Альфапедия

S-матрица

редактировать
Амплитуда рассеяния

В физике S-матрица или матрица рассеяния связывает начальное состояние и конечное состояние физической системы, претерпевающей процесс рассеяния. Он используется в квантовой механике, теории рассеяния и квантовой теории поля (QFT).

Более формально, в контексте QFT, S-матрица определяется как унитарная матрица, соединяющая наборы асимптотически свободных состояний частицы (входящие и исходящие состояния) в Гильбертово пространство физических состояний. Многочастичное состояние называется свободным (невзаимодействующим), если оно преобразует в соответствии с преобразованиями Лоренца как тензорное произведение или прямое произведение на физическом языке. одночастичных состояний, как предписывается уравнением (1)ниже. Асимптотически свободное тогда означает, что государство имеет это проявление либо в далеком прошлом, либо в далеком будущем.

Хотя S-матрица может быть определена для любого фона (пространство-время ), который асимптотически разрешим и не имеет горизонтов событий, она имеет простую форму в случае пространства Минковского. В этом частном случае гильбертово пространство является пространством неприводимых унитарных представлений неоднородной группы Лоренца (группа Пуанкаре ); S-матрица - это оператор эволюции между t = - ∞ {\ displaystyle t = - \ infty}{\ displaystyle t = - \ infty} (далекое прошлое) и t = + ∞ {\ displaystyle t = + \ infty}{\ displaystyle t = + \ infty} (далекое будущее). Он определяется только в пределе нулевой плотности энергии (или бесконечного расстояния разделения частиц).

Можно показать, что если квантовая теория поля в пространстве Минковского имеет массовую щель, состояние в асимптотическом прошлом и в асимптотическом будущем описывается by Пространства Фока.

Содержание
  • 1 История
  • 2 Мотивация
  • 3 Использование
  • 4 В одномерной квантовой механике
    • 4.1 Определение
    • 4.2 Унитарное свойство
    • 4.3 Симметрия с обращением времени
    • 4.4 Коэффициент пропускания и коэффициент отражения
    • 4.5 Оптическая теорема в одном измерении
  • 5 Определение в квантовой теории поля
    • 5.1 Картина взаимодействия
    • 5.2 Состояния входа и выхода
      • 5.2. 1 Из вакуума
      • 5.2.2 Изображение Гейзенберга
      • 5.2.3 Из состояний свободных частиц
      • 5.2.4 В состояниях, выраженных как исходящие состояния
    • 5.3 S-матрица
  • 6 Оператор эволюции U
  • 7 Серия Dyson
  • 8 Не-S-матрица
  • 9 См. Также
  • 10 Примечания
  • 11 Примечания
  • 12 Ссылки
История

S-матрица была впервые представил Джон Арчибальд Уиллер в статье 1937 года «О математическом описании легкие ядра методом резонансной групповой структуры ». В этой статье Уиллер ввел матрицу рассеяния - унитарную матрицу коэффициентов, связывающую «асимптотическое поведение произвольного частного решения [интегральных уравнений] с асимптотическим поведением решений стандартного вида», но не развил ее полностью.

В 1940-х годах Вернер Гейзенберг независимо разработал и обосновал идею S-матрицы. Из-за проблемных расхождений, присутствовавших в квантовой теории поля в то время, Гейзенберг был мотивирован выделить существенные черты теории, на которые не повлияли будущие изменения по мере развития теории. При этом он был вынужден ввести унитарную "характеристическую" S-матрицу.

Однако сегодня точные результаты S-матрицы являются венцом конформной теории поля., интегрируемые системы и несколько других областей квантовой теории поля и теории струн. S-матрицы не заменяют теоретико-полевое рассмотрение, а скорее дополняют его конечные результаты.

Мотивация

В высокоэнергетической физике элементарных частиц каждый заинтересован в вычислении вероятности для различных результатов в экспериментах рассеяния. Эти эксперименты можно разбить на три этапа:

  1. Столкновение вместе набора входящих частиц (обычно двух частиц с высокими энергиями).
  2. Разрешение входящим частицам взаимодействовать. Эти взаимодействия могут изменить типы присутствующих частиц (например, если электрон и позитрон аннигилируют, они могут произвести два фотона ).
  3. . исходящие частицы.

Процесс, посредством которого входящие частицы преобразуются (посредством их взаимодействия ) в исходящие, называется рассеянием. Для физики элементарных частиц - физическая теория этих процессов. должна иметь возможность вычислять вероятность для разных исходящих частиц, когда разные входящие частицы сталкиваются с разными энергиями.

S-матрица в квантовой теории поля достигает именно этого. Предполагается, что малая В этих случаях допустимо приближение плотности энергии.

Использование

S-матрица тесно связана с переходом амплитудой вероятности в квантовой механике и с сечения различных взаимодействий; элементы (отдельные числовые элементы) в S-матрице известны как амплитуды рассеяния . Полюса S-матрицы в плоскости комплексной энергии отождествляются с связанными состояниями, виртуальными состояниями или резонансами. Срезы ветвей S-матрицы в плоскости комплексной энергии связаны с открытием канала рассеяния.

В подходе гамильтониана к квантовому полю Согласно теории, S-матрица может быть вычислена как упорядоченная по времени экспонента интегрированного гамильтониана в изображении взаимодействия; это также может быть выражено с помощью интегралов по путям Фейнмана. В обоих случаях пертурбативное вычисление S-матрицы приводит к диаграммам Фейнмана.

В теории рассеяния S-матрица является оператор отображает входящие состояния свободной частицы в исходящие состояния свободной частицы (каналы рассеяния ) на картинке Гейзенберга. Это очень полезно, потому что зачастую мы не можем точно описать взаимодействие (по крайней мере, не самые интересные).

В одномерной квантовой механике

Сначала в целях иллюстрации рассматривается простой прототип, в котором S-матрица является 2-мерной. В нем частицы с резкой энергией E разлетаются от локализованного потенциала V согласно правилам одномерной квантовой механики. Эта простая модель уже отображает некоторые особенности более общих случаев, но с ней легче работать.

Каждая энергия E дает S-матрицу S = S (E), которая зависит от V. Таким образом, полная S-матрица может, образно говоря, быть визуализирована в подходящем базисе как «непрерывная матрица». "с каждым нулевым элементом, за исключением блоков 2 × 2 по диагонали для данного V.

Определение

Рассмотрим локализованный одномерный потенциальный барьер V (x), подвергнутые воздействию пучка квантовых частиц с энергией E. Эти частицы падают на потенциальный барьер слева направо.

Решением уравнения Шредингера вне потенциального барьера являются плоские волны, заданные как

ψ L (x) = A eikx + B e - ikx {\ displaystyle \ psi _ {L} (x) = Ae ^ {ikx} + Be ^ {- ikx}}\ psi_L (x) = A e ^ {ikx} + B e ^ {- ikx }

для области слева от потенциального барьера, и

ψ R (x) = C eikx + D e - ikx {\ displaystyle \ psi _ {R} (x) = Ce ^ {ikx} + De ^ {- ikx}}\ psi_R (x) = C e ^ {ikx} + D e ^ {- ikx}

для области справа от потенциального барьера, где

k = 2 м E / ℏ 2 {\ displaystyle k = {\ sqrt {2mE / \ hbar ^ {2}}}}k = \ sqrt {2m E / \ hbar ^ {2} }

- волновой вектор . В нашем обзоре зависимость от времени не требуется, и поэтому мы ее опускаем. Член с коэффициентом A представляет приходящую волну, а член с коэффициентом C представляет уходящую волну. B обозначает отражающую волну. Поскольку мы устанавливаем движение приходящей волны в положительном направлении (идущем слева), D равно нулю и может быть опущено.

«Амплитуда рассеяния», т. Е. Переходное перекрытие исходящих волн с приходящими волнами, является линейной зависимостью, определяющей S-матрицу,

(BC) = (S 11 S 12 S 21 S 22) (AD). {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} B \\ C \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} S_ {11} S_ {12} \\ S_ {21} S_ {22} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} A \\ D \ end {pmatrix}}.}{\ begin {pmatrix} B \\ C \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} S _ {{11}} S _ {{12}} \\ S _ {{21}} S _ {{22}} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} A \\ D \ end {pmatrix }}.

Вышеупомянутое отношение можно записать как

Ψ out = S Ψ in {\ displaystyle \ Psi _ {out} = S \ Psi _ {in}}\ Psi_ {out} = S \ Psi_ {in}

где

Ψ out = (BC), Ψ in = (AD), S = (S 11 S 12 S 21 S 22). {\ Displaystyle \ Psi _ {out} = {\ begin {pmatrix} B \\ C \ end {pmatrix}}, \ quad \ Psi _ {in} = {\ begin {pmatrix} A \\ D \ end {pmatrix }}, \ qquad S = {\ begin {pmatrix} S_ {11} S_ {12} \\ S_ {21} S_ {22} \ end {pmatrix}}.}\ Psi _ {{out}} = {\ begin {pmatrix} B \\ C \ end {pmatrix}}, \ quad \ Psi _ {{in}} = {\ begin {pmatrix} A \\ D \ end {pmatrix}}, \ qquad S = {\ begin {pmatrix} S_ {{11}} S _ {{12}} \\ S _ {{21}} S _ {{22}} \ end {pmatrix}}.

Элементы S полностью характеризуют рассеяние свойства потенциального барьера V (x).

Унитарное свойство

Унитарное свойство S-матрицы напрямую связано с сохранением вероятностного тока в квантовой механике.

