Уравнение Клейна – Гордона

редактировать

Релятивистское волновое уравнение в квантовой механике

Уравнение Клейна – Гордона (уравнение Клейна – Фока – Гордона или иногда уравнение Клейна – Гордона – Фока ) является релятивистским волновым уравнением, связанным с уравнением Шредингера. Он имеет второй порядок в пространстве и времени и явно лоренц-ковариантен. Это квантованная версия релятивистского соотношения энергия-импульс. Его решения включают квантовое скалярное или псевдоскалярное поле, кванты которого представляют собой бесспиновые частицы. Его теоретическая значимость аналогична значению уравнения Дирака. Электромагнитные взаимодействия могут быть включены, образуя тему скалярной электродинамики, но поскольку обычные бесспиновые частицы, такие как пионы, нестабильны и также испытывают сильное взаимодействие (с неизвестным членом взаимодействия в Гамильтониан,) практическая полезность ограничена.

Уравнение можно представить в виде уравнения Шредингера. В этой форме он выражается в виде двух связанных дифференциальных уравнений, каждое первого порядка по времени. Решения состоят из двух компонентов, отражающих степень свободы заряда в теории относительности. Он допускает сохраняющуюся величину, но не является положительно определенной. Следовательно, волновую функцию нельзя интерпретировать как амплитуду вероятности. Вместо этого сохраняющаяся величина интерпретируется как электрический заряд, а квадрат нормы волновой функции интерпретируется как плотность заряда. Уравнение описывает все бесспиновые частицы с положительным, отрицательным и нулевым зарядом.

Любое решение свободного уравнения Дирака является покомпонентным решением свободного уравнения Клейна – Гордона.

Уравнение не является основой последовательной квантовой релятивистской одночастичной теории. Для частиц любого спина такая теория неизвестна. Для полного согласования квантовой механики со специальной теорией относительности необходима квантовая теория поля, в которой уравнение Клейна – Гордона появляется снова как уравнение, которому подчиняются компоненты всех свободных квантовых полей. В квантовой теории поля решения свободных (невзаимодействующих) версий исходных уравнений все еще играют роль. Они необходимы для построения гильбертова пространства (пространство Фока ) и для выражения квантового поля с помощью полных наборов (покрывающих наборов гильбертова пространства) волновых функций.

Содержание

1 Заявление
2 История
3 Вывод
- 3.1 Уравнение Клейна – Гордона в потенциале
4 Сохраняемый ток
5 Релятивистское решение со свободными частицами
6 Действие
7 Нерелятивистский предел
- 7.1 Классическое поле
- 7.2 Квантовое поле
8 Электромагнитное взаимодействие
9 Гравитационное взаимодействие
10 См. Также
11 Примечания
12 Примечания
13 Ссылки
14 Внешние ссылки

Утверждение

Уравнение Клейна – Гордона с параметром массы $m {\ displaystyle m}$ $m$ равно

1 c 2 ∂ 2 ∂ T 2 ψ - ∇ 2 ψ + м 2 с 2 ℏ 2 ψ = 0. {\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ psi - \ nabla ^ {2} \ psi + {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ psi = 0.}

{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.

Решениями уравнения являются комплексные функции $ψ (t, x) {\ displaystyle \ psi (t, \ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ psi (t, \ mathbf {x})}$ временной переменной $t { \ displaystyle t}$ $t$ и пространственные переменные $x {\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\mathbf {x}$ ; лапласиан $∇ 2 {\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$ $\nabla ^{2}$ действует только на пространственные переменные.

Уравнение часто сокращается как

(◻ + μ 2) ψ = 0, {\ displaystyle (\ Box + \ mu ^ {2}) \ psi = 0,}

(\Box +\mu ^{2})\psi =0,

где μ = mc / ħ, а □ - это оператор Даламбера, определенный как

◻ = - η μ ν ∂ μ ∂ ν = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 - ∇ 2. {\ displaystyle \ Box = - \ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} \, \ partial _ {\ nu} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2}.}

{\ displaystyle \ Box = - \ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} \, \ partial _ {\ nu} = {\ frac {1 } {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2}.}

(Мы используем (-, +, +, +) метрическую подпись.)

Уравнение Клейна – Гордона часто записывается в натуральных единицах :

- ∂ t 2 ψ + ∇ 2 ψ = m 2 ψ {\ displaystyle - \ partial _ {t} ^ {2} \ psi + \ nabla ^ {2} \ psi = m ^ {2} \ psi}

{\ displaystyle - \ partial _ {t} ^ {2} \ psi + \ nabla ^ {2} \ psi = m ^ {2} \ psi }

Форма уравнения Клейна – Гордона выводится из требования, чтобы плоско-волновые решения

ψ знак равно е - я ω T + ik ⋅ Икс знак равно eik μ x μ {\ Displaystyle \ psi = e ^ {- i \ omega t + ik \ cdot x} = e ^ {ik _ {\ mu} x ^ {\ mu}}}

\psi =e^{-i\omega t +ik\cdot x}=e^{ik_{\mu }x^{\mu }}

уравнения подчиняются соотношению энергия-импульс специальной теории относительности:

- p μ p μ = E 2 - P 2 = ω 2 - k 2 = - k μ k μ = m 2. {\ displaystyle -p _ {\ mu} p ^ {\ mu} = E ^ {2} -P ^ {2} = \ omega ^ {2} -k ^ {2} = - k _ {\ mu} k ^ { \ mu} = m ^ {2}.}

-p_{\mu }p^{\mu }=E^ {2}-P^{2}=\omega ^{2}-k^{2}=-k_{\ mu }k^{\mu }=m^{2}.

