Квантование Ландау

Квантование Ландау в квантовой механике - это квантование циклотронных орбит заряженных частиц в магнитных полях. В результате заряженные частицы могут занимать только орбиты с дискретными значениями энергии, называемые уровнями Ландау. Уровни Ландау являются вырожденными, причем количество электронов на уровень прямо пропорционально силе приложенного магнитного поля. Квантование Ландау непосредственно отвечает за колебания электронных свойств материалов в зависимости от приложенного магнитного поля. Он назван в честь советского физика Льва Ландау.

• 1 Вывод
  • 1.1 Уровни Ландау
    • 1.1.1 Обсуждение
  • 1.2 Уровни Ландау в симметричной калибровке
• 2 Влияние калибровки преобразование
• 3 Магнитная восприимчивость ферми-газа
• 4 Двумерная решетка
• 5 См. также
• 6 Ссылки
• 7 Дополнительная литература

Рассмотрим систему невзаимодействующие частицы с зарядом q и спином S ограничены областью A = L xLyв плоскости xy. Примените однородное магнитное поле $B\; =\; (0\; 0\; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; B\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$по оси z. В единицах CGS гамильтониан этой системы (здесь не учитываются эффекты спина. Рассмотрение спина вводит дополнительный член в оператор гамильтониана):

$H\; ^\; =\; 1\; 2\; м\; (p\; ^\; -\; q\; A\; ^\; /\; c)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{H\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2m\}\}\; (\{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; -\; q\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\}\; /\; c)\; ^\; \{2\}.\}$

Здесь $p\; ^\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\}$- это канонический оператор импульса. и $A\; ^\; \{\backslash \; textstyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\}\}$- это векторный электромагнитный потенциал, связанный с магнитное поле на

$B\; =\; \times \; A\; ^.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; nabla\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\}.\; \backslash ,\}$

Существует некоторая калибровочная свобода в выборе векторного потенциала для данного магнитного поле. Гамильтониан является калибровочно-инвариантом , что означает, что добавление градиента скалярного поля к Â изменяет общую фазу волновой функции на величину, соответствующую скалярному полю. Но на физические свойства не влияет конкретный выбор калибра. Для простоты расчетов выберите датчик Ландау, который равен

$A\; ^\; =\; (0\; B\; x\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; Bx\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

где B = | B | и x̂ - компонент x оператора позиции.

В этой калибровке гамильтониан равен

$H\; ^\; =\; p\; ^\; x\; 2\; 2\; m\; +\; 1\; 2\; m\; (p\; ^\; y\; -\; q\; B\; x\; ^\; c)\; 2\; +\; p\; ^\; z\; 2\; 2\; m.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{H\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; hat\; \{p\}\}\; \_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; left\; (\{\; \backslash \; hat\; \{p\}\}\; \_\; \{y\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{qB\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\}\; \{c\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; hat\; \{p\}\}\; \_\; \{z\; \}\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}.\}$

Оператор $p\; ^\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}\; \_\; \{y\}\}$коммутирует с этим гамильтонианом, поскольку оператор отсутствует в силу выбора калибровки. Таким образом, оператор $p\; ^\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}\; \_\; \{y\}\}$может быть заменен его собственным значением ħk y. Поскольку $z\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{z\}\}\}$не фигурирует в гамильтониане, а в кинетической энергии появляется только z-импульс, это движение вдоль z-направления является свободное движение.

Гамильтониан также можно записать более просто, отметив, что циклотронная частота равна ω c = qB / mc, что дает

$H\; ^\; =\; p\; ^\; x\; 2\; 2\; м\; +\; 1\; 2\; м\; \omega \; c\; 2\; (x\; ^\; -\; kym\; \omega \; c)\; 2\; +\; p\; ^\; z\; 2\; 2\; м.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{H\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; hat\; \{p\}\}\; \_\; \{x\}\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; m\; \backslash \; omega\; \_\; \{c\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; k\_\; \{y\}\}\; \{m\; \backslash \; omega\; \_\; \{c\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; hat\; \{p\}\}\; \_\; \{z\}\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}.\}$

Это в точности гамильтониан для квантового гармонического осциллятора, за исключением минимума потенциала сдвинут в координатном пространстве на x 0 = ħk y / mω c.

