Жесткая привязка

В физике твердого тела, модель сильной связи (или модель TB ) - это подход к расчету электронной зонной структуры с использованием приближенного набора волновых функций на основе при суперпозиции волновых функций для изолированных атомов, расположенных в каждом атомном узле. Метод тесно связан с методом ЛКАО (метод линейной комбинации атомных орбиталей), используемым в химии. Модели с сильным связыванием применяются к широкому спектру твердых тел. Модель дает хорошие качественные результаты во многих случаях и может быть объединена с другими моделями, которые дают лучшие результаты там, где модель сильной привязки терпит неудачу. Хотя модель сильной связи является одноэлектронной, она также обеспечивает основу для более сложных расчетов, таких как вычисление состояний поверхности и применение к различным видам задач многих тел и квазичастиц вычисления.

• 1 Введение
• 2 Историческая справка
• 3 Математическая формулировка
  • 3.1 Трансляционная симметрия и нормализация
  • 3.2 Гамильтониан жесткой привязки
  • 3.3 Матричные элементы жесткой привязки
• 4 Оценка элементов матрицы
• 5 Связь с функциями Ванье
• 6 Второе квантование
• 7 Пример: одномерный s-диапазон
• 8 Таблица межатомных матричных элементов
• 9 См. Также
• 10 Ссылки
• 11 Дополнительная литература
• 12 Внешние ссылки

Название «сильная связь» этой модели электронной зонной структуры предполагает, что эта квантово-механическая модель описывает свойства прочно связанных электронов в твердых телах. электроны в этой модели должны быть тесно связаны с атомом, которому они принадлежат, и они должны иметь ограниченное взаимодействие с состояниями и потенциалами на окружающих атомах твердого тела.. В результате волновая функция электрона будет очень похожа на атомную орбиталь свободного атома, которому он принадлежит. Энергия электрона также будет довольно близка к энергии ионизации электрона в свободном атоме или ионе, поскольку взаимодействие с потенциалами и состояниями на соседних атомах ограничено.

Хотя математическая формулировка одночастичного гамильтониана гамильтониана может показаться сложной на первый взгляд, модель совсем не сложна и может быть легко понята интуитивно. Есть только три вида матричных элементов, которые играют важную роль в теории. Два из этих трех видов элементов должны быть близки к нулю, и ими часто можно пренебречь. Наиболее важными элементами в модели являются элементы межатомной матрицы, которые химик просто назвал бы энергиями связи.

Как правило, в модели участвует ряд атомных энергетических уровней и атомных орбиталей. Это может привести к сложным ленточным структурам, поскольку орбитали принадлежат разным представлениям точечной группы. обратная решетка и зона Бриллюэна часто принадлежат к другой пространственной группе, чем кристалл твердого тела. Точки высокой симметрии в зоне Бриллюэна принадлежат разным представлениям точечных групп. Когда изучаются простые системы, такие как решетки элементов или простые соединения, часто не очень сложно вычислить собственные состояния в точках с высокой симметрией аналитически. Таким образом, модель сильной привязки может служить хорошими примерами для тех, кто хочет узнать больше о теории групп.

Модель жесткой привязки имеет долгую историю и применялась многими способами, с разными целями и разными результатами.. Сама по себе модель не стоит. Части модели могут быть дополнены или расширены другими видами вычислений и моделей, такими как модель почти свободных электронов. Сама модель или ее части могут служить основой для других расчетов. При исследовании проводящих полимеров, органических полупроводников и молекулярной электроники, например, применяются модели, подобные сильной связи, в которых роль атомов в исходная концепция заменена молекулярными орбиталями сопряженных систем, и где элементы межатомной матрицы заменены параметрами меж- или внутримолекулярного прыжка и туннелирования. Почти все эти проводники обладают очень анизотропными свойствами и иногда почти идеально одномерны.