В отличие от уравнения Шредингера, уравнение Клейна – Гордона допускает два значения ω для каждого k: одно положительное и одно отрицательное. Только разделив положительную и отрицательную частотные части, можно получить уравнение, описывающее релятивистскую волновую функцию. Для случая, не зависящего от времени, уравнение Клейна – Гордона принимает вид

[∇ 2 - m 2 c 2 ℏ 2] ψ (r) = 0, {\ displaystyle \ left [\ nabla ^ {2} - {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ right] \ psi (\ mathbf {r}) = 0,}

{\ displaystyle \ left [\ nabla ^ {2} - {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2 }}} \ right] \ psi (\ mathbf {r}) = 0,}

что формально совпадает с однородным экранированное уравнение Пуассона.

История

Уравнение было названо в честь физиков Оскара Клейна и Уолтера Гордона, которые в 1926 году предположили, что оно описывает релятивистские электроны. Другими авторами, делающими аналогичные утверждения в том же году, были Владимир Фок, Иоганн Кудар, Теофиль де Дондер и Франс-Х. ван ден Дунген и Луи де Бройль. Хотя оказалось, что для моделирования спина электрона требуется уравнение Дирака, уравнение Клейна – Гордона правильно описывает бесспиновые релятивистские составные частицы, такие как пион. 4 июля 2012 года Европейская организация ядерных исследований ЦЕРН объявила об открытии бозона Хиггса. Поскольку бозон Хиггса является частицей с нулевым спином, это первая наблюдаемая якобы элементарная частица, описываемая уравнением Клейна – Гордона. Требуются дальнейшие эксперименты и анализ, чтобы определить, является ли наблюдаемый бозон Хиггса бозоном Стандартной модели или более экзотической, возможно, составной формой.

Уравнение Клейна – Гордона впервые было рассмотрено как квантовое волновое уравнение Шредингером в его поисках уравнения, описывающего волны де Бройля. Уравнение находится в его записных книжках конца 1925 года, и он, похоже, подготовил рукопись, применив его к атому водорода. Тем не менее, поскольку оно не учитывает спин электрона, уравнение неверно предсказывает тонкую структуру атома водорода, включая завышение общей величины картины расщепления в 4n / 2n - 1 раз для n-го энергетического уровня. Однако релятивистский спектр уравнения Дирака легко восстановить, если квантовое число орбитального момента l заменить на квантовое число полного углового момента j. В январе 1926 года Шредингер представил для публикации свое уравнение, нерелятивистское приближение, которое предсказывает уровни энергии Бора водорода без тонкой структуры.

. В 1926 году, вскоре после того, как было введено уравнение Шредингера, Владимир Фок написал статью о его обобщении для случая магнитных полей, где силы зависели от скорости, и независимо вывел это уравнение. И Клейн, и Фок использовали метод Калуцы и Клейна. Фок также определил калибровочную теорию для волнового уравнения. Уравнение Клейна – Гордона для свободной частицы имеет простое решение плоской волны.

Вывод

Нерелятивистское уравнение для энергии свободной частицы:

p 2 2 m = E. {\ displaystyle {\ frac {\ mathbf {p} ^ {2}} {2m}} = E.}

{\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}=E.

Квантовав это, мы получаем нерелятивистское уравнение Шредингера для свободной частицы:

p ^ 2 2 м ψ знак равно E ^ ψ, {\ Displaystyle {\ frac {\ mathbf {\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} \ psi = {\ hat {E}} \ psi,}

{\frac {\mathbf {\hat {p}} ^{2}}{2m}}\psi ={\hat {E}}\psi,

где

p ^ = - i ℏ ∇ {\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}} = -i \ hbar \ mathbf {\ nabla}}

{\ displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \mathbf {\nabla } }

- это оператор импульса ( ∇ является оператором дель ), и

E ^ = i ℏ ∂ ∂ t {\ displaystyle {\ hat {E}} = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t }}}

{\ displaystyle {\ hat {E}} = i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}}}

- это оператор энергии.

Уравнение Шредингера страдает тем, что не релятивистски инвариантно, что означает, что оно несовместимо с специальной теорией относительности.

Это естественно попробуйте использовать тождество из специальной теории относительности, описывающее энергию:

p 2 c 2 + m 2 c 4 = E. {\ displaystyle {\ sqrt {\ mathbf {p} ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}}} = E.}

{\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}=E.

Затем, просто вставляя квантово-механические операторы для импульса и энергии получаем уравнение

(- i ℏ ∇) 2 c 2 + m 2 c 4 ψ = i ℏ ∂ ∂ t ψ. {\ displaystyle {\ sqrt {(-i \ hbar \ mathbf {\ nabla}) ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}}} \, \ psi = i \ hbar { \ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi.}

{\sqrt {(-i\hbar \mathbf {\n abla })^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\,\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi.

Квадратный корень дифференциального оператора может быть определен с помощью преобразований Фурье, но из-за асимметрии пространства и производные по времени, Дирак обнаружил, что невозможно учесть внешние электромагнитные поля релятивистски инвариантным образом. Поэтому он стал искать другое уравнение, которое можно изменить, чтобы описать действие электромагнитных сил. Кроме того, это уравнение в его нынешнем виде нелокально (см. Также Введение в нелокальные уравнения ).

Кляйн и Гордон вместо этого начали с квадрата указанного выше тождества, т.е.

p 2 c 2 + m 2 c 4 = E 2, {\ displaystyle \ mathbf {p} ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4} = E ^ {2},}

\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=E^{2},

что при квантовании дает

((- i ℏ ∇) 2 c 2 + m 2 c 4) ψ знак равно (я ℏ ∂ ∂ T) 2 ψ, {\ displaystyle \ left ((- я \ hbar \ mathbf {\ nabla}) ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4} \ right) \ psi = \ left (i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ right) ^ {2} \ psi,}

\left((-i\hbar \mathbf {\nabla })^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}\right)\psi =\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}\psi,

что упрощается до

- ℏ 2 c 2 2 ψ + м 2 с 4 ψ знак равно - 2 ∂ 2 ∂ т 2 ψ. {\ displaystyle - \ hbar ^ {2} c ^ {2} \ mathbf {\ nabla} ^ {2} \ psi + m ^ {2} c ^ {4} \ psi = - \ hbar ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ psi.}

-\hbar ^{2}c^{2}\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +m^{2}c^{4}\psi =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi.

Перестановка членов дает

1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ψ - ∇ 2 ψ + m 2 c 2 ℏ 2 ψ = 0. {\ Displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ psi - \ mathbf { \ nabla} ^ {2} \ psi + {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ psi = 0.}

{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\ partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.

Поскольку все ссылки на мнимые числа исключено из этого уравнения, его можно применять к полям с действительным знаком, а также к полям с комплексными значениями.

. Переписав первые два члена с использованием обратного Метрика Минковского diag (−c, 1, 1, 1), и явно записав соглашение Эйнштейна о суммировании, мы получим

- η μ ν ∂ μ ∂ ν ψ ≡ ∑ μ = 0 μ = 3 ∑ ν = 0 ν = 3 - η μ ν ∂ μ ∂ ν ψ = 1 c 2 ∂ 0 2 ψ - ∑ ν = 1 ν = 3 ∂ ν ∂ ν ψ = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ψ - ∇ 2 ψ. {\ displaystyle - \ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} \, \ partial _ {\ nu} \ psi \ Equiv \ sum _ {\ mu = 0} ^ {\ mu = 3} \ sum _ {\ nu = 0} ^ {\ nu = 3} - \ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} \, \ partial _ {\ nu} \ psi = {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ partial _ {0} ^ {2} \ psi - \ sum _ {\ nu = 1} ^ {\ nu = 3} \ partial _ {\ nu} \, \ partial _ { \ nu} \ psi = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ psi - \ mathbf {\ nabla} ^ {2} \ psi.}

{\ displaystyle - \ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} \, \ partial _ {\ nu} \ psi \ Equiv \ sum _ {\ mu = 0} ^ {\ mu = 3} \ sum _ {\ nu = 0} ^ {\ nu = 3} - \ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} \, \ partial _ {\ nu} \ psi = {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ partial _ {0} ^ {2} \ psi - \ sum _ { \nu =1}^{\nu =3}\partial _{\nu }\,\partial _{\nu }\psi ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\ partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\mathbf {\nabla } ^{2}\psi.}

Таким образом, уравнение Клейна – Гордона можно записать в ковариантной записи. Это часто означает сокращение в виде

(◻ + μ 2) ψ = 0, {\ displaystyle (\ Box + \ mu ^ {2}) \ psi = 0,}

(\Box +\mu ^{2})\psi =0,

где

μ знак равно mc ℏ, {\ displaystyle \ mu = {\ frac {mc} {\ hbar}},}

\mu ={\frac {mc}{\hbar }},

◻ = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 - ∇ 2. {\ displaystyle \ Box = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2}.}

{\ displaystyle \ Box = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2 }.}

Этот оператор называется оператором Даламбера.

Сегодня эта форма интерпретируется как релятивистское уравнение поля для частиц со спином -0. Более того, любой компонент любого решения свободного уравнения Дирака (для частицы со спином 1/2 ) автоматически является решением свободного уравнения Клейна – Гордона. Это обобщается на частицы любого спина в соответствии с уравнениями Баргмана – Вигнера. Кроме того, в квантовой теории поля каждый компонент каждого квантового поля должен удовлетворять свободному уравнению Клейна – Гордона, что делает уравнение общим выражением квантовых полей.

Уравнение Клейна – Гордона в потенциале

Уравнение Клейна – Гордона можно обобщить для описания поля в некотором потенциале V (ψ) как

◻ ψ + ∂ V ∂ ψ = 0. {\ displaystyle \ Box \ psi + {\ frac {\ partial V} {\ partial \ psi}} = 0.}

\Box \psi +{\frac {\partial V}{\partial \psi }}=0.

Сохраняемый ток

Сохраняемый ток, связанный с U (1) симметрия сложного поля $φ (x) ∈ C {\ displaystyle \ varphi (x) \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ varphi (x) \ in \ mathbb {C}}$ , удовлетворяющая уравнению Клейна – Гордона, имеет вид

∂ μ J μ (x) = 0, J μ (x) ≡ e 2 m (φ ∗ (x) ∂ μ φ (x) - φ (x) ∂ μ φ ∗ (x)). {\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} J ^ {\ mu} (x) = 0, \ quad J ^ {\ mu} (x) \ Equiv {\ frac {e} {2m}} \ left (\, \ varphi ^ {*} (x) \ partial ^ {\ mu} \ varphi (x) - \ varphi (x) \ partial ^ {\ mu} \ varphi ^ {*} (x) \, \ right).}

\partial _{\mu }J^{\mu }(x)=0,\quad J^{\mu }(x)\equiv {\frac {e}{2m}}\left(\,\varphi ^{*}(x)\partial ^{\mu }\varphi (x)-\varphi (x)\partial ^{\mu }\varphi ^{*}(x)\,\right).

Форма сохраняющегося тока может быть получена систематически, применяя теорему Нётер к симметрии U (1). Мы не будем делать этого здесь, а просто дадим доказательство того, что этот сохраняющийся ток верен.

Доказательство с использованием алгебраических манипуляций из уравнения КГ

Из уравнения Клейна – Гордона для комплексного поля $φ (x) {\ displaystyle \ varphi (x)}$ $\varphi (x)$ массы $m {\ displaystyle m}$ $m$ , записано в ковариантной записи

(◻ + μ 2) φ (x) = 0 {\ displaystyle (\ square + \ mu ^ {2}) \ varphi ( х) = 0}

(\square +\mu ^{2})\varphi (x)=0

и его комплексное сопряжение

(◻ + μ 2) φ ∗ (x) = 0, {\ displaystyle (\ square + \ mu ^ {2}) \ varphi ^ {*} ( x) = 0,}

(\square +\mu ^{2})\varphi ^{*}(x)=0,

мы имеем, умножив слева соответственно на $φ ∗ (x) {\ displaystyle \ varphi ^ {*} (x)}$ $\varphi ^{*}(x)$ и $φ (Икс) {\ Displaystyle \ varphi (x)}$ $\varphi (x)$ (и опуская для краткости явную зависимость $x {\ displaystyle x}$ $x$ ),

φ ∗ (◻ + μ 2) φ знак равно 0, {\ displaystyle \ varphi ^ {*} (\ square + \ mu ^ {2}) \ varphi = 0,}

\varphi ^{*}(\square +\mu ^{2})\varphi =0,

φ (◻ + μ 2) φ ∗ = 0. { \ displaystyle \ varphi (\ square + \ mu ^ {2}) \ varphi ^ {*} = 0.}

\varphi (\square +\mu ^{2})\varphi ^{*}=0.

Вычитая первое из второго, получаем

φ ∗ ◻ φ - φ ◻ φ ∗ = 0, {\ displaystyle \ varphi ^ {*} \ square \ varphi - \ varphi \ sq uare \ varphi ^ {*} = 0,}

\varphi ^{*}\square \varphi -\varphi \square \varphi ^{*}=0,

φ ∗ ∂ μ ∂ μ φ - φ ∂ μ ∂ μ φ ∗ = 0, {\ displaystyle \ varphi ^ {*} \ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} \ varphi - \ varphi \ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} \ varphi ^ {*} = 0,}

\varphi ^{*}\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\varphi -\varphi \partial _{\mu }\partial ^{\mu }\varphi ^{*}=0,

, то мы также знаем

∂ μ (φ ∗ ∂ μ φ) знак равно ∂ μ φ ∗ ∂ μ φ + φ ∗ ∂ μ ∂ μ φ {\ displaystyle \ partial _ {\ mu} (\ varphi ^ {*} \ partial ^ {\ mu} \ varphi) = \ partial _ {\ mu} \ varphi ^ {*} \ partial ^ {\ mu} \ varphi + \ varphi ^ {*} \ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} \ varphi}

\partial _{\mu }(\varphi ^{*}\partial ^{\mu }\varphi)=\partial _{\mu }\varphi ^{*}\partial ^{\mu }\varphi +\varphi ^{*}\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\varphi

из которого мы получаем закон сохранения для поля Клейна – Гордона:

∂ μ J μ (x) = 0, J μ (x) ≡ φ ∗ (x) ∂ μ φ (x) - φ (x) ∂ μ φ ∗ ( Икс). {\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} J ^ {\ mu} (x) = 0, \ quad J ^ {\ mu} (x) \ Equiv \ varphi ^ {*} (x) \ partial ^ {\ mu } \ varphi (x) - \ varphi (x) \ partial ^ {\ mu} \ varphi ^ {*} (x).}

\partial _{\mu }J^{\mu }(x)=0,\quad J^{\mu }(x)\equiv \varphi ^{*}(x)\partial ^{\mu }\varphi (x)-\varphi (x)\partial ^{\mu }\varphi ^{*}(x).

Релятивистское решение для свободных частиц

Уравнение Клейна – Гордона для свободную частицу можно записать как

∇ 2 ψ - 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ψ = m 2 c 2 ℏ 2 ψ. {\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} ^ {2} \ psi - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}} } \ psi = {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ psi.}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} ^ {2} \ psi - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ psi = {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ psi.}

Мы ищем плоско-волновые решения вида

ψ ( р, T) знак равно ei (К ⋅ р - ω T) {\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r}, t) = e ^ {я (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} - \ omega t)}}

\psi (\mathbf {r},t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}

для некоторой постоянной угловой частоты ω ∈ ℝ и волнового числа k∈ ℝ. Подстановка дает дисперсионное соотношение

- | k | 2 + ω 2 с 2 знак равно м 2 с 2 ℏ 2. {\ displaystyle - | \ mathbf {k} | ^ {2} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} = {\ frac {m ^ {2} c ^ {2} } {\ hbar ^ {2}}}.}

{\ displaystyle - | \ mathbf {k} | ^ {2} + {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} = {\ frac {m ^ { 2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}}.}

Видно, что энергия и импульс пропорциональны ω и k:

⟨p⟩ = ⟨ψ | - я ℏ ∇ | ψ⟩ знак равно ℏ К, {\ Displaystyle \ langle \ mathbf {p} \ rangle = \ langle \ psi | -i \ hbar \ mathbf {\ nabla} | \ psi \ rangle = \ hbar \ mathbf {k},}

\langle \mathbf {p} \rangle =\langle \psi |-i\hbar \mathbf {\nabla } |\psi \rangle =\hbar \mathbf {k},

⟨E⟩ = ⟨ψ | i ℏ ∂ ∂ t | ψ⟩ = ℏ ω. {\ displaystyle \ langle E \ rangle = \ left \ langle \ psi \ left | i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ right | \ psi \ right \ rangle = \ hbar \ omega.}

\langle E\rangle =\left\langle \psi \left|i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right|\psi \right\rangle =\hbar \omega.

Таким образом, дисперсионное соотношение - это просто классическое релятивистское уравнение:

⟨E⟩ 2 = m 2 c 4 + ⟨p⟩ 2 c 2. {\ displaystyle \ langle E \ rangle ^ {2} = m ^ {2} c ^ {4} + \ langle \ mathbf {p} \ rangle ^ {2} c ^ {2}.}

\langle E\rangle ^{2}=m^{2} c^{4}+\langle \mathbf {p} \rangle ^{2}c^{2}.

Для безмассовых частиц, мы можем положить m = 0, восстанавливая соотношение между энергией и импульсом для безмассовых частиц:

⟨E⟩ = | ⟨P⟩ | c. {\ displaystyle \ langle E \ rangle = {\ big |} \ langle \ mathbf {p} \ rangle {\ big |} c.}

{\ displaystyle \ langle E \ rangle = {\ big |} \ langle \ mathbf {p } \ rangle {\ big |} c.}

Действие

Также можно вывести уравнение Клейна – Гордона вариационным методом с учетом действия

S = ∫ (- ℏ 2 m η μ ν ∂ μ ψ ¯ ∂ ν ψ - mc 2 ψ ¯ ψ) d 4 x, {\ displaystyle { \ mathcal {S}} = \ int \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {m}} \ eta ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} {\ bar {\ psi }} \, \ partial _ {\ nu} \ psi -mc ^ {2} {\ bar {\ psi}} \ psi \ right) \ mathrm {d} ^ {4} x,}

{\mathcal {S}}=\int \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\,\partial _{\nu }\psi -mc^{2}{\bar {\psi }}\psi \right)\mathrm {d} ^{4}x,

где ψ поле Клейна – Гордона, m - его масса. Комплексно сопряженное к ψ записывается как ψ. Если скалярное поле считается действительным, то ψ = ψ, и принято вводить множитель 1/2 для обоих членов.

Применяя формулу для тензора энергии-импульса Гильберта к плотности лагранжиана (величина внутри интеграла), мы можем получить тензор энергии-импульса скалярное поле. Это

T μ ν = ℏ 2 m (η μ α η ν β + η μ β η ν α - η μ ν η α β) ∂ α ψ ¯ ∂ β ψ - η μ ν mc 2 ψ ¯ ψ. {\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {m}} \ left (\ eta ^ {\ mu \ alpha} \ eta ^ {\ nu \ beta} + \ eta ^ {\ mu \ beta} \ eta ^ {\ nu \ alpha} - \ eta ^ {\ mu \ nu} \ eta ^ {\ alpha \ beta} \ right) \ partial _ {\ alpha} {\ bar { \ psi}} \, \ partial _ {\ beta} \ psi - \ eta ^ {\ mu \ nu} mc ^ {2} {\ bar {\ psi}} \ psi.}

T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(\eta ^{\mu \alpha }\eta ^{\nu \beta }+\eta ^{\mu \beta }\eta ^{\nu \alpha }-\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\alpha \beta }\right)\partial _{\alpha }{\bar {\psi }}\,\partial _{\beta }\psi -\eta ^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\psi }}\psi.

Путем интегрирования времени –Временной компонент T во всем пространстве, можно показать, что решения плоских волн как с положительной, так и с отрицательной частотой могут быть физически связаны с частицами с положительной энергией. Это не относится к уравнению Дирака и его тензору энергии-импульса.

Нерелятивистский предел

Классическое поле

Переход к нерелятивистскому пределу (v << c) of a classical Klein-Gordon field ψ(x, t) начинается с анзаца, разлагающего на множители осциллирующую энергию массы покоя,

ψ (x, t) = ϕ (x, t) e - i ℏ mc 2 t, где ϕ (x, t) = u E (x) e - i ℏ E ′ t. {\ displaystyle \ psi (\ mathbb {x}, t) = \ phi (\ mathbb {x}, t) \, e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} mc ^ {2} t} \ quad {\ textrm {where}} \ quad \ phi (\ mathbb {x}, t) = u_ {E} (x) e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} E't}. }

\psi (\mathbb {x},t)=\phi (\mathbb {x},t)\,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\quad {\textrm {where}}\quad \phi (\mathbb {x},t)=u_{E}(x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}E't}.

Определение кинетической энергии $E ′ = E - mc 2 = m 2 c 4 + c 2 p 2 - mc 2 ≈ p 2 2 m {\ displaystyle E '= E-mc ^ {2} = {\ sqrt {m ^ {2} c ^ {4} + c ^ {2} p ^ {2}}} - mc ^ {2} \ приблизительно {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}$ $E'=E-mc^{2}={\sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}p^{2}}}-mc^{2}\approx {\frac {p^{2}}{2m}}$ , $E ′ ≪ mc 2 {\ displaystyle E '\ ll mc ^ {2}}$ $E'\ll mc^{2}$ в нерелятивистском пределе v ~ p << c, and hence

| i ℏ ∂ ϕ ∂ t | = E ′ ϕ ≪ m c 2 ϕ. {\ displaystyle \ left | i \ hbar {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} \ right | = E '\ phi \ ll mc ^ {2} \ phi.}

\left|i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right|=E'\phi \ll mc^{2}\phi.

Применение этого дает нерелятивистский предел второй производной по времени от $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\psi$ ,

∂ ψ ∂ t = (- imc 2 ℏ ϕ + ∂ ϕ ∂ t) e - i ℏ mc 2 t ≈ - imc 2 ℏ ϕ е - я ℏ mc 2 t {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} = \ left (-i {\ frac {mc ^ {2}} {\ hbar}} \ phi + {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} \ right) \, e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} mc ^ {2} t} \ приблизительно -i {\ frac {mc ^ {2}} {\ hbar}} \ phi \, e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} mc ^ {2} t}}

{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}\phi +{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx -i{\frac {mc^{2}}{\hbar }}\phi \,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}

∂ 2 ψ ∂ t 2 ≈ - (я 2 mc 2 ℏ ∂ ϕ ∂ T + (mc 2 ℏ) 2 ϕ) е - я ℏ mc 2 t {\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial t ^ {2 }}} \ приблизительно - \ left (i {\ frac {2mc ^ {2}} {\ hbar}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} + \ left ({\ frac {mc ^ {2}} {\ hbar}} \ right) ^ {2} \ phi \ right) e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} mc ^ {2} t}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial t ^ {2}}} \ приблизительно - \ left (i {\ frac {2mc ^ {2}} {\ hbar}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} + \ left ({\ frac { mc ^ {2}} {\ hbar}} \ right) ^ {2} \ phi \ right) e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} mc ^ {2} t}}

Подстановка в свободное уравнение Клейна-Гордона, $c - 2 ∂ t 2 ψ = ∇ 2 ψ - m 2 ψ {\ displaystyle c ^ {- 2} \ partial _ {t} ^ {2} \ psi = \ nabla ^ { 2} \ psi -m ^ {2} \ psi}$ ${\ displaystyle c ^ {- 2} \ partial _ {t} ^ {2} \ psi = \ nabla ^ {2} \ psi -m ^ {2} \ psi}$ , дает

- 1 c 2 (i 2 mc 2 ℏ ∂ ϕ ∂ t + (mc 2 ℏ) 2 ϕ) e - i ℏ mc 2 t ≈ (∇ 2 - (mc 2 ℏ) 2) ϕ е - я ℏ mc 2 t {\ displaystyle - {\ frac {1} {c ^ {2}}} \ left (i {\ frac {2mc ^ {2}} {\ hbar}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} + \ left ({\ frac {mc ^ {2}} {\ hbar}} \ right) ^ {2} \ phi \ right) e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} mc ^ {2} t} \ приблизительно \ left (\ nabla ^ {2} - \ left ({\ frac {mc ^ {2}} {\ hbar}} \ right) ^ {2} \ right) \ phi \, e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} mc ^ {2} t}}

-{\frac {1}{c^{2}}}\left(i{\frac {2mc^{2}}{\hbar }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\phi \right)e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}\approx \left(\nabla ^{2}-\left({\frac {mc^{2}}{\hbar }}\right)^{2}\right)\phi \,e^{-{\frac {i}{\hbar }}mc^{2}t}

который (путем деления экспоненты и вычитания массового члена) упрощается до

i ℏ ∂ ϕ ∂ t = - ℏ 2 2 m ∇ 2 ϕ. {\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} \ phi.}

i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\phi.

Это классическое поле Шредингера.

Квантовое поле

Аналогичный предел квантового поля Клейна-Гордона осложняется некоммутативностью полевого оператора. В пределе v << c, the операторы создания и уничтожения отделяются и ведут себя как независимые квантовые поля Шредингера.

Электромагнитное взаимодействие

Существует простой способ заставить любое поле взаимодействовать с электромагнетизмом в калибровочно-инвариантный способ: заменить производные операторы калибровочно-ковариантными производными операторами. Это связано с тем, что для сохранения симметрии физических уравнений для волновой функции $φ {\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ при локальном калибровочном преобразовании U (1) $φ → φ ′ = exp ⁡ (i θ) φ {\ displaystyle \ varphi \ to \ varphi '= \ exp (i \ theta) \ varphi}$ $\varphi \to \varphi '=\exp(i\theta)\varphi$ , где $θ (t, x) {\ displaystyle \ theta (t, { \ textbf {x}})}$ ${\ displaystyle \ theta (t, {\ textbf {x} })}$ - это локально изменяемый фазовый угол, преобразование которого перенаправляет волновую функцию в комплексном фазовом пространстве, определяемом как $exp ⁡ (i θ) = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ {\ displaystyle \ exp (i \ theta) = \ cos \ theta + i \ sin \ theta}$ $\exp(i\theta)=\cos \theta +i\sin \theta$ , требуется, чтобы обычные производные $∂ μ {\ displaystyle \ partial _ {\ mu }}$ $\ partial _ {\ mu}$ заменить калибровочно-ковариантными производными $D μ = ∂ μ - т.е. A μ {\ displaystyle D _ {\ mu} = \ partial _ {\ mu} -ieA _ {\ mu}}$ $D_{\mu }=\partial _{\mu }-ieA_{\mu }$ , а калибровочные поля преобразуются как $e A μ → e A μ ′ = e A μ + ∂ μ θ {\ displaystyle eA _ {\ mu} \ в eA '_ {\ mu} = eA _ {\ mu} + \ partial _ {\ mu} \ theta}$ $eA_{\mu }\to eA'_{\mu }=eA_{\mu }+\partial _{\mu }\theta$ . Таким образом, уравнение Клейна – Гордона становится

D μ D μ φ = - (∂ t - т.е. A 0) 2 φ + (∂ i - т.е. A i) 2 φ = m 2 φ {\ displaystyle D _ {\ mu} D ^ {\ mu} \ varphi = - (\ partial _ {t} -ieA_ {0}) ^ {2} \ varphi + (\ partial _ {i} -ieA_ {i}) ^ {2} \ varphi = m ^ {2} \ varphi}

D_{\mu }D^{\mu }\varphi =-(\partial _{t}-ieA_{0})^{2}\varphi +(\partial _{i} -ieA_{i})^{2}\varphi =m^{2}\varphi

в натуральных единицах, где A - векторный потенциал. Хотя можно добавить много членов высшего порядка, например,

D μ D μ φ + AF μ ν D μ φ D ν (D α D α φ) = 0, {\ displaystyle D _ {\ mu} D ^ {\ mu} \ varphi + AF ^ {\ mu \ nu} D _ {\ mu} \ varphi D _ {\ nu} (D _ {\ alpha} D ^ {\ alpha} \ varphi) = 0,}

D_{\mu }D^{\mu }\varphi +AF^{\mu \nu }D_{\mu }\varphi D_{\nu }(D_{\alpha }D^{\alpha }\varphi)=0,

эти члены не перенормируемы в размерности 3 + 1.

Уравнение поля для заряженного скалярного поля умножается на i, что означает, что поле должно быть комплексным. Чтобы поле было заряженным, оно должно иметь два компонента, которые могут вращаться друг в друга, реальную и мнимую части.

Действие для безмассового заряженного скаляра является ковариантной версией незаряженного действия:

S = ∫ x η μ ν (∂ μ φ ∗ + т.е. A μ φ ∗) (∂ ν φ - т.е. A ν φ) = ∫ x | D φ | 2. {\ Displaystyle S = \ int _ {x} \ eta ^ {\ mu \ nu} \ left (\ partial _ {\ mu} \ varphi ^ {*} + ieA _ {\ mu} \ varphi ^ {*} \ right) \ left (\ partial _ {\ nu} \ varphi -ieA _ {\ nu} \ varphi \ right) = \ int _ {x} | D \ varphi | ^ {2}.}

{\ displaystyle S = \ int _ {x} \ eta ^ {\ mu \ nu} \ left (\ partial _ {\ mu} \ varphi ^ {*} + ieA _ {\ mu} \ varphi ^ {*} \ right) \ left (\ partial _ {\ nu} \ varphi -ieA _ {\ nu} \ varphi \ right) = \ int _ {x} | D \ varphi | ^ {2}.}

Гравитационное взаимодействие

В общей теории относительности мы включаем эффект гравитации, заменяя частные на ковариантные производные, и уравнение Клейна – Гордона становится (в в основном плюс сигнатура )

0 = - g μ ν ∇ μ ∇ ν ψ + m 2 c 2 ℏ 2 ψ = - g μ ν ∇ μ (∂ ν ψ) + m 2 c 2 ℏ 2 ψ = - g μ ν ∂ μ ∂ ν ψ + g μ ν Γ σ μ ν ∂ σ ψ + м 2 с 2 ℏ 2 ψ, {\ displaystyle {\ begin {align} 0 = - g ^ {\ mu \ nu} \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ psi + {\ dfrac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ psi = -g ^ {\ mu \ nu} \ nabla _ {\ mu} (\ partial _ {\ nu} \ psi) + {\ dfrac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ psi \\ = - g ^ {\ mu \ nu } \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} \ psi + g ^ {\ mu \ nu} \ Gamma ^ {\ sigma} {} _ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ sigma} \ psi + {\ dfrac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ psi, \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 0 = - g ^ {\ mu \ nu} \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ psi + {\ dfrac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ psi = -g ^ {\ mu \ nu} \ nabla _ {\ mu} (\ partial _ {\ nu} \ psi) + {\ dfrac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ psi \\ = - g ^ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} \ psi + g ^ {\ mu \ nu} \ Gamma ^ {\ sigma} {} _ {\ mu \ nu} \ partial _ {\ sigma} \ psi + {\ dfrac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ psi, \ end {align}}}

или эквивалентно,

- 1 - g ∂ μ ( g μ ν - g ∂ ν ψ) + m 2 c 2 ℏ 2 ψ = 0, {\ displaystyle {\ frac {-1} {\ sqrt {-g}}} \ partial _ {\ mu} \ left (g ^ {\ mu \ nu} {\ sqrt {-g}} \ partial _ {\ nu} \ psi \ right) + {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2} }} \ psi = 0,}

{\frac {-1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\partial _{\nu }\psi \right)+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0,

где g - обратная величина к метрическому тензору, который представляет собой поле гравитационного потенциала, g - определитель метрического тензора, ∇ μ - это ковариантная производная, а Γ μν - это символ Кристоффеля, который представляет собой гравитационное силовое поле.

См. Также

Примечания

^Валовой 1993.
^Greiner Müller 1994.
^ Greiner 2000, гл. 1.
^Feshbach Villars 1958.
^См. Itzykson, C.; Зубер, Ж.-Б. (1985). Квантовая теория поля. Макгроу-Хилл. стр. 73–74. ISBN 0-07-032071-3. Ур. 2.87 идентичен ур. 2.86, за исключением того, что в нем используется j вместо l.
^Вайнберг 2002, гл. 5.
^Дэвид Тонг, Лекции по квантовой теории поля, лекция 1, раздел 1.1.1.
^Фуллинг, С.А. (1996). Аспекты квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени. Издательство Кембриджского университета. п. 117. ISBN 0-07-066353-X.

Ссылки

Давыдов А.С. (1976). Квантовая механика, 2-е издание. Pergamon Press. ISBN 0-08-020437-6. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Фешбах, Х.; Вилларс, Ф. (1958). "Элементарная релятивистская волновая механика частиц со спином 0 и спином 1/2". Обзоры современной физики. 30 (1): 24–45. Bibcode : 1958RvMP...30... 24F. doi : 10.1103 / RevModPhys.30.24. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Гордон, Вальтер (1926). "Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie". Zeitschrift für Physik. 40 (1-2): 117. Bibcode : 1926ZPhy... 40..117G. doi : 10.1007 / BF01390840.
Greiner, W. (2000). Релятивистская квантовая механика. Волновые уравнения (3-е изд.). Springer Verlag. ISBN 3-5406-74578. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Greiner, W.; Müller, B. (1994). Quantum Mechanics: Symmetries (2nd ed.). Springer. ISBN 978-3540580805. CS1 maint : ref = harv (link )
Гросс, Ф. (1993). Relativistic Quantum Mec Ханикс и теория поля (1-е изд.). Вайли-ВЧ. ISBN 978-0471591139. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
Кляйн, О. (1926). "Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie". Zeitschrift für Physik. 37 (12): 895. Bibcode : 1926ZPhy... 37..895K. doi : 10.1007 / BF01397481.
Сакураи, Дж. Дж. (1967). Продвинутая квантовая механика. Эддисон Уэсли. ISBN 0-201-06710-2. CS1 maint: ref = harv (link )
Weinberg, S. (2002). The Quantum Theory of Fields. I. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55001-7. CS1 maint: ref = harv (ссылка )

Внешние ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик У. «Уравнение Клейна – Гордона». MathWorld.
Линейное уравнение Клейна – Гордона в EqWorld: The World математических уравнений.
Нелинейное уравнение Клейна – Гордона в EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Введение в нелокальные уравнения.