вероятностного тока J волновой функции ψ (x) определяется как

J = ℏ 2 mi (ψ ∗ ∂ ψ ∂ x - ψ ∂ ψ ∗ ∂ x) {\ displaystyle J = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (\ psi ^ {*} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} - \ psi {\ frac {\ partial \ psi ^ {*}} {\ partial x }} \ right)}J = \ frac {\ hbar} {2mi } \ left (\ psi ^ * \ frac {\ partial \ psi} {\ partial x} - \ psi \ frac {\ partial \ psi ^ *} {\ partial x} \ right) .

Плотность тока слева от барьера

JL = ℏ км (| A | 2 - | B | 2) {\ displaystyle J_ {L} = {\ frac {\ hbar k} {m}} \ left (| A | ^ {2} - | B | ^ {2} \ right)}J_L = \ frac {\ hbar k} {m} \ left (| A | ^ 2- | B | ^ 2 \ right) ,

, а плотность тока справа от барьера составляет

JR = ℏ км (| C | 2 - | D | 2) {\ displaystyle J_ {R} = {\ frac {\ hbar k} {m}} \ left (| C | ^ {2} - | D | ^ {2} \ справа)}J_R = \ frac {\ hbar k} {m} \ left (| C | ^ 2- | D | ^ 2 \ right) .

Для сохранения плотности тока вероятности J L = J R. Это означает, что S-матрица является унитарной матрицей.

Доказательство
J L = J R | А | 2 - | B | 2 = | C | 2 - | D | 2 | B | 2 + | C | 2 = | А | 2 + | D | 2 Ψ out † Ψ out = Ψ in † Ψ in Ψ in † S † S Ψ in = Ψ in † Ψ in S † S = I {\ displaystyle {\ begin {align} J_ {L} = J_ {R} \ \ | A | ^ {2} - | B | ^ {2} = | C | ^ {2} - | D | ^ {2} \\ | B | ^ {2} + | C | ^ {2 } = | A | ^ {2} + | D | ^ {2} \\ \ Psi _ {out} ^ {\ dagger} \ Psi _ {out} = \ Psi _ {in} ^ {\ dagger} \ Psi _ {in} \\ \ Psi _ {in} ^ {\ dagger} S ^ {\ dagger} S \ Psi _ {in} = \ Psi _ {in} ^ {\ dagger} \ Psi _ {in} \\ S ^ {\ dagger} S = I \\\ end {align}}}\ begin {align} J_L = J_R \\ | A | ^ 2- | B | ^ 2 = | C | ^ 2- | D | ^ 2 \\ | B | ^ 2 + | C | ^ 2 = | A | ^ 2 + | D | ^ 2 \\ \ Psi_ {out} ^ \ dagger \ Psi_ {out} = \ Psi_ {in} ^ \ dagger \ Psi_ {in} \\ \ Psi_ {in} ^ \ dagger S ^ \ dagger S \ Psi_ {in} = \ Psi_ {in} ^ \ dagger \ Psi_ {in} \\ S ^ \ dagger S = I \\ \ end {align}

Симметрия обращения времени

Если потенциал V (x) действительный, то система обладает симметрия с обращением времени. При этом условии, если ψ (x) является решением уравнения Шредингера, то ψ * (x) также является решением.

Обращенное во времени решение дается выражением

ψ L ∗ (x) = A ∗ e - ikx + B ∗ eikx {\ displaystyle \ psi _ {L} ^ {*} (x) = A ^ {*} e ^ {- ikx} + B ^ {*} e ^ {ikx}}\ psi _ {L} ^ {*} (x) = A ^ {*} e ^ {{ -ikx}} + B ^ {*} e ^ {{ikx}}

для области слева от потенциального барьера, и

ψ R ∗ (x) = C ∗ е - ikx + D * eikx {\ displaystyle \ psi _ {R} ^ {*} (x) = C ^ {*} e ^ {- ikx} + D ^ {*} e ^ {ikx}}\ psi _ {R} ^ { *} (x) = C ^ {*} e ^ {{- ikx}} + D ^ {*} e ^ {{ikx}}

для области справа от потенциального барьера, где члены с коэффициентом B *, C * представляют приходящую волну, а члены с коэффициентом A *, D * представляют уходящую волну.

Они снова связаны S-матрицей,

(A * D *) = (S 11 S 12 S 21 S 22) (B * C *) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix } A ^ {*} \\ D ^ {*} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} S_ {11} S_ {12} \\ S_ {21} S_ {22} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} B ^ {*} \\ C ^ {*} \ end {pmatrix}} \,}{\ begin {pmatrix } A ^ {*} \\ D ^ {*} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} S _ {{11}} S _ {{12}} \\ S _ {{21}} S _ {22 }} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} B ^ {*} \\ C ^ {*} \ end {pmatrix}} \,

то есть.

Ψ in ∗ = S Ψ out ∗. {\ displaystyle \ Psi _ {in} ^ {*} = S \ Psi _ {out} ^ {*}.}\ Psi _ {{in}} ^ {*} = S \ Psi _ {{out}} ^ {*}.

Теперь отношения

Ψ in ∗ = S Ψ out ∗, Ψ out = S Ψ in {\ displaystyle \ Psi _ {in} ^ {*} = S \ Psi _ {out} ^ {*}, \ quad \ Psi _ {out} = S \ Psi _ {in}}\ Psi _ {{in}} ^ {*} = S \ Psi _ {{out}} ^ {*}, \ quad \ Psi _ { {out}} = S \ Psi _ {{in}}

вместе дают условие

S ∗ S = I {\ displaystyle S ^ {*} S = I}S ^ {*} S = I

Это условие в сочетании с соотношением унитарности подразумевает, что S-матрица симметрична в результате обращения времени симметрия,

ST = S. {\ displaystyle S ^ {T} = S.}S ^ {T} = S.

Коэффициент передачи и коэффициент отражения

Коэффициент передачи слева от потенциального барьера равен, когда D = 0,

TL = | C | 2 | А | 2 = | S 21 | 2. {\ displaystyle T_ {L} = {\ frac {| C | ^ {2}} {| A | ^ {2}}} = | S_ {21} | ^ {2}.}T_ {L} = {\ гидроразрыв {| C | ^ {2}} {| A | ^ {2}}} = | S _ {{21}} | ^ {2}.

коэффициент отражения слева от потенциального барьера равен, когда D = 0,

RL = | B | 2 | А | 2 = | S 11 | 2. {\ displaystyle R_ {L} = {\ frac {| B | ^ {2}} {| A | ^ {2}}} = | S_ {11} | ^ {2}.}R_ {L} = {\ frac {| B | ^ {2 }} {| A | ^ {2}}} = | S _ {{11}} | ^ {2}.

Аналогично, передача коэффициент справа от потенциального барьера равен, когда A = 0,

TR = | B | 2 | D | 2 = | S 12 | 2. {\ displaystyle T_ {R} = {\ frac {| B | ^ {2}} {| D | ^ {2}}} = | S_ {12} | ^ {2}.}T_ {R} = {\ frac {| B | ^ {2}} {| D | ^ {2}}} = | S _ {{12}} | ^ {2}.

Коэффициент отражения от справа от потенциального барьера, когда A = 0,

RR = | C | 2 | D | 2 = | S 22 | 2. {\ displaystyle R_ {R} = {\ frac {| C | ^ {2}} {| D | ^ {2}}} = | S_ {22} | ^ {2}.}R_ {R} = {\ frac {| C | ^ {2}} {| D | ^ {2}}} = | S _ {{22}} | ^ {2}.

Отношения между Коэффициенты передачи и отражения равны

TL + RL = 1 {\ displaystyle T_ {L} + R_ {L} = 1}T_ {L} + R_ {L} = 1

и

TR + RR = 1. {\ displaystyle T_ {R} + R_ {R} = 1.}T_ {R} + R_ {R} = 1.

Это следствие свойства унитарности S-матрицы.

Оптическая теорема в одном измерении

В случае свободных частиц V (x) = 0, S-матрица

S = (0 1 1 0). {\ displaystyle S = {\ begin {pmatrix} 0 1 \\ 1 0 \ end {pmatrix}}.}S = {\ begin {pmatrix} 0 1 \\ 1 0 \ end {pmatrix}}.

Однако всякий раз, когда V (x) отличен от нуля, S-матрица отличается от указанной выше формы, чтобы

S = (2 ir 1 + 2 it 1 + 2 it 2 ir ∗ 1 + 2 it 1 - 2 it ∗). {\ displaystyle S = {\ begin {pmatrix} 2ir 1 + 2it \\ 1 + 2it 2ir ^ {*} {\ frac {1 + 2it} {1-2it ^ {*}}} \ end {pmatrix}}.}S = {\ begin {pmatrix} 2ir 1 + 2it \\ 1 + 2it 2ir ^ {*} {\ frac {1 + 2it} {1 -2it ^ {*}}} \ end {pmatrix}}.

Это отклонение параметризуется двумя комплексными функциями энергии, r и t. Из унитарности также следует взаимосвязь между этими двумя функциями:

| г | 2 + | т | 2 = Im ⁡ (t). {\ displaystyle | r | ^ {2} + | t | ^ {2} = \ operatorname {Im} (t).}| r | ^ {2} + | t | ^ {2} = \ operatorname {Im} (t).

Аналог этого тождества в трех измерениях известен как оптическая теорема.

