Упорядочение путей

редактировать

В теоретической физике упорядочение путей - это процедура (или метаоператор $P {\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$ ), который упорядочивает произведение операторов в соответствии со значением выбранного параметра :

P {O 1 (σ 1) O 2 (σ 2) ⋯ ON (σ N)} ≡ O p 1 (σ p 1) O p 2 (σ p 2) ⋯ O p N (σ p N). {\ displaystyle {\ mathcal {P}} \ left \ {O_ {1} (\ sigma _ {1}) O_ {2} (\ sigma _ {2}) \ cdots O_ {N} (\ sigma _ {N }) \ right \} \ Equiv O_ {p_ {1}} (\ sigma _ {p_ {1}}) O_ {p_ {2}} (\ sigma _ {p_ {2}}) \ cdots O_ {p_ { N}} (\ sigma _ {p_ {N}}).}

{\ mathcal {P}} \ left \ {O_ {1} (\ sigma _ {1}) O_ {2} (\ sigma _ {2}) \ cdots O_ {N} (\ sigma _ {N}) \ right \} \ Equiv O_ {p_ {1}} (\ sigma _ {p_ {1}}) O_ {p_ {2}} (\ sigma _ {p_ {2}}) \ cdots O_ {p_ {N}} (\ sigma _ {p_ {N}}).

Здесь p - это перестановка, которая упорядочивает параметры по значению:

p: {1, 2,…, N } → {1, 2,…, N} {\ displaystyle p: \ {1,2, \ dots, N \} \ to \ {1,2, \ dots, N \}}

{\ Displaystyle p: \ {1,2, \ точки, N \} \ к \ {1,2, \ точки, N \}}

σ p 1 ≤ σ p 2 ≤ ⋯ ≤ σ p N. {\ displaystyle \ sigma _ {p_ {1}} \ leq \ sigma _ {p_ {2}} \ leq \ cdots \ leq \ sigma _ {p_ {N}}.}

\ sigma _ {{p_ {1}}} \ leq \ sigma _ {{p_ {2}}} \ leq \ cdots \ leq \ sigma _ {{p_ {N}} }.

Например:

P {O 1 (4) O 2 (2) O 3 (3) O 4 (1)} = O 4 (1) O 2 (2) O 3 (3) O 1 (4). {\ Displaystyle {\ mathcal {P}} \ left \ {O_ {1} (4) O_ {2} (2) O_ {3} (3) O_ {4} (1) \ right \} = O_ {4 } (1) O_ {2} (2) O_ {3} (3) O_ {1} (4).}

{\ mathcal P} \ left \ { O_ {1} (4) O_ {2} (2) O_ {3} (3) O_ {4} (1) \ right \} = O_ {4} (1) O_ {2} (2) O_ {3 } (3) O_ {1} (4).

Содержание

1 Примеры
2 Упорядочение по времени
3 См. Также
4 Ссылки

Примеры

Если оператор выражается не просто как произведение, а как функция другого оператора, мы должны сначала выполнить разложение Тейлора этой функции. Это случай цикла Вильсона, который определяется как путь- упорядоченной экспоненты, чтобы гарантировать, что цикл Уилсона кодирует голономию подключение манометра. Параметр σ, определяющий порядок, является параметром, описывающим контур , и, поскольку контур замкнут, контур Уилсона должен быть определен как след, чтобы иметь значение . -инвариантный.

упорядочение по времени

В квантовой теории поля полезно брать упорядоченное по времени произведение операторов. Эта операция обозначается $T {\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$ ${\ mathcal T}$ . (Хотя $T {\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$ ${\ mathcal T}$ часто называют «оператором временного упорядочения», строго говоря, он не является ни оператором состояний, ни a супероператор для операторов.) $T {\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$ ${\ mathcal T}$ - переменная в измерении 4, как у черной дыры, но постоянная в измерении 3. Для двух операторов A (x) и B (y), которые зависят от местоположений x и y в пространстве-времени, мы определяем:

T {A (x) B (y)}: = {A (x) B (y), если τ x>τ y, ± B (y) A (x), если τ x < τ y. {\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:={\begin{cases}A(x)B(y){\text{if }}\tau _{x}>\ tau _ {y}, \\\ pm B (y) A (x) {\ text {if}} \ tau _ {x} <\tau _{y}.\end{cases}}}

{\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:={\begin{cases}A(x)B(y){\text{if }}\tau _{x}>\ tau _ {y}, \\\ pm B (y) A (x) {\ text {if}} \ tau _ {x} <\tau _{y}.\end{cases}}

Здесь $τ x {\ displaystyle \ tau _ {x}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {x}}$ и $τ y {\ displaystyle \ tau _ {y}}$ $\ tau _ {y}$ обозначают инвариантные скалярные координаты времени точек x и y.

