Произведение Адамара (матрицы)

Произведение Адамара работает с матрицами идентичной формы и создает третью матрицу тех же размеров.

In математика, произведение Адамара (также известное как поэлементное, начальное или произведение Шура) - это бинарная операция , которая берет две матрицы одинаковых размеров и создает другую матрицу той же размерности, что и операнды, где каждый элемент i, j является произведением элементов i, j исходных двух матриц. Его следует отличать от более распространенного матричного продукта. Его приписывают и называют в честь французского математика Жака Адамара или немецкого математика Иссаи Шура.

Произведение Адамара является ассоциативным и распределительным. В отличие от матричного произведения, оно также коммутативно.

• 1 Определение
• 2 Пример
• 3 Свойства
• 4 Свойство смешанного произведения
• 5 Теорема произведения Шура
• 6 В языках программирования
• 7 Приложения
• 8 Аналогичные операции
• 9 Проникающий лицевой продукт
  • 9.1 Пример
  • 9.2 Основные свойства
  • 9.3 Приложения
• 10 См. Также
• 11 Ссылки

Для двух матриц A и B одинакового размера m × n произведение Адамара $A\; \circ \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; circ\; B\}$(или $A\; \odot \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; odot\; B\}$) - матрица того же размера, что и операнды, с элементами, заданными как

$(A\; \circ \; B)\; ij\; =\; (A\; \odot \; B)\; ij\; =\; (A)\; ij\; (B)\; ij.\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \backslash \; circ\; B)\; \_\; \{ij\}\; =\; (A\; \backslash \; odot\; B)\; \_\; \{ij\}\; =\; (A)\; \_\; \{ij\}\; (B)\; \_\; \{ij\}.\}$

Для матриц разных размеров ( m × n и p × q, где m ≠ p или n ≠ q) произведение Адамара не определено.

Например, произведение Адамара для матрицы 3 × 3 A с матрицей 3 × 3 B равно

$[\; a\; 11\; a\; 12\; a\; 13\; a\; 21\; a\; 22\; a\; 23\; a\; 31\; a\; 32\; a\; 33]\; \circ \; [b\; 11\; b\; 12\; b\; 13\; b\; 21\; b\; 22\; b\; 23\; b\; 31\; b\; 32\; b\; 33]\; =\; [a\; 11\; b\; 11\; a\; 12\; b\; 12\; a\; 13\; b\; 13\; a\; 21\; b\; 21\; a\; 22\; b\; 22\; a\; 23\; b\; 23\; a\; 31\; b\; 31\; a\; 32\; b\; 32\; a\; 33\; b\; 33].\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; a\_\; \{11\}\; a\_\; \{12\}\; a\_\; \{13\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{21\}\; a\_\; \{22\}\; a\_\; \{23\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{31\}\; a\_\; \{32\}\; a\_\; \{33\}\; \backslash \; конец\; \{bmatrix\}\}\; \backslash \; circ\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; b\_\; \{11\}\; b\_\; \{12\}\; b\_\; \{13\}\; \backslash \backslash \; b\_\; \{21\}\; b\_\; \{22\}\; b\_\; \{23\}\; \backslash \backslash \; b\_\; \{31\}\; b\_\; \{32\}\; b\_\; \{33\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; a\_\; \{11\}\; \backslash ,\; b\_\; \{11\}\; a\_\; \{12\}\; \backslash ,\; b\_\; \{12\}\; a\_\; \{13\}\; \backslash ,\; b\_\; \{13\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{\; 21\}\; \backslash ,\; b\_\; \{21\}\; a\_\; \{22\}\; \backslash ,\; b\_\; \{22\}\; a\_\; \{23\}\; \backslash ,\; b\_\; \{23\}\; \backslash \backslash \; a\_\; \{31\}\; \backslash ,\; b\_\; \{31\}\; и\; a\_\; \{32\}\; \backslash ,\; b\_\; \{32\}\; a\_\; \{33\}\; \backslash ,\; b\_\; \{33\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

• Произведение Адамара коммутативно (при работе с коммутативным кольцом), ассоциативно и распределительный сверх сложения. То есть, если A, Bи C - это матрицы одного размера, а k - скаляр:

