Адиабатическая теорема

редактировать

адиабатическая теорема - это концепция в квантовой механике. Его первоначальная форма, связанная с Максом Борном и Владимиром Фоком (1928), была сформулирована следующим образом:

Физическая система остается в своем мгновенном собственном состоянии, если данное возмущение действует на него достаточно медленно, и если есть разрыв между собственным значением и остальной частью гамильтониана спектра .

Проще говоря, квантово-механическая система, подверженная постепенно изменяющимся внешним условиям, адаптирует свою функциональную форму, но при воздействии быстро меняющихся условий у функциональной формы недостаточно времени для адаптации, поэтому пространственная плотность вероятности остается неизменной.

Содержание

1 Диабатические и адиабатические процессы
2 Примеры систем
- 2.1 Простой маятник
- 2.2 Квантовый гармонический осциллятор
- 2.3 Избегая пересечения кривой
3 Доказательство адиабатической теоремы
4 Выведение условий для диабатического и адиабатического прохождения
- 4.1 Диабатический проход
- 4.2 Адиабатический проход
5 Расчет вероятностей адиабатического прохождения
- 5.1 Формула Ландау – Зинера
- 5.2 Численный подход
6 См. также
7 Ссылки

Диабатические и адиабатические процессы

Диабатические процессы: Быстро меняющиеся условия не позволяют системе адаптировать свою конфигурацию во время процесса, поэтому пространственная плотность вероятности остается неизменной. Обычно нет собственного состояния конечного гамильтониана с той же функциональной формой, что и начальное состояние. Система заканчивается линейной комбинацией состояний, сумма которых воспроизводит исходную плотность вероятности.

Адиабатический процесс: Постепенно изменяющиеся условия позволяют системе адаптировать свою конфигурацию, следовательно, плотность вероятности изменяется процессом. Если система начинается с собственного состояния начального гамильтониана, она заканчивается в соответствующем собственном состоянии конечного гамильтониана.

В некоторый начальный момент времени $t 0 {\ displaystyle \ scriptstyle {t_ {0}}}$ $\scriptstyle {t_{0}}$ квантово-механическая система имеет энергию, определяемую гамильтонианом $H ^ (t 0) {\ displaystyle \ scriptstyle {{\ hat {H}} (t_ {0})}}$ $\scriptstyle {{\hat {H}}(t_{0})}$ ; система находится в собственном состоянии $H ^ (t 0) {\ displaystyle \ scriptstyle {{\ hat {H}} (t_ {0})}}$ $\scriptstyle {{\hat {H}}(t_{0})}$ с меткой $ψ (x, т 0) {\ displaystyle \ scriptstyle {\ psi (x, t_ {0})}}$ $\scriptstyle {\psi (x,t_{0})}$ . При изменении условий гамильтониан изменяется непрерывно, в результате чего получается окончательный гамильтониан $H ^ (t 1) {\ displaystyle \ scriptstyle {{\ hat {H}} (t_ {1})}}$ $\scriptstyle {{\hat {H}}(t_{1})}$ позже $t 1 {\ displaystyle \ scriptstyle {t_ {1}}}$ $\scriptstyle {t_{1}}$ . Система будет развиваться в соответствии с зависимым от времени уравнением Шредингера, чтобы достичь конечного состояния $ψ (x, t 1) {\ displaystyle \ scriptstyle {\ psi (x, t_ {1}) }}$ $\scriptstyle {\psi (x,t_{1})}$ . Адиабатическая теорема утверждает, что модификация системы критически зависит от времени $τ = t 1 - t 0 {\ displaystyle \ scriptstyle {\ tau = t_ {1} -t_ {0}}}$ $\scriptstyle {\tau =t_{1}-t_{0}}$ во время которого происходит модификация.

Для действительно адиабатического процесса нам требуется $τ → ∞ {\ displaystyle \ scriptstyle {\ tau \ rightarrow \ infty}}$ $\scriptstyle {\tau \rightarrow \infty }$ ; в этом случае конечное состояние $ψ (x, t 1) {\ displaystyle \ scriptstyle {\ psi (x, t_ {1})}}$ $\scriptstyle {\psi (x,t_{1})}$ будет собственным состоянием конечного гамильтониана $H ^ (t 1) {\ displaystyle \ scriptstyle {{\ hat {H}} (t_ {1})}}$ $\scriptstyle {{\hat {H}}(t_{1})}$ с измененной конфигурацией:

| ψ (x, t 1) | 2 ≠ | ψ (x, t 0) | 2 {\ displaystyle | \ psi (x, t_ {1}) | ^ {2} \ neq | \ psi (x, t_ {0}) | ^ {2}}

|\psi (x,t_{1})|^{2}\neq |\psi (x,t_{0})|^{2}

Степень приближения данного изменения адиабатический процесс зависит как от энергетического разделения между $ψ (x, t 0) {\ displaystyle \ scriptstyle {\ psi (x, t_ {0})}}$ $\scriptstyle {\psi (x,t_{0})}$ и соседними состояниями, так и отношение интервала $τ {\ displaystyle \ scriptstyle {\ tau}}$ $\scriptstyle {\tau }$ к характерной шкале времени эволюции $ψ (x, t 0) {\ displaystyle \ scriptstyle { \ psi (x, t_ {0})}}$ $\scriptstyle {\psi (x,t_{0})}$ для независимого от времени гамильтониана, $τ int = 2 π ℏ / E 0 {\ displaystyle \ scriptstyle {\ tau _ {int} = 2 \ pi \ hbar / E_ {0}}}$ $\scriptstyle {\tau _{int}=2\pi \hbar /E_{0}}$ , где $E 0 {\ displaystyle \ scriptstyle {E_ {0}}}$ $\scriptstyle {E_{0}}$ - энергия $ψ (Икс, T 0) {\ Displaystyle \ scriptstyle {\ psi (x, t_ {0})}}$ $\scriptstyle {\psi (x,t_{0})}$ .

И наоборот, в пределе $τ → 0 {\ displaystyle \ scriptstyle {\ tau \ rightarrow 0 }}$ $\scriptstyle {\tau \rightarrow 0}$ у нас есть бесконечно быстрый или дьявольский переход; конфигурация состояния остается неизменной:

| ψ (x, t 1) | 2 = | ψ (x, t 0) | 2 {\ displaystyle | \ psi (x, t_ {1}) | ^ {2} = | \ psi (x, t_ {0}) | ^ {2} \ quad}

|\psi (x,t_{1})|^{2}=|\psi (x,t_{0})|^{2}\quad

Так называемое "условие разрыва" "включенный в исходное определение Борна и Фока, данное выше, относится к требованию, чтобы спектр из $H ^ {\ displaystyle \ scriptstyle {\ hat {H}}}$ $\scriptstyle {\hat {H}}$ был дискретный и невырожденный, такой, что нет неоднозначности в упорядочении состояний (можно легко установить, какое собственное состояние $H ^ (t 1) {\ displaystyle \ scriptstyle { {\ hat {H}} (t_ {1})}}$ $\scriptstyle {{\hat {H}}(t_{1})}$ соответствует $ψ (t 0) {\ displaystyle \ scriptstyle {\ psi (t_ {0})}}$ $\scriptstyle {\psi (t_{0})}$ ). В 1999 г. Дж. Э. Аврон и А. Элгарт переформулировали адиабатическую теорему, чтобы адаптировать ее к ситуациям без пробелов.

Обратите внимание, что термин «адиабатический» традиционно используется в термодинамике для описания процессов без теплообмен между системой и окружающей средой (см. адиабатический процесс ). Квантово-механическое определение ближе к термодинамической концепции квазистатического процесса и не имеет прямого отношения к теплообмену.

Примеры систем

Простой маятник

В качестве примера рассмотрим маятник, колеблющийся в вертикальной плоскости. Если опору сдвинуть, режим колебаний маятника изменится. Если опору перемещать достаточно медленно, движение маятника относительно опоры не изменится. Постепенное изменение внешних условий позволяет системе адаптироваться, так что она сохраняет свой первоначальный характер. Это называется «адиабатическим процессом» (особое значение этого слова для квантовой механики).

Квантовый гармонический осциллятор

Рисунок 1. Изменение плотности вероятности,

| ψ (t) | 2 {\ displaystyle \ scriptstyle {| \ psi (t) | ^ {2}}}

\scriptstyle {|\psi (t)|^{2}}

квантового гармонического осциллятора в основном состоянии из-за адиабатического увеличения жесткости пружины.

классическая природа маятника не позволяет полностью описать эффекты адиабатической теоремы. В качестве дополнительного примера рассмотрим квантовый гармонический осциллятор, поскольку жесткость пружины $k {\ displaystyle \ scriptstyle {k}}$ $\ scriptstyle {k}$ увеличивается. Классически это эквивалентно увеличению жесткости пружины; квантово-механически эффект представляет собой сужение кривой потенциальной энергии в системе гамильтониан.

Если $k {\ displaystyle \ scriptstyle {k}}$ $\ scriptstyle {k}$ равно увеличивается адиабатически $(dkdt → 0) {\ displaystyle \ scriptstyle {\ left ({\ frac {dk} {dt}} \ rightarrow 0 \ right)}}$ $\scriptstyle {\left({\frac {dk}{dt}}\rightarrow 0\right)}$ затем система в момент времени $t {\ displaystyle \ scriptstyle {t}}$ $\ scriptstyle {t}$ будет в мгновенном собственном состоянии $ψ (t) {\ displaystyle \ scriptstyle {\ psi (t)}}$ $\scriptstyle {\psi (t)}$ из текущий гамильтониан $H ^ (t) {\ displaystyle \ scriptstyle {{\ hat {H}} (t)}}$ $\scriptstyle {{\hat {H}}(t)}$ , соответствующий начальному собственному состоянию $H ^ (0) {\ displaystyle \ scriptstyle {{\ hat {H}} (0)}}$ $\scriptstyle {{\hat {H}}(0)}$ . Для особого случая системы, подобной квантовому гармоническому осциллятору, описываемому одним квантовым числом , это означает, что квантовое число останется неизменным. На рисунке 1 показано, как гармонический осциллятор, изначально находящийся в основном состоянии, $n = 0 {\ displaystyle \ scriptstyle {n = 0}}$ $\scriptstyle {n=0}$ , остается в основном состоянии, как кривая потенциальной энергии сжата; функциональная форма адаптации состояния к медленно меняющимся условиям.

Для быстро увеличивающейся жесткости пружины система подвергается диабатическому процессу $(dkdt → ∞) {\ displaystyle \ scriptstyle {\ left ({\ frac {dk} {dt}} \ rightarrow \ infty \ right)}}$ $\scriptstyle {\left({\frac {dk}{dt}}\rightarrow \infty \right)}$ в котором система не успевает адаптировать свою функциональную форму к изменяющимся условиям. В то время как конечное состояние должно выглядеть идентично исходному состоянию $(| ψ (t) | 2 = | ψ (0) | 2) {\ displaystyle \ scriptstyle {\ left (| \ psi (t) | ^ {2 } = | \ psi (0) | ^ {2} \ right)}}$ $\scriptstyle {\left(|\psi (t)|^{2}=|\psi (0)|^{2}\right)}$ для процесса, происходящего за исчезающий период времени, нет собственного состояния нового гамильтониана, $H ^ (t) {\ displaystyle \ scriptstyle {{\ hat {H}} (t)}}$ $\scriptstyle {{\hat {H}}(t)}$ , что напоминает начальное состояние. Конечное состояние состоит из линейной суперпозиции множества различных собственных состояний $H ^ (t) {\ displaystyle \ scriptstyle {{\ hat {H}} (t)}}$ $\scriptstyle {{\hat {H}}(t)}$ которые в сумме воспроизводят форму исходного состояния.

Избегаемое пересечение кривой

Рис. 2. Избегаемое пересечение уровней энергии в двухуровневой системе, подверженной внешнему магнитному полю. Обратите внимание на энергии диабатических состояний,

| 1⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {| 1 \ rangle}}

\scriptstyle {|1\rangle }

| 2⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {| 2 \ rangle}}

\scriptstyle {|2\rangle }

и собственные значения гамильтониана, дающие энергии собственных состояний

| ϕ 1⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {| \ phi _ {1} \ rangle}}

\scriptstyle {|\phi _{1}\rangle }

| ϕ 2⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {| \ phi _ {2} \ rangle}}

\ scriptstyle {| \ phi _ {2} \ rangle}

(адиабатические состояния). (Фактически,

| ϕ 1⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {| \ phi _ {1} \ rangle}}

\scriptstyle {|\phi _{1}\rangle }

| ϕ 2⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {| \ phi _ {2} \ rangle}}

\ scriptstyle {| \ phi _ {2} \ rangle}

следует переключить на этом рисунке.)

В качестве более широко применимого примера рассмотрим атом 2- уровня, подверженный внешнему магнитное поле. Состояния, помеченные $| 1⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {| 1 \ rangle}}$ $\scriptstyle {|1\rangle }$ и $| 2⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {| 2 \ rangle}}$ $\scriptstyle {|2\rangle }$ с использованием нотации bra – ket, можно рассматривать как атомные состояния углового момента, каждое с определенной геометрией. По причинам, которые станут ясными, эти состояния впредь будут называться диабатическими. Волновая функция системы может быть представлена как линейная комбинация диабатических состояний:

| Ψ⟩ = c 1 (t) | 1⟩ + c 2 (t) | 2⟩. {\ displaystyle | \ Psi \ rangle = c_ {1} (t) | 1 \ rangle + c_ {2} (t) | 2 \ rangle.}

|\Psi \rangle =c_{1}(t)|1\rangle +c_{2}(t)|2\rangle.