Явно имеем

T {A (x) B (y)}: = θ (τ x - τ y) A (x) B (y) ± θ (τ y - τ Икс) В (Y) A (Икс), {\ Displaystyle {\ mathcal {T}} \ left \ {A (x) B (y) \ right \}: = \ theta (\ tau _ {x} - \ tau _ {y}) A (x) B (y) \ pm \ the ta (\ tau _ {y} - \ tau _ {x}) B (y) A (x),}

{\ displaystyle {\ mathcal {T}} \ left \ {A (x) B (y) \ right \}: = \ theta (\ tau _ {x} - \ tau _ {y}) A (x) B (y) \ pm \ theta (\ tau _ {y} - \ tau _ {x}) В (у) А (х),}

где $θ {\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ обозначает Ступенчатая функция Хевисайда и $± {\ displaystyle \ pm}$ $\ pm$ зависят от того, являются ли операторы бозонными или фермионными по своей природе. Если бозонный, то всегда выбирается знак +, если фермионный, то знак будет зависеть от количества замен операторов, необходимых для достижения надлежащего временного порядка. Обратите внимание, что статистические факторы сюда не входят.

Поскольку операторы зависят от своего местоположения в пространстве-времени (т.е. не только во времени), эта операция временного упорядочения не зависит от координат только в том случае, если операторы в пространственно-подобных разделенных точках коммутируют. Вот почему необходимо использовать $τ {\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ вместо $t 0 {\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ , поскольку $t 0 {\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ обычно указывает координатно-зависимый временной индекс точки пространства-времени. Обратите внимание, что порядок времени обычно записывается с аргументом времени, увеличивающимся справа налево.

Как правило, для произведения n операторов поля A 1(t1),…, A n(tn) упорядоченное по времени произведение операторов определяется следующим образом:

T {A 1 (t 1) A 2 (t 2) ⋯ A n (tn)} = ∑ p θ (tp 1>tp 2>⋯>tpn) ε (p) A p 1 (tp 1) A p 2 (tp 2) ⋯ A pn (TPN) {\ Displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {T}} \ {A_ {1} (t_ {1}) A_ {2} (t_ {2}) \ cdots A_ {n} ( t_ {n}) \} \\ [4pt] = {} \ sum _ {p} \ theta (t_ {p_ {1}}>t_ {p_ {2}}>\ cdots>t_ {p_ {n}) }) \ varepsilon (p) A_ {p_ {1}} (t_ {p_ {1}}) A_ {p_ {2}} (t_ {p_ {2}}) \ cdots A_ {p_ {n}} (t_ {p_ {n}}) \ end {align}}}

{\begin{aligned}{\mathcal {T}}\{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})\cdots A_{n}(t_{n})\}\\[4pt]={}\sum _{p}\theta (t_{p_{1}}>t_ {p_ {2}}>\ cdots>t_ {p_ {n}}) \ varepsilon (p) A_ {p_ {1} } (t_ {p_ {1}}) A_ {p_ {2}} (t_ {p_ {2}}) \ cdots A_ {p_ {n}} (t_ {p_ {n}}) \ end {выровнено}}

где выполняется сумма над p и над симметрической группой n степенных перестановок и

ε (p) ≡ {1 для бозонных операторов, знак перестановки для фермионных операторы. {\ displaystyle \ varepsilon (p) \ Equiv {\ begin {cases} 1 {\ text {для бозонных операторов}} \\ {\ text {знак перестановки}} {\ text {для фермионных операторов.}} \ end {cases}}}