Определение в квантовой теории поля

Картина взаимодействия

Простой способ определения S-матрицы начинается с рассмотрения картины взаимодействия. Пусть гамильтониан H разделен на свободную часть H 0 и взаимодействие V, H = H 0 + V. На этом рисунке операторы ведут себя как операторы свободного поля и состояние векторы имеют динамику согласно взаимодействию V. Пусть

| Ψ (t)⟩ {\ displaystyle \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle}\ left | \ Psi (t) \ right \ rangle

обозначают состояние, которое развилось из свободного начального состояния

| Φ i⟩. {\ displaystyle \ left | \ Phi _ {i} \ right \ rangle.}\ left | \ Phi _ {i} \ right \ rangle.

Затем определяется S-матричный элемент как проекция этого состояния на конечное состояние

⟨Φ f |. {\ displaystyle \ left \ langle \ Phi _ {f} \ right |.}\ left \ langle \ Phi _ {f} \ right |.

Таким образом,

S f i ≡ lim t → + ∞ ⟨Φ f | Ψ (t)⟩ ≡ ⟨Φ f | S | Φ я⟩, {\ Displaystyle S_ {Fi} \ Equiv \ lim _ {t \ rightarrow + \ infty} \ left \ langle \ Phi _ {f} | \ Psi (t) \ right \ rangle \ Equiv \ left \ langle \ Phi _ {f} \ right | S \ left | \ Phi _ {i} \ right \ rangle,}S _ {{fi}} \ Equiv \ lim _ {{t \ rightarrow + \ infty}} \ left \ langle \ Phi _ {f} | \ Psi (t) \ right \ rangle \ Equiv \ left \ langle \ Phi _ {f} \ right | S \ left | \ Phi _ {i} \ right \ rangle,

, где S - S-оператор . Большим преимуществом этого определения является то, что оператор временной эволюции U, развивающий состояние в картине взаимодействия, формально известен,

U (t, t 0) = T e - i ∫ t 0 td τ В (τ), {\ Displaystyle U (t, t_ {0}) = Te ^ {- я \ int _ {t_ {0}} ^ {t} d \ tau V (\ tau)},}U (t, t_ {0}) = Te ^ {{- i \ int _ {{t_ {0}}} ^ {t} d \ tau V (\ tau)}},

где T обозначает заказанный по времени продукт. В этом операторе выражается:

S f i = lim t 2 → + ∞ lim t 1 → - ∞ ⟨Φ f | U (t 2, t 1) | Φ я⟩, {\ displaystyle S_ {fi} = \ lim _ {t_ {2} \ rightarrow + \ infty} \ lim _ {t_ {1} \ rightarrow - \ infty} \ left \ langle \ Phi _ {f} \ right | U (t_ {2}, t_ {1}) \ left | \ Phi _ {i} \ right \ rangle,}S _ {{fi}} = \ lim _ {{t_ {2} \ rightarrow + \ infty}} \ lim _ {{t_ {1} \ rightarrow - \ infty}} \ left \ langle \ Phi _ { f} \ right | U (t_ {2}, t_ {1}) \ left | \ Phi _ {i} \ right \ rangle,

, откуда

S = U (∞, - ∞). {\ displaystyle S = U (\ infty, - \ infty).}S = U (\ infty, - \ infty).

Расширение с использованием знаний о U дает ряд Дайсона,

S = ∑ n = 0 ∞ (- i) nn ! ∫ - ∞ ∞ dt 1 ⋯ ∫ - ∞ ∞ dtn T [V (t 1) ⋯ V (tn)], {\ displaystyle S = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(- i) ^ {n}} {n!}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dt_ {1} \ cdots \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dt_ {n} T \ left [V (t_ {1}) \ cdots V (t_ {n}) \ right],}S = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-i) ^ {n}} {n!}} \ Int _ {{- \ infty}} ^ {\ infty} dt_ {1} \ cdots \ int _ {{- \ infty}} ^ {\ infty} dt_ {n} T \ left [V (t_ {1}) \ cdots V (t_ {n}) \ right],

или, если V является гамильтоновой плотностью,

S = ∑ n = 0 ∞ (- i) нн! ∫ - ∞ ∞ d x 1 4 ⋯ ∫ - ∞ ∞ d x n 4 T [H (t 1) ⋯ H (t n)]. {\ displaystyle S = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-i) ^ {n}} {n!}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx_ {1} ^ {4} \ cdots \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx_ {n} ^ {4} T \ left [{\ mathcal {H}} (t_ {1}) \ cdots { \ mathcal {H}} (t_ {n}) \ right].}S = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-i) ^ {n}} {n!}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {\ infty} dx_ {1} ^ {4} \ cdots \ int _ {{- \ infty}} ^ {\ infty } dx_ {n} ^ {4} T \ left [{\ mathcal {H}} (t_ {1}) \ cdots {\ mathcal {H}} (t_ {n}) \ right].

Являясь особым типом оператора временной эволюции, S унитарен. Для любого начального состояния и любого конечного состояния находится

S f i = ⟨Φ f | S | Φ i⟩ = Φ f | ∑ N знак равно 0 ∞ (- я) N N! ∫ - ∞ ∞ d x 1 4 ⋯ ∫ - ∞ ∞ d x n 4 T [H (t 1) ⋯ H (t n)] | Φ i⟩. {\ Displaystyle S_ {fi} = \ left \ langle \ Phi _ {f} | S | \ Phi _ {i} \ right \ rangle = \ left \ langle \ Phi _ {f} \ left | \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-i) ^ {n}} {n!}} \ Int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx_ {1} ^ {4} \ cdots \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx_ {n} ^ {4} T \ left [{\ mathcal {H}} (t_ {1}) \ cdots {\ mathcal {H}} (t_ {n }) \ right] \ right | \ Phi _ {i} \ right \ rangle.}S _ {{fi}} = \ left \ langle \ Phi _ {f} | S | \ Phi _ {i} \ right \ rangle = \ left \ langle \ Phi _ {f} \ left | \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-i) ^ {n}} {n!}} \ int _ {{- \ infty}} ^ {\ infty} dx_ {1} ^ {4} \ cdots \ int _ {{- \ infty}} ^ {\ infty} dx_ {n} ^ {4} T \ left [{\ mathcal {H}} (t_ {1}) \ cdots {\ mathcal {H}} (t_ {n}) \ right] \ right | \ Phi _ {i} \ right \ rangle.

Этот подход несколько наивен, поскольку потенциальные проблемы замалчиваются под ковер. Это сделано намеренно. Подход работает на практике, и некоторые технические вопросы рассматриваются в других разделах.

Состояния входа и выхода

Здесь используется немного более строгий подход для решения потенциальных проблем, которые не были учтены в подходе с изображением взаимодействия, описанном выше. Конечный результат, конечно, такой же, как и при выборе более быстрого маршрута. Для этого нужны понятия входящего и выходящего состояний. Они будут развиваться двумя способами: из вакуума и из состояний свободных частиц. Излишне говорить, что эти два подхода эквивалентны, но они освещают вопрос с разных сторон.

From vacua

Если a (k) является оператором создания, его эрмитово сопряженное соединение является оператором уничтожения и разрушает вакуум,

a (k) | ∗, 0⟩ = 0. {\ displaystyle a (k) \ left | *, 0 \ right \ rangle = 0.}a (k) \ left | *, 0 \ right \ rangle = 0.

В нотации Дирака определите

| ∗, 0⟩ {\ displaystyle | *, 0 \ rangle}| *, 0 \ rangle

как квантовое состояние вакуума, то есть состояние без реальных частиц. Звездочка означает, что не все вакуумы обязательно равны и, конечно, не равны нулевому состоянию 0 в гильбертовом пространстве. Предполагается, что все вакуумные состояния инвариант Пуанкаре, инвариантность относительно сдвигов, вращений и повышений, формально

P μ | ∗, 0⟩ = | ∗, 0⟩, M μ ν | ∗, 0⟩ = | *, 0⟩, {\ Displaystyle P ^ {\ mu} | *, 0 \ rangle = | *, 0 \ rangle, \ quad M ^ {\ mu \ nu} | *, 0 \ rangle = | *, 0 \ rangle,}{\ displaystyle P ^ {\ mu} | *, 0 \ rangle = | *, 0 \ rangle, \ quad M ^ {\ mu \ nu} | *, 0 \ rangle = | *, 0 \ ra ngle,}

, где P - генератор сдвига в пространстве и времени, а M - генератор преобразований Лоренца. Таким образом, описание вакуума не зависит от системы координат. С состояниями входа и выхода, которые необходимо определить, связаны операторы поля in и out (также известные как fields ) Φ i и Φ o. Здесь внимание сконцентрировано на простейшем случае, а именно на скалярной теории, чтобы проиллюстрировать это с наименьшим возможным загромождением обозначений. Входящие и выходные поля удовлетворяют условию

(◻ 2 + m 2) ϕ i, o (x) = 0, {\ displaystyle (\ Box ^ {2} + m ^ {2}) \ phi _ {i, o } (x) = 0,}(\ Box ^ {2} + m ^ {2}) \ phi _ {{i, o}} (x) = 0,

свободное уравнение Клейна – Гордона. Постулируется, что эти поля имеют те же соотношения коммутации равных времен (ETCR ), что и свободные поля,

