Геометрическая фаза

В классической и квантовой механике геометрическая фаза разность фаз, полученная в течение цикла, когда система подвергается циклическим адиабатическим процессам, что является результатом геометрических свойств пространство параметров гамильтониана . Явление было независимо открыто С. Панчаратнам (1956) и Х. К. Лонге-Хиггинс (1958) и позже обобщенный сэром Майклом Берри (1984). Она также известна как фаза Панчаратнама-Берри, фаза Панчаратнама или фаза Берри . Это можно увидеть в коническом пересечении поверхностей потенциальной энергии и в эффекте Ааронова – Бома. Геометрическая фаза вокруг конического пересечения, включающая основное электронное состояние молекулярного иона C 6H3F3, обсуждается на страницах 385-386 учебника Банкера и Йенсена. В случае эффекта Ааронова-Бома адиабатический параметр равен магнитное поле, окруженное двумя путями интерференции, и оно является циклическим в том смысле, что эти два пути образуют петлю. В случае конического пересечения параметры адиабаты представляют собой координаты молекулы. Помимо квантовой механики, он возникает во множестве других волновых систем, таких как классическая оптика. Как показывает опыт, это может произойти, когда есть по крайней мере два параметра, характеризующие волну вблизи какой-либо сингулярности или дыры в топологии; два параметра необходимы, потому что либо набор неособых состояний не будет односвязным, либо будет ненулевое голономия.

Волны характеризуются амплитудой и фаза, и может изменяться в зависимости от этих параметров. Геометрическая фаза возникает, когда оба параметра изменяются одновременно, но очень медленно (адиабатически) и в конечном итоге возвращаются к исходной конфигурации. В квантовой механике это может включать не только вращения, но и перемещения частиц, которые, по-видимому, отменяются в конце. Можно было бы ожидать, что волны в системе вернутся в исходное состояние, которое характеризуется амплитудами и фазами (и с учетом течения времени). Однако, если скачки параметров соответствуют петле, а не самовосстанавливающемуся возвратно-поступательному изменению, то возможно, что начальное и конечное состояния различаются по фазам. Эта разность фаз представляет собой геометрическую фазу, и ее появление обычно указывает на то, что зависимость параметров системы является сингулярной (ее состояние не определено) для некоторой комбинации параметров.

Чтобы измерить геометрическую фазу в волновой системе, требуется вмешательство эксперимент. Маятник Фуко - это пример из классической механики, который иногда используется для иллюстрации геометрической фазы. Этот механический аналог геометрической фазы известен как угол Ханнея.

• 1 Фаза Берри в квантовой механике
• 2 Примеры геометрических фаз
  • 2.1 Маятник Фуко
  • 2.2 Поляризованный свет в оптическом волокне
  • 2.3 Эффект стохастической накачки
  • 2.4 Спин ½
  • 2.5 Геометрическая фаза, определенная на аттракторах
  • 2.6 Воздействие в пересечениях молекулярных адиабатических потенциальных поверхностей
  • 2.7 Геометрическая фаза и квантование циклотронного движения
• 3 См. Также
• 4 Примечания
• 5 Примечания
• 6 Источники
• 7 Дополнительная литература

В квантовой системе на n-м уровне собственное состояние, адиабатическая эволюция гамильтониана видит, что система остается в n-м собственном состоянии гамильтониана, при этом также получается фазовый множитель. Полученная фаза имеет вклад от временной эволюции состояния, а другой - от изменения собственного состояния с изменением гамильтониана. Второй член соответствует фазе Берри, и для нециклических вариаций гамильтониана он может быть обращен в нуль путем другого выбора фазы, связанной с собственными состояниями гамильтониана в каждой точке эволюции.