К 1928 году идею молекулярной орбитали выдвинул Роберт Малликен, на которого значительное влияние оказали работы Фридриха Хунда. Метод ЛКАО для аппроксимации молекулярных орбиталей был введен в 1928 г. Б. Н. Финклештейном и Г. Е. Горовицем, в то время как метод ЛКАО для твердых тел был разработан Феликсом Блохом в рамках его докторской диссертации в 1928 г. одновременно и независимо от него. подход ЛКАО-МО. Намного более простая схема интерполяции для аппроксимации электронной зонной структуры, особенно для d-зон переходных металлов, - это параметризованный метод сильной связи, разработанный в 1954 году Джоном Кларком Слейтером и Джорджем Фред Костер, иногда упоминаемый как метод плотного связывания SK. При использовании метода сильной связи SK расчеты электронной зонной структуры твердого тела не обязательно должны выполняться с полной строгостью, как в исходной теореме Блоха, а, скорее, расчеты из первых принципов выполняются только при высоких значениях точки симметрии и зонная структура интерполируются по оставшейся части зоны Бриллюэна между этими точками.

В этом подходе взаимодействия между разными атомными узлами рассматриваются как возмущения. Мы должны рассмотреть несколько видов взаимодействий. Кристалл гамильтониан представляет собой лишь приблизительно сумму атомных гамильтонианов, расположенных в разных узлах, а атомные волновые функции перекрывают соседние атомные узлы в кристалле, и поэтому не являются точными представлениями точной волновой функции. В следующем разделе даны дальнейшие объяснения с некоторыми математическими выражениями.

В недавнем исследовании сильно коррелированного материала подход сильной связи является основным приближением, потому что сильно локализованные электроны, такие как 3-d электроны переходного металла, иногда демонстрируют сильно коррелированное поведение. В этом случае роль электрон-электронного взаимодействия необходимо рассматривать с использованием описания физики многих тел.

Модель сильной связи обычно используется для расчетов электронной зонной структуры и запрещенной зоны в статическом режиме. Однако в сочетании с другими методами, такими как модель приближения случайной фазы (RPA), также можно изучать динамический отклик систем.

Мы вводим атомные орбитали $\phi \; m\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\}$, которые являются собственными функциями гамильтониана $H\; в\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \_\; \{\backslash \; rm\; \{at\}\}\}$одиночного изолированного атома. Когда атом помещен в кристалл, эта атомная волновая функция перекрывает соседние атомные узлы, и поэтому не являются истинными собственными функциями гамильтониана кристалла. Перекрытие меньше, когда электроны тесно связаны, что является источником дескриптора «сильная связь». Любые поправки к атомному потенциалу $\Delta \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; U\}$, необходимые для получения истинного гамильтониана $H\; \{\backslash \; displaystyle\; H\}$системы, являются предполагается малым:

$H\; (r)\; =\; =\; R\; n\; H\; at\; (r\; -\; R\; n)\; +\; \Delta \; U\; (r),\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; R\_\; \{n\}\}\}\; H\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{at\}\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r-R\_\; \{n\}\}\})\; +\; \backslash \; Delta\; U\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; \backslash ,\}$

где $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\}\}\; \_\; \{n\}\}$определяет местонахождение атомного узла в кристаллической решетке. Решение $\psi \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{m\}\}$независимого от времени одиночного электрона уравнения Шредингера затем аппроксимируется как линейная комбинация атомных орбитали $\phi \; m\; (r\; -\; R\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r-R\_\; \{n\}\}\})\}$:

$\psi \; m\; (r)\; =\; \sum \; R\; nbm\; (р\; N)\; \phi \; м\; (г\; -\; р\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\}\; b\_\; \{m\}\; (\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\})\; \backslash \; \backslash \; varphi\; \_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r-R\_\; \{n\}\}\})\}$,

где $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$относится к m-му уровню атомной энергии.

Трансляционная симметрия и нормализация

Теорема Блоха утверждает, что волновая функция в кристалле может изменяться при трансляции только на фазовый множитель:

$\psi \; (r\; +\; Р\; \ell )\; знак\; равно\; eik\; \cdot \; р\; \ell \; \psi \; (r),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; ell\}\}\})\; =\; e\; ^\; \{i\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{k\; \backslash \; cdot\; R\; \_\; \{\backslash \; ell\}\; \}\}\}\; \backslash \; psi\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; \backslash ,\}$

где $k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\}$- волновой вектор волновой функции. Следовательно, коэффициенты удовлетворяют условию