[ϕ i, o (x), π i, o (y)] x 0 = y 0 = i δ (x - y), [ϕ i, o (x), ϕ i, o (y)] x 0 = y 0 = [π i, o (x), π i, o (y)] Икс 0 знак равно Y 0 знак равно 0, {\ Displaystyle {\ begin {align} {[\ phi _ {я, о} (х), \ пи _ {я, о} (у)]} _ {х_ {0} = y_ {0}} = i \ delta (\ mathbf {x} - \ mathbf {y}), \\ {[\ phi _ {i, o} (x), \ phi _ {i, o} ( y)]} _ {x_ {0} = y_ {0}} = {[\ pi _ {i, o} (x), \ pi _ {i, o} (y)]} _ {x_ {0 } = y_ {0}} = 0 \ end {align}},}{\ begin {align} {[\ phi _ {{i, o}} (x), \ pi _ {{i, o}} (y)]} _ {{x_ { 0} = y_ {0}}} = i \ delta ({\ mathbf {x}} - {\ mathbf {y}}), \\ {[\ phi _ {{i, o}} (x), \ phi _ {{i, o}} (y)]} _ {{x_ {0} = y_ {0}}} = {[\ pi _ {{i, o}} (x), \ pi _ {{i, o}} (y)]} _ {{x_ {0} = y_ {0}}} = 0 \ end {align}},

где π i, j - это поле, канонически сопряженное с Φ i, j. С полями in и out связаны два набора операторов создания и уничтожения, a i (k) и a f (k), действующих в одном и том же гильбертовом пространстве, на двух различных полных наборах (пространства Фока ; начальное пространство i, конечное пространство f). Эти операторы удовлетворяют обычным правилам коммутации,

[ai, o (p), ai, o † (p ′)] = i δ (p - p ′), [ai, o (p), ai, o ( p ′)] = [ai, o † (p), ai, o † (p ′)] = 0. {\ displaystyle {\ begin {align} {[a_ {i, o} (\ mathbf {p}), a_ {i, o} ^ {\ dagger} (\ mathbf {p} ')]} = i \ delta (\ mathbf {p} - \ mathbf {p'}), \\ {[a_ {i, o} (\ mathbf {p}), a_ {i, o} (\ mathbf {p '})]} = {[a_ {i, o} ^ {\ dagger} (\ mathbf {p}), a_ {i, o} ^ {\ dagger} (\ mathbf {p '})]} = 0. \ end {align}}}{\begin{aligned}{[a_{{i,o}}({\mathbf {p}}),a_{{i,o}}^{\dagger }({\mathbf {p}}')]}=i\delta ({\mathbf {p}}-{\mathbf {p'}}),\\{[a_{{i,o}}({\mathbf {p}}),a_{{i,o}}({\mathbf {p'}})]}={[a_{{i,o}}^{\dagger }({\mathbf {p}}),a_{{i,o}}^{\dagger }({\mathbf {p'}})]}=0.\end{aligned}}

Действие операторов создания на соответствующие вакуумы и состояния с конечным числом частицы во входящем и исходящем состояниях определяются как

| i, k 1… k n⟩ = a i † (k 1) ⋯ a i † (k n) | i, 0⟩, | f, p 1… p n⟩ = a f † (p 1) ⋯ a f † (p n) | е, 0⟩, {\ displaystyle {\ begin {align} \ left | i, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ right \ rangle = a_ {i} ^ {\ dagger} (k_ {1}) \ cdots a_ {i} ^ {\ dagger} (k_ {n}) \ left | i, 0 \ right \ rangle, \\\ left | f, p_ {1} \ ldots p_ {n} \ right \ rangle = a_ {f} ^ {\ dagger} (p_ {1}) \ cdots a_ {f} ^ {\ dagger} (p_ {n}) \ left | f, 0 \ right \ rangle, \ end {выровнено}} }{\ begin {align} \ left | i, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ right \ rangle = a_ {i} ^ {\ dagger} (k_ {1}) \ cdots a_ {i} ^ {\ dagger} (k_ {n}) \ left | i, 0 \ right \ rangle, \\\ left | f, p_ {1} \ ldots p_ {n} \ right \ rangle = a_ {f} ^ {\ dagger} (p_ {1}) \ cdots a_ {f} ^ {\ dagger} (p_ {n}) \ left | f, 0 \ right \ rangle, \ end {align}}

где проблемы нормализации были проигнорированы. В следующем разделе подробно описано, как нормализовать общее состояние n-частиц. Начальный и конечный пробелы определяются как

H i = span ⁡ {| i, k 1… k n⟩ = a i † (k 1) ⋯ a i † (k n) | я, 0⟩}, {\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {i} = \ operatorname {span} \ {\ left | i, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ right \ rangle = a_ { i} ^ {\ dagger} (k_ {1}) \ cdots a_ {i} ^ {\ dagger} (k_ {n}) \ left | i, 0 \ right \ rangle \},}{\ mathcal H} _ {i} = \ operatorname {span} \ {\ left | i, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ right \ rangle = a_ {i} ^ { \ dagger} (k_ {1}) \ cdots a_ {i} ^ {\ dagger} (k_ {n}) \ left | i, 0 \ right \ rangle \},
H f = промежуток ⁡ {| f, p 1… p n⟩ = a f † (p 1) ⋯ a f † (p n) | f, 0⟩}. {\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {f} = \ operatorname {span} \ {\ left | f, p_ {1} \ ldots p_ {n} \ right \ rangle = a_ {f} ^ {\ dagger } (p_ {1}) \ cdots a_ {f} ^ {\ dagger} (p_ {n}) \ left | f, 0 \ right \ rangle \}.}{\ mathcal H} _ {f} = \ operatorname {span} \ { \ left | f, p_ {1} \ ldots p_ {n} \ right \ rangle = a_ {f} ^ {\ dagger} (p_ {1}) \ cdots a_ {f} ^ {\ dagger} (p_ {n }) \ left | f, 0 \ right \ rangle \}.

Предполагается, что асимптотические состояния определены правильно Свойства преобразования Пуанкаре, т. Е. Предполагается, что они трансформируются как прямой продукт одночастичных состояний. Это характеристика невзаимодействующего поля. Из этого следует, что все асимптотические состояния являются собственными состояниями оператора импульса P,

P μ | i, k 1… k m⟩ = k 1 μ + ⋯ + k m μ | i, k 1… k m⟩, P μ | f, p 1… p n⟩ = p 1 μ + ⋯ + p n μ | f, p 1… p n⟩. {\ Displaystyle P ^ {\ mu} \ left | i, k_ {1} \ ldots k_ {m} \ right \ rangle = k_ {1} ^ {\ mu} + \ cdots + k_ {m} ^ {\ mu } \ left | i, k_ {1} \ ldots k_ {m} \ right \ rangle, \ quad P ^ {\ mu} \ left | f, p_ {1} \ ldots p_ {n} \ right \ rangle = p_ {1} ^ {\ mu} + \ cdots + p_ {n} ^ {\ mu} \ left | f, p_ {1} \ ldots p_ {n} \ right \ rangle.}P ^ {\ mu} \ left | i, k_ {1} \ ldots k_ {m} \ right \ rangl e = k_ {1} ^ {\ mu} + \ cdots + k_ {m} ^ {\ mu} \ left | i, k_ {1} \ ldots k_ {m} \ right \ rangle, \ quad P ^ {\ mu} \ left | f, p_ {1} \ ldots p_ {n} \ right \ rangle = p_ {1} ^ {\ mu} + \ cdots + p_ {n} ^ {\ mu} \ left | f, p_ {1} \ ldots p_ {n} \ right \ rangle.

В частности, они собственные состояния полного гамильтониана,

H = P 0. {\ displaystyle H = P ^ {0}.}H = P ^ {0}.

Обычно постулируется, что вакуум является стабильным и уникальным,

| i, 0⟩ = | f, 0⟩ = | ∗, 0⟩ ≡ | 0⟩. {\ displaystyle | i, 0 \ rangle = | f, 0 \ rangle = | *, 0 \ rangle \ Equiv | 0 \ rangle.}| i, 0 \ rangle = | f, 0 \ rangle = | *, 0 \ rangle \ Equiv | 0 \ rangle. .

Предполагается, что взаимодействие включается и выключается адиабатически.

Изображение Гейзенберга

Изображение Гейзенберга используется впредь. На этом рисунке состояния не зависят от времени. Таким образом, вектор состояния Гейзенберга представляет полную пространственно-временную историю системы частиц. Обозначение входящего и выходящего состояний относится к асимптотическому виду. Состояние Ψ α в характеризуется тем, что при t → −∞ содержание частиц представляет собой совокупность, представленную α. Аналогично, состояние Ψ β, out будет иметь содержание частиц, представленное β для t → + ∞. Используя предположение, что входящие и исходящие состояния, а также взаимодействующие состояния обитают в одном и том же гильбертовом пространстве, и предполагая полноту нормированных входных и исходящих состояний (постулат асимптотической полноты), начальные состояния могут быть разложены в базис конечных состояния (или наоборот). Явное выражение будет дано позже, после введения дополнительных обозначений и терминологии. Коэффициенты разложения - это в точности элементы S-матрицы, которые будут определены ниже.

В то время как векторы состояния постоянны во времени на изображении Гейзенберга, физические состояния, которые они представляют, не являются. Если обнаруживается, что система находится в состоянии в момент времени t = 0, то она будет найдена в состоянии U (τ) Ψ = eΨ в момент времени t = τ. Это не (обязательно) тот же вектор состояния Гейзенберга, но это эквивалентный вектор состояния, а это означает, что при измерении он будет обнаружен как одно из конечных состояний из разложения с ненулевым коэффициентом. Если изменять τ, можно увидеть, что наблюдаемое Ψ (не измеренное) действительно является вектором состояния картины Шредингера. Путем повторения измерения достаточно много раз и усреднения можно сказать, что тот же вектор состояния действительно обнаружен в момент времени t = τ, как и в момент времени t = 0. Это отражает расширение указанного выше состояния входа на состояния выхода.

