Голономия

редактировать

Концепция дифференциальной геометрии

Параллельный перенос по сфере зависит от пути. Транспортировка по A → N → B → A дает вектор, отличный от исходного. Эта неспособность вернуться к исходному вектору измеряется голономией связи.

В дифференциальной геометрии, голономии связи на гладкий коллектор является общим геометрическим следствием кривизны соединения, измеряющего степень, в которой параллельный перенос вокруг замкнутых контуров не может сохранить передаваемые геометрические данные. Для плоских связностей ассоциированная голономия является разновидностью монодромии и по своей сути является глобальным понятием. Для криволинейных связей голономия имеет нетривиальные локальные и глобальные особенности.

Любой вид связи на многообразии через его параллельные транспортные отображения порождает некоторое понятие голономии. Наиболее распространенные формы голономии относятся к связям, обладающим некоторой симметрией. Важные примеры включают: голономию связи Леви-Чивиты в римановой геометрии (называемой римановой голономией ), голономию связностей в векторные расслоения, голономия связей Картана и голономия связей в главных расслоениях. В каждом из этих случаев голономия связности может быть отождествлена с группой Ли, группой голономии . Голономия связности тесно связана с кривизной связности через теорему Амвроса – Зингера.

Изучение римановой голономии привело к ряду важных достижений. Голономия была введена Эли Картаном (1926) с целью изучения и классификации симметрических пространств. Лишь намного позже группы голономии стали использоваться для изучения римановой геометрии в более общем контексте. В 1952 году Жорж де Рам доказал теорему де Рама о разложении, принцип разделения риманова многообразия на декартово произведение римановых многообразий путем разделения касательного расслоения на неприводимые пространства под действием локальных групп голономии. Позже, в 1953 году Марсель Бергер классифицировал возможные неприводимые голономии. Декомпозиция и классификация римановой голономии имеют приложения к физике и теории струн.

Содержание

1 Определения
- 1.1 Голономия связности в векторном расслоении
- 1.2 Голономия связности в главном расслоение
- 1.3 Расслоения голономии
- 1.4 Монодромия
- 1.5 Локальная и инфинитезимальная голономия
2 Теорема Эмброуза – Зингера
3 Риманова голономия
- 3.1 Приводимая голономия и разложение де Рама
- 3.2. Классификация Бергера
- 3.3 Специальная голономия и спиноры
  - 3.3.1 Приложения к теории струн
4 Аффинная голономия
5 Этимология
6 Примечания
7 Ссылки
8 Дополнительная литература

Определения

Голономия связности в векторном расслоении

Пусть E - векторное расслоение ранга k над гладким многообразием M, и пусть ∇ быть связью на E. Для кусочно гладкого цикла γ: [0,1] → M, основанного на x в M, соединение определяет параллельный транспорт карта P γ : E x → E x. Эта карта является как линейной, так и обратимой, и поэтому определяет элемент общей линейной группы GL (E x). Группа голономии группы ∇, основанная на x, определяется как

Hol x ⁡ (∇) = {P γ ∈ G L (E x) ∣ γ - петля, основанная на x}. {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {x} (\ nabla) = \ {P _ {\ gamma} \ in \ mathrm {GL} (E_ {x}) \ mid \ gamma {\ text {- это цикл, основанный на }} x \}.}

\operatorname {Hol} _{x}(\nabla)=\{P_{\gamma }\in \mathrm {GL} (E_{x})\mid \gamma {\text{ is a loop based at }}x\}.

Ограниченная группа голономии, основанная на x, является подгруппой $Hol x 0 ⁡ (∇) {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {x} ^ { 0} (\ nabla)}$ $\operatorname {Hol} _{x}^{0}(\nabla)$ происходит из сжимаемых петель γ.

Если M связан, то группа голономии зависит от базовой точки x только до конъюгации в GL (k, R ). Явно, если γ - путь от x к y в M, то

Hol y ⁡ (∇) = P γ Hol x ⁡ (∇) P γ - 1. {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {y} (\ nabla) = P _ {\ gamma} \ operatorname {Hol} _ {x} (\ nabla) P _ {\ gamma} ^ {- 1}.}

\operatorname {Hol} _{y}(\nabla)=P_{\gamma }\operatorname {Hol} _{x}(\nabla)P_{\gamma }^{-1}.

Выбор различных идентификаций E x с R также дает сопряженные подгруппы. Иногда, особенно в общих или неофициальных обсуждениях (например, ниже), можно отказаться от ссылки на базовую точку с пониманием того, что определение подходит для спряжения.