Однако, если изменение циклическое, фаза Берри не может быть отменена; он инвариант и становится наблюдаемым свойством системы. Рассматривая доказательство адиабатической теоремы, данное Максом Борном и Владимиром Фоком в Zeitschrift für Physik 51, 165 (1928), мы могли бы охарактеризовать все изменение адиабатического процесса фазовым членом. В адиабатическом приближении коэффициент n-го собственного состояния при адиабатическом процессе определяется как

$C\; n\; (t)\; =\; C\; n\; (0)\; exp\; \; [-\; \int \; 0\; t\; ⟨\psi \; n\; (t\; \prime )\; |\; \psi \; \dot{}\; N\; (T\; \prime )⟩\; dt\; \prime ]\; знак\; равно\; C\; N\; (0)\; ei\; \gamma \; N\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{n\}\; (t)\; =\; C\_\; \{n\}\; (0)\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; [-\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{t\}\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}\; (t\; \text{'})\; |\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; psi\}\}\; \_\; \{n\}\; (t\text{'})\; \backslash \; rangle\; dt\; \text{'}\backslash \; right]\; =\; C\_\; \{n\}\; (0)\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; gamma\; \_\; \{n\}\; (t)\}\}$

где $\gamma \; n\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{n\}\; (t)\}$- это Берри фаза по параметру t. Преобразуя переменную t в обобщенные параметры, мы могли бы переписать фазу Берри в

$\gamma \; n\; [C]\; =\; i\; \oint \; C\; ⟨n,\; t\; |\; (\nabla \; р\; |\; N,\; T⟩)\; d\; R\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{n\}\; [C]\; =\; я\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; \backslash !\; \backslash \; Langle\; п,\; т\; |\; \backslash \; влево\; (\backslash \; набла\; \_\; \{R\}\; |\; п,\; t\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle)\; \backslash ,\; dR\; \backslash ,\}$

где $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$параметризует циклический адиабатический процесс. Он следует по замкнутому пути $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$в соответствующем пространстве параметров. Геометрическая фаза по замкнутому пути $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$также может быть рассчитана путем интегрирования кривизны Берри по поверхности, заключенной в $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$.

Маятник Фуко

Одним из самых простых примеров является маятник Фуко. Простое объяснение в терминах геометрических фаз дано Вильчеком и Шейпером

Как маятник прецессирует, когда он движется по общей траектории C? При транспортировке по экватору маятник не прецессирует. [...] Теперь, если C состоит из геодезических сегментов, все прецессия будет происходить от углов, где встречаются сегменты геодезических; полная прецессия равна чистому углу дефицита, который, в свою очередь, равен телесному углу, заключенному в C по модулю 2π. Наконец, мы можем аппроксимировать любую петлю последовательностью геодезических сегментов, поэтому наиболее общий результат (на поверхности сферы или за ее пределами) состоит в том, что суммарная прецессия равна замкнутому телесному углу.

Чтобы выразить это в различных Другими словами, нет инерционных сил, которые могли бы заставить маятник прецессировать, поэтому прецессия (относительно направления движения траектории, по которой маятник перемещается) полностью обусловлена ​​поворотом этого пути. Таким образом, ориентация маятника претерпевает параллельный перенос. Для исходного маятника Фуко траектория представляет собой окружность широты, и по теореме Гаусса-Бонне фазовый сдвиг задается заключенным в нее телесным углом.

Поляризованный свет в оптическом Волокно

Второй пример - это линейно поляризованный свет, входящий в одномодовое оптическое волокно. Предположим, что волокно прокладывает некоторый путь в пространстве, и свет выходит из волокна в том же направлении, в котором он входил. Затем сравните начальную и конечную поляризации. В полуклассическом приближении волокно функционирует как волновод, и импульс света всегда касается волокна. Поляризацию можно представить как ориентацию, перпендикулярную импульсу. По мере того, как волокно отслеживает свой путь, вектор импульса света отслеживает путь на сфере в импульсном пространстве. Путь замкнут, так как начальное и конечное направления света совпадают, а поляризация - это вектор, касательный к сфере. Переход к импульсному пространству эквивалентен взятию карты Гаусса. Нет никаких сил, которые могли бы повернуть поляризацию, только ограничение оставаться касательной к сфере. Таким образом, поляризация подвергается параллельному переносу, а фазовый сдвиг задается замкнутым телесным углом (умноженным на спин, который в случае света равен 1).

Эффект стохастической накачки

Стохастическая помпа - это классическая стохастическая система, которая реагирует ненулевым, в среднем, током на периодические изменения параметров. Эффект стохастической накачки можно интерпретировать в терминах геометрической фазы в эволюции функции создания момента стохастических токов.