Чтобы найти энергии, обратите внимание, что перенос потенциала гармонического осциллятора не влияет на энергии. Таким образом, энергии этой системы идентичны энергиям стандартного квантового гармонического осциллятора,

$E\; n\; =\; \hslash \; \omega \; c\; (n\; +\; 1\; 2)\; +\; p\; z\; 2\; 2\; m,\; n\; \ge \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; \_\; \{c\}\; \backslash \; left\; (n\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{z\}\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\; \},\; \backslash \; quad\; n\; \backslash \; geq\; 0\; ~.\}$

Энергия не зависит от квантового числа k y, поэтому будет конечное число вырождений (если частица помещена в неограниченное пробел, это вырождение будет соответствовать непрерывной последовательности $py\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{y\}\}$). Значение $p\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{z\}\}$является непрерывным, если частица не ограничена в направлении z, и дискретным, если частица также ограничена в направлении z.

Что касается волновых функций, напомним, что $p\; ^\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}\; \_\; \{y\}\}$коммутирует с гамильтонианом. Затем волновая функция множится в произведение собственных состояний импульса в направлении y и собственных состояний гармонического осциллятора $|\; \varphi \; n⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; phi\; \_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\}$, сдвинутый на величину x 0 в направлении x:

$\Psi \; (x,\; y,\; z)\; знак\; равно\; ei\; (kyy\; +\; kzz)\; \varphi \; N\; (x\; -\; x\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\; (x,\; y,\; z)\; =\; e\; ^\; \{i\; (k\_\; \{y\}\; y\; +\; k\_\; \{z\}\; z)\}\; \backslash \; phi\; \_\; \{\; n\}\; (x-x\_\; \{0\})\}$

где $kz\; =\; pz\; /\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{z\}\; =\; p\_\; \{z\}\; /\; \backslash \; hbar\}$. В общем, состояние электрона характеризуется квантовыми числами, n, k y и k z.

уровнями Ландау

Каждый набор волновых функций с одинаковым значением n является называется уровнем Ландау. Эффекты уровней Ландау наблюдаются только тогда, когда средняя тепловая энергия меньше, чем разделение уровней энергии, kT ≪ ħω c, что означает низкие температуры и сильные магнитные поля.

Каждый уровень Ландау вырожден из-за второго квантового числа k y, которое может принимать значения

$ky\; =\; 2\; \pi \; NL\; y\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{y\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\; N\}\; \{L\_\; \{y\}\}\}\}$,

где N - целое число. Допустимые значения N дополнительно ограничиваются условием, что центр силы осциллятора, x 0, должен физически находиться внутри системы, 0 ≤ x 0< Lx. Это дает следующий диапазон для N:

Для частиц с зарядом q = Ze верхний предел N может быть просто записан как отношение потоков,

$ZBL\; x\; L\; y\; (\; hc\; /\; e)\; знак\; равно\; Z\; \Phi \; \Phi \; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{ZBL\_\; \{x\}\; L\_\; \{y\}\}\; \{(hc\; /\; e)\}\}\; =\; Z\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Phi\}\; \{\backslash \; Phi\; \_\; \{0\}\; \}\},\}$

где Φ 0 = hc / e - основной квант потока, а Φ = BA - поток, проходящий через систему (с площадью A = L xLy).

Таким образом, для частиц со спином S максимальное количество D частиц на уровень Ландау равно

$D\; =\; Z\; (2\; S\; +\; 1)\; \Phi \; \Phi \; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; Z\; (2S\; +\; 1)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Phi\}\; \{\backslash \; Phi\; \_\; \{0\}\}\}\; ~,\}$

что для электронов (где Z = 1 и S = ​​1/2) дает D = 2Φ / Φ 0, два доступных состояния для каждого кванта потока, проникающего в систему.

Вышесказанное дает лишь приблизительное представление о влиянии геометрии конечных размеров. Строго говоря, использование стандартного решения гармонического осциллятора справедливо только для систем, неограниченных по оси x (бесконечные полосы). Если размер L x конечен, граничные условия в этом направлении порождают нестандартные условия квантования магнитного поля, включая (в принципе) оба решения уравнения Эрмита. Заполнение этих уровней большим количеством электронов до сих пор остается активной областью исследований.

В целом уровни Ландау наблюдаются в электронных системах. По мере увеличения магнитного поля все больше и больше электронов могут поместиться на данный уровень Ландау. Уровень заполнения самого высокого уровня Ландау варьируется от полностью полного до полностью пустого, что приводит к колебаниям различных электронных свойств (см. эффект де Гааза – ван Альфена и эффект Шубникова – де Гааза ).

Если включено зеемановское расщепление, каждый уровень Ландау расщепляется на пару: один для электронов со спином вверх, а другой для электронов со спином вниз. Тогда заполнение каждого спинового уровня Ландау есть просто отношение потоков D = Φ / Φ 0. Зеемановское расщепление оказывает существенное влияние на уровни Ландау, поскольку их энергетические масштабы одинаковы: 2μ B B = ħω. Однако энергия Ферми и энергия основного состояния остаются примерно одинаковыми в системе со многими заполненными уровнями, поскольку пары разделенных уровней энергии уравновешивают друг друга при суммировании.

Обсуждение

В этом выводе x и y рассматриваются как слегка асимметричные. Однако из-за симметрии системы не существует физической величины, которая различает эти координаты. Тот же результат мог быть получен при соответствующей замене x и y.

Более того, вышеприведенный вывод предполагал, что электрон удерживается в направлении z, что является релевантной экспериментальной ситуацией - например, обнаруживается в двумерных электронных газах. Тем не менее, это предположение не является существенным для результатов. Если электроны могут свободно перемещаться в направлении z, волновая функция приобретает дополнительный мультипликативный член exp (ik z z); энергия, соответствующая этому свободному движению, (ħ k z) / (2m), добавляется к обсуждаемому E. Этот член затем заполняет разделение по энергии различных уровней Ландау, размывая эффект квантования. Тем не менее движение в плоскости x-y, перпендикулярной магнитному полю, по-прежнему квантовано.

Уровни Ландау в симметричной шкале

Симметричная шкала относится к выбору

$A\; ^\; =\; 1\; 2\; B\; \times \; r\; ^\; =\; 1\; 2\; (-\; B\; y\; B\; x\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \}\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; -By\; \backslash \backslash \; Bx\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

В терминах безразмерных длин и энергий гамильтониан можно выразить как

$H\; ^\; =\; 1\; 2\; [(-\; я\; \partial \; \partial \; Икс\; -\; Y\; 2)\; 2\; +\; (-\; я\; \partial \; \partial \; Y\; +\; Икс\; 2)\; 2]\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; Hat\; \{H\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (-\; i\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (-i\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\}$

Правильные единицы можно восстановить, введя множители $q,\; c,\; \hslash ,\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; q,\; c,\; \backslash \; hbar,\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\}$и $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$

Рассмотрим операторы

$a\; ^\; =\; 1\; 2\; [(x\; 2\; +\; \partial \; \partial \; x)\; -\; я\; (Y\; 2\; +\; \partial \; \partial \; Y)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\; \}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\; -i\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{\; 2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\}$

$a\; ^\; †\; =\; 1\; 2\; [(x\; 2\; -\; \partial \; \partial \; x)\; +\; i\; (y\; 2\; -\; \partial \; \partial \; y)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\; +\; i\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; ]\}$

$b\; ^\; =\; 1\; 2\; [(x\; 2\; +\; \partial \; \partial \; x)\; +\; i\; (y\; 2\; +\; \partial \; \partial \; y)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{b\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\; +\; i\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{\; 2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\}$

$b\; ^\; †\; =\; 1\; 2\; [(x\; 2\; -\; \partial \; \partial \; x)\; -\; i\; (y\; 2\; -\; \partial \; \partial \; y)]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{b\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \backslash \; right)\; -i\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; ]\}$

Эти операторы подчиняются определенным коммутационным отношениям

$[a\; ^,\; a\; ^\; †]\; =\; [b\; ^,\; b\; ^\; †]\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; hat\; \{a\}\},\; \{\backslash \; hat\; \{a\; \}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}]\; =\; [\{\backslash \; hat\; \{b\}\},\; \{\backslash \; hat\; \{b\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}]\; =\; 1\}$.

В терминах abo ve операторов гамильтониана можно записать как

$H\; ^\; =\; a\; ^\; †\; a\; ^\; +\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{H\}\}\; =\; \{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \{\backslash \; hat\; \{a\; \}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\}$

Индекс уровня Ландау $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$- собственное значение $a\; ^\; †\; a\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \{\backslash \; hat\; \{a\}\}\}$

Компонент углового момента z равен

$L\; ^\; z\; =\; -\; i\; \hslash \; \partial \; \partial \; \theta \; =\; -\; \hslash \; (b\; ^\; †\; b\; ^\; -\; a\; ^\; †\; a\; ^)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{L\}\}\; \_\; \{z\}\; =\; -\; я\; \backslash \; hbar\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}\; =\; -\; \backslash \; hbar\; (\{\backslash \; hat\; \{b\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \{\backslash \; hat\; \{b\}\}\; -\; \{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \{\backslash \; hat\; \{a\}\})\}$

Использование свойства $[H\; ^,\; L\; ^\; z]\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; hat\; \{H\}\},\; \{\backslash \; hat\; \{L\}\}\; \_\; \{z\}]\; =\; 0\}$мы выбрали собственные функции, которые диагонализируют $H\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{H\}\}\}$и $L\; ^\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{L\}\}\; \_\; \{z\}\}$, собственное значение $L\; ^\; z\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{L\}\}\; \_\; \{z\}\}$обозначается $-\; m\; \hslash \; \{\backslash \; displaystyle\; -m\; \backslash \; hbar\}$, где ясно, что $m\; \ge \; -\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; geq\; -n\}$на $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$-м уровне Ландау. Однако он может быть сколь угодно большим, что необходимо для получения бесконечного вырождения (или конечного вырождения на единицу площади), демонстрируемого системой.

Применение $b\; ^\; †\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{b\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\}$увеличивает $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$на одну единицу при сохранении $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, тогда как $a\; ^\; †\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\}$приложение одновременно увеличивает $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$и уменьшает $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$на одну единицу. Аналогия с квантовым гармоническим осциллятором дает решения

$H\; ^\; |\; n,\; m⟩\; =\; E\; n\; |\; n,\; m⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{H\}\}\; |\; n,\; m\; \backslash \; rangle\; =\; E\_\; \{n\}\; |\; n,\; m\; \backslash \; rangle\}$

$E\; n\; =\; \hslash \; \omega \; c\; (n\; +\; 1\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; hbar\; \backslash \; omega\; \_\; \{c\}\; \backslash \; left\; (n\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}$

$|\; п,\; м⟩\; =\; (Ь\; ^\; †)\; м\; +\; п\; (м\; +\; п)!\; (а\; ^\; †)\; п\; п!\; |\; 0,\; 0⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; n,\; m\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(\{\backslash \; hat\; \{b\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\})\; ^\; \{m\; +\; n\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{(m\; +\; n)!\}\; \}\}\; \{\backslash \; frac\; \{(\{\backslash \; hat\; \{a\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\})\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{n!\}\}\}\; |\; 0,0\; \backslash \; rangle\}$

Каждый уровень Ландау имеет вырожденные орбитали помечены квантовыми числами k y и $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$в калибровке Ландау и симметричной калибровке соответственно. Вырождение на единицу площади одинаково на каждом уровне Ландау.

Можно проверить, что указанные выше состояния соответствуют выбору волновых функций, пропорциональных

$\psi \; n,\; m\; (x,\; y)\; =\; (\partial \; \partial \; w\; -\; w\; ¯\; 4)\; n\; w\; n\; +\; m\; e\; -\; |\; w\; |\; 2/4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{n,\; m\}\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; w\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; bar\; \{w\}\}\; \{4\}\; \}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\; w\; ^\; \{n\; +\; m\}\; e\; ^\; \{-\; |\; w\; |\; ^\; \{2\}\; /\; 4\}\}$

где $w\; =\; x\; +\; iy\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; =\; x\; +\; iy\; \}$.

В частности, самый низкий уровень Ландау $n\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 0\}$состоит из произвольных аналитических функций, умножающих гауссиану, $\psi \; (x,\; y)\; =\; f\; (w)\; e\; -\; |\; w\; |\; 2/4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (x,\; y)\; =\; f\; (w)\; e\; ^\; \{-\; |\; w\; |\; ^\; \{2\}\; /\; 4\}\}$.

$A\; \to \; A\; \prime \; =\; A\; +\; \nabla \; \lambda \; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; \text{'}=\; \backslash \; mathbf\; \{A\}\; +\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; lambda\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\}$

определение кинематических импульсов:

$\pi \; ^\; =\; p\; ^\; -\; q\; A\; ^\; /\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; =\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\; -\; q\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\}\; /\; c\}$

где $p\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\}\}\}$- канонические импульсы. Гамильтониан является калибровочным инвариантом, поэтому $⟨\pi \; ^⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; rangle\}$и $⟨x\; ^⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; \backslash \; rangle\}$останется инвариантным при калибровочных преобразованиях, но $⟨p\; ^⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\; \}\}\}\; \backslash \; rangle\}$будет зависеть от калибра. Чтобы наблюдать влияние калибровочного преобразования на квантовое состояние частицы, рассмотрите состояние с A и A 'как векторный потенциал с состояниями $|\; \alpha ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\}$и $|\; \alpha \; \prime ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; alpha\; \text{'}\backslash \; rangle\}$.

As $⟨x\; ^⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; \backslash \; rangle\}$и $⟨\pi \; ^⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; rangle\}$инвариантен относительно калибровочного преобразования, мы получаем

$⟨\alpha \; |\; x\; ^\; |\; \alpha ⟩\; =\; ⟨\alpha \; \prime \; |\; x\; ^\; |\; \alpha \; \prime ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; alpha\; |\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; alpha\; \text{'}|\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; |\; \backslash \; alpha\text{'}\; \backslash \; rangle\}$

$⟨\alpha \; |\; \pi \; ^\; |\; \alpha ⟩\; =\; ⟨\alpha \; \prime \; |\; \pi \; ^\; \prime \; |\; \alpha \; \prime ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; alpha\; |\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; alpha\; \text{'}|\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; pi\}\}\}\text{'}\; |\; \backslash \; альфа\; \text{'}\backslash \; rangle\}$

$⟨\alpha \; |\; \alpha ⟩\; =\; ⟨\alpha \; \prime \; |\; \alpha \; \prime ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; alpha\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; langle\; \backslash \; alpha\; \text{'}|\; \backslash \; alpha\text{'}\; \backslash \; rangle\}$

Рассмотрим оператор $G\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\}$такое, что $|\; \alpha \; \prime ⟩\; =\; G\; |\; \alpha ⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; alpha\; \text{'}\backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; |\; \backslash \; alpha\; \backslash \; rangle\}$

из приведенного выше отношения мы заключаем, что

$G\; †\; x\; ^\; G\; =\; x\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; =\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\}$

$G\; †\; (p\; ^\; -\; е\; A\; ^\; c\; -\; е\; \nabla \; \lambda \; (x)\; c)\; G\; =\; p\; ^\; -\; e\; A\; ^\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{p\}\})\; \}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{e\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\}\}\; \{c\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{e\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; nabla\}\}\; \backslash \; lambda\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\}\; \{c\}\; \}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; =\; \{\backslash \; hat\; \{p\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{e\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{A\}\}\}\}\; \{c\}\}\}$

$G\; †\; G\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; =\; 1\}$

отсюда мы заключаем, что

$G\; =\; exp\; \; (т.е.\; \lambda \; (x)\; \hslash \; c)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{G\}\}\; =\; \backslash \; exp\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{ie\; \backslash \; lambda\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\}\; \{\backslash \; hbar\; c\}\}\; \backslash \; right)\}$

Самый важный пример ферми-газа электронов. Такие ферми-газы являются частью основы для понимания физических свойств металлов. В 1939 году Ландау получил оценку магнитной восприимчивости ферми-газа, известной как, которая постоянна для малых магнитных полей. Ландау также заметил, что восприимчивость колеблется с высокой частотой для больших магнитных полей, это физическое явление известно как эффект де Гааза – ван Альфена.

сильная связь энергетический спектр заряженных частиц в двумерной бесконечной решетке известен как самоподобный и фрактальный, как показано в бабочке Хофштадтера. Для целочисленного отношения кванта магнитного потока и магнитного потока через ячейку решетки восстанавливаются уровни Ландау для больших целых чисел.

• эффект Баркгаузена
• de Эффект Хааса – ван Альфена
• Эффект Шубникова – де Гааза
• Квантовый эффект Холла
• Волновая функция Лафлина
• Кулоновский потенциал между двумя токовыми петлями, заключенными в магнитное поле

• Ландау, Л.Д.; и Лифшиц, Э. М.; (1977). Квантовая механика: нерелятивистская теория. Курс теоретической физики. Vol. 3 (3-е изд. Лондон: Pergamon Press). ISBN 0750635398.