Из состояний свободных частиц

С этой точки зрения следует рассмотреть, как проводится эксперимент по архетипическому рассеянию. Начальные частицы подготавливаются в четко определенных состояниях, где они настолько далеко друг от друга, что не взаимодействуют. Их каким-то образом заставляют взаимодействовать, и конечные частицы регистрируются, когда они настолько далеко друг от друга, что перестают взаимодействовать. Идея состоит в том, чтобы найти состояния на картинке Гейзенберга, которые в далеком прошлом имели вид состояний свободных частиц. Это будет в штатах. Аналогичным образом, выходное состояние будет состоянием, которое в отдаленном будущем будет иметь вид состояния свободной частицы.

Обозначения из общей ссылки для этого раздела, Weinberg (2002) будут использоваться. Общее невзаимодействующее многочастичное состояние определяется выражением

Ψ p 1 σ 1 n 1; p 2 σ 2 n 2; ⋯, {\ displaystyle \ Psi _ {p_ {1} \ sigma _ {1} n_ {1}; p_ {2} \ sigma _ {2} n_ {2}; \ cdots},}\ Psi _ {{p_ {1} \ sigma _ {1} n_ {1}; p_ {2} \ sigma _ {2} n_ {2}; \ cdots}},

где

  • p - импульс,
  • σ - z-компонента спина или, в безмассовом случае, спиральность,
  • n - разновидность частицы.

Эти состояния нормированы как

(Ψ p 1 ′ σ 1 ′ n 1 ′; p 2 ′ σ 2 ′ n 2 ′; ⋯, Ψ p 1 σ 1 n 1; p 2 σ 2 n 2; ⋯) = δ 3 (p 1 ′ - p 1) δ. σ 1 ′ σ 1 δ n 1 ′ n 1 δ 3 (p 2 ′ - p 2) δ σ 2 ′ σ 2 δ n 2 ′ n 2 ⋯ ± перестановки. {\ displaystyle \ left (\ Psi _ {p_ {1} '\ sigma _ {1}' n_ {1} '; p_ {2}' \ sigma _ {2} 'n_ {2}'; \ cdots}, \ Psi _ {p_ {1} \ sigma _ {1} n_ {1}; p_ {2} \ sigma _ {2} n_ {2}; \ cdots} \ right) = \ delta ^ {3} (\ mathbf {p} _ {1} '- \ mathbf {p} _ {1}) \ delta _ {\ sigma _ {1}' \ sigma _ {1}} \ delta _ {n_ {1} 'n_ {1} } \ delta ^ {3} (\ mathbf {p} _ {2} '- \ mathbf {p} _ {2}) \ delta _ {\ sigma _ {2}' \ sigma _ {2}} \ delta _ {n_ {2} 'n_ {2}} \ cdots \ quad \ pm {\ text {permutations}}.}\left(\Psi _{{p_{1}'\sigma _{1}'n_{1}';p_{2}'\sigma _{2}'n_{2}';\cdots }},\Psi _{{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots }}\right)=\delta ^{3}({\mathbf {p}}_{1}'-{\mathbf {p}}_{1})\delta _{{\sigma _{1}'\sigma _{1}}}\delta _{{n_{1}'n_{1}}}\delta ^{3}({\mathbf {p}}_{2}'-{\mathbf {p}}_{2})\delta _{{\sigma _{2}'\sigma _{2}}}\delta _{{n_{2}'n_{2}}}\cdots \quad \pm {\text{ permutations}}.

Перестановки работают как таковые; если s ∈ S k - это перестановка k объектов (для состояния k-частиц) такая, что

ns (i) ′ = ni, 1 ≤ i ≤ k, {\ displaystyle n_ {s (i)} '= n_ {i}, \ quad 1 \ leq i \ leq k,}n_{{s(i)}}'=n_{{i}},\quad 1\leq i\leq k,

тогда получается ненулевой член. Знак плюс, если s не включает нечетное число транспозиций фермионов, и в этом случае это минус. Обозначения обычно сокращаются, позволяя одной греческой букве обозначать всю коллекцию, описывающую состояние. В сокращенном виде нормализация становится

(Ψ α ′, Ψ α) = δ (α ′ - α). {\ displaystyle \ left (\ Psi _ {\ alpha '}, \ Psi _ {\ alpha} \ right) = \ delta (\ alpha' - \ alpha).}\left(\Psi _{{\alpha '}},\Psi _{\alpha }\right)=\delta (\alpha '-\alpha).

При интегрировании по состояниям свободных частиц пишут в этой записи

∫ d α ⋯ ≡ ∑ N 1 σ 1 n 2 σ 2 ⋯ ∫ d 3 p 1 d 3 p 2 ⋯, {\ displaystyle \ int d \ alpha \ cdots \ Equiv \ sum _ {n_ { 1} \ sigma _ {1} n_ {2} \ sigma _ {2} \ cdots} \ int d ^ {3} p_ {1} d ^ {3} p_ {2} \ cdots,}\ int d \ alpha \ cdots \ Equiv \ sum _ {{n_ {1} \ sigma _ {1} n_ {2} \ sigma _ {2} \ cdots}} \ int d ^ {3} p_ {1} d ^ {3} p_ {2} \ cdots,

где sum включает только такие члены, что никакие два члена не равны по модулю перестановки индексов типа частицы. Предполагается, что искомые наборы состояний будут полными. Это выражается как

Ψ = ∫ d α Ψ α (Ψ α, Ψ), {\ displaystyle \ Psi = \ int d \ alpha \ Psi _ {\ alpha} \ left (\ Psi _ {\ alpha}, \ Psi \ right),}\ Psi = \ int d \ alpha \ Psi _ {\ alpha} \ left (\ Psi _ {\ alpha}, \ Psi \ right),

, которое можно перефразировать как

∫ d α | Ψ α⟩ ⟨Ψ α | Знак равно 1, {\ displaystyle \ int d \ alpha \ left | \ Psi _ {\ alpha} \ right \ rangle \ left \ langle \ Psi _ {\ alpha} \ right | = 1,}\ int d \ alpha \ left | \ Psi _ {\ alpha} \ right \ rangle \ left \ langle \ Psi _ {\ alpha} \ right | = 1,

где для каждого фиксированного α правая часть является оператором проекции на состояние α. При неоднородном преобразовании Лоренца (Λ, a) поле преобразуется по правилу

U (Λ, a) Ψ p 1 σ 1 n 1; p 2 σ 2 n 2 ⋯ = e - ia μ ((Λ p 1) μ + (Λ p 2) μ + ⋯) (Λ p 1) 0 (Λ p 2) 0 ⋯ p 1 0 p 2 0 ⋯ ∑ σ 1 ′ σ 2 ′ ⋯ D σ 1 ′ σ 1 (j 1) (W (Λ, p 1)) D σ 2 ′ σ 2 (j 2) (W (Λ, p 2)) ⋯ Ψ Λ p 1 σ 1 ′ n 1; Λ п 2 σ 2 ′ N 2 ⋯, {\ Displaystyle U (\ Lambda, a) \ Psi _ {p_ {1} \ sigma _ {1} n_ {1}; p_ {2} \ sigma _ {2} n_ {2} \ cdots} = e ^ {- ia _ {\ mu} ((\ Lambda p_ {1}) ^ {\ mu} + (\ Lambda p_ {2}) ^ {\ mu} + \ cdots)} { \ sqrt {\ frac {(\ Lambda p_ {1}) ^ {0} (\ Lambda p_ {2}) ^ {0} \ cdots} {p_ {1} ^ {0} p_ {2} ^ {0} \ cdots}}} \ sum _ {\ sigma _ {1} '\ sigma _ {2}' \ cdots} D _ {\ sigma _ {1} '\ sigma _ {1}} ^ {(j_ {1}) } (W (\ Lambda, p_ {1})) D _ {\ sigma _ {2} '\ sigma _ {2}} ^ {(j_ {2})} (W (\ Lambda, p_ {2})) \ cdots \ Psi _ {\ Lambda p_ {1} \ sigma _ {1} 'n_ {1}; \ Lambda p_ {2} \ sigma _ {2}' n_ {2} \ cdots},}U(\Lambda,a)\Psi _{{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2}\cdots }}=e^{{-ia_{\mu }((\Lambda p_{1})^{\mu }+(\Lambda p_{2})^{\mu }+\cdots)}}{\sqrt {{\frac {(\Lambda p_{1})^{0}(\Lambda p_{2})^{0}\cdots }{p_{1}^{0}p_{2}^{0}\cdots }}}}\sum _{{\sigma _{1}'\sigma _{2}'\cdots }}D_{{\sigma _{1}'\sigma _{1}}}^{{(j_{1})}}(W(\Lambda,p_{1}))D_{{\sigma _{2}'\sigma _{2}}}^{{(j_{2})}}(W(\Lambda,p_{2}))\cdots \Psi _{{\Lambda p_{1}\sigma _{1}'n_{1};\Lambda p_{2}\sigma _{2}'n_{2}\cdots }},

( 1)