Спин ½

Геометрическая фаза может быть вычислена точно для вращения 1/2

Геометрическая фаза, определенная на аттракторах

Хотя формулировка Берри была первоначально определена для линейных гамильтоновых систем, вскоре Нинг и Хакен поняли, что аналогичная геометрическая фаза может быть определена для совершенно разные системы, такие как нелинейные диссипативные системы, обладающие определенными циклическими аттракторами. Они показали, что такие циклические аттракторы существуют в классе нелинейных диссипативных систем с определенной симметрией.

Воздействие на пересечения молекулярных адиабатических потенциальных поверхностей

Существует несколько способов вычисления геометрической фазы в молекулах в пределах Родился фреймворк Оппенгеймера. Один из способов - использовать «матрицу неадиабатической связи $M\; \times \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \backslash \; times\; M\}$, определяемую как

$\tau \; i\; j\; \mu \; =\; ⟨\psi \; i\; |\; \partial \; \mu \; \psi \; J⟩\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; тау\; \_\; \{ij\}\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; \_\; \{i\}\; |\; \backslash \; partial\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{j\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}$

где $\psi \; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{i\}\}$- адиабатическая волновая функция электронов, зависящая от ядерных параметров $R\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}$. Неадиабатическая связь может быть использована для определения петлевого интеграла, аналогичного петле Вильсона (1974) в теории поля, независимо разработанной для молекулярной структуры М. Бэром (1975, 1980, 2000). Дан замкнутый цикл $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$, параметризованный $R\; \mu \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; left\; (t\; \backslash \; right)\}$где $t\; \in \; [0,\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; in\; \backslash \; left\; [0,1\; \backslash \; right]\}$- параметр, а $R\; \mu \; (t\; +\; 1)\; Знак\; равно\; R\; \mu \; (T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; R\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; left\; (t\; +\; 1\; \backslash \; right)\; =\; R\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; left\; (t\; \backslash \; right)\}$. D-матрица задается следующим образом:

$D\; [\Gamma ]\; =\; P\; ^\; e\; \oint \; \Gamma \; \tau \; \mu \; d\; R\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \backslash \; left\; [\backslash \; Gamma\; \backslash \; right]\; =\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\; e\; ^\; \{\backslash \; oint\; \_\; \{\backslash \; Gamma\}\; \{\backslash \; tau\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; dR\; \_\; \{\backslash \; mu\}\}\}\}$

(здесь $P\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\}$символ упорядочивания путей). Можно показать, что если $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$достаточно велико (т.е. учитывается достаточное количество электронных состояний), эта матрица диагональна с диагональными элементами, равными $ei\; \beta \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; beta\; \_\; \{j\}\}\}$где $\beta \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \_\; \{j\}\}$- геометрические фазы, связанные с цикл для $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$адиабатического электронного состояния.

Для симметричных электронных гамильтонианов с обращением времени геометрическая фаза отражает количество конических пересечений, окруженных петлей. Точнее:

$ei\; \beta \; j\; =\; (-\; 1)\; N\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; beta\; \_\; \{j\}\}\; =\; \backslash \; left\; (-1\; \backslash \; right)\; ^\; \{N\_\; \{j\}\}\}$

где $N\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{j\}\}$- количество конических пересечений, включающих адиабатическое состояние $\psi \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{j\}\}$в круге $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$.

Альтернативой D-матричному подходу могло бы быть прямое вычисление фазы Панчаратнама. Это особенно полезно, если вас интересуют только геометрические фазы одного адиабатического состояния. В этом подходе берется количество $N\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; +\; 1\}$точек $(n\; =\; 0,...,\; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (n\; =\; 0,...,\; N\; \backslash \; right)\}$по контуру $R\; (tn)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; left\; (t\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\}$с $t\; 0\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{0\}\; =\; 0\}$и $t\; N\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{N\}\; =\; 1\}$, затем используя только j-е адиабатическое состояние $\psi \; j\; [R\; (tn)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{j\}\; \backslash \; left\; [R\; \backslash \; left\; (t\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\}$вычисляет Произведение Панчаратнама перекрытий:

$I\; j\; (\Gamma ,\; N)\; =\; \prod \; n\; =\; 0\; N\; -\; 1\; ⟨\psi \; j\; [R\; (tn)]\; |\; \psi \; J\; [R\; (Tn\; +\; 1)]⟩\; \{\backslash \; Displaystyle\; I\_\; \{J\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; Gamma,\; N\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; prod\; \backslash \; limits\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{N-1\}\; \{\backslash \; left\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; \_\; \{j\}\; \backslash \; left\; [R\; \backslash \; left\; (t\_\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; |\; \backslash \; psi\; \_\; \{j\}\; \backslash \; left\; [R\; \backslash \; left\; (t\_\; \{n\; +\; 1\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\}\}$

В пределах $N\; \to \; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}$один имеет (см. Ryb Baer 2004 для объяснения и некоторых приложений):

$I\; j\; (\Gamma ,\; N)\; \to \; ei\; \beta \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; I\_\; \{j\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; Gamma,\; N\; \backslash \; right)\; \backslash \; to\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; beta\; \_\; \{j\}\}\}$

Геометрическая фаза и квантование циклотронное движение

Электрон под действием магнитного поля $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$движется по круговой (циклотронной) орбите. Обычно допустим любой циклотронный радиус $R\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{c\}\}$. Квантово-механически разрешены только дискретные уровни энергии (уровни Ландау ), и поскольку $R\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{c\}\}$связано с энергией электрона, это соответствует квантованные значения $R\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{c\}\}$. Условие квантования энергии, полученное путем решения уравнения Шредингера, имеет вид, например, $E\; =\; (n\; +\; \alpha )\; \hslash \; \omega \; c,\; \alpha \; =\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; (n\; +\; \backslash \; alpha)\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; \_\; \{c\; \},\; \backslash \; alpha\; =\; 1/2\}$для свободных электронов (в вакууме) или $E\; =\; v\; 2\; (n\; +\; \alpha )\; e\; B\; \hslash ,\; \alpha \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; v\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; (n\; +\; \backslash \; alpha)\; eB\; \backslash \; hbar\}\},\; \backslash \; alpha\; =\; 0\}$для электронов в графене, где $n\; =\; 0,\; 1,\; 2,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 0,1,\; 2,\; \backslash \; ldots\}$. Хотя получение этих результатов несложно, существует альтернативный способ их получения, который предлагает в некотором отношении лучшее физическое понимание квантования уровней Ландау. Этот альтернативный способ основан на полуклассическом условии квантования Бора-Зоммерфельда

$\hslash \; \oint \; dr\; \cdot \; k\; -\; e\; \oint \; dr\; \cdot \; A\; +\; \hslash \; \gamma \; =\; 2\; \pi \; \hslash \; (n\; +\; 1/2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; hbar\; \backslash \; oint\; d\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; -e\; \backslash \; oint\; d\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; +\; \backslash \; hbar\; \backslash \; gamma\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; hbar\; (n\; +\; 1/2)\}$

который включает в себя геометрическую фазу $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$, улавливаемую электроном, когда он выполняет свое (в реальном пространстве) движение по замкнутому контуру циклотронной орбиты. Для свободных электронов $\gamma \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; 0\}$, а $\gamma \; =\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; \backslash \; pi\}$для электронов в графене.. Оказывается, геометрическая фаза напрямую связана с $\alpha \; =\; 1/2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; 1/2\}$свободных электронов и $\alpha \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; 0\}$электронов в графене.

• Тензор кривизны Римана - связь с математикой
• Связность Берри и кривизна
• Класс Черна
• Оптическое вращение
• Число обмотки

^Для простоты мы рассматриваем электроны, удерживаемые в плоскости, такой как 2DEG, и магнитное поле, перпендикулярное плоскости.

^$\omega \; c\; =\; e\; B\; /\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{c\}\; =\; eB\; /\; m\}$- циклотронная частота (для свободных электронов), а $v\; \{\backslash \; displaystyle\; v\}$- скорость Ферми (электронов в графене).

• Джива Анандан; Джой Кристиан; Казимир Ванелик (1997). «Информационное письмо ГПП-1: Геометрические фазы в физике». Am. J. Phys. 65 (3): 180. arXiv : Quant-ph / 9702011. Bibcode : 1997AmJPh..65..180A. doi : 10,1119 / 1,18570.
• Cantoni, V.; Мистранджоли, Л. (1992). «Трехточечная фаза, симплектическая мера и фаза Берри». Международный журнал теоретической физики. 31 (6): 937. Bibcode : 1992IJTP... 31..937C. doi : 10.1007 / BF00675086.
• Ричард Монтгомери (8 августа 2006 г.). Экскурсия по субримановым геометриям, их геодезическим и прикладным. American Mathematical Soc. С. 11–. ISBN 978-0-8218-4165-5.(математическое описание см. В главе 13)
• Связь с другими физическими явлениями (такими как Ян –Эффект Теллера ) обсуждаются здесь: Геометрическая фаза Берри: обзор
• Статья профессора Гальвеза из Колгейтского университета, описывающая геометрическую фазу в оптике: Применение геометрической фазы в оптике
• Сурья Гангули, пучки волокон и калибровочные теории в классической физике: единое описание падающих кошек, магнитных монополей и фазы Берри
• Роберт Баттерман, Падающие кошки, параллельная парковка и поляризованный свет
• Баер, М. (1975). «Адиабатические и диабатические представления для столкновений атомов и молекул: рассмотрение коллинеарного расположения». Письма по химической физике. 35 (1): 112–118. Bibcode : 1975CPL.... 35..112B. doi : 10.1016 / 0009-2614 (75) 85599-0.
• М. Баер, Электронные неадиабатические переходы: вывод общей матрицы адиабатически-диабатического преобразования, Мол. Phys. 40, 1011 (1980);
• М. Baer, ​​Существование диабетических потенциалов и квантование неадиабатической матрицы, J. Phys. Chem. A 104, 3181-3184 (2000).
• Ryb, I; Баер, Р. (2004). «Комбинаторные инварианты и коварианты как инструменты для конических пересечений». Журнал химической физики. 121 (21): 10370–5. Bibcode : 2004JChPh.12110370R. doi : 10.1063 / 1.1808695. PMID 15549915.

• Вильчек, Франк ; Шапере, А. (1989). Геометрические фазы в физике. World Scientific. ISBN 978-9971-5-0621-6.
• Джерольд Э. Марсден; Ричард Монтгомери; Тюдор С. Ратиу (1990). Редукция, симметрия и фазы в механике. Книжный магазин AMS. п. 69. ISBN 978-0-8218-2498-6.
• С. Пизани (1994). Квантово-механическое Ab-initio расчет свойств кристаллических материалов (Труды IV школы вычислительной химии Итальянского химического общества под ред.). Springer. п. 282. ISBN 978-3-540-61645-0.
• Л. Манджиаротти, Геннадий Александрович Сарданашвили (1998). Механика датчиков. World Scientific. п. 281. ISBN 978-981-02-3603-8.
• Карин М. Рабе; Жан-Марк Трискон; Чарльз Х. Ан (2007). Физика сегнетоэлектриков в современной перспективе. Springer. п. 43. ISBN 978-3-540-34590-9.
• Майкл Бэр (2006). За гранью рожденного Оппенгеймера. Вайли. ISBN 978-0-471-77891-2.
• Ч.З. Нинг и Х. Хакен (1992). «Геометрические накопления фазы и амплитуды в диссипативных системах с циклическими аттракторами». Phys. Rev. Lett. 68 (14): 2109–2122. Bibcode : 1992PhRvL..68.2109N. doi : 10.1103 / PhysRevLett.68.2109. PMID 10045311.
• Ч.З. Нинг и Х. Хакен (1992). «Геометрическая фаза в нелинейных диссипативных системах». Мод. Phys. Lett. Б. 6 (25): 1541–1568. Bibcode : 1992MPLB.... 6.1541N. doi : 10.1142 / S0217984992001265.

• Майкл В. Берри; Геометрическая фаза, Scientific American 259 (6) (1988), 26-34 [4pting