Некоторые важные свойства группы голономии включают:

$Hol 0 ⁡ (∇) {\ displaystyle \ operatorname {Hol} ^ {0} (\ nabla)}$ $\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla)$ является связным подгруппа Ли группы GL (k, R).
$Hol 0 ⁡ (∇) {\ displaystyle \ operatorname {Hol} ^ {0} (\ nabla)}$ $\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla)$ - это компонент идентичности из $Hol ⁡ (∇). {\ displaystyle \ operatorname {Hol} (\ nabla).}$ $\operatorname {Hol} (\nabla).$
Существует естественный, субъективный гомоморфизм группы $π 1 (M) → Hol ⁡ (∇) / Hol 0 ⁡ (∇), {\ displaystyle \ pi _ {1} (M) \ to \ operatorname {Hol} (\ nabla) / \ operatorname {Hol} ^ {0} (\ nabla),}$ $\pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} (\nabla)/\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla),$ где $π 1 (M) {\ displaystyle \ pi _ {1} (M)}$ $\pi _{1}(M)$ - это фундаментальная группа из M, которая отправляет гомотопический класс $[γ] {\ displaystyle [\ gamma]}$ $[\gamma ]$ в coset $P γ ⋅ Hol 0 ⁡ (∇). {\ Displaystyle P _ {\ gamma} \ cdot \ operatorname {Hol} ^ {0} (\ nabla).}$ $P_{\gamma }\cdot \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla).$
Если M односвязное, то $Hol ⁡ (∇) = Hol 0 ⁡ (∇). {\ Displaystyle \ оператор name {Hol} (\ nabla) = \ operatorname {Hol} ^ {0} (\ nabla).}$ $\operatorname {Hol} (\nabla)=\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla).$
∇ плоский (т.е. имеет исчезающую кривизну) тогда и только тогда, когда $Hol 0 ⁡ (∇) {\ displaystyle \ operatorname {Hol} ^ {0} (\ nabla)}$ $\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla)$ тривиально.

Голономия связности в главном расслоении

Определение голономии связности на главных расслоениях проводится параллельно. Пусть G - группа Ли, а P - главное G-расслоение над гладким многообразием M, которое является паракомпактным. Пусть ω - связность на P. Для кусочно гладкой петли γ: [0,1] → M, основанной на x в M и точке p в слое над x, соединение определяет уникальный горизонтальный подъем $γ ~: [0, 1] → P {\ displaystyle {\ tilde {\ gamma}}: [0,1] \ to P}$ ${\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P$ такой, что $γ ~ (0) = p. {\ displaystyle {\ tilde {\ gamma}} (0) = p.}$ ${\tilde {\gamma }}(0)=p.$ Конечная точка горизонтального подъема, $γ ~ (1) {\ displaystyle {\ tilde {\ gamma} } (1)}$ ${\tilde \gamma }(1)$ , обычно будет не p, а скорее какая-то другая точка p · g в слое над x. Определите отношение эквивалентности ~ на P, сказав, что p ~ q, если они могут быть соединены кусочно гладким горизонтальным путем в P.

Группа голономии ω основанный на p, тогда определяется как

Hol p ⁡ (ω) = {g ∈ G ∣ p ∼ p ⋅ g}. {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {p} (\ omega) = \ {g \ in G \ mid p \ sim p \ cdot g \}.}

\operatorname {Hol} _{p}(\omega)=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.

ограниченная группа голономии на основе в p - подгруппа $Hol p 0 ⁡ (ω) {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {p} ^ {0} (\ omega)}$ $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega)$ , полученная в результате горизонтальных подъемов стягиваемые петли γ.

Если M и P связаны, тогда группа голономии зависит от базовой точки p только до конъюгации в G. Явно, если q - любая другая выбранная базовая точка голономии, то существует единственный g ∈ G такой, что q ∼ p · g. При таком значении g

Hol q ⁡ (ω) = g - 1 Hol p ⁡ (ω) g. {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {q} (\ omega) = g ^ {- 1} \ operatorname {Hol} _ {p} (\ omega) g.}

\operatorname {Hol} _{q}(\omega)=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega)g.

В частности,

Hol p ⋅ г ⁡ (ω) знак равно г - 1 Hol p ⁡ (ω) g, {\ Displaystyle \ OperatorName {Hol} _ {p \ cdot g} (\ omega) = g ^ {- 1} \ operatorname {Hol} _ {p} (\ omega) g,}

\operatorname {Hol} _{p\cdot g}(\omega)=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega)g,

Более того, если p ~ q, то $Hol p ⁡ (ω) = Hol q ⁡ (ω). {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {p} (\ omega) = \ operatorname {Hol} _ {q} (\ omega).}$ $\operatorname {Hol} _{p}(\omega)=\operatorname {Hol} _{q}(\omega).$ Как и выше, иногда опускается ссылка на базовую точку группа голономии, с пониманием того, что определение хорошее до сопряжения.