где W (Λ, p) - вигнеровское вращение, а D - (2j + 1) -мерное представление SO (3). Положив Λ = 1, a = (τ, 0, 0, 0), для которого U равно exp (iHτ), в (1)немедленно следует, что

ЧАС Ψ знак равно E α Ψ, E α знак равно п 1 0 + p 2 0 + ⋯, {\ Displaystyle H \ Psi = E _ {\ alpha} \ Psi, \ quad E _ {\ alpha} = p_ {1} ^ { 0} + p_ {2} ^ {0} + \ cdots,}H \ Psi = E _ {\ alpha} \ Psi, \ quad E _ {\ alpha} = p_ {1} ^ {0} + p_ {2} ^ {0} + \ cdots,

, поэтому входящие и исходящие состояния sough after являются собственными состояниями полного гамильтониана, которые обязательно не взаимодействуют из-за отсутствия членов смешанной энергии частиц. Обсуждение в предыдущем разделе предполагает, что входные состояния Ψ и исходящие состояния Ψ должны быть такими, чтобы

e - i H τ ∫ d α g (α) Ψ α ± = ∫ d α e - i E α τ g (α) Ψ α ± {\ Displaystyle е ^ {- iH \ tau} \ int d \ alpha g (\ alpha) \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} = \ int d \ alpha e ^ {- iE_ {\ alpha} \ tau} g (\ alpha) \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm}}e ^ {{- iH \ tau}} \ int d \ alpha g (\ alpha) \ Psi _ {\ alpha} ^ { \ pm} = \ int d \ alpha e ^ {{- iE _ {\ alpha} \ tau}} g (\ alpha) \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm}

для больших положительных и отрицательных значений τ имеет вид соответствующего пакета свободных частиц, представленного буквой g. состояний, g предполагается гладкими и соответственно локализованными по импульсу. Волновые пакеты необходимы, иначе временная эволюция даст только фазовый фактор, указывающий на свободные частицы, чего не может быть. Правая часть следует из того, что входящие и исходящие состояния являются собственными состояниями гамильтониана согласно вышеизложенному. Чтобы формализовать это требование, предположим, что полный гамильтониан H можно разделить на два члена: гамильтониан свободных частиц H 0 и взаимодействие V, H = H 0 + V, так что собственные состояния Φ γ H 0 имеют тот же вид, что и входящие и исходящие состояния в отношении свойств нормализации и преобразования Лоренца,

H 0 Φ α знак равно E α Φ α, {\ Displaystyle H_ {0} \ Phi _ {\ alpha} = E _ {\ alpha} \ Phi _ {\ alpha},}H_ {0} \ Phi _ {\ alpha} = E _ {\ alpha} \ Phi _ {\ alpha},
(Φ α ', Φ α) = δ (α ′ - α). {\ displaystyle (\ Phi _ {\ alpha} ', \ Phi _ {\ alpha}) = \ delta (\ alpha' - \ alpha).}(\Phi _{\alpha }',\Phi _{\alpha })=\delta (\alpha '-\alpha).

Состояния входа и выхода определяются как собственные состояния полного гамильтониана

ЧАС Ψ α ± = Е α Ψ α ±, {\ Displaystyle H \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} = E _ {\ alpha} \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm}, }H \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} = E _ {\ alpha} \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm},

, удовлетворяющее

e - i H τ ∫ d α g (α) Ψ α ± → e - i H 0 τ ∫ d α g (α) Φ α. {\ displaystyle e ^ {- iH \ tau} \ int d \ alpha g (\ alpha) \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} \ rightarrow e ^ {- iH_ {0} \ tau} \ int d \ alpha g (\ alpha) \ Phi _ {\ alpha}.}e ^ {{ -iH \ tau}} \ int d \ alpha g (\ alpha) \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} \ rightarrow e ^ {{- iH_ {0} \ tau}} \ int d \ alpha g ( \ alpha) \ Phi _ {\ alpha}.

для τ → −∞ или τ → + ∞ соответственно. Определим

Ω (τ) ≡ е + я ЧАС τ е - я ЧАС 0 τ, {\ Displaystyle \ Omega (\ tau) \ Equiv e ^ {+ iH \ tau} e ^ {- iH_ {0} \ tau },}\ Omega (\ tau) \ Equiv e ^ {{+ iH \ tau}} e ^ {{- iH_ {0} \ tau}},

, то

Ψ α ± = Ω (∓ ∞) Φ α. {\ displaystyle \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} = \ Omega (\ mp \ infty) \ Phi _ {\ alpha}.}\ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} = \ Omega ( \ mp \ infty) \ Phi _ {\ alpha}.

Это последнее выражение будет работать только с волновыми пакетами. Из этих определений следует что входящие и исходящие состояния нормированы таким же образом, как и состояния свободных частиц,

(Ψ β +, Ψ α +) = (Φ β, Φ α) = (Ψ β -, Ψ α -) = δ (β - α), {\ Displaystyle (\ Psi _ {\ beta} ^ {+}, \ Psi _ {\ alpha} ^ {+}) = (\ Phi _ {\ beta}, \ Phi _ {\ alpha}) = (\ Psi _ {\ beta} ^ {-}, \ Psi _ {\ alpha} ^ {-}) = \ delta (\ beta - \ alpha),}(\ Psi _ {\ beta} ^ {+}, \ Psi _ {\ alpha} ^ {+}) = (\ Phi _ {\ beta}, \ Phi _ {\ alpha}) = (\ Psi _ {\ beta} ^ {-}, \ Psi _ {\ alpha} ^ {-}) = \ delta (\ бета - \ alpha),

и три набора единообразно эквивалент. Теперь перепишите уравнение для собственных значений,

(E α - H 0 ± i ϵ) Ψ α ± = ± i ϵ Ψ α ± + V Ψ α ±, {\ displaystyle (E _ {\ alpha} -H_ {0} \ pm i \ epsilon) \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} = \ pm i \ epsilon \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} + V \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm}, }(E _ {\ alpha} -H_ { 0} \ pm i \ epsilon) \ P si _ {\ alpha} ^ {\ pm} = \ pm i \ epsilon \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} + V \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm},

где добавлены члены ± iε, чтобы сделать оператор в LHS обратимым. Так как состояния входа и выхода сводятся к состояниям свободных частиц при V → 0, положим

i ϵ Ψ α ± = i ϵ Φ α {\ displaystyle i \ epsilon \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} = i \ epsilon \ Phi _ {\ alpha}}i \ epsilon \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} = i \ epsilon \ Phi _ {\ alpha}

на правой стороне, чтобы получить

Ψ α ± = Φ α + (E α - H 0 ± i ϵ) - 1 V Ψ α ±. {\ Displaystyle \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} = \ Phi _ {\ alpha} + (E _ {\ alpha} -H_ {0} \ pm i \ epsilon) ^ {- 1} V \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm}.}\ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} = \ Phi _ {\ alpha} + (E _ {\ alpha} -H_ {0} \ pm i \ epsilon) ^ {{- 1}} V \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm}.

Затем используйте полноту состояний свободных частиц,

V Ψ α ± = ∫ d β (Φ β, V Ψ α ±) Φ β ≡ ∫ d β T β α ± Φ β, {\ Displaystyle V \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} = \ int d \ beta (\ Phi _ {\ beta}, V \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm}) \ Phi _ {\ beta} \ Equiv \ int d \ beta T _ {\ beta \ alpha} ^ {\ pm} \ Phi _ {\ beta},}V \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} = \ int d \ beta (\ Phi _ {\ beta}, V \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm}) \ Phi _ {\ бета} \ Equiv \ int d \ beta T _ {{\ beta \ alpha}} ^ {\ pm} \ Phi _ {\ beta},

, чтобы наконец получить

Ψ α ± = Φ α + ∫ d β T β α ± Φ β E α - E β ± i ϵ. {\ Displaystyle \ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} = \ Phi _ {\ alpha} + \ int d \ beta {\ frac {T _ {\ beta \ alpha} ^ {\ pm} \ Phi _ {\ beta}} {E _ {\ alpha} -E _ {\ beta} \ pm i \ epsilon}}.}\ Psi _ {\ alpha} ^ {\ pm} = \ Phi _ {\ alpha} + \ int d \ beta {\ frac {T _ {{\ beta \ alpha}} ^ {\ pm} \ Phi _ {\ beta}} {E _ {\ alpha} -E _ {\ beta} \ pm i \ epsilon}}.

Здесь H 0 заменено на собственное значение в состояниях свободных частиц. Это уравнение Липпмана – Швингера.

