z.

Элемент поверхности на поверхности постоянного радиуса ρ (вертикальный цилиндр) составляет

d S ρ = ρ d φ dz. {\ displaystyle \ mathrm {d} S _ {\ rho} = \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} z.}

{\ displaystyle \ mathrm {d} S _ {\ rho } = \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi \, \ mathrm {d} z.}

Элемент поверхности на поверхности с постоянным азимутом φ (a вертикальная полуплоскость) составляет

d S φ = d ρ dz. {\ displaystyle \ mathrm {d} S _ {\ varphi} = \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} z.}

{\ displaystyle \ mathrm {d} S _ {\ varphi} = \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} z.}

Элемент поверхности на поверхности постоянной высоты z (горизонтальная плоскость)

d S z = ρ d ρ d φ. {\ displaystyle \ mathrm {d} S_ {z} = \ rho \, \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi.}

{\ displaystyle \ mathrm {d} S_ {z} = \ rho \, \ mathrm {d} \ rho \, \ mathrm {d} \ varphi.}

Оператор del в этой системе приводит к следующим выражениям для градиента, дивергенции, curl и лапласиана :

∇ f = ∂ f ∂ ρ ρ ^ + 1 ρ ∂ f ∂ φ φ ^ + ∂ f ∂ zz ^ ∇ ⋅ A = 1 ρ ∂ ∂ ρ (ρ A ρ) + 1 ρ ∂ A φ ∂ φ + ∂ A z ∂ z ∇ × A = (1 ρ ∂ A z ∂ φ - ∂ A φ ∂ z) ρ ^ + (∂ A ρ ∂ z - ∂ A z ∂ ρ) φ ^ + 1 ρ (∂ ∂ ρ (ρ A φ) - ∂ A ρ ∂ φ) z ^ ∇ 2 f Знак равно 1 ρ ∂ ∂ ρ (ρ ∂ е ∂ ρ) + 1 ρ 2 ∂ 2 е ∂ φ 2 + ∂ 2 f ∂ Z 2 {\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla f = {\ frac {\ partial f } {\ partial \ rho}} {\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}} + {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ varphi}} {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial z}} \ mathbf {\ hat {z}} \\ [8px] \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {A}} = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho A _ {\ rho} \ right) + {\ frac {1} {\ rho} } {\ frac {\ partial A _ {\ varphi}} {\ partial \ varphi}} + {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial z}} \\ [8px] \ nabla \ times {\ boldsymbol {A}} = \ left ({\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial \ varphi}} - { \ frac {\ partial A _ {\ varphi}} {\ partial z}} \ right) {\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}} + \ left ({\ frac {\ partial A _ {\ rho}} {\ partial z}} - {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial \ rho}} \ right) {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho A _ {\ varphi} \ right) - {\ frac {\ partial A _ {\ rho}} {\ partial \ varphi}} \ right) \ mathbf {\ hat {z}} \\ [8px] \ nabla ^ {2} f = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} \ right) + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} f } {\ partial \ varphi ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial z ^ {2}}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla f = {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} {\ boldsymbol {\ ha t {\ rho}}} + {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ varphi}} {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial z}} \ mathbf {\ hat {z}} \\ [8px] \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {A}} = {\ frac {1} {\ rho}} { \ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho A _ {\ rho} \ right) + {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial A _ {\ varphi}} {\ partial \ varphi}} + {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial z}} \\ [8px] \ nabla \ times {\ boldsymbol {A}} = \ left ({\ frac { 1} {\ rho}} {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial \ varphi}} - {\ frac {\ partial A _ {\ varphi}} {\ partial z}} \ right) {\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}} + \ left ({\ frac {\ partial A _ {\ rho}} {\ partial z}} - {\ frac {\ partial A_ {z}} {\ partial \ rho}} \ right) {\ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho A_ {\ varphi} \ right) - {\ frac {\ partial A _ {\ rho}} {\ partial \ varphi}} \ right) \ mathbf {\ hat {z}} \\ [8px] \ nabla ^ {2} f = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ left (\ rho {\ frac {\ partial f} {\ partial \ rho}} \ right) + {\ frac {1} {\ rho ^ { 2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial \ varphi ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial z ^ {2}}} \ конец {выровнено}}}

Цилиндрические гармоники

Решения уравнения Лапласа в системе с цилиндрической симметрией называются цилиндрическими гармониками.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Morse, Philip M. ; Фешбах, Герман (1953). Методы теоретической физики, часть I. Нью-Йорк : МакГроу-Хилл. С. 656–657. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515.
Маргенау, Генри ; Мерфи, Джордж М. (1956). Математика физики и химии. Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. п. 178. ISBN 9780882754239. LCCN 55010911. OCLC 3017486.
Корн, Гранино А.; Корн, Тереза М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 174–175. LCCN 59014456. ASIN B0000CKZX7.
Зауэр, Роберт; Сабо, Иштван (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. п. 95. LCCN 67025285.
Цвиллинджер, Дэниел (1992). Справочник по интеграции. Бостон : Джонс и Бартлетт Паблишерс. п. 113. ISBN 0-86720-293-9. OCLC 25710023.
Moon, P.; Спенсер, Д. Э. (1988). «Координаты кругового цилиндра (r, ψ, z)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 12–17, Таблица 1.02. ISBN 978-0-387-18430-2.

Внешние ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
MathWorld описание цилиндрических координат
цилиндрических координат Анимация, иллюстрирующая цилиндрические координаты, Фрэнк Ваттенберг