$\sum \; R\; n\; b\; m\; (R\; n)\; \phi \; m\; (r\; -\; R\; n\; +\; R\; \ell )\; =\; e\; i\; k\; \cdot \; R\; \ell \; \sum \; R\; n\; b\; m\; (R\; n)\; \phi \; m\; (r\; -\; R\; n).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\}\; b\_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\})\; \backslash \; \backslash \; varphi\; \_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r-R\_\; \{n\})\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; ell\}\}\})\; =\; e\; ^\; \{i\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{k\; \backslash \; cdot\; R\; \_\; \{\backslash \; ell\}\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\}\; b\_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\})\; \backslash \; \backslash \; varphi\; \_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r-R\_\; \{n\}\}\})\; \backslash .\}$

Подставляя $R\; p\; =\; R\; n\; -\; R\; \ell \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{p\}\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\}\; -\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\; \_\; \{\backslash \; ell\}\}\}\}$, находим

$bm\; (R\; п\; +\; р\; \ell )\; знак\; равно\; eik\; \cdot \; р\; \ell \; bm\; (р\; п),\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{p\}\; +\; R\; \_\; \{\backslash \; ell\}\}\})\; =\; e\; ^\; \{i\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\; k\; \backslash \; cdot\; R\; \_\; \{\backslash \; ell\}\}\}\}\; b\_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{p\}\}\})\; \backslash ,\}$(где в RHS мы заменили фиктивный индекс $R\; п\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\}\}$с $R\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{p\}\}\}\}$)

или

$bm\; (\; R\; l)\; =\; eik\; \cdot \; R\; lbm\; (0).\; \{\backslash \; Displaystyle\; b\_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{l\}\}\})\; =\; e\; ^\; \{i\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{k\; \backslash \; cdot\; R\_\; \{l\}\}\}\}\; b\_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{0\}\})\; \backslash .\}$

Нормализация волновой функции к единице:

$\int \; d\; 3\; r\; \psi \; m\; \ast \; (r)\; \psi \; m\; (r)\; =\; 1\; \{\; \backslash \; отображает\; tyle\; \backslash \; int\; d\; ^\; \{3\}\; r\; \backslash \; \backslash \; psi\; \_\; \{m\}\; ^\; \{*\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; \backslash \; psi\; \_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; =\; 1\}$

$Знак\; равно\; \sum \; р\; nbm\; *\; (р\; n)\; \sum \; р\; \ell \; bm\; (р\; \ell )\; \int \; d\; 3\; r\; \phi \; m\; *\; (r\; -\; R\; n)\; \phi \; m\; (r\; -\; R\; \ell )\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\}\; b\_\; \{m\}\; ^\; \{*\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\})\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\; \_\; \{\backslash \; ell\}\}\}\; b\_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{\; \backslash \; ell\}\}\})\; \backslash \; int\; d\; ^\; \{3\}\; r\; \backslash \; \backslash \; varphi\; \_\; \{m\}\; ^\; \{*\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r-R\_\; \{n\}\}\})\; \backslash \; varphi\; \_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\; r-R\; \_\; \{\backslash \; ell\}\}\})\}$

$=\; bm\; \ast \; (0)\; bm\; (0)\; \sum \; R\; ne\; -\; ik\; \cdot \; R\; n\; \sum \; R\; \ell \; eik\; \cdot \; R\; \ell \; \int \; d\; 3\; r\; \phi \; m\; \ast \; (r\; -\; R\; п)\; \phi \; м\; (г\; -\; р\; \ell )\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; b\_\; \{m\}\; ^\; \{*\}\; (0)\; b\_\; \{m\}\; (0)\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; i\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{k\; \backslash \; cdot\; R\_\; \{n\}\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\; \_\; \{\backslash \; ell\}\}\}\; e\; ^\; \{i\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{k\; \backslash \; cdot\; R\; \_\; \{\backslash \; ell\}\}\}\}\; \backslash \; \backslash \; int\; d\; ^\; \{3\}\; r\; \backslash \; \backslash \; varphi\; \_\; \{m\}\; ^\; \{*\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r-R\_\; \{n\}\}\})\; \backslash \; varphi\; \_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r-R\; \_\; \{\backslash \; ell\}\})\; \})\}$

$=\; N\; bm\; \ast \; (0)\; bm\; (0)\; \sum \; R\; pe\; -\; ik\; \cdot \; R\; p\; \int \; d\; 3\; r\; \phi \; m\; \ast \; (r\; -\; R\; p)\; \phi \; m\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; Nb\_\; \{m\; \}\; ^\; \{*\}\; (0)\; b\_\; \{m\}\; (0)\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{p\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; i\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{k\; \backslash \; cdot\; R\_\; \{p\}\}\}\}\; \backslash \; \backslash \; int\; d\; ^\; \{3\}\; r\; \backslash \; \backslash \; varphi\; \_\; \{m\}\; ^\; \{*\}\; (\{\backslash \; bold\; символ\; \{r-R\_\; \{p\}\}\})\; \backslash \; varphi\; \_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; \backslash \}$

$=\; N\; bm\; \ast \; (0)\; bm\; (0)\; \sum \; R\; peik\; \cdot \; R\; p\; \int \; d\; 3\; р\; \phi \; м\; *\; (г)\; \phi \; м\; (г\; -\; р\; п),\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; Nb\_\; \{m\}\; ^\; \{*\}\; (0)\; b\_\; \{m\}\; (0)\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{p\}\; \}\}\; e\; ^\; \{i\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{k\; \backslash \; cdot\; R\_\; \{p\}\}\}\}\; \backslash \; \backslash \; int\; d\; ^\; \{3\}\; r\; \backslash \; \backslash \; varphi\; \_\; \{m\}\; ^\; \{*\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; \backslash \; varphi\; \_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r-R\_\; \{p\}\}\})\; \backslash ,\}$

, поэтому нормализация устанавливает $bm\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{m\}\; (0)\}$как

$bm\; \ast \; (0)\; bm\; (0)\; =\; 1\; N\; \cdot \; 1\; 1\; +\; \sum \; R\; p\; \ne \; 0\; eik\; \cdot \; R\; p\; \alpha \; m\; (R\; p),\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{m\}\; ^\; \{*\}\; (0)\; b\_\; \{m\}\; (0)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; \backslash \; cdot\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1+\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{p\}\; \backslash \; neq\; 0\}\}\; e\; ^\; \{i\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{k\; \backslash \; cdot\; R\_\; \{p\}\}\}\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{p\}\}\})\}\}\; \backslash ,\}$

где α m(Rp) являются атомными интегралами перекрытия, которыми часто пренебрегают, что приводит к

$bm\; (0)\; \approx \; 1\; N,\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{m\}\; (0)\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{N\}\}\}\; \backslash ,\}$

и

$\psi \; m\; (r)\; \approx \; 1\; N\; \sum \; R\; neik\; \cdot \; R\; n\; \phi \; m\; (r\; -\; R\; n).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{N\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\}\; e\; ^\; \{\; i\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{k\; \backslash \; cdot\; R\_\; \{n\}\}\}\}\; \backslash \; \backslash \; varphi\; \_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r-R\_\; \{n\}\}\})\; \backslash .\}$

Гамильтониан жесткой связи

Используя форму сильной связи для волновой функции и предполагая, что для m-го энергетического диапазона важен только m-й атомный энергетический уровень, блоховские энергии $\epsilon \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{m\}\}$имеют вид

$\epsilon \; m\; =\; \int \; d\; 3\; r\; \psi \; m\; \ast \; (r)\; H\; (r)\; \psi \; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{m\}\; =\; \backslash \; int\; d\; ^\; \{3\}\; r\; \backslash \; \backslash \; psi\; \_\; \{m\}\; ^\; \{*\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; H\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; \backslash \; psi\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\}$

$знак\; равно\; \sum \; р\; nb\; *\; (р\; n)\; \int \; d\; 3\; р\; \phi \; *\; (r\; -\; р\; n)\; H\; (r)\; \psi \; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\}\; b\; ^\; \{*\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\})\; \backslash \; \backslash \; int\; d\; ^\; \{3\}\; r\; \backslash \; \backslash \; varphi\; ^\; \{*\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r-R\_\; \{n\}\}\})\; H\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; \backslash \; psi\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; \backslash \}$

