Степень непрерывного отображения

редактировать
Карта второго уровня сферы на себя.

В топологии , градус непрерывного отображения между двумя компактными ориентированными коллекторами одного и того же измерение - это число, которое представляет, сколько раз коллектор домена оборачивается вокруг коллектора диапазона при отображении. Степень всегда является целым числом, но может быть положительным или отрицательным в зависимости от ориентации.

Степень карты была впервые определена Брауэром, который показал, что степень является гомотопически инвариантной (инвариантной среди гомотопий), и использовал его для доказательства теоремы Брауэра о неподвижной точке. В современной математике степень отображения играет важную роль в топологии и геометрии. В физике степень непрерывной карты (например, карта из пространства в некоторый набор параметров порядка) является одним из примеров топологического квантового числа.

Содержание

  • 1 Определения степень
    • 1.1 От S к S
    • 1.2 Между многообразиями
      • 1.2.1 Алгебраическая топология
      • 1.2.2 Дифференциальная топология
    • 1.3 Карты из замкнутой области
  • 2 Свойства
  • 3 Расчет степень
  • 4 См. также
  • 5 Примечания
  • 6 Ссылки
  • 7 Внешние ссылки

Определения степени

От S до S

Самый простой и самый простой важным случаем является степень непрерывной карты из n {\ displaystyle n}n -сферы S n {\ displaystyle S ^ {n}}S ^ {n} самому себе (в случае n = 1 {\ displaystyle n = 1}n=1, это называется числом витка ):

Пусть f: S n → S n {\ displaystyle f \ двоеточие S ^ {n} \ to S ^ {n}}е \ двоеточие S ^ {n} \ к S ^ {n} будет непрерывной картой. Тогда f {\ displaystyle f}f индуцирует гомоморфизм f ∗: H n (S n) → H n (S n) {\ displaystyle f _ {*} \ двоеточие H_ {n } \ left (S ^ {n} \ right) \ к H_ {n} \ left (S ^ {n} \ right)}f _ {*} \ двоеточие H_ {n} \ left (S ^ {n} \ right) \ в H_ {n} \ left (S ^ {n} \ right) , где H n (⋅) {\ displaystyle H_ {n} \ left (\ cdot \ right)}H_ {n} \ left (\ cdot \ right) - это n {\ displaystyle n}n th группа гомологии. Учитывая тот факт, что ЧАС N (S n) ≅ Z {\ displaystyle H_ {n} \ left (S ^ {n} \ right) \ cong \ mathbb {Z}}H_ { n} \ left (S ^ {n} \ right) \ cong {\ mathbb {Z}} , мы видим что f ∗ {\ displaystyle f _ {*}}f _ {*} должно иметь форму f ∗: x ↦ α x {\ displaystyle f _ {*} \ двоеточие x \ mapsto \ alpha x }f _ {*} \ двоеточие x \ mapsto \ alpha x для некоторого фиксированного α ∈ Z {\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {Z}}\ alpha \ in {\ mathbb {Z}} . Этот α {\ displaystyle \ alpha}\ альфа затем называется степенью f {\ displaystyle f}f .

Между многообразиями

Алгебраическая топология

Пусть X и Y - замкнутые соединенные ориентированные m-мерные многообразия. Ориентируемость многообразия означает, что его верхняя группа гомологий изоморфна Z . Выбор ориентации означает выбор генератора топ-группы гомологий.

Непрерывное отображение f: X → Y индуцирует гомоморфизм f * из H m (X) в H m (Y). Пусть [X], соотв. [Y] - выбранный образующий H m (X), соответственно. H m (Y) (или фундаментальный класс X, Y). Тогда степень функции f определяется как f * ([X]). Другими словами,

f ∗ ([X]) = deg ⁡ (f) [Y]. {\ displaystyle f _ {*} ([X]) = \ deg (f) [Y] \,.}f _ {*} ([X]) = \ deg (f) [Y] \,.

Если y в Y и f (y) - конечное множество, степень f может быть вычислена с помощью рассматривая m-ю локальную группу гомологий X в каждой точке f (y).

Дифференциальная топология

На языке дифференциальной топологии степень гладкого отображения может быть определена следующим образом: если f - гладкое отображение, область определения которого является компактным многообразием, а p - обычное значение функции f, рассмотрим конечное множество

f - 1 (p) = {x 1, x 2,…, xn}. {\ displaystyle f ^ {- 1} (p) = \ {x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} \} \,.}f ^ {{- 1}} (p) = \ {x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} \} \,.

Поскольку p является обычным значением, в В окрестности каждого x i отображение f является локальным диффеоморфизмом (это покрывающее отображение ). Диффеоморфизмы могут быть как сохраняющими ориентацию, так и меняющими ориентацию. Пусть r будет количеством точек x i, в которых f сохраняет ориентацию, а s будет числом, в котором f меняет ориентацию. Когда область определения f связана, число r - s не зависит от выбора p (хотя n - нет!), И каждый определяет степень f как r - s. Это определение совпадает с приведенным выше алгебраическим топологическим определением.

То же определение работает для компактных многообразий с границей, но тогда f должен направить границу X к границе Y.

Также можно определить степень по модулю 2 (deg 2 (f)) так же, как и раньше, но беря фундаментальный класс в гомологии Z2. В этом случае deg 2 (f) является элементом Z2(поле с двумя элементами ), многообразия не обязательно должны быть ориентируемыми, и если n - количество прообразов p как и раньше, тогда deg 2 (f) равно n по модулю 2.

Интегрирование дифференциальных форм дает спаривание между (C-) сингулярными гомологиями и когомологии де Рама : ⟨c, ω⟩ = ∫ c ω {\ displaystyle \ langle c, \ omega \ rangle = \ int _ {c} \ omega}{\ displaystyle \ langle c, \ omega \ rangle = \ int _ {c} \ omega} , где c {\ displaystyle c}c - класс гомологии, представленный циклом c {\ displaystyle c}c и ω {\ displaystyle \ omega}\ omega замкнутая форма, представляющая класс когомологий де Рама. Для гладкого отображения f: X → Y между ориентируемыми m-многообразиями выполняется

⟨f ∗ [c], [ω]⟩ = ⟨[c], f ∗ [ω]⟩, {\ displaystyle \ langle f_ {*} [c], [\ omega] \ rangle = \ langle [c], f ^ {*} [\ omega] \ rangle,}\ langle f _ {*} [c], [\ omega] \ rangle = \ langle [c], f ^ {*} [\ ome га] \ rangle,

где f * и f * индуцируются карты на цепях и формах соответственно. Так как f * [X] = deg f · [Y], мы имеем

deg ⁡ f ∫ Y ω = ∫ X f ∗ ω {\ displaystyle \ deg f \ int _ {Y} \ omega = \ int _ {X} f ^ {*} \ omega \,}\ deg f \ int _ {Y} \ omega = \ int _ {X} f ^ {*} \ omega \,

для любой m-формы ω на Y.

Карты из закрытой области

Если Ω ⊂ R n {\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}\ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n} - это ограниченная область, f: Ω ¯ → R n {\ displaystyle f: {\ bar {\ Omega}} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}f: { \ bar \ Omega} \ to \ mathbb {R} ^ {n} smooth, p {\ displaystyle p}p a обычное значение из f {\ displaystyle f}f и p ∉ f (∂ Ω) {\ displaystyle p \ notin f (\ partial \ Omega)}p \ notin f ( \ partial \ Omega) , затем степень deg ⁡ (f, Ω, p) {\ displaystyle \ deg (f, \ Omega, p)}\ deg (f, \ Omega, p) определяется формулой

deg ⁡ (f, Ω, p): = ∑ Y ∈ F - 1 (p) sign ⁡ det (1 - D f (y)) {\ displaystyle \ deg (f, \ Omega, p): = \ sum _ {y \ in f ^ {- 1} ( p)} \ operatorname {sgn} \ det (1-Df (y))}{\ displaystyle \ deg (f, \ Omega, p): = \ sum _ {y \ in f ^ {- 1} (p) } \ operatorname {sgn} \ det (1-Df (y))}

где D f (y) {\ displaystyle Df (y)}Df (y) - это Матрица Якоби из f {\ displaystyle f}f в y {\ displaystyle y}y . Это определение степени можно естественным образом расширить для нерегулярных значений p {\ displaystyle p}p таких, что deg ⁡ (f, Ω, p) = deg ⁡ (f, Ω, п ') {\ displaystyle \ deg (е, \ Omega, p) = \ deg (f, \ Omega, p')}\deg(f,\Omega,p)=\deg(f,\Omega,p')где p '{\ displaystyle p'}p'- точка, близкая к p {\ displaystyle p}p .

Степень удовлетворяет следующим свойствам:

  • Если deg ⁡ (f, Ω ¯, p) ≠ 0 {\ displaystyle \ deg (f, {\ bar {\ Omega}}, p) \ neq 0}\ deg (f, {\ bar \ Omega}, p) \ neq 0 , тогда существует x ∈ Ω {\ displaystyle x \ in \ Omega}x \ in \ Omega такое, что f (x) = p {\ displaystyle f (x) = p}f(x)=p.
  • deg ⁡ (id, Ω, y) = 1 {\ displaystyle \ deg (\ operatorname {id}, \ Omega, y) = 1}\ deg (\ operatorname {id}, \ Omega, y) = 1 для всех y ∈ Ω {\ displaystyle y \ in \ Omega}y \ in \ Omega .
  • Свойство разложения:
deg ⁡ (f, Ω, y) = deg ⁡ (е, Ω 1, Y) + град ⁡ (е, Ω 2, Y) {\ displaystyle \ deg (f, \ Omega, y) = \ deg (f, \ Omega _ {1}, y) + \ deg (е, \ Omega _ {2}, y)}\ deg (f, \ Omega, y) = \ deg (f, \ Omega _ {1}, y) + \ deg (f, \ Omega _ {2}, y) , если Ω 1, Ω 2 {\ displaystyle \ Omega _ {1}, \ Omega _ {2}}\ Omega _ {1}, \ Omega _ {2} являются соединенные части Ω = Ω 1 ∪ Ω 2 {\ displaystyle \ Omega = \ Omega _ {1} \ cup \ Omega _ {2}}\ Омега = \ Омега _ {1} \ чашка \ Омега _ {2} и y ∉ f (Ω ¯ ∖ (Ω 1 ∪ Ω 2)) {\ displaystyle y \ not \ in f ({\ overline {\ Omega}} \ setminus (\ Omega _ {1} \ cup \ Omega _ {2}))}y \ not \ in f (\ overline {\ Omega} \ setminus (\ Omega _ {1} \ cup \ Omega _ {2})) .
  • Гомотопическая инвариантность: если f {\ displaystyle f}f и g {\ displaystyle g}gгомотопически эквивалентны через гомотопию F (t) {\ displaystyle F (t)}F (t) такой, что F (0) = f, F (1) = g {\ displaystyle F (0) = f, \, F (1) = g}F (0) = f, \, F (1) = g и p ∉ F (t) (∂ Ω) {\ displaystyle p \ notin F (t) (\ partial \ Omega)}p \ notin F (t) (\ partial \ Omega) , затем deg ⁡ ( е, Ω, p) знак равно deg ⁡ (g, Ω, p) {\ displaystyle \ deg (f, \ Omega, p) = \ deg (g, \ Omega, p)}\ deg (f, \ Omega, p) = \ deg (g, \ Omega, p)
  • Функция p ↦ deg ⁡ (е, Ω, p) {\ displaystyle p \ mapsto \ deg (f, \ Omega, p)}p \ mapsto \ deg (f, \ Omega, p) локально постоянная на R n - f (∂ Ω) {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} -f (\ partial \ Omega)}\ mathbb {R} ^ {n} -f (\ partial \ Omega)

Эти свойства однозначно характеризуют степень, и степень может быть определена ими аксиоматическим образом.

Подобным образом мы могли бы определить степень отображения между компактными ориентированными многообразиями с границей.

Свойства

Степень отображения - это гомотопия инвариант; более того, для непрерывных отображений из сферы в себя это полный гомотопический инвариант, т.е. два отображения f, g: S n → S n {\ displaystyle f, g: S ^ {n} \ к S ^ {n} \,}f, g: S ^ {n} \ to S ^ {n} \, гомотопны тогда и только тогда, когда deg ⁡ (f) = deg ⁡ (g) {\ displaystyle \ deg (f) = \ deg (g)}\ deg (f) = \ deg (g) .

Другими словами, степень - это изоморфизм между [S n, S n] = π n S n {\ displaystyle [S ^ {n}, S ^ {n}] = \ pi _ {n} S ^ {n}}{ \ displaystyle [S ^ {n}, S ^ {n}] = \ pi _ {n} S ^ {n}} и Z {\ displaystyle \ mathbf {Z}}\ mathbf {Z} .

Более того, теорема Хопфа утверждает, что для любого n {\ displaystyle n}n -мерное замкнутое ориентированное многообразие M, две карты f, g: M → S n {\ displaystyle f, g: M \ to S ^ {n} }f, g: M \ to S ^ {n} гомотопны тогда и только тогда, когда deg ⁡ (f) = deg ⁡ (g). {\ displaystyle \ deg (f) = \ deg (g).}\ deg (f) = \ deg (g).

Самокарта f: S n → S n {\ displaystyle f: S ^ {n} \ to S ^ {n} }f: S ^ {n} \ to S ^ {n} n-сферы можно расширить до карты F: B n → S n {\ displaystyle F: B_ {n} \ to S ^ {n}}F: B_ {n} \ to S ^ {n} от n-шара к n-сфере тогда и только тогда, когда deg ⁡ (f) = 0 {\ displaystyle \ deg (f) = 0}\ deg (f) = 0 . (Здесь функция F расширяет f в том смысле, что f является ограничением F до S n {\ displaystyle S ^ {n}}S ^ {n} .)

Вычисление степени

Существует алгоритм для вычисления топологической степени deg (f, B, 0) непрерывной функции f из n-мерного прямоугольника B (произведение n интервалов) в R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}\ mathbb {R} ^ {n} , где f задано в виде арифметических выражений. Реализация алгоритма доступна в TopDeg - программном средстве для вычисления степени (LGPL-3).

См. Также

Примечания

Ссылки

  • Фландерс, Х. (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам. Довер.
  • Хирш М. (1976). Дифференциальная топология. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90148-5.
  • Милнор, Дж. У. (1997). Топология с дифференцируемой точки зрения. Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-04833-8.
  • Оутерело, Э.; Руис, Дж. М. (2009). Теория степени картирования. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4915-6.

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-17 11:34:16
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте