Матрица рассеяния

Для получения информации о квантовой механике см. рассеяние матрица.

В многомерной статистике и теории вероятностей матрица разброса - это статистика, которая используется для оценок ковариационной матрицы , например, многомерного нормального распределения.

Дано n выборок m-мерных данных, представленных как t матрица размером m на n, $X\; =\; [x\; 1,\; x\; 2,\dots ,\; xn]\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; [\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{2\},\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{n\}]\}$, выборочное среднее равно

$x\; ¯\; =\; 1\; n\; \sum \; j\; =\; 1\; nxj\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{j\}\}$

где $xj\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{j\}\}$- это j-й столбец $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$.

матрица разброса - это m- by-m положительная полуопределенная матрица

$S\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; (xj\; -\; x\; ¯)\; (xj\; -\; x\; ¯)\; T\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; (xj\; -\; x\; ¯)\; \otimes \; (xj\; -\; x\; ¯)\; знак\; равно\; (\sum \; j\; =\; 1\; nxjxj\; T)\; -\; nx\; ¯\; x\; ¯\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{j\}\; -\; \{\; \backslash \; overline\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\})\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{j\}\; -\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\})\; ^\; \{T\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\; \}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{j\}\; -\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\})\; \backslash \; otimes\; (\backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{j\}\; -\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\})\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; \_\; \{j\}\; ^\; \{T\}\; \backslash \; right)\; -n\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\; \}\}\}\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; ^\; \{T\}\}$

где $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$обозначает транспонирование матрицы, а умножение относится к внешнему произведению. Матрица рассеяния может быть выражена более кратко как

$S\; =\; XC\; n\; XT\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; X\; \backslash ,\; C\_\; \{n\}\; \backslash ,\; X\; ^\; \{T\}\}$

где $C\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; C\_\; \{n\}\}$- это центрирующая матрица n x n .

Оценка максимального правдоподобия для данных n выборок для ковариационная матрица многомерного нормального распределения может быть выражена как нормализованная матрица рассеяния

$CML\; =\; 1\; n\; S.\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{ML\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; S.\}$

Когда столбцы $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$независимо выбираются из многомерной нормали распределения, тогда $S\; \{\backslash \; displaystyle\; S\}$имеет распределение Уишарта.

• Оценка ковариационных матриц
• Примерная ковариационная матрица
• Распределение Уишарта
• Внешний продукт - $XX\; \top \; \{\backslash \; displaystyle\; XX\; ^\; \{\backslash \; top\}\}$или X⊗X - внешнее произведение X с самим собой.
• Матрица грамма

.