При отсутствии поля энергетическое разделение диабатических состояний равно $ℏ ω 0 {\ displaystyle \ scriptstyle {\ hbar \ omega _ {0}}}$ $\scriptstyle {\hbar \omega _{0}}$ ; энергия состояния $| 1⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {| 1 \ rangle}}$ $\scriptstyle {|1\rangle }$ увеличивается с увеличением магнитного поля (состояние поиска слабого поля), в то время как энергия состояния $| 2⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {| 2 \ rangle}}$ $\scriptstyle {|2\rangle }$ уменьшается с увеличением магнитного поля (состояние поиска сильного поля). Предполагая, что зависимость от магнитного поля является линейной, матрица гамильтониана для системы с приложенным полем может быть записана как

H = (μ B (t) - ℏ ω 0/2 aa ∗ ℏ ω 0 / 2 - μ B (t)) {\ displaystyle \ mathbf {H} = {\ begin {pmatrix} \ mu B (t) - \ hbar \ omega _ {0} / 2 a \\ a ^ {*} \ hbar \ omega _ {0} / 2- \ mu B (t) \ end {pmatrix}}}

\mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\mu B(t)-\hbar \omega _{0}/2a\\a^{*}\hbar \omega _{0}/2-\mu B(t)\end{pmatrix}}

где $μ {\ displaystyle \ scriptstyle {\ mu}}$ $\scriptstyle {\mu }$ - это магнитный момент атома, предполагаемый одинаковым для двух диабатических состояний, а $a {\ displaystyle \ scriptstyle {a}}$ $\scriptstyle {a}$ не зависит от времени связь между двумя состояниями. Диагональные элементы - это энергии диабатических состояний ( $E 1 (t) {\ displaystyle \ scriptstyle {E_ {1} (t)}}$ $\scriptstyle {E_{1}(t)}$ и $E 2 (t) { \ displaystyle \ scriptstyle {E_ {2} (t)}}$ $\ scriptstyle {E_ {2} (t)}$ ), однако, поскольку $H {\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathbf {H}}}$ $\scriptstyle {\mathbf {H} }$ не диагональной матрицы , ясно, что эти состояния не являются собственными состояниями нового гамильтониана, который включает вклад магнитного поля.

Собственные векторы матрицы $H {\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathbf {H}}}$ $\scriptstyle {\mathbf {H} }$ - это собственные состояния системы, которые мы обозначим $| ϕ 1 (t)⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {| \ phi _ {1} (t) \ rangle}}$ $\scriptstyle {|\phi _{1}(t)\rangle }$ и $| ϕ 2 (t)⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {| \ phi _ {2} (t) \ rangle}}$ $\scriptstyle {|\phi _{2}(t)\rangle }$ с соответствующими собственными значениями

ε 1 (t) = - 1 2 4 a 2 + (ℏ ω 0 - 2 μ B (t)) 2 ε 2 (t) = + 1 2 4 a 2 + (ℏ ω 0 - 2 μ B (t)) 2. {\ displaystyle {\ begin {align} \ varepsilon _ {1} (t) = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {4a ^ {2} + (\ hbar \ omega _ {0} -2 \ mu B (t)) ^ {2}}} \\\ varepsilon _ {2} (t) = + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {4a ^ {2} + ( \ hbar \ omega _ {0} -2 \ mu B (t)) ^ {2}}}. \\\ end {align}}}

{\begin{aligned}\varepsilon _{1}(t)=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}+(\hbar \omega _{0}-2\mu B(t))^{2}}}\\\varepsilon _{2}(t)=+{\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}+(\hbar \omega _{0}-2\mu B(t))^{2}}}.\\\end{aligned}}

Важно понимать, что собственные значения $ε 1 ( t) {\ displaystyle \ scriptstyle {\ varepsilon _ {1} (t)}}$ $\ scriptstyle {\ varepsilon _ {1} (t)}$ и $ε 2 (t) {\ displaystyle \ scriptstyle {\ varepsilon _ {2} (t)} }$ $\ scriptstyle {\ varepsilon _ {2} (t)}$ - единственные разрешенные выходы для любого отдельного измерения энергии системы, тогда как диабатические энергии $E 1 (t) {\ displaystyle \ scriptstyle {E_ {1} (t)}}$ $\scriptstyle {E_{1}(t)}$ и $E 2 (t) {\ displaystyle \ scriptstyle {E_ {2} (t)}}$ $\ scriptstyle {E_ {2} (t)}$ соответствуют ожидаемым значениям для энергии система в диабатических состояниях $| 1⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {| 1 \ rangle}}$ $\scriptstyle {|1\rangle }$ и $| 2⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {| 2 \ rangle}}$ $\scriptstyle {|2\rangle }$ .

На рисунке 2 показана зависимость диабатической и адиабатической энергий от величины магнитного поля; обратите внимание, что для ненулевой связи собственные значения гамильтониана не могут быть вырожденными, и, таким образом, мы можем избежать пересечения. Если атом изначально находится в состоянии $| ϕ 2 (t 0)⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {| \ phi _ {2} (t_ {0}) \ rangle}}$ $\scriptstyle {|\phi _{2}(t_{0})\rangle }$ в нулевом магнитном поле (на красной кривой, крайний левый), адиабатическое увеличение магнитного поля $(d B dt → 0) {\ displaystyle \ scriptstyle {\ left ({\ frac {dB} {dt}} \ rightarrow 0 \ right)}}$ $\scriptstyle {\left({\frac {dB}{dt}}\rightarrow 0\right)}$ гарантирует, что система останется в собственном состоянии гамильтониана $| ϕ 2 (t)⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {| \ phi _ {2} (t) \ rangle}}$ $\scriptstyle {|\phi _{2}(t)\rangle }$ на протяжении всего процесса (следует красной кривой). Дьявольское увеличение магнитного поля $(d B dt → ∞) {\ displaystyle \ scriptstyle {\ left ({\ frac {dB} {dt}} \ rightarrow \ infty \ right)}}$ $\scriptstyle {\left({\frac {dB}{dt}}\rightarrow \infty \right)}$ обеспечит, чтобы система следовала диабатическому пути (пунктирная синяя линия), так что система претерпевает переход в состояние $| ϕ 1 (T 1)⟩ {\ Displaystyle \ scriptstyle {| \ phi _ {1} (t_ {1}) \ rangle}}$ $\scriptstyle {|\phi _{1}(t_{1})\rangle }$ . Для конечных скоростей нарастания магнитного поля $(0 < d B d t < ∞) {\displaystyle \scriptstyle {\left(0<{\frac {dB}{dt}}<\infty \right)}}$ $\ scriptstyle {\ left (0 <{\ frac {dB} {dt}} <\ infty \ right)}$ будет конечная вероятность обнаружения системы в любом из двух собственных состояний. См. ниже, чтобы узнать о подходах к вычислению этих вероятностей.

Эти результаты чрезвычайно важны в атомной и молекулярной физике для контроля распределения энергетических состояний в совокупности атомов или молекул.

Доказательство. адиабатической теоремы

Рассмотрим зависящее от времени уравнение Шредингера

я ℏ ∂ ∂ t | ψ (t)⟩ = H ^ (t T) | ψ (t)⟩ {\ displaystyle я \ hbar {\ partial \ over \ partial t} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} ({\ tfrac {t} {T}}) | \ psi (t) \ rangle}

i\hbar {\partial \over \partial t}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}({\tfrac {t}{T}})|\psi (t)\rangle

с гамильтонианом $H ^ (t). {\ Displaystyle {\ hat {H}} (t).}$ ${\hat {H}}(t).$ Мы хотели бы знать связь между начальным состояние $| ψ (0)⟩ {\ displaystyle | \ psi (0) \ rangle}$ $|\psi (0)\rangle$ и его конечное состояние $| ψ (T)⟩ {\ displaystyle | \ psi (T) \ rangle}$ $|\psi (T)\rangle$ в $t = T {\ displaystyle t = T}$ $t=T$ в адиабатическом пределе $T → ∞. {\ displaystyle T \ to \ infty.}$ $T\to \infty.$

Сначала переопределите время как $λ = t T ∈ [0, 1] {\ displaystyle \ lambda = {\ tfrac {t} {T}} \ in [0, 1]}$ ${\ displaystyle \ lambda = {\ tfrac {t} {T}} \ in [0,1]}$ :

i ℏ ∂ ∂ λ | ψ (λ)⟩ = T H ^ (λ) | ψ (λ)⟩. {\ displaystyle i \ hbar {\ partial \ over \ partial \ lambda} | \ psi (\ lambda) \ rangle = T {\ hat {H}} (\ lambda) | \ psi (\ lambda) \ rangle.}

i\hbar {\partial \over \partial \lambda }|\psi (\lambda)\rangle =T{\hat {H}}(\lambda)|\psi (\lambda)\rangle.

В любой момент времени $H ^ (λ) {\ displaystyle {\ hat {H}} (\ lambda)}$ ${\ displaystyle {\ hat {H} } (\ lambda)}$ можно диагонализовать $H ^ (λ) | ψ n (λ)⟩ = E n (λ) | ψ N (λ)⟩ {\ displaystyle {\ hat {H}} (\ lambda) | \ psi _ {n} (\ lambda) \ rangle = E_ {n} (\ lambda) | \ psi _ {n} ( \ lambda) \ rangle}$ ${\hat {H}}(\lambda)|\psi _{n}(\lambda)\rangle =E_{n}(\lambda)|\psi _{n}(\lambda)\rangle$ с собственными значениями $E n {\ displaystyle E_ {n}}$ $E_{n}$ и собственными векторами $| ψ N (λ)⟩ {\ Displaystyle | \ psi _ {n} (\ lambda) \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi _ {n} (\ lambda) \ rangle}$ . Поскольку собственные векторы образуют полный базис в любой момент, мы можем расширить $| ψ (λ)⟩ {\ displaystyle | \ psi (\ lambda) \ rangle}$ $|\psi (\lambda)\rangle$ как:

| ψ (λ)⟩ = ∑ n c n (λ) | ψ N (λ)⟩ еi T θ N (λ) {\ Displaystyle | \ psi (\ lambda) \ rangle = \ sum _ {n} c_ {n} (\ lambda) | \ psi _ {n} (\ lambda) \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n} (\ lambda)}}

|\psi (\lambda)\rangle =\sum _{n}c_{n}(\lambda)|\psi _{n}(\lambda)\rangle e^{iT\theta _{n}(\lambda)}

, где

θ n (t) = - 1 ℏ ∫ 0 λ E n (λ ′) d λ ′. {\ displaystyle \ theta _ {n} (t) = - {\ frac {1} {\ hbar}} \ int \ limits _ {0} ^ {\ lambda} E_ {n} (\ lambda ') d \ lambda '.}

\theta _{n}(t)=-{\frac {1}{\hbar }}\int \limits _{0}^{\lambda }E_{n}(\lambda ')d\lambda '.

Фаза $θ n (t) {\ displaystyle \ theta _ {n} (t)}$ $\theta _{n}(t)$ называется динамическим фазовым коэффициентом. Подстановкой в уравнение Шредингера можно получить другое уравнение для изменения коэффициентов:

i ℏ ∑ n (c ˙ n | ψ n n + cn | ψ ˙ n⟩ + icn | ψ n⟩ T θ ˙ n) ei T θ n = ∑ ncn TE n | ψ n⟩ e я T θ n. {\ displaystyle i \ hbar \ sum _ {n} ({\ dot {c}} _ {n} | \ psi _ {n} \ rangle + c_ {n} | {\ dot {\ psi}} _ {n } \ rangle + ic_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle T {\ dot {\ theta}} _ {n}) e ^ {iT \ theta _ {n}} = \ sum _ {n} c_ {n} TE_ {n} | \ psi _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}}.}

i\hbar \sum _{n}({\dot {c}}_{n}|\psi _{n}\rangle +c_{n}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle +ic_{n}|\psi _{n}\rangle T{\dot {\theta }}_{n})e^{iT\theta _{n}}=\sum _{n}c_{n}TE_{n}|\psi _{n}\rangle e^{iT\theta _{n}}.

Термин $θ ˙ n {\ displaystyle {\ dot {\ theta} } _ {n}}$ ${\dot {\theta }}_{n}$ дает $- E n / ℏ {\ displaystyle -E_ {n} / \ hbar}$ $-E_{n}/\hbar$ , и поэтому третий член левой стороны отменяет с правой стороны, оставляя

∑ nc ˙ n | ψ n⟩ e i T θ n = - ∑ n c n | ψ ˙ n⟩ e i T θ n. {\ displaystyle \ sum _ {n} {\ dot {c}} _ {n} | \ psi _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}} = - \ sum _ {n} c_ { n} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}}.}

{\ displaystyle \ sum _ {n} {\ dot {c}} _ {n} | \ psi _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}} = - \ sum _ {n} c_ {n} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n}}.}

Теперь возьмем скалярное произведение с произвольной собственной функцией $⟨ψ m | {\ displaystyle \ langle \ psi _ {m} |}$ $\langle \psi _{m}|$ , $⟨ψ m | ψ N⟩ {\ displaystyle \ langle \ psi _ {m} | \ psi _ {n} \ rangle}$ $\langle \psi _{m}|\psi _{n}\rangle$ слева дает $δ нм {\ displaystyle \ delta _ {nm}}$ $\delta _{nm}$ , который равен 1 только при m = n и в противном случае равен нулю. Оставшаяся часть дает

c ˙ m = - ∑ n c n ⟨ψ m | ψ ˙ n⟩ e i T (θ n - θ m). {\ displaystyle {\ dot {c}} _ {m} = - \ sum _ {n} c_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} - \ theta _ {m})}.}

{\dot {c}}_{m}=-\sum _{n}c_{n}\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})}.

Для $T → ∞ {\ displaystyle T \ to \ infty}$ $T\to \infty$ $ei T (θ n - θ m) {\ displaystyle e ^ {iT (\ theta _ {n} - \ theta _ {m})}}$ $e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})}$ будет колебаться все быстрее и быстрее и интуитивно в конечном итоге подавит почти все термины на правой стороне. Единственное исключение - это когда $θ n - θ m {\ displaystyle \ theta _ {n} - \ theta _ {m}}$ $\theta _{n}-\theta _{m}$ имеет критическую точку, то есть $E n (λ) Знак равно Е м (λ) {\ Displaystyle E_ {n} (\ lambda) = E_ {m} (\ lambda)}$ $E_{n}(\lambda)=E_{m}(\lambda)$ . Это тривиально верно для $m = n {\ displaystyle m = n}$ $m=n$ . Поскольку адиабатическая теорема предполагает разрыв между собственными энергиями в любое время, это не может выполняться для $m ≠ n {\ displaystyle m \ neq n}$ $m\neq n$ . Следовательно, только член $m = n {\ displaystyle m = n}$ $m=n$ останется в пределах $T → ∞ {\ displaystyle T \ to \ infty}$ $T\to \infty$ .

Чтобы показать для этого более строго нам сначала нужно удалить член $m = n {\ displaystyle m = n}$ $m=n$ . Это можно сделать, задав $d m (λ) = c m (λ) e ∫ 0 λ ⟨ψ m | ψ ˙ m⟩ d λ = c m (λ) e - i γ m (λ). {\ displaystyle d_ {m} (\ lambda) = c_ {m} (\ lambda) e ^ {\ int _ {0} ^ {\ lambda} \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi} } _ {m} \ rangle d \ lambda} = c_ {m} (\ lambda) e ^ {- i \ gamma _ {m} (\ lambda)}.}$ $d_{m}(\lambda)=c_{m}(\lambda)e^{\int _{0}^{\lambda }\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{m}\rangle d\lambda }=c_{m}(\lambda)e^{-i\gamma _{m}(\lambda)}.$

Получаем:

d ˙ m = - ∑ n ≠ mdn ⟨ψ m | ψ ˙ n⟩ e i T (θ n - θ m) - i (γ m - γ n). {\ displaystyle {\ dot {d}} _ {m} = - \ sum _ {n \ neq m} d_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} - \ theta _ {m}) - i (\ gamma _ {m} - \ gamma _ {n})}.}

{\dot {d}}_{m}=-\sum _{n\neq m}d_{n}\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}.

Это уравнение можно интегрировать:

dm (1) - dm (0) = - ∫ 0 1 ∑ n ≠ mdn ⟨ψ m | ψ ˙ n⟩ e i T (θ n - θ m) - i (γ m - γ n) d λ = - ∫ 0 1 ∑ n ≠ m (d n - d n (0)) ⟨ψ m | ψ ˙ n⟩ e i T (θ n - θ m) - i (γ m - γ n) d λ - ∫ 0 λ ∑ n ≠ m d n (0) ⟨ψ m | ψ ˙ N⟩ еi T (θ N - θ м) - я (γ м - γ N) d λ {\ displaystyle {\ begin {align} d_ {m} (1) -d_ {m} (0) = - \ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {n \ neq m} d_ {n} \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ { iT (\ theta _ {n} - \ theta _ {m}) - i (\ gamma _ {m} - \ gamma _ {n})} d \ lambda \\ = - \ int _ {0} ^ { 1} \ sum _ {n \ neq m} (d_ {n} -d_ {n} (0)) \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} - \ theta _ {m}) - i (\ gamma _ {m} - \ gamma _ {n})} d \ lambda - \ int _ {0} ^ {\ lambda} \ sum _ {n \ neq m} d_ {n} (0) \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} - \ theta _ {m}) - i (\ gamma _ {m} - \ gamma _ {n})} d \ lambda \ end {align}}}

{\begin{aligned}d_{m}(1)-d_{m}(0)=-\int _{0}^{1}\sum _{n\neq m}d_{n}\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}d\lambda \\=-\int _{0}^{1}\sum _{n\neq m}(d_{n}-d_{n}(0))\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}d\lambda -\int _{0}^{\lambda }\sum _{n\neq m}d_{n}(0)\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}d\lambda \end{aligned}}

или записано в векторной записи

d → ( 1) - d → (0) = - ∫ 0 1 A ^ (T, λ) (d → (λ) - d → (0)) d λ - α → (T). {\ displaystyle {\ vec {d}} (1) - {\ vec {d}} (0) = - \ int _ {0} ^ {1} {\ hat {A}} (T, \ lambda) ( {\ vec {d}} (\ lambda) - {\ vec {d}} (0)) d \ lambda - {\ vec {\ alpha}} (T).}

{\vec {d}}(1)-{\vec {d}}(0)=-\int _{0}^{1}{\hat {A}}(T,\lambda)({\vec {d}}(\lambda)-{\vec {d}}(0))d\lambda -{\vec {\alpha }}(T).

Здесь $A ^ ( T, λ) {\ displaystyle {\ hat {A}} (T, \ lambda)}$ ${\hat {A}}(T,\lambda)$ - матрица, а

α m (T) = ∫ 0 1 ∑ n ≠ mdn (0) ⟨Ψ м | ψ ˙ N⟩ еi T (θ N - θ м) - я (γ м - γ N) d λ {\ displaystyle \ alpha _ {m} (T) = \ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {n \ neq m} d_ {n} (0) \ langle \ psi _ {m} | {\ dot {\ psi}} _ {n} \ rangle e ^ {iT (\ theta _ {n} - \ theta _ {m}) - i (\ gamma _ {m} - \ gamma _ {n})} d \ lambda}

\alpha _{m}(T)=\int _{0}^{1}\sum _{n\neq m}d_{n}(0)\langle \psi _{m}|{\dot {\psi }}_{n}\rangle e^{iT(\theta _{n}-\theta _{m})-i(\gamma _{m}-\gamma _{n})}d\lambda

- это в основном преобразование Фурье.

Это следует из Римана -Лемма Лебега, согласно которой $α → (T) → 0 {\ displaystyle {\ vec {\ alpha}} (T) \ to 0}$ ${\vec {\alpha }}(T)\to 0$ as $T → ∞ {\ displaystyle T \ to \ infty}$ $T\to \infty$ . В качестве последнего шага возьмем норму с обеих сторон приведенного выше уравнения:

‖ d → (1) - d → (0) ‖ ≤ ‖ α → (T) ‖ + ∫ 0 1 ‖ A ^ (T, λ) ‖ ‖ D → (λ) - d → (0) ‖ d λ {\ displaystyle \ Vert {\ vec {d}} (1) - {\ vec {d}} (0) \ Vert \ leq \ Vert {\ vec {\ alpha}} (T) \ Vert + \ int _ {0} ^ {1} \ Vert {\ hat {A}} (T, \ lambda) \ Vert \ Vert {\ vec {d}} (\ лямбда) - {\ vec {d}} (0) \ Vert d \ lambda}

\Vert {\vec {d}}(1)-{\vec {d}}(0)\Vert \leq \Vert {\vec {\alpha }}(T)\Vert +\int _{0}^{1}\Vert {\hat {A}}(T,\lambda)\Vert \Vert {\vec {d}}(\lambda)-{\vec {d}}(0)\Vert d\lambda

и примените неравенство Гренвалла, чтобы получить

‖ d → (1) - d → (0) ‖ ≤ ‖ α → (T) ‖ e ∫ 0 1 ‖ A ^ (T, λ) ‖ d λ. {\ displaystyle \ Vert {\ vec {d}} (1) - {\ vec {d}} (0) \ Vert \ leq \ Vert {\ vec {\ alpha}} (T) \ Vert e ^ {\ int _ {0} ^ {1} \ Vert {\ hat {A}} (T, \ lambda) \ Vert d \ lambda}.}

\Vert {\vec {d}}(1)-{\vec {d}}(0)\Vert \leq \Vert {\vec {\alpha }}(T)\Vert e^{\int _{0}^{1}\Vert {\hat {A}}(T,\lambda)\Vert d\lambda }.

Поскольку $α → (T) → 0 {\ displaystyle {\ vec {\ alpha}} (T) \ к 0}$ ${\vec {\alpha }}(T)\to 0$ следует $‖ d → (1) - d → (0) ‖ → 0 {\ displaystyle \ Vert {\ vec {d} } (1) - {\ vec {d}} (0) \ Vert \ to 0}$ $\Vert {\vec {d}}(1)-{\vec {d}}(0)\Vert \to 0$ для $T → ∞ {\ displaystyle T \ to \ infty}$ $T\to \infty$ . Это завершает доказательство адиабатической теоремы.

. В адиабатическом пределе собственные состояния гамильтониана развиваются независимо друг от друга. Если система подготовлена в собственном состоянии $| ψ (0)⟩ = | ψ N (0)⟩ {\ displaystyle | \ psi (0) \ rangle = | \ psi _ {n} (0) \ rangle}$ $|\psi (0)\rangle =|\psi _{n}(0)\rangle$ его эволюция во времени определяется как:

| ψ (λ)⟩ = | ψ n (λ)⟩ e i T θ n (λ) e i γ n (λ). {\ displaystyle | \ psi (\ lambda) \ rangle = | \ psi _ {n} (\ lambda) \ rangle e ^ {iT \ theta _ {n} (\ lambda)} e ^ {i \ gamma _ {n } (\ lambda)}.}

|\psi (\lambda)\rangle =|\psi _{n}(\lambda)\rangle e^{iT\theta _{n}(\lambda)}e^{i\gamma _{n}(\lambda)}.

Итак, для адиабатического процесса система, начинающаяся с n-го собственного состояния, также остается в этом n-м собственном состоянии, как и для не зависящих от времени процессов, только собирая пару фазовых факторов. Новый фазовый множитель $γ n (t) {\ displaystyle \ gamma _ {n} (t)}$ $\gamma _{n}(t)$ может быть отменен соответствующим выбором калибровки для собственных функций. Однако, если адиабатическая эволюция является циклической, тогда $γ n (t) {\ displaystyle \ gamma _ {n} (t)}$ $\gamma _{n}(t)$ становится калибровочно-инвариантной физической величиной., известная как фаза Берри.

Определение условий диабатического и адиабатического прохождения

Теперь мы проведем более строгий анализ. Используя нотацию бюстгальтера, можно записать вектор состояния системы в момент времени $t {\ displaystyle \ scriptstyle {t}}$ $\ scriptstyle {t}$

| ψ (t)⟩ = ∑ n c n A (t) e - i E n t / ℏ | ϕ N⟩ {\ Displaystyle | \ psi (t) \ rangle = \ sum _ {n} c_ {n} ^ {A} (t) e ^ {- iE_ {n} t / \ hbar} | \ phi _ { n} \ rangle}

|\psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}^{A}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|\phi _{n}\rangle

где пространственная волновая функция, о которой говорилось ранее, является проекцией вектора состояния на собственные состояния оператора положения

ψ (x, t) = ⟨x | ψ (t)⟩ {\ displaystyle \ psi (x, t) = \ langle x | \ psi (t) \ rangle}

\psi (x,t)=\langle x|\psi (t)\rangle

Поучительно изучить предельные случаи, когда $τ {\ displaystyle \ стиль сценария {\ tau}}$ $\scriptstyle {\tau }$ очень большой (адиабатический или постепенное изменение) и очень маленький (диабатический или внезапное изменение).

Рассмотрим гамильтониан системы, непрерывно изменяющийся от начального значения $H ^ 0 {\ displaystyle \ scriptstyle {{\ hat {H}} _ {0}}}$ $\ scriptstyle {{\ hat {H}} _ {0}}$ , при время $t 0 {\ displaystyle \ scriptstyle {t_ {0}}}$ $\scriptstyle {t_{0}}$ до окончательного значения $H ^ 1 {\ displaystyle \ scriptstyle {{\ hat {H}} _ { 1}}}$ $\scriptstyle {{\hat {H}}_{1}}$ в момент времени $t 1 {\ displaystyle \ scriptstyle {t_ {1}}}$ $\scriptstyle {t_{1}}$ , где $τ = t 1 - t 0 {\ displaystyle \ scriptstyle {\ tau = t_ {1} -t_ {0}}}$ $\scriptstyle {\tau =t_{1}-t_{0}}$ . Эволюция системы может быть описана на картинке Шредингера с помощью оператора временной эволюции, определяемого интегральным уравнением

U ^ (t, t 0) = 1 - i ℏ ∫ t 0 t ЧАС ^ (t ') U ^ (t', t 0) dt '{\ displaystyle {\ hat {U}} (t, t_ {0}) = 1 - {\ frac {i} {\ hbar }} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} {\ hat {H}} (t ^ {\ prime}) {\ hat {U}} (t ^ {\ prime}, t_ {0}) dt ^ {\ prime}}

{\hat {U}}(t,t_{0})=1-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(t^{\prime }){\hat {U}}(t^{\prime },t_{0})dt^{\prime }

, что эквивалентно уравнению Шредингера.

i ℏ ∂ ∂ t U ^ (t, t 0) = H ^ (t) U ^ (t, t 0) {\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ hat {U}} (t, t_ {0}) = {\ hat {H}} (t) {\ hat {U }} (t, t_ {0})}

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {U}}(t,t_{0})={\hat {H}}(t){\hat {U}}(t,t_{0})

вместе с начальным условием $U ^ (t 0, t 0) = 1 {\ displaystyle \ scriptstyle {{\ hat {U}} (t_ {0 }, t_ {0}) = 1}}$ $\scriptstyle {{\hat {U}}(t_{0},t_{0})=1}$ . Учитывая знание системы волновой функции в $t 0 {\ displaystyle \ scriptstyle {t_ {0}}}$ $\scriptstyle {t_{0}}$ , эволюция системы до более позднего времени $t {\ displaystyle \ scriptstyle {t}}$ $\ scriptstyle {t}$ можно получить с помощью

| ψ (t)⟩ = U ^ (t, t 0) | ψ (t 0)⟩. {\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {U}} (t, t_ {0}) | \ psi (t_ {0}) \ rangle.}

|\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle.

Задача определения адиабатичности данный процесс эквивалентен установлению зависимости $U ^ (t 1, t 0) {\ displaystyle \ scriptstyle {{\ hat {U}} (t_ {1}, t_ {0})}}$ $\scriptstyle {{\hat {U}}(t_{1},t_{0})}$ на $τ {\ displaystyle \ scriptstyle {\ tau}}$ $\scriptstyle {\tau }$ .