  $A\; \circ \; B\; =\; B\; \circ \; A,\; A\; \circ \; (B\; \circ \; C)\; =\; (A\; \circ \; B)\; \circ \; C,\; A\; \circ \; (B\; +\; C)\; =\; A\; \circ \; B\; +\; A\; \circ \; C,\; (k\; A)\; \circ \; B\; =\; A\; \circ \; (k\; B)\; =\; k\; (A\; \circ \; B),\; A\; \circ \; 0\; =\; 0\; \circ \; A\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{A\},\; \backslash \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; circ\; (\backslash \; mathbf\; \{\; B\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{C\})\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{B\})\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{C\},\; \backslash \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; circ\; (\backslash \; mathbf\; \{B\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{C\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{C\},\; \backslash \backslash \; \backslash \; left\; (k\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; left\; (k\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; right)\; =\; k\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; right),\; \backslash \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{0\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{0\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{0\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

• Единичная матрица при умножении двух m по Адамару Матрицы × n - это матрица m × n, в которой все элементы равны 1. Это отличается от единичной матрицы при обычном умножении матриц, где только элементы главной диагонали равны 1. Кроме того, матрица имеет обратную при умножении Адамара тогда и только тогда, когда ни один из элементов не является равны нулю.
• Для векторов x и y и соответствующих диагональных матриц Dxи Dyс этими векторами в качестве их главных диагоналей, следующее тождество выполняется:
  $x\; \ast \; (A\; \circ \; B)\; y\; =\; tr\; (D\; x\; \ast \; AD\; y\; BT),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{\; B\})\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; =\; \backslash \; mathrm\; \{tr\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{D\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\; \}\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; ^\; \{\backslash \; mathsf\; \{T\}\}\; \backslash \; right),\}$

  где x * обозначает сопряженное транспонирование из x . В частности, с использованием векторов единиц, это показывает, что сумма всех элементов в произведении Адамара составляет след из AB. Связанный результат для квадратов A и B состоит в том, что строчные суммы их произведения Адамара являются диагональными элементами AB:

  $\sum \; i\; (A\; \circ \; B)\; ij\; =\; (BTA)\; jj\; =\; (ABT)\; ii.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; (A\; \backslash \; circ\; B)\; \_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; left\; (B\; ^\; \{\backslash \; mathsf\; \{T\}\}\; A\; \backslash \; right)\; \_\; \{jj\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; left\; (AB\; ^\; \{\backslash \; mathsf\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{ii\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

  Аналогично

  $(yx\; \ast )\; \circ \; A\; =\; D\; y\; AD\; x\; \ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{y\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; ^\; \{*\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{D\; \}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; ^\; \{*\}\}$

• Произведение Адамара является главной подматрицей произведения Кронекера.
• Произведение Адамара удовлетворяет неравенству рангов
  $ранг\; \; (A\; \circ \; B)\; \le \; ранг\; \; (A)\; ранг\; \; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{rank\}\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{B\})\; \backslash \; leq\; \backslash \; operatorname\; \{rank\}\; (\backslash \; mathbf\; \{A\})\; \backslash \; operatorname\; \{rank\}\; (\backslash \; mathbf\; \{B\})\}$
• Если A и B - положительно определенные матрицы, то верно следующее неравенство с произведением Адамара:
  $\prod \; i\; =\; kn\; \lambda \; i\; (A\; \circ \; B)\; \ge \; \prod \; i\; =\; kn\; \lambda \; i\; (AB),\; k\; =\; 1,\dots ,\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prod\; \_\; \{я\; =\; k\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; lambda\; \_\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{B\})\; \backslash \; geq\; \backslash \; prod\; \_\; \{я\; =\; k\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; lambd\; a\; \_\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}),\; \backslash \; quad\; k\; =\; 1,\; \backslash \; ldots,\; n,\}$
  , где λ i(A) - i-е наибольшее собственное значение of A.
• Если D и E являются диагональными матрицами, то

  $D\; (A\; \circ \; B)\; E\; =\; (DAE)\; \circ \; B\; =\; (DA)\; \circ \; (BE)\; =\; (AE)\; \circ \; (DB)\; =\; A\; \circ \; (DBE).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнен\}\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{B\})\; \backslash \; mathbf\; \{E\}\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{D\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\; \})\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; (\backslash \; mathbf\; \{D\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\})\; \backslash \; circ\; (\backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\})\; \backslash \backslash \; =\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\; \})\; \backslash \; circ\; (\backslash \; mathbf\; \{D\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; circ\; (\backslash \; mathbf\; \{D\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; mathbf\; \{E\}).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

• Произведение Адамара двух векторов $a\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\}$и $b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\}$одинаково как матричное умножение одного вектора на соответствующую диагональную матрицу другого вектора:
  $a\; \circ \; b\; =\; D\; ab.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{a\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{b\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{D\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{a\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{b\}.\}$

$(A\; \otimes \; B)\; \circ \; (C\; \otimes \; D)\; знак\; равно\; (A\; \circ \; C)\; \otimes \; (B\; \circ \; D)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \backslash \; otimes\; B)\; \backslash \; circ\; (C\; \backslash \; otimes\; D)\; =\; (A\; \backslash \; circ\; C)\; \backslash \; otimes\; (B\; \backslash \; circ\; D)\}$, где $\otimes \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; otimes\}$- произведение Кронекера

$(A\; \bullet \; B)\; \circ \; (C\; \bullet \; D)\; =\; (A\; \circ \; C)\; \bullet \; (B\; \circ \; D)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \backslash \; bullet\; B)\; \backslash \; circ\; (C\; \backslash \; bullet\; D)\; =\; (A\; \backslash \; circ\; C)\; \backslash \; bullet\; (B\; \backslash \; circ\; D)\}$, где $\bullet \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bullet\}$обозначает разделительный продукт.

$(A\; \bullet \; B)\; (C\; \ast \; D)\; =\; (AC)\; \circ \; (BD)\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; \backslash \; bullet\; B)\; (C\; \backslash \; ast\; D)\; =\; (AC)\; \backslash \; circ\; (BD)\}$, где $\ast \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ast\}$по столбцам Произведение Хатри – Рао.

Произведение Адамара двух положительно-полуопределенных матриц является положительно-полуопределенным. Это известно как теорема произведения Шура в честь русского математика Иссая Шура. Для двух положительно-полуопределенных матриц A и B также известно, что определитель их произведения Адамара больше или равен произведению их соответствующих определители:

$det\; (A\; \circ \; B)\; \ge \; det\; (A)\; det\; (B).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; (\backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{B\})\; \backslash \; geq\; \backslash \; det\; (\backslash \; mathbf\; \{A\})\; \backslash \; det\; (\backslash \; mathbf\; \{B\}).\}$

Умножение Адамара встроено в некоторые языки программирования под разными именами. В MATLAB, GNU Octave, GAUSS и HP Prime это известно как умножение массива или в Julia широковещательное умножение с символом . *. В Fortran, R,APL, J и Wolfram Language (Mathematica ) это делается с помощью простого оператора умножения *, тогда как матричное произведение выполняется с помощью функции matmul, % *%, +. ×, + ​​/. *и .операторов соответственно. В Python с числовой библиотекой NumPy или символьной библиотекой SymPy, умножение объектов arrayна a1 * a2производит произведение Адамара, но в противном случае умножение на a1 @ a2или матрицаобъектов m1 * m2даст матричное произведение. Библиотека C ++ Eigen предоставляет функцию-член cwiseProductдля класса Matrix(a.cwiseProduct (b)), а Библиотека Armadillo использует оператор %для создания компактных выражений (a% b; a * b- матричное произведение).

Продукт Адамара появляется в алгоритмах сжатия с потерями, таких как JPEG. Этап декодирования включает продукт "запись-запись", другими словами, продукт Адамара.

Он также используется в литературе по машинному обучению, например, для описания архитектуры повторяющихся нейронных сетей. сети как ГРУ или LSTM.

Другие операции Адамара также встречаются в математической литературе, а именно, корень Адамара и степень Адамара (которые, по сути, являются одинаковыми вещь из-за дробных индексов), определенная для такой матрицы:

Для

$B\; =\; A\; \circ \; 2\; B\; ij\; =\; A\; ij\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; ^\; \{\backslash \; circ\; 2\}\; \backslash \backslash \; B\_\; \{ij\}\; =\; \{A\_\; \{ij\}\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и для

$B\; =\; A\; \circ \; 1\; 2\; B\; ij\; =\; A\; ij\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; ^\; \{\backslash \; circ\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \backslash \; B\_\; \{ij\}\; =\; \{A\_\; \{ij\}\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Обратное значение Адамара читает:

$B\; =\; A\; \circ \; -\; 1\; B\; ij\; =\; A\; ij\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; ^\; \{\backslash \; circ\; -1\}\; \backslash \backslash \; B\_\; \{ij\}\; =\; \{A\_\; \{ij\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Деление Адамара определяется как:

$C\; =\; A\; \oslash \; BC\; ij\; =\; A\; ij\; B\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; mathbf\; \{C\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; oslash\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \backslash \; C\_\; \{ij\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{A\_\; \{ij\}\}\; \{B\_\; \{ij\}\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Проникающий лицевое произведение матриц

Согласно определению проникающего лицевого произведения матрицы pxg $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\}$и n-мерной матрицы $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\}$(n>1), развернутый в блоке строк или блоке столбцов с блоками pxg ($B\; =\; [B\; n]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{B\; \}\; =\; [B\_\; \{n\}]\}$) представляет собой матрицу размера $B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\}$в форме:

$A\; [\circ \; ]\; B\; =\; [A\; \circ \; B\; 1\; A\; \circ \; B\; 2\; A\; \circ \; B\; 3]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; [\backslash \; circ]\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{c\; |\; c\; |\; c\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; circ\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \_\; \{\; 3\}\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\}$.

Пример

Если

$A\; =\; [1\; 2\; 3\; 4\; 5\; 6\; 7\; 8\; 9],\; B\; =\; [B\; 1\; B\; 2\; B\; 3]\; =\; [1\; 4\; 7\; 2\; 8\; 14\; 3\; 12\; 21\; 8\; 20\; 5\; 10\; 25\; 40\; 12\; 30\; 6\; 2\; 8\; 3\; 2\; 4\; 2\; 7\; 3\; 9]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{c\; \}\; 1\; 2\; 3\; \backslash \backslash \; 4\; 5\; 6\; \backslash \backslash \; 7\; 8\; 9\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right],\; \backslash \; quad\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{c\; |\; c\; |\; c\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \_\; \{3\}\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccc\; |\; c\; c\; c\; |\; ccc\}\; 1\; 4\; 7\; 2\; 8\; 14\; 3\; 12\; 21\; \backslash \backslash \; 8\; 20\; 5\; 10\; 25\; 40\; 12\; 30\; 6\; \backslash \backslash \; 2\; 8\; 3\; 2\; 4\; 2\; 7\; 3\; 9\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\}$

затем

$A\; [\circ ]\; B\; =\; [1\; 8\; 21\; 2\; 16\; 42\; 3\; 24\; 63\; 150\; 100\; 36\; 14\; 64\; 27\; 14\; 32\; 18\; 49\; 24\; 81]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; [\backslash \; circ]\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{ccc\; |\; c\; c\; c\; |\; ccc\}\; 1\; 8\; 21\; 2\; 16\; 42\; 3\; 24\; 63\; \backslash \backslash \; 32\; 100\; 30\; 40\; 125\; 240\; 48\; 150\; 36\; \backslash \backslash \; 14\; 64\; 27\; 14\; 32\; 18\; 49\; 24\; 81\; \backslash \; end\; \{array\}\}\; \backslash \; right]\}$.

Основные свойства

$A\; [\circ ]\; B\; =\; B\; [\circ ]\; A\; \{\backslash \; displaystyle]\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; [\backslash \; circ]\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\}$;

$M\; \bullet \; M\; =\; M\; [\circ ]\; (M\; \otimes \; 1\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; bullet\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; [\backslash \; circ]\; (\backslash \; mathbf\; \{M\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; mathbf\; \{1\}\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\})\}$,

где $\bullet \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; bullet\}$обозначает разделение граней матриц,

$c\; \bullet \; M\; =\; c\; [\circ ]\; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; \backslash \; bullet\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\; [\backslash \; circ]\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\}$, где $c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{c\}\}$- вектор.

Приложения

Проникающее лицевое произведение используется в тензорной -матричной теории цифровых антенных решеток. Эту операцию можно использовать в моделях искусственной нейронной сети , также формируя сверточный слой.

• Внутреннее произведение Фробениуса
• Точечное произведение
• произведение Кронекера
• произведение Хатри – Рао

.