Некоторые важные свойства групп голономии и ограниченной голономии включают:

$Hol p 0 ⁡ (ω) {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {p} ^ {0} (\ omega)}$ $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega)$ - связная подгруппа Ли группы G.
$Hol p 0 ⁡ (ω) {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {p} ^ {0} (\ omega)}$ $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega)$ - это компонент идентичности $Hol p ⁡ (ω). {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {p} (\ omega).}$ $\operatorname {Hol} _{p}(\omega).$
Существует естественный, сюръективный групповой гомоморфизм $π 1 → Hol p ⁡ (ω) / Hol p 0 ⁡ (ω). {\ displaystyle \ pi _ {1} \ to \ operatorname {Hol} _ {p} (\ omega) / \ operatorname {Hol} _ {p} ^ {0} (\ omega).}$ $\pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega).$
Если M равно односвязный, то $Hol p ⁡ (ω) = Hol p 0 ⁡ (ω). {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {p} (\ omega) = \ operatorname {Hol} _ {p} ^ {0} (\ omega).}$ $\operatorname {Hol} _{p}(\omega)=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega).$
ω является плоским (т.е. имеет исчезающую кривизну), если и только если $Hol p 0 ⁡ (ω) {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {p} ^ {0} (\ omega)}$ $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega)$ тривиально.

Связки голономии

Пусть M - связное гладкое паракомпактное многообразие, а P - главное G-расслоение со связностью ω, как указано выше. Пусть p ∈ P - произвольная точка главного расслоения. Пусть H (p) - множество точек в P, которые можно соединить с p горизонтальной кривой. Тогда можно показать, что H (p) с очевидным отображением проекции является главным расслоением над M со структурной группой $Hol p ⁡ (ω). {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {p} (\ omega).}$ $\operatorname {Hol} _{p}(\omega).$ Этот основной набор называется набором голономии (через p) соединения. Связность ω ограничивается связностью на H (p), поскольку ее параллельные транспортные отображения сохраняют H (p). Таким образом, H (p) - это редуцированное расслоение для связности. Более того, поскольку ни одно подрасслоение H (p) не сохраняется при параллельном переносе, это минимальное такое сокращение.

Как и в случае с группами голономии, расслоение голономии также трансформируется эквивариантно внутри объемлющего главного расслоения P. Подробнее, если q ∈ P - другая выбранная базовая точка голономии, то существует единственный g ∈ G такой, что q ∼ pg (поскольку по предположению M линейно связно). Следовательно, H (q) = H (p) g. Как следствие, индуцированные связности на расслоениях голономии, соответствующие разному выбору базовой точки, совместимы друг с другом: их параллельные транспортные отображения будут отличаться в точности одним и тем же элементом g.

Монодромия

Расслоение голономии H (p) является основным расслоением для $Hol p ⁡ (ω), {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {p} (\ omega),}$ $\operatorname {Hol} _{p}(\omega),$ и, таким образом, также допускает действие ограниченной группы голономии $Hol p 0 ⁡ (ω) {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {p} ^ {0} (\ omega) }$ $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega)$ (которая является нормальной подгруппой полной группы голономии). Дискретная группа $Hol p ⁡ (ω) / Hol p 0 ⁡ (ω) {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {p} (\ omega) / \ operatorname {Hol} _ {p} ^ {0} (\ omega)}$ $\operatorname {Hol} _{p}(\omega)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega)$ называется группой монодромии соединения; он действует на фактор-расслоении $H (p) / Hol p 0 ⁡ (ω). {\ displaystyle H (p) / \ operatorname {Hol} _ {p} ^ {0} (\ omega).}$ $H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega).$ Существует сюръективный гомоморфизм $φ: π 1 → Hol p ⁡ ( ω) / Hol p 0 ⁡ (ω), {\ displaystyle \ varphi: \ pi _ {1} \ to \ operatorname {Hol} _ {p} (\ omega) / \ operatorname {Hol} _ {p} ^ { 0} (\ omega),}$ $\varphi :\pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega),$ так, чтобы $φ (π 1 (M)) {\ displaystyle \ varphi (\ pi _ {1} (M))}$ $\varphi (\pi _{1}(M))$ действует на $H (p) / Hol p 0 ⁡ (ω). {\ displaystyle H (p) / \ operatorname {Hol} _ {p} ^ {0} (\ omega).}$ $H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega).$ Это действие фундаментальной группы является представлением монодромии