$=\; \sum \; R\; \ell \; \sum \; R\; nb\; \ast \; (R\; n)\; \int \; d\; 3\; r\; \phi \; \ast \; (r\; -\; R\; n)\; H\; at\; (r\; -\; R\; \ell )\; \psi \; (r)\; +\; \sum \; R\; nb\; \ast \; (R\; n)\; \int \; d\; 3\; r\; \phi \; \ast \; (r\; -\; R\; n)\; \Delta \; U\; (r)\; \psi \; (\; р).\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\; \_\; \{\backslash \; ell\}\}\}\; \backslash \; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\}\; b\; ^\; \{*\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\})\; \backslash \; \backslash \; int\; d\; ^\; \{3\}\; r\; \backslash \; \backslash \; varphi\; ^\; \{*\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r-R\_\; \{n\}\}\})\; H\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{at\}\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r-R\; \_\; \{\backslash \; ell\}\}\; \})\; \backslash \; psi\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; \backslash \; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\}\; b\; ^\; \{*\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\})\; \backslash \; \backslash \; int\; d\; ^\; \{3\}\; r\; \backslash \; \backslash \; varphi\; ^\; \{*\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r-R\_\; \{n\}\}\})\; \backslash \; Delta\; U\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; \backslash \; psi\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; \backslash .\; \}$

$\approx \; E\; m\; +\; b\; \ast \; (0)\; \sum \; R\; ne\; -\; ik\; \cdot \; R\; n\; \int \; d\; 3\; r\; \phi \; \ast \; (r\; -\; R\; n)\; \Delta \; U\; (r)\; \psi \; (r).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; приблизительно\; E\_\; \{m\}\; +\; b\; ^\; \{*\}\; (0)\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; i\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{k\; \backslash \; cdot\; R\_\; \{n\}\}\}\}\; \backslash \; \backslash \; int\; d\; ^\; \{3\}\; r\; \backslash \; \backslash \; varphi\; ^\; \{*\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r-R\_\; \{n\}\}\})\; \backslash \; Delta\; U\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; \backslash \; psi\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\; \}\})\; \backslash .\}$

Здесь не учитываются члены, включающие атомный гамильтониан в узлах, отличных от его центра. Тогда энергия становится

$\epsilon \; m\; (k)\; =\; E\; m\; -\; N\; |\; b\; (0)\; |\; 2\; (\beta \; м\; +\; \sum \; р\; N\; \ne \; 0\; \sum \; l\; \gamma \; м,\; l\; (R\; n)\; eik\; \cdot \; R\; n),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{k\}\})\; =\; E\_\; \{m\}\; -\; N\; \backslash \; |\; b\; (0)\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; beta\; \_\; \{m\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{\{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; neq\; 0\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{l\}\; \backslash \; gamma\; \_\; \{\; m,\; l\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\})\; e\; ^\; \{i\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{k\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\}$

$=\; Е\; м\; -\; \beta \; м\; +\; \sum \; р\; N\; \ne \; 0\; \sum \; leik\; \cdot \; R\; n\; \gamma \; m,\; l\; (R\; n)\; 1\; +\; \sum \; R\; n\; \ne \; 0\; \sum \; leik\; \cdot \; R\; n\; \alpha \; m,\; l\; (R\; n),\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; E\_\; \{m\}\; -\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\; \_\; \{m\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{\{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; neq\; 0\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{l\}\; e\; ^\; \{i\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{k\})\; \}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\}\}\; \backslash \; gamma\; \_\; \{m,\; l\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\})\}\; \{\backslash \; \backslash \; 1+\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\; \}\; \backslash \; neq\; 0\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{l\}\; e\; ^\; \{i\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{k\; \backslash \; cdot\; R\_\; \{n\}\}\}\}\; \backslash \; alpha\; \_\; \{m,\; l\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\})\; \}\}\; \backslash ,\}$

где E m - энергия m-го атомного уровня, а $\alpha \; m,\; l\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{m,\; l\}\}$, $\beta \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \_\; \{m\}\}$и $\gamma \; m,\; l\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{m,\; l\}\}$- матрица жесткой привязки элементы.

