В топологии , градус непрерывного отображения между двумя компактными ориентированными коллекторами одного и того же измерение - это число, которое представляет, сколько раз коллектор домена оборачивается вокруг коллектора диапазона при отображении. Степень всегда является целым числом, но может быть положительным или отрицательным в зависимости от ориентации.
Степень карты была впервые определена Брауэром, который показал, что степень является гомотопически инвариантной (инвариантной среди гомотопий), и использовал его для доказательства теоремы Брауэра о неподвижной точке. В современной математике степень отображения играет важную роль в топологии и геометрии. В физике степень непрерывной карты (например, карта из пространства в некоторый набор параметров порядка) является одним из примеров топологического квантового числа.
Самый простой и самый простой важным случаем является степень непрерывной карты из -сферы самому себе (в случае , это называется числом витка ):
Пусть будет непрерывной картой. Тогда индуцирует гомоморфизм , где - это th группа гомологии. Учитывая тот факт, что , мы видим что должно иметь форму для некоторого фиксированного . Этот затем называется степенью .
Пусть X и Y - замкнутые соединенные ориентированные m-мерные многообразия. Ориентируемость многообразия означает, что его верхняя группа гомологий изоморфна Z . Выбор ориентации означает выбор генератора топ-группы гомологий.
Непрерывное отображение f: X → Y индуцирует гомоморфизм f * из H m (X) в H m (Y). Пусть [X], соотв. [Y] - выбранный образующий H m (X), соответственно. H m (Y) (или фундаментальный класс X, Y). Тогда степень функции f определяется как f * ([X]). Другими словами,
Если y в Y и f (y) - конечное множество, степень f может быть вычислена с помощью рассматривая m-ю локальную группу гомологий X в каждой точке f (y).
На языке дифференциальной топологии степень гладкого отображения может быть определена следующим образом: если f - гладкое отображение, область определения которого является компактным многообразием, а p - обычное значение функции f, рассмотрим конечное множество
Поскольку p является обычным значением, в В окрестности каждого x i отображение f является локальным диффеоморфизмом (это покрывающее отображение ). Диффеоморфизмы могут быть как сохраняющими ориентацию, так и меняющими ориентацию. Пусть r будет количеством точек x i, в которых f сохраняет ориентацию, а s будет числом, в котором f меняет ориентацию. Когда область определения f связана, число r - s не зависит от выбора p (хотя n - нет!), И каждый определяет степень f как r - s. Это определение совпадает с приведенным выше алгебраическим топологическим определением.
То же определение работает для компактных многообразий с границей, но тогда f должен направить границу X к границе Y.
Также можно определить степень по модулю 2 (deg 2 (f)) так же, как и раньше, но беря фундаментальный класс в гомологии Z2. В этом случае deg 2 (f) является элементом Z2(поле с двумя элементами ), многообразия не обязательно должны быть ориентируемыми, и если n - количество прообразов p как и раньше, тогда deg 2 (f) равно n по модулю 2.
Интегрирование дифференциальных форм дает спаривание между (C-) сингулярными гомологиями и когомологии де Рама : , где - класс гомологии, представленный циклом и замкнутая форма, представляющая класс когомологий де Рама. Для гладкого отображения f: X → Y между ориентируемыми m-многообразиями выполняется
где f * и f * индуцируются карты на цепях и формах соответственно. Так как f * [X] = deg f · [Y], мы имеем
для любой m-формы ω на Y.
Если - это ограниченная область, smooth, a обычное значение из и , затем степень определяется формулой
где - это Матрица Якоби из в . Это определение степени можно естественным образом расширить для нерегулярных значений таких, что где - точка, близкая к .
Степень удовлетворяет следующим свойствам:
Эти свойства однозначно характеризуют степень, и степень может быть определена ими аксиоматическим образом.
Подобным образом мы могли бы определить степень отображения между компактными ориентированными многообразиями с границей.
Степень отображения - это гомотопия инвариант; более того, для непрерывных отображений из сферы в себя это полный гомотопический инвариант, т.е. два отображения гомотопны тогда и только тогда, когда .
Другими словами, степень - это изоморфизм между и .
Более того, теорема Хопфа утверждает, что для любого -мерное замкнутое ориентированное многообразие M, две карты гомотопны тогда и только тогда, когда
Самокарта n-сферы можно расширить до карты от n-шара к n-сфере тогда и только тогда, когда . (Здесь функция F расширяет f в том смысле, что f является ограничением F до .)
Существует алгоритм для вычисления топологической степени deg (f, B, 0) непрерывной функции f из n-мерного прямоугольника B (произведение n интервалов) в , где f задано в виде арифметических выражений. Реализация алгоритма доступна в TopDeg - программном средстве для вычисления степени (LGPL-3).