Локальная и инфинитезимальная голономия

Если π: P → M - главное расслоение и ω - связность в P, то голономия ω может быть ограничена слоем над открытым подмножеством M. В самом деле, если U - связное открытое подмножество M, то ω ограничивает, чтобы дать связность в расслоении πU над U. Голономия (соответственно ограниченная голономия) этого расслоения будет обозначаться $Hol p ⁡ (ω, U) {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {p} (\ omega, U)}$ $\operatorname {Hol} _{p}(\omega,U)$ (соответственно $Hol p 0 ⁡ (ω, U) { \ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {p} ^ {0} (\ omega, U)}$ $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega,U)$ ) для каждого p с π (p) ∈ U.

Если U ⊂ V - два открытых множества, содержащие π (p), то имеется очевидное включение

Hol p 0 ⁡ (ω, U) ⊂ Hol p 0 ⁡ (ω, V). {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {p} ^ {0} (\ omega, U) \ subset \ operatorname {Hol} _ {p} ^ {0} (\ omega, V).}

\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega,U)\subset \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega,V).

локальная группа голономии в точке p определяется как

Hol ∗ ⁡ (ω) = ⋂ k = 1 ∞ Hol 0 ⁡ (ω, U k) {\ displaystyle \ operatorname {Hol} ^ {* } (\ omega) = \ bigcap _ {k = 1} ^ {\ infty} \ operatorname {Hol} ^ {0} (\ omega, U_ {k})}

\operatorname {Hol} ^{*}(\omega)=\bigcap _{k=1}^{\infty }\operatorname {Hol} ^{0}(\omega,U_{k})

для любого семейства вложенных связанных открытых множеств U k с $⋂ k U k = π (p) {\ displaystyle \ bigcap _ {k} U_ {k} = \ pi (p)}$ $\bigcap _{k}U_{k}=\pi (p)$ .

Локальная группа голономии имеет следующее свойства:

Это связная подгруппа Ли ограниченной группы голономии $Hol p 0 ⁡ (ω). {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {p} ^ {0} (\ omega).}$ $\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega).$
Каждая точка p имеет такую окрестность V, что $Hol p ∗ ⁡ (ω) = Hol p 0 ⁡ ( ω, V). {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {p} ^ {*} (\ omega) = \ operatorname {Hol} _ {p} ^ {0} (\ omega, V).}$ $\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega)=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega,V).$ В частности, локальная группа голономии зависит только от точки p, а не от выбора последовательности U k, используемой для ее определения.
Локальная голономия эквивариантна по отношению к переносу элементами структурная группа G P; то есть, $Hol pg ∗ ω (ω) = Ad ⁡ (g - 1) Hol p ∗ ⁡ (ω) {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {pg} ^ {*} (\ omega) = \ operatorname {Ad} (g ^ {- 1}) \ operatorname {Hol} _ {p} ^ {*} (\ omega)}$ $\operatorname {Hol} _{pg}^{*}(\omega)=\operatorname {Ad} (g^{-1})\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega)$ для всех g ∈ G. (Обратите внимание, что по свойству 1 локальная группа голономии - это связная подгруппа Ли в G, поэтому присоединенная группа корректно определена.)

Локальная группа голономии плохо себя ведет как глобальный объект. В частности, его размер может не быть постоянным. Однако справедлива следующая теорема:

Если размерность локальной группы голономии постоянна, то локальная и ограниченная голономия согласуются: $Hol p ∗ ⁡ (ω) = Hol p 0 ⁡ (ω). {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {p} ^ {*} (\ omega) = \ operatorname {Hol} _ {p} ^ {0} (\ omega).}$ $\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega)=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega).$

Теорема Амвросия – Зингера

Теорема Амвросия – Сингера (из-за Уоррена Амброуза и Исадора М. Сингера (1953)) связывает голономию связи в основной пучок с формой кривизны соединения . Чтобы сделать эту теорему правдоподобной,рассмотрим знакомый случай аффинной связности (или связности в касательном расслоении - например, связности Леви-Чивиты). Кривизна возникает при движении вокруг бесконечно малого параллелограмма.

Более подробно, если σ: [0, 1] × [0, 1] → M - поверхность в M, параметризованная парой переменных x и y, то вектор V может перемещаться вокруг границы of σ: сначала по (x, 0), затем по (1, y), затем (x, 1) в отрицательном направлении, а затем (0, y) обратно в исходную точку. Это частный случай петли голономии: на вектор V действует элемент группы голономии, соответствующий поднятию границы σ. Кривизна явно входит, когда параллелограмм сокращается до нуля, пересекая границу меньших параллелограммов по [0, x] × [0, y]. Это соответствует взятию производной параллельных транспортных карт в точке x = y = 0:

D dx D dy V - D dy D dx V = R (∂ σ ∂ x, ∂ σ ∂ y) V {\ displaystyle { \ frac {D} {dx}} {\ frac {D} {dy}} V - {\ frac {D} {dy}} {\ frac {D} {dx}} V = R \ left ({\ frac {\ partial \ sigma} {\ partial x}}, {\ frac {\ partial \ sigma} {\ partial y}} \ right) V}

{\frac {D}{dx}}{\frac {D}{dy}}V-{\frac {D}{dy}}{\frac {D}{dx}}V=R\left({\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}\right)V

, где R - тензор кривизны. Итак, грубо говоря, кривизна дает бесконечно малую голономию над замкнутым контуром (бесконечно малый параллелограмм). Более формально кривизна - это дифференциал действия голономии в единице группы голономии. Другими словами, R (X, Y) является элементом алгебры Ли в $Hol p ⁡ (ω). {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {p} (\ omega).}$ $\operatorname {Hol} _{p}(\omega).$

В общем, рассмотрим голономию связности в главном расслоении P → M над P со структурной группой G. Пусть g обозначают алгебру Ли группы G, форма кривизны связности является g -значной 2-формой Ω на P. Теорема Амброуза – Зингера утверждает:

Алгебра Ли

Hol p ⁡ (ω) {\ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {p} (\ omega)}

\operatorname {Hol} _{p}(\omega)

охватывает все элементы g из форма

Ω q (X, Y) {\ displaystyle \ Omega _ {q} (X, Y)}

\Omega _{q}(X,Y)

, поскольку q пробегает все точки, которые могут быть соединены с p горизонтальной кривой ( q ~ p), а X и Y - горизонтальные касательные векторы в q.

В качестве альтернативы теорема может быть переформулирована в терминах расслоения голономии:

Алгебра Ли

Hol p ⁡ (ω) { \ displaystyle \ operatorname {Hol} _ {p} (\ omega)}

\operatorname {Hol} _{p}(\omega)

- это подпространство g, охватываемое элементами формы

Ω q (X, Y) { \ Displaystyle \ Omega _ {q} (X, Y)}

\Omega _{q}(X,Y)

где q ∈ H (p) а X и Y - горизонтальные векторы в точке q.

Риманова голономия

Голономия риманова многообразия (M, g) - это просто группа голономии Леви- Связность Чивиты на касательном расслоении к M. «Общее» n- мерное риманово многообразие имеет O (n) голономия, или SO (n), если она ориентируемая. Многообразия, группы голономии которых являются собственными подгруппами в O (n) или SO (n), обладают особыми свойствами.

Одним из самых ранних фундаментальных результатов о римановой голономии является теорема из Бореля и Лихнеровича (1952), в которой утверждается, что ограниченная группа голономии является замкнутой подгруппой Ли в O (n). В частности, она компактна.

Приводимая голономия и разложение де Рама

Пусть x ∈ M - произвольная точка. Тогда группа голономии Hol (M) действует на касательном пространстве T x M. Это действие может быть либо неприводимым как представление группы, либо сводимым в том смысле, что существует разбиение T x M на ортогональные подпространства T x M = T ′ x M ⊕ T ″ x M, каждый из которых инвариантен относительно действия Hol (M). В последнем случае M называется приводимым .

Предположим, что M - приводимое многообразие. Допуская изменение точки x, связки T′M и T ″ M, образованные сокращением касательного пространства в каждой точке, являются гладкими распределениями, которые интегрируемы в смысле Фробениуса. Интегральные многообразия этих распределений являются вполне геодезическими подмногообразиями. Итак, M локально декартово произведение M ′ × M ″. (Локальный) изоморфизм де Рама следует, продолжая этот процесс до тех пор, пока не будет достигнута полная редукция касательного пространства:

Пусть M - односвязное риманово многообразие и TM = TM ⊕ TM ⊕... ⊕ TM - полная редукция касательного расслоения под действием группы голономии. Предположим, что TM состоит из векторов, инвариантных относительно группы голономии (т.е. таких, что представление голономии тривиально). Тогда локально M изометрично продукту

V 0 × V 1 × ⋯ × V k, {\ displaystyle V_ {0} \ times V_ {1} \ times \ cdots \ times V_ {k},}

V_{0}\times V_{1}\times \cdots \times V_{k},

где V 0 - открытое множество в евклидовом пространстве, и каждое V i является интегральным многообразием для TM. Кроме того, Hol (M) распадается как прямое произведение групп голономии каждого M i.