\ varepsilon (p) \ Equiv {\ begin {cases} 1 {\ text {для бозонных операторов}} \\ {\ text {знак перестановки}} {\ text {для фермионных операторов.}} \ end {ases}}

S-матрица в квантовой теории поля является примером упорядоченного во времени продукта. S-матрица, преобразующая состояние при t = −∞ в состояние при t = + ∞, также может рассматриваться как своего рода «голономия », аналогичная петле Вильсона. Мы получаем упорядоченное по времени выражение по следующей причине:

Начнем с этой простой формулы для экспоненты

exp ⁡ h = lim N → ∞ (1 + h N) N. {\ displaystyle \ exp h = \ lim _ {N \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {h} {N}} \ right) ^ {N}.}

\ exp h = \ lim _ {{N \ to \ infty}} \ left (1 + {\ frac {h} {N}} \ справа) ^ {N}.

Теперь рассмотрим дискретизированное оператор эволюции

S = ⋯ (1 + h + 3) (1 + h + 2) (1 + h + 1) (1 + h 0) (1 + h - 1) (1 + h - 2) ⋯ {\ Displaystyle S = \ cdots (1 + h _ {+ 3}) (1 + h _ {+ 2}) (1 + h _ {+ 1}) (1 + h_ {0}) (1 + h _ {- 1 }) (1 + h _ {- 2}) \ cdots}

S = \ cdots (1 + h _ {{+ 3}}) (1 + h _ {{+ 2}}) ( 1 + h _ {{+ 1}}) (1 + h_ {0}) (1 + h _ {{- 1}}) (1 + h _ {{- 2}}) \ cdots

где $1 + hj {\ displaystyle 1 + h_ {j}}$ $1 + час _ {{j}}$ - оператор эволюции на бесконечно малом интервале времени $[j ε, (j + 1) ε] {\ displaystyle [j \ varepsilon, (j + 1) \ varepsilon]}$ $[j \ varepsilon, (j + 1) \ varepsilon]$ . Членами более высокого порядка можно пренебречь в пределе $ε → 0 {\ displaystyle \ varepsilon \ to 0}$ $\ varepsilon \ to 0$ . Оператор $hj {\ displaystyle h_ {j}}$ $h_ {j}$ определяется как

hj = 1 i ℏ ∫ j ε (j + 1) ε dt ∫ d 3 x H (x →, т). {\ displaystyle h_ {j} = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ int _ {j \ varepsilon} ^ {(j + 1) \ varepsilon} \, dt \ int d ^ {3} x \, H ({\ vec {x}}, t).}

{\ displaystyle h_ {j} = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ int _ {j \ varepsilon} ^ {(j +1) \ varepsilon} \, dt \ int d ^ {3} x \, H ({\ vec {x}}, t).}

Обратите внимание, что операторы эволюции за «прошлые» временные интервалы появляются в правой части произведения. Мы видим, что формула аналогична указанному выше тождеству, которому удовлетворяет экспонента, и мы можем записать

S = T exp ⁡ (∑ j = - ∞ ∞ hj) = T exp ⁡ (∫ dtd 3 x H (x →, t) i ℏ). {\ Displaystyle S = {\ mathcal {T}} \ exp \ left (\ sum _ {j = - \ infty} ^ {\ infty} h_ {j} \ right) = {\ mathcal {T}} \ exp \ left (\ int dt \, d ^ {3} x \, {\ frac {H ({\ vec {x}}, t)} {i \ hbar}} \ right).}

S = {{\ mathcal T}} \ exp \ left (\ sum _ {{j = - \ infty}} ^ {\ infty} h_ {j} \ right) = {\ mathcal T} \ exp \ left (\ int dt \, d ^ {3} x \, {\ frac {H ({\ vec x}, t)} {i \ hbar}} \ right).

Единственная тонкость, которую мы необходимо было включить оператор временного порядка $T {\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$ ${\ mathcal T}$ , потому что факторы в продукте, определяющем S выше, также были упорядочены по времени (а операторы не коммутируют в целом), а оператор $T {\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$ ${\ mathcal T}$ гарантирует, что этот порядок будет сохранен.

См. Также

Упорядоченная экспонента (по сути та же концепция)
Теория калибровки
S-матрица

Ссылки