Чтобы определить достоверность адиабатического приближения для данного процесса, можно вычислить вероятность нахождения системы в состоянии, отличном от этого. в котором это началось. Используя бюстгальтерную нотацию и используя определение $| 0⟩ ≡ | ψ (t 0)⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle {| 0 \ rangle \ Equiv | \ psi (t_ {0}) \ rangle}}$ $\scriptstyle {|0\rangle \equiv |\psi (t_{0})\rangle }$ , мы имеем:

ζ = ⟨0 | U ^ † (t 1, t 0) U ^ (t 1, t 0) | 0⟩ - ⟨0 | U ^ † (t 1, t 0) | 0⟩ ⟨0 | U ^ (t 1, t 0) | 0⟩ {\ displaystyle \ zeta = \ langle 0 | {\ hat {U}} ^ {\ dagger} (t_ {1}, t_ {0}) {\ hat {U}} (t_ {1}, t_ { 0}) | 0 \ rangle - \ langle 0 | {\ hat {U}} ^ {\ dagger} (t_ {1}, t_ {0}) | 0 \ rangle \ langle 0 | {\ hat {U}} (t_ {1}, t_ {0}) | 0 \ rangle}

\zeta =\langle 0|{\hat {U}}^{\dagger }(t_{1},t_{0}){\hat {U}}(t_{1},t_{0})|0\rangle -\langle 0|{\hat {U}}^{\dagger }(t_{1},t_{0})|0\rangle \langle 0|{\hat {U}}(t_{1},t_{0})|0\rangle

Мы можем расширить $U ^ (t 1, t 0) {\ displaystyle \ scriptstyle {{\ hat {U}} (t_ { 1}, t_ {0})}}$ $\scriptstyle {{\hat {U}}(t_{1},t_{0})}$

U ^ (t 1, t 0) = 1 + 1 i ℏ ∫ t 0 t 1 H ^ (t) dt + 1 (i ℏ) 2 ∫ t 0 t 1 dt ′ ∫ t 0 t ′ dt ′ ′ H ^ (t ′) H ^ (t ′ ′) +… {\ displaystyle {\ hat {U}} (t_ {1}, t_ {0}) = 1+ {1 \ over i \ hbar} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} {\ hat {H}} (t) dt + {1 \ over (i \ hbar) ^ {2}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} dt ^ {\ prime} \ int _ {t_ {0}} ^ {t ^ {\ prime}} dt ^ {\ prime \ prime} {\ hat {H}} (t ^ {\ prime}) {\ hat {H}} (t ^ {\ prime \ prime}) + \ ldots}

{\hat {U}}(t_{1},t_{0})=1+{1 \over i\hbar }\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\hat {H}}(t)dt+{1 \over (i\hbar)^{2}}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt^{\prime }\int _{t_{0}}^{t^{\prime }}dt^{\prime \prime }{\hat {H}}(t^{\prime }){\hat {H}}(t^{\prime \prime })+\ldots

В пертурбативном пределе мы можем взять просто первые два члена и подставляем их в наше уравнение для $ζ {\ displaystyle \ scriptstyle {\ zeta}}$ $\scriptstyle {\zeta }$ , учитывая, что

1 τ ∫ t 0 t 1 H ^ (t) dt ≡ ЧАС ¯ {\ Displaystyle {1 \ над \ тау} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} {\ hat {H}} (т) dt \ equi v {\ bar {H}}}

{1 \over \tau }\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\hat {H}}(t)dt\equiv {\bar {H}}

- гамильтониан системы, усредненный по интервалу $t 0 → t 1 {\ displaystyle \ scriptstyle {t_ {0} \ rightarrow t_ {1}}}$ $\ scriptstyle {t_ {0} \ rightarrow t_ {1}}$ , имеем:

ζ = ⟨0 | (1 + i ℏ τ H ¯) (1 - i ℏ τ H ¯) | 0⟩ - ⟨0 | (1 + i ℏ τ H ¯) | 0⟩ ⟨0 | (1 - i ℏ τ H ¯) | 0⟩ {\ displaystyle \ zeta = \ langle 0 | (1 + {\ frac {i} {\ hbar}} \ tau {\ bar {H}}) (1- {i \ over \ hbar} \ tau {\ bar {H}}) | 0 \ rangle - \ langle 0 | (1+ {i \ over \ hbar} \ tau {\ bar {H}}) | 0 \ rangle \ langle 0 | (1- {i \ over \ hbar} \ tau {\ bar {H}}) | 0 \ rangle}

\zeta =\langle 0|(1+{\frac {i}{\hbar }}\tau {\bar {H}})(1-{i \over \hbar }\tau {\bar {H}})|0\rangle -\langle 0|(1+{i \over \hbar }\tau {\bar {H}})|0\rangle \langle 0|(1-{i \over \hbar }\tau {\bar {H}})|0\rangle

После расширения продуктов и соответствующих отмен, у нас остается:

ζ = τ 2 ℏ 2 (⟨0 | H ¯ 2 | 0⟩ - ⟨0 | H ¯ | 0⟩ ⟨0 | H ¯ | 0⟩) ​​{\ displaystyle \ zeta = {\ frac {\ tau ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ left (\ langle 0 | {\ bar {H}} ^ {2} | 0 \ rangle - \ langle 0 | {\ bar {H}} | 0 \ rangle \ langle 0 | {\ bar {H}} | 0 \ rangle \ right)}

\zeta ={\frac {\tau ^{2}}{\hbar ^{2}}}\left(\langle 0|{\bar {H}}^{2}|0\rangle -\langle 0|{\bar {H}}|0\rangle \langle 0|{\bar {H}}|0\rangle \right)

, что дает

ζ = τ 2 Δ H ¯ 2 ℏ 2 {\ displaystyle \ zeta = {\ frac {\ tau ^ {2} \ Delta {\ bar {H}} ^ { 2}} {\ hbar ^ {2}}}}

\zeta ={\frac {\tau ^{2}\Delta {\bar {H}}^{2}}{\hbar ^{2}}}

где $Δ H ¯ {\ displaystyle \ scriptstyle {\ Delta {\ bar {H}}}}$ $\ scriptstyle {\ Delta {\ bar {H}}}$ - среднеквадратичное отклонение гамильтониана системы, усредненное по интересующему интервалу.

Внезапное приближение допустимо, когда $ζ ≪ 1 {\ displaystyle \ scriptstyle {\ zeta \ ll 1}}$ $\scriptstyle {\zeta \ll 1}$ (вероятность обнаружения системы в состоянии, отличном от указанного в котором запущено приближается к нулю), таким образом, условие достоверности задается как

τ ≪ ℏ Δ H ¯ {\ displaystyle \ tau \ ll {\ hbar \ over \ Delta {\ bar {H}}}}

\tau \ll {\hbar \over \Delta {\bar {H}}}

который является утверждением формы времени-энергии принципа неопределенности Гейзенберга.