В состояниях, выраженных как исходящие состояния

Начальные состояния могут быть расширены в основе конечных состояний (или наоборот). Используя соотношение полноты,

Ψ α - = ∫ d β (Ψ β +, Ψ α -) Ψ β + = ∫ d β | Ψ β +⟩ ⟨Ψ β + | Ψ α -⟩ знак равно ∑ N 1 σ 1 N 2 σ 2 ⋯ ∫ d 3 p 1 d 3 p 2 ⋯ (Ψ β +, Ψ α -) Ψ β +, {\ displaystyle \ Psi _ {\ alpha} ^ { -} = \ int d \ beta (\ Psi _ {\ beta} ^ {+}, \ Psi _ {\ alpha} ^ {-}) \ Psi _ {\ beta} ^ {+} = \ int d \ beta | \ Psi _ {\ beta} ^ {+} \ rangle \ langle \ Psi _ {\ beta} ^ {+} | \ Psi _ {\ alpha} ^ {-} \ rangle = \ sum _ {n_ {1} \ sigma _ {1} n_ {2} \ sigma _ {2} \ cdots} \ int d ^ {3} p_ {1} d ^ {3} p_ {2} \ cdots (\ Psi _ {\ beta} ^ {+}, \ Psi _ {\ alpha} ^ {-}) \ Psi _ {\ beta} ^ {+},}\ Psi _ {\ alpha} ^ {-} = \ int d \ beta (\ Psi _ {\ beta} ^ {+}, \ Psi _ {\ alpha} ^ {-}) \ Psi _ {\ beta} ^ {+} = \ int d \ beta | \ Psi _ {\ beta} ^ {+} \ rangle \ langle \ Psi _ {\ beta} ^ {+} | \ Psi _ {\ alpha} ^ {-} \ rangle = \ sum _ {{n_ {1} \ sigma _ {1} n_ {2} \ sigma _ {2} \ cdots}} \ int d ^ {3} p_ {1} d ^ {3} p_ {2} \ cdots (\ Psi _ {\ beta} ^ {+}, \ Psi _ {\ alpha } ^ {-}) \ Psi _ {\ beta} ^ {+},
Ψ α - = | i, k 1… k n⟩ = C 0 | f, 0⟩ + ∑ m = 1 ∞ ∫ d 4 p 1… d 4 p m C m (p 1… p m) | е, п 1… pm⟩, {\ displaystyle \ Psi _ {\ alpha} ^ {-} = \ left | i, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ right \ rangle = C_ {0} \ left | f, 0 \ right \ rangle \ + \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ int {d ^ {4} p_ {1} \ ldots d ^ {4} p_ {m} C_ {m} ( p_ {1} \ ldots p_ {m}) \ left | f, p_ {1} \ ldots p_ {m} \ right \ rangle} ~,}\ Psi _ {\ alpha} ^ {-} = \ left | i, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ right \ rangle = C_ {0} \ left | f, 0 \ right \ rangle \ + \ sum _ {{m = 1}} ^ {\ infty} \ int {d ^ {4} p_ {1} \ ldots d ^ { 4} p_ {m} C_ {m} (p_ {1} \ ldots p_ {m}) \ left | f, p_ {1} \ ldots p_ {m} \ right \ rangle} ~,

где | C m | вероятность того, что взаимодействие преобразуется

| я, к 1… кн⟩ = Ψ α - {\ displaystyle \ left | i, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ right \ rangle = \ Psi _ {\ alpha} ^ {-}}\ left | i, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ right \ rangle = \ Psi _ {\ alpha} ^ {-}

в

| е, п 1… вечера⟩ знак равно Ψ β + {\ displaystyle \ left | f, p_ {1} \ ldots p_ {m} \ right \ rangle = \ Psi _ {\ beta} ^ {+}}\ left | f, p_ {1} \ ldots p_ {m} \ right \ rangle = \ Psi _ {\ beta} ^ {+} .

Автор обычные правила квантовой механики,

C m (p 1… pm) = ⟨f, p 1… pm | я, К 1… кн⟩ знак равно (Ψ β +, Ψ α -) {\ displaystyle C_ {m} (p_ {1} \ ldots p_ {m}) = \ left \ langle f, p_ {1} \ ldots p_ {m} \ right | i, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ rangle = (\ Psi _ {\ beta} ^ {+}, \ Psi _ {\ alpha} ^ {-})}C_ {m} (p_ {1} \ ldots p_ {m}) = \ left \ langle f, p_ {1} \ ldots p_ {m} \ right | i, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ rangle = (\ Psi _ {\ beta} ^ {+}, \ Psi _ {\ alpha} ^ {- })

и можно написать

| i, k 1… k n⟩ = C 0 | f, 0⟩ + ∑ m = 1 ∞ ∫ d 4 p 1… d 4 p m | f, p 1… p m⟩ ⟨f, p 1… p m | я, к 1… к n⟩. {\ displaystyle \ left | я, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ right \ rangle = C_ {0} \ left | f, 0 \ right \ rangle \ + \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} \ int {d ^ {4} p_ {1} \ ldots d ^ {4} p_ {m} \ left | f, p_ {1} \ ldots p_ {m} \ right \ rangle} \ left \ langle f, p_ {1} \ ldots p_ {m} \ right | i, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ rangle ~.}\ left | i, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ right \ rangle = C_ {0} \ left | f, 0 \ right \ rangle \ + \ sum _ {{m = 1}} ^ {\ infty} \ int {d ^ {4} p_ {1} \ ldots d ^ {4} p_ {m} \ left | f, p_ {1} \ ldots p_ {m} \ right \ rangle} \ left \ langle f, p_ {1} \ ldots p_ {m} \ right | i, k_ {1} \ ldots k_ {n} \ rangle ~.

Коэффициенты разложения - это в точности элементы S-матрицы, которые будут определены ниже.

S-матрица

S-матрица теперь определяется как

S β α = ⟨Ψ β - | Ψ α +⟩ = ⟨f, β | i, α⟩, | f, β⟩ ∈ H f, | i, α⟩ ∈ H i. {\ Displaystyle S _ {\ бета \ альфа} = \ langle \ пси _ {\ beta} ^ {-} | \ Psi _ {\ alpha} ^ {+} \ rangle = \ langle f, \ beta | i, \ alpha \ rangle, \ qquad | f, \ beta \ rangle \ in { \ mathcal {H}} _ {f}, \ quad | i, \ alpha \ rangle \ in {\ mathcal {H}} _ {i}.}S _ {{\ beta \ alpha}} = \ langle \ Psi _ {\ beta} ^ {-} | \ Psi _ {\ alpha} ^ {+} \ rangle = \ langle f, \ beta | i, \ alpha \ rangle, \ qquad | f, \ beta \ rangle \ in {\ mathcal H} _ {f}, \ quad | i, \ alpha \ rangle \ in {\ mathcal H} _ {i}.

Здесь α и β - сокращения, которые представляют содержание частицы, но подавляет отдельные метки. С S-матрицей связан S-оператор S, определенный как

⟨Φ β | S | Φ α⟩ ≡ S β α, {\ Displaystyle \ langle \ Phi _ {\ beta} | S | \ Phi _ {\ alpha} \ rangle \ Equiv S _ {\ beta \ alpha},}\ langle \ Phi _ {\ beta} | S | \ Phi _ {\ alpha} \ rangle \ Equiv S _ {{\ beta \ alpha}},

где Φ γ - состояния свободных частиц. Это определение соответствует прямому подходу, используемому в картине взаимодействия. Также из-за унитарной эквивалентности

⟨Ψ β + | S | Ψ α +⟩ = S β α = ⟨Ψ β - | S | Ψ α -⟩. {\ Displaystyle \ langle \ Psi _ {\ beta} ^ {+} | S | \ Psi _ {\ alpha} ^ {+} \ rangle = S _ {\ beta \ alpha} = \ langle \ Psi _ {\ beta} ^ {-} | S | \ Psi _ {\ alpha} ^ {-} \ rangle.}\ langle \ Psi _ {\ beta} ^ {+} | S | \ Psi _ {\ alpha} ^ {+} \ rangle = S _ {{\ beta \ alpha}} = \ langle \ Psi _ {\ b eta} ^ {-} | S | \ Psi _ {\ alpha} ^ {-} \ rangle.

В качестве физического требования S должен быть унитарным оператором. Это утверждение сохранения вероятности в квантовой теории поля. Но

⟨Ψ β - | S | Ψ α -⟩ = S β α = ⟨Ψ β - | Ψ α +⟩. {\ Displaystyle \ langle \ Psi _ {\ beta} ^ {-} | S | \ Psi _ {\ alpha} ^ {-} \ rangle = S _ {\ beta \ alpha} = \ langle \ Psi _ {\ beta} ^ {-} | \ Psi _ {\ alpha} ^ {+} \ rangle.}\ langle \ Psi _ {\ beta} ^ {-} | S | \ Psi _ {\ alpha} ^ {-} \ rangle = S _ {{\ beta \ alpha}} = \ langle \ Psi _ {\ beta} ^ {-} | \ Psi _ {\ alpha} ^ {+} \ rangle.

Тогда по полноте

S | Ψ α -⟩ = | Ψ α +⟩, {\ displaystyle S | \ Psi _ {\ alpha} ^ {-} \ rangle = | \ Psi _ {\ alpha} ^ {+} \ rangle,}S | \ Psi _ {\ alpha} ^ {-} \ rangle = | \ Psi _ {\ alpha} ^ {+} \ rangle,

, поэтому S - унитарное преобразование из из штатов в штаты. Лоренц-инвариантность - еще одно важное требование к S-матрице. S-оператор представляет собой квантовое каноническое преобразование начального состояния in в конечное состояние out. Кроме того, S оставляет вакуумное состояние инвариантным и преобразует космические поля в внешние,

S | 0⟩ = | 0⟩ {\ displaystyle S \ left | 0 \ right \ rangle = \ left | 0 \ right \ rangle}S \ left | 0 \ right \ rangle = \ left | 0 \ right \ rangle
ϕ е = S ϕ i S - 1. {\ displaystyle \ phi _ {f} = S \ phi _ {i} S ^ {- 1} ~.}\ phi _ {f} = S \ phi _ {i } S ^ {{- 1}} ~.

С точки зрения операторов создания и уничтожения это становится

af (p) = S ai ( п) S - 1, af † (p) = S ai † (p) S - 1, {\ displaystyle a_ {f} (p) = Sa_ {i} (p) S ^ {- 1}, a_ {f } ^ {\ dagger} (p) = Sa_ {i} ^ {\ dagger} (p) S ^ {- 1},}a_ {f} (p) = Sa_ {i} (p) S ^ {{- 1}}, a_ {f} ^ {\ dagger} (p) = Sa_ {i} ^ {\ dagger} (p) S ^ {{- 1}},

следовательно

S | i, k 1, k 2,…, k n⟩ = S a i † (k 1) a i † (k 2) ⋯ a i † (k n) | 0⟩ = S a i † (k 1) S - 1 S a i † (k 2) S - 1 ⋯ S a i † (k n) S - 1 S | 0⟩ = a o † (k 1) a o † (k 2) ⋯ a o † (k n) S | 0⟩ = a o † (k 1) a o † (k 2) ⋯ a o † (k n) | 0⟩ = | о, к 1, к 2,…, к n⟩. {\ displaystyle {\ begin {align} S | i, k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {n} \ rangle = Sa_ {i} ^ {\ dagger} (k_ {1}) a_ {i} ^ {\ dagger} (k_ {2}) \ cdots a_ {i} ^ {\ dagger} (k_ {n}) | 0 \ rangle = Sa_ {i} ^ {\ dagger} (k_ {1}) S ^ {- 1} Sa_ {i} ^ {\ dagger} (k_ {2}) S ^ {- 1} \ cdots Sa_ {i} ^ {\ dagger} (k_ {n}) S ^ {- 1 } S | 0 \ rangle \\ = a_ {o} ^ {\ dagger} (k_ {1}) a_ {o} ^ {\ dagger} (k_ {2}) \ cdots a_ {o} ^ {\ dagger } (k_ {n}) S | 0 \ rangle = a_ {o} ^ {\ dagger} (k_ {1}) a_ {o} ^ {\ dagger} (k_ {2}) \ cdots a_ {o} ^ {\ dagger} (k_ {n}) | 0 \ rangle = | o, k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {n} \ rangle. \ end {align}}}{\ begin {align} S | i, k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {n} \ rangle = Sa_ {i} ^ {\ dagger} (k_ {1 }) a_ {i} ^ {\ dagger} (k_ {2}) \ cdots a_ {i} ^ {\ dagger} (k_ {n}) | 0 \ rangle = Sa_ {i} ^ {\ dagger} (k_ {1}) S ^ {{- 1}} Sa_ {i} ^ {\ dagger} (k_ {2}) S ^ {{- 1}} \ cdots Sa_ {i} ^ {\ dagger} (k_ {n }) S ^ {{- 1}} S | 0 \ rangle \\ = a_ {o} ^ {\ dagger} (k_ {1}) a_ {o} ^ {\ dagger} (k_ {2}) \ cdots a_ {o} ^ {\ dagger} (k_ {n}) S | 0 \ rangle = a_ {o} ^ {\ dagger} (k_ {1}) a_ {o} ^ {\ dagger} (k_ {2 }) \ cdots a_ {o} ^ {\ dagger} (k_ {n}) | 0 \ rangle = | o, k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {n} \ rangle. \ end { выровнено}}

Аналогичный Выражение выполняется, когда S работает слева в состоянии out. Это означает, что S-матрица может быть выражена как

S β α = ⟨o, β | i, α⟩ = ⟨i, β | S | i, α⟩ = ⟨o, β | S | о, а. {\ displaystyle S _ {\ beta \ alpha} = \ langle o, \ beta | i, \ alpha \ rangle = \ langle i, \ beta | S | i, \ alpha \ rangle = \ langle o, \ beta | S | o, \ alpha \ rangle.}S _ {{\ beta \ alpha}} = \ langle o, \ beta | i, \ alpha \ rangle = \ langle i, \ beta | S | i, \ alpha \ rangle = \ langle o, \ beta | S | o, \ alpha \ rangle.

Если S правильно описывает взаимодействие, эти свойства также должны быть верными:

  • Если система состоит из одной частицы в собственном состоянии импульса | k then, то S | k⟩ = | k⟩. Это следует из приведенных выше вычислений как особый случай.
  • Элемент S-матрицы может быть отличным от нуля только в том случае, если выходное состояние имеет тот же общий импульс, что и входное состояние. Это следует из требуемая лоренц-инвариантность S-матрицы.
Оператор эволюции U

Определите зависящий от времени оператор создания и уничтожения следующим образом:

a † (k, t) = U - 1 (t) ai † (к) U (t) {\ displaystyle a ^ {\ dagger} \ left (k, t \ right) = U ^ {- 1} (t) a_ {i} ^ {\ dagger} \ left (k \ справа) U \ влево (т \ справа)}a ^ {\ dagger} \ left (k, t \ right) = U ^ {-1} (t) a ^ {\ dagger} _i \ left (k \ right) U \ left (t \ right)
а (к, т) = U - 1 (т) ай (к) U (т), {\ Displaystyle а \ влево (к, т \ справа) = U ^ {- 1} (t) a_ {i} \ left (k \ right) U \ left (t \ right) ~,}a \ left (k, t \ right) = U ^ {{- 1}} (t) a_ {i} \ left (k \ right) U \ left (t \ right) ~,

, поэтому для полей

ϕ f = U - 1 (∞) ϕ я U (∞) знак равно S - 1 ϕ я S, {\ Displaystyle \ phi _ {f} = U ^ {- 1} (\ infty) \ phi _ {i} U (\ infty) = S ^ {- 1} \ phi _ {i} S ~,}\ phi _ {f} = U ^ {{- 1}} (\ infty) \ phi _ {i} U (\ infty) = S ^ {{- 1}} \ phi _ {i} S ~,

где

S = ei α U (∞) {\ displaystyle S = e ^ {i \ alpha} \, U (\ infty)}S = e ^ {i \ alpha} \, U (\ infty) .

Мы допускаем разность фаз, определяемую как

ei α = ⟨0 | U (∞) | 0⟩ - 1, {\ displaystyle e ^ {i \ alpha} = \ left \ langle 0 | U (\ infty) | 0 \ right \ rangle ^ {- 1} ~,}e ^ {{i \ alpha}} = \ left \ langle 0 | U (\ infty) | 0 \ right \ rangle ^ {{- 1}} ~,

, потому что для S

S | 0⟩ = | 0⟩ ⟹ ⟨0 | S | 0⟩ = ⟨0 | 0⟩ = 1. {\ Displaystyle S \ left | 0 \ right \ rangle = \ left | 0 \ right \ rangle \ Longrightarrow \ left \ langle 0 | S | 0 \ right \ rangle = \ left \ langle 0 | 0 \ right \ rangle = 1 ~.}S \ left | 0 \ right \ rangle = \ left | 0 \ right \ rangle \ Longrightarrow \ left \ langle 0 | S | 0 \ right \ rangle = \ left \ langle 0 | 0 \ right \ rangle = 1 ~.

Подставляя явное выражение для U, получаем

S = 1 ⟨0 | U (∞) | 0⟩ T е - я ∫ d τ ЧАС int (τ), {\ displaystyle S = {\ frac {1} {\ left \ langle 0 | U (\ infty) | 0 \ right \ rangle}} {\ mathcal { T}} e ^ {- я \ int {d \ tau H _ {\ rm {int}} (\ tau)}} ~,}S = {\ frac {1} {\ left \ langle 0 | U (\ infty) | 0 \ right \ rangle}} {\ mathcal T} e ^ {{- i \ int {d \ tau H _ {{{\ rm {{int}}}}} (\ tau)}}} ~,

где H int {\ displaystyle H _ {\ rm {int} }}H _ {\ rm {int}} - это часть взаимодействия гамильтониана, а T {\ displaystyle {\ mathcal {T}}}\ mathcal T - временной порядок.

При осмотре видно, что эта формула не является явно ковариантной.

Серия Дайсона

Наиболее широко используемым выражением для S-матрицы является серия Дайсона. Это выражает S-матричный оператор как ряд :

S = ∑ n = 0 ∞ (- i) n n! ∫ ⋯ ∫ d 4 Икс 1 d 4 Икс 2… d 4 xn T [H int (x 1) H int (x 2) ⋯ H int (xn)] {\ displaystyle S = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-i) ^ {n}} {n!}} \ int \ cdots \ int d ^ {4} x_ {1} d ^ {4} x_ {2} \ ldots d ^ {4} x_ {n} T [{\ mathcal {H}} _ {\ rm {int}} (x_ {1}) {\ mathcal {H}} _ {\ rm {int}} (x_ {2}) \ cdots {\ mathcal {H}} _ {\ rm {int}} (x_ {n})]}S = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-i) ^ {n}} {n!}} \ Int \ cdots \ int d ^ {4} x_ {1} d ^ {4} x_ {2} \ ldots d ^ {4} x_ {n} T [{\ mathcal {H}} _ {{{\ rm {{int}}}}} (x_ {1}) {\ mathcal {H}} _ {{ {\ rm {{int}}}}} (x_ {2}) \ cdots {\ mathcal {H}} _ {{{\ rm {{int}}}}} (x_ {n})]

где:

Не-S-матрица

Поскольку преобразование от частиц к черной дыре до излучения Хокинга могло не описываемая S-матрицей, Стивен Хокинг предложил «не-S-матрицу», для которой он использовал знак доллара, и поэтому ее также называли «долларовой матрицей».

См. также
  • значок Математический портал
Примечания
Примечания
Ссылки
Последняя правка сделана 2021-06-06 02:11:51
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте