карта Гаусса

редактировать

Карта Гаусса обеспечивает отображение каждой точки на кривой или поверхности в соответствующую точку на единичной сфере

В дифференциальной геометрии, Карта Гаусса (названная в честь Карла Ф. Гаусса ) отображает поверхность в евклидовом пространстве Rна единичную сферу S. А именно, для данной поверхности X, лежащей в R, отображение Гаусса является непрерывным отображением N: X → S, такое что N (p) является единичным вектором, ортогональным X в точке p, а именно вектор нормали к X на стр.

Карта Гаусса может быть определена (глобально) тогда и только тогда, когда поверхность ориентируема, и в этом случае ее градус составляет половину эйлеровой характеристики. Карта Гаусса всегда может быть определена локально (то есть на небольшом участке поверхности). Детерминант якобиана карты Гаусса равен гауссовой кривизне, а дифференциал карты Гаусса называется оператором формы.

Гаусса. впервые написал черновик по этой теме в 1825 году и опубликовал в 1827 году.

Существует также карта Гаусса для ссылки, которая вычисляет номер связи.

Содержание

1 Обобщения
2 Полная кривизна
3 Куспиды карты Гаусса
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Обобщения

Карта Гаусса может быть определена для гиперповерхностей в R как отображение гиперповерхности на единичную сферу S ⊆ R.

Для общего ориентированного k- подмногообразия в R отображение Гаусса может также должно быть определено, и его целевым пространством является ориентированное грассманиан $G ~ k, n {\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {k, n}}$ ${\ tilde {G} } _ {{k, n}}$ , т.е. набор всех ориентированных k-плоскостей в R . В этом случае точка на подмногообразии отображается в его ориентированное касательное подпространство. Можно также отобразить в его ориентированное нормальное подпространство; они эквивалентны как $G ~ k, n ≅ G ~ n - k, n {\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {k, n} \ cong {\ tilde {G}} _ {nk, n }}$ ${\ tilde {G}} _ {{k, n}} \ cong {\ tilde {G}} _ {{nk, n}}$ через ортогональное дополнение. В евклидовом 3-пространстве это означает, что ориентированная 2-плоскость характеризуется ориентированной 1-линией, что эквивалентно единичному вектору нормали (как $G ~ 1, n ≅ S n - 1 { \ displaystyle {\ tilde {G}} _ {1, n} \ cong S ^ {n-1}}$ ${\ tilde {G}} _ {{1, n}} \ cong S ^ {{n-1}}$ ), следовательно, это согласуется с определением выше.

Наконец, понятие отображения Гаусса можно обобщить на ориентированное подмногообразие X размерности k в ориентированном объемлющем римановом многообразии M размерности n. В этом случае отображение Гаусса переходит от X к множеству касательных k-плоскостей в касательном расслоении TM. Целевое пространство для отображения Гаусса N - это расслоение Грассмана, построенное на касательном расслоении TM. В случае, когда $M = R n {\ displaystyle M = \ mathbf {R} ^ {n}}$ $M = { \ mathbf {R}} ^ {n}$ , касательное расслоение становится тривиальным (так что расслоение Грассмана становится отображением в грассманиан), и мы восстанавливаем предыдущее определение.

Общая кривизна

Площадь изображения карты Гаусса называется общей кривизной и эквивалентна интегралу поверхности элемента Гауссова кривизна. Это оригинальная интерпретация, данная Гауссом. Теорема Гаусса – Бонне связывает полную кривизну поверхности с ее топологическими свойствами.

∬ R ± | N u × N v | d u d v = ∬ R K | X u × X v | dudv = ∬ SK d A {\ displaystyle \ iint _ {R} \ pm | N_ {u} \ times N_ {v} | \ du \, dv = \ iint _ {R} K | X_ {u} \ times X_ {v} | \ du \, dv = \ iint _ {S} K \ dA}

{\ displaystyle \ iint _ {R} \ pm | N_ {u} \ times N_ {v} | \ du \, dv = \ iint _ {R} K | X_ {u} \ times X_ {v } | \ du \, dv = \ iint _ {S} K \ dA}

Куспиды отображения Гаусса

Поверхность с параболической линией и ее отображение Гаусса. Гребень проходит через параболическую линию, образуя куспид на карте Гаусса.

Карта Гаусса отражает многие свойства поверхности: когда поверхность имеет нулевую гауссову кривизну (то есть вдоль параболической линии ) карта Гаусса будет иметь кратную катастрофу. Эта складка может содержать бугры, и эти бугорки были подробно изучены Томасом Банчоффом, Теренсом Гаффни и. И параболические линии, и куспид - устойчивые явления, которые остаются при небольших деформациях поверхности. Изгибы возникают, когда:

Поверхность имеет двухканальную плоскость
A гребень пересекает параболическую линию
в точке замыкания множества точек перегиба асимптотических кривых поверхности.

Есть два типа каспа: эллиптический касп и гиперболический касп.

Ссылки

Гаусс, К. Ф., Disquisitiones generales около superficies curvas (1827)
Гаусс, К. Ф., Общие исследования искривленных поверхностей, английский перевод. Hewlett, New York: Raven Press (1965).
Banchoff, T., Gaffney T., McCrory C., Cusps of the Gauss Map, (1982) Research Notes in Mathematics 55, Pitman, London. онлайн-версия
Кендеринк, Дж. Дж., Solid Shape, MIT Press (1990)

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик У. «Карта Гаусса». MathWorld.
Томас Банчофф; Теренс Гаффни; Клинт МакКрори; Даниэль Драйбелбис (1982). Куспиды отображений Гаусса. Исследования по математике. 55 . Лондон: Pitman Publisher Ltd. ISBN 0-273-08536-0. Проверено 4 марта 2016 г.