Диабатический переход

В пределе $τ → 0 {\ displaystyle \ scriptstyle {\ tau \ rightarrow 0} }$ $\scriptstyle {\tau \rightarrow 0}$ у нас есть бесконечно быстрый или диабатический переход:

lim τ → 0 U ^ (t 1, t 0) = 1 {\ displaystyle \ lim _ {\ tau \ rightarrow 0} {\ hat {U}} (t_ {1}, t_ {0}) = 1}

\lim _{\tau \rightarrow 0}{\hat {U}}(t_{1},t_{0})=1

Функциональная форма системы остается неизменной:

| ⟨X | ψ (t 1)⟩ | 2 = | ⟨X | ψ (t 0)⟩ | 2 {\ displaystyle | \ langle x | \ psi (t_ {1}) \ rangle | ^ {2} = | \ langle x | \ psi (t_ {0}) \ rangle | ^ {2} \ quad}

| \ langle x | \ psi (t_ {1}) \ rangle | ^ {2} = | \ langle x | \ psi (t_ {0}) \ rangle | ^ {2} \ quad

Это иногда называют внезапным приближением. Достоверность приближения для данного процесса может быть охарактеризована вероятностью того, что состояние системы останется неизменным:

PD = 1 - ζ {\ displaystyle P_ {D} = 1- \ zeta \ quad}

P_{D}=1-\zeta \quad

Адиабатический переход

В пределе $τ → ∞ {\ displaystyle \ scriptstyle {\ tau \ rightarrow \ infty}}$ $\scriptstyle {\tau \rightarrow \infty }$ у нас есть бесконечно медленный или адиабатический переход. Система развивается, адаптируя свою форму к меняющимся условиям,

| ⟨X | ψ (t 1)⟩ | 2 ≠ | ⟨X | ψ (t 0)⟩ | 2 {\ displaystyle | \ langle x | \ psi (t_ {1}) \ rangle | ^ {2} \ neq | \ langle x | \ psi (t_ {0}) \ rangle | ^ {2}}

| \ langle x | \ psi (t_ {1}) \ rangle | ^ {2} \ neq | \ langle x | \ psi (t_ {0}) \ rangle | ^ {2}

Если система изначально находится в собственном состоянии из $H ^ (t 0) {\ displaystyle \ scriptstyle {{\ hat {H}} (t_ {0})}}$ $\scriptstyle {{\hat {H}}(t_{0})}$ , после периода $τ {\ displaystyle \ scriptstyle {\ tau}}$ $\scriptstyle {\tau }$ он перейдет в соответствующее собственное состояние $H ^ (t 1) {\ displaystyle \ scriptstyle {{ \ hat {H}} (t_ {1})}}$ $\scriptstyle {{\hat {H}}(t_{1})}$ .

Это называется адиабатическим приближением. Достоверность аппроксимации для данного процесса можно определить по вероятности того, что конечное состояние системы отличается от начального состояния:

PA = ζ {\ displaystyle P_ {A} = \ zeta \ quad}

P_{A}=\zeta \quad

Расчет вероятностей адиабатического перехода

Формула Ландау – Зинера

В 1932 году аналитическое решение задачи вычисления вероятностей адиабатического перехода было опубликовано отдельно Львом Ландау и Кларенс Зинер, для частного случая линейно изменяющегося возмущения, в котором изменяющаяся во времени составляющая не связывает соответствующие состояния (следовательно, связь в диабатической матрице гамильтониана не зависит от времени).

Ключевым показателем этого подхода является скорость Ландау – Зинера:

v LZ = ∂ ∂ t | E 2 - E 1 | ∂ ∂ q | E 2 - E 1 | ≈ d q d T {\ displaystyle v _ {\ text {LZ}} = {{\ frac {\ partial} {\ partial t}} | E_ {2} -E_ {1} | \ over {\ frac {\ partial} {\ partial q}} | E_ {2} -E_ {1} |} \ приблизительно {\ frac {dq} {dt}}}

v_{\text{LZ}}={{\frac {\partial }{\partial t}}|E_{2}-E_{1}| \over {\frac {\partial }{\partial q}}|E_{2}-E_{1}|}\approx {\frac {dq}{dt}}

где $q {\ displaystyle q}$ $q$ - переменная возмущения (электрическое или магнитное поле, длина молекулярной связи или любое другое возмущение в системе), и $E 1 {\ displaystyle E_ {1}}$ $E_ {1}$ и $E 2 {\ displaystyle E_ {2}}$ $E_{2}$ - энергии двух диабатических (пересекающихся) состояний. Большой $v LZ {\ displaystyle v _ {\ text {LZ}}}$ $v_{\text{LZ}}$ приводит к большой вероятности диабатического перехода и наоборот.

Используя формулу Ландау – Зинера, вероятность, $PD {\ displaystyle P _ {\ rm {D}}}$ $P_{\rm {D}}$ , диабатического перехода определяется как

PD = e - 2 π Γ Γ = a 2 / ℏ | ∂ ∂ t (E 2 - E 1) | = a 2 / ℏ | d q d t ∂ ∂ q (E 2 - E 1) | = a 2 ℏ | α | {\ displaystyle {\ begin {align} P _ {\ rm {D}} = e ^ {- 2 \ pi \ Gamma} \\\ Gamma = {a ^ {2} / \ hbar \ over \ left | { \ frac {\ partial} {\ partial t}} (E_ {2} -E_ {1}) \ right |} = {a ^ {2} / \ hbar \ over \ left | {\ frac {dq} {dt }} {\ frac {\ partial} {\ partial q}} (E_ {2} -E_ {1}) \ right |} \\ = {a ^ {2} \ over \ hbar | \ alpha |} \ \\ end {align}}}

{\begin{aligned}P_{\rm {D}}=e^{-2\pi \Gamma }\\\Gamma ={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {\partial }{\partial t}}(E_{2}-E_{1})\right|}={a^{2}/\hbar \over \left|{\frac {dq}{dt}}{\frac {\partial }{\partial q}}(E_{2}-E_{1})\right|}\\={a^{2} \over \hbar |\alpha |}\\\end{aligned}}

Численный подход

Для перехода, включающего нелинейное изменение переменной возмущения или зависящую от времени связь между диабатическими состояниями, уравнения движения для динамики системы не могут быть решено аналитически. Вероятность диабатического перехода по-прежнему может быть получена с использованием одного из множества алгоритмов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Уравнения, которые необходимо решить, могут быть получены из нестационарного уравнения Шредингера:

i ℏ c _ ˙ A (T) знак равно HA (T) с _ A (T) {\ Displaystyle I \ hbar {\ dot {\ underline {c}}} ^ {A} (t) = \ mathbf {H} _ {A } (t) {\ underline {c}} ^ {A} (t)}

i\hbar {\dot {\underline {c}}}^{A}(t)=\mathbf {H} _{A}(t){\underline {c}}^{A}(t)

где $c _ A (t) {\ displaystyle {\ underline {c}} ^ {A} (t)}$ ${\ displaystyle {\ underline {c}} ^ {A} (t)}$ - это вектор, содержащий амплитуды адиабатических состояний, $HA (t) {\ displaystyle \ mathbf {H} _ {A} (t)}$ $\mathbf {H} _{A}(t)$ - адиабатический гамильтониан, зависящий от времени, а точка представляет собой производную по времени.

Сравнение используемых начальных условий со значениями амплитуд состояний после перехода может дать вероятность диабатического перехода. В частности, для системы с двумя состояниями:

P D = | c 2 A (t 1) | 2 {\ displaystyle P_ {D} = | c_ {2} ^ {A} (t_ {1}) | ^ {2}}

P_{D}=|c_{2}^{A}(t_{1})|^{2}

для системы, которая началась с $| c 1 A (t 0) | 2 = 1 {\ displaystyle | c_ {1} ^ {A} (t_ {0}) | ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle | c_ {1} ^ {A} (t_ {0}) | ^ {2} = 1}$ .