Матричные элементы жесткой привязки

Элемент

$\beta \; m\; =\; -\; \int \; \phi \; m\; \ast \; (r)\; \Delta \; U\; (r)\; \phi \; m\; (r)\; d\; 3\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \_\; \{m\}\; =\; -\; \backslash \; int\; \backslash \; varphi\; \_\; \{m\}\; ^\; \{*\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; \backslash \; Delta\; U\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; \backslash \; varphi\; \_\; \{m\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; \backslash ,\; d\; ^\; \{3\}\; r\; \backslash \}$,

- сдвиг энергии атома из-за потенциала на соседних атомах. В большинстве случаев этот срок относительно невелик. Если он большой, это означает, что потенциалы на соседних атомах имеют большое влияние на энергию центрального атома.

Следующий член

$\gamma \; m,\; l\; (R\; n)\; =\; -\; \int \; \phi \; m\; \ast \; (r)\; \Delta \; U\; (r)\; \phi \; l\; (r\; -\; R\; n)\; d\; 3\; r,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; гамма\; \_\; \{m,\; l\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\})\; =\; -\; \backslash \; int\; \backslash \; varphi\; \_\; \{m\}\; ^\; \{*\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; \backslash \; Delta\; U\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{\; r\}\})\; \backslash \; varphi\; \_\; \{l\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r-R\_\; \{n\}\}\})\; \backslash ,\; d\; ^\; \{3\}\; r\; \backslash ,\}$

- это элемент межатомной матрицы между атомные орбитали m и l на соседних атомах. Его также называют энергией связи или интегралом двух центров, и это наиболее важный элемент в модели сильной связи.

Последние члены

$\alpha \; m,\; l\; (R\; n)\; =\; \int \; \phi \; m\; \ast \; (r)\; \phi \; l\; (r\; -\; R\; n)\; d\; 3\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{m,\; l\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{R\_\; \{n\}\}\})\; =\; \backslash \; int\; \backslash \; varphi\; \_\; \{m\}\; ^\; \{*\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r\}\})\; \backslash \; varphi\; \_\; \{l\}\; (\{\backslash \; boldsymbol\; \{r-R\_\; \{n\; \}\}\})\; \backslash ,\; d\; ^\; \{3\}\; r\; \backslash \}$,

обозначают интегралы перекрытия между атомными орбиталями m и l на соседних атомах.

Как упоминалось ранее, значения элементов матрицы $\beta \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \_\; \{m\}\}$не настолько велика по сравнению с энергией ионизации, потому что потенциалы соседних атомов на центральном атоме ограничены. Если $\beta \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \_\; \{m\}\}$не относительно мало, это означает, что потенциал соседнего атома на центральном атоме тоже не мал. В этом случае это признак того, что модель сильного связывания по какой-то причине не очень хорошая модель для описания структуры ленты. Например, межатомные расстояния могут быть слишком малы или заряды на атомах или ионах в решетке неправильные.

Межатомные матричные элементы $\gamma \; m,\; l\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; \_\; \{m,\; l\}\}$могут быть вычислены напрямую, если атомные волновые функции и потенциалы известны в деталь. Чаще всего это не так. Есть множество способов получить параметры для этих матричных элементов. Параметры могут быть получены из данных по энергии химической связи. Энергии и собственные состояния в некоторых точках высокой симметрии в зоне Бриллюэна могут быть оценены, а интегралы значений в матричных элементах могут быть сопоставлены с данными зонной структуры из других источников.

Элементы матрицы межатомного перекрытия $\alpha \; m,\; l\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \_\; \{m,\; l\}\}$должны быть довольно маленькими или пренебрежимо малыми. Если они большие, это снова указывает на то, что модель жесткой привязки имеет ограниченную ценность для некоторых целей. Например, большое перекрытие является признаком слишком короткого межатомного расстояния. В металлах и переходных металлах широкая s-зона или sp-зона может быть лучше приспособлена к существующему расчету зонной структуры путем введения матричных элементов следующего ближайшего соседа и интегралов перекрытия, но подобные подходы не дают очень полезной модели. для электронной волновой функции металла. Широкие зоны в плотных материалах лучше описываются моделью почти свободных электронов.

Модель сильной связи особенно хорошо работает в случаях, когда ширина зоны мала, а электроны сильно локализованы, как в случае d-зон и f-диапазоны. Модель также дает хорошие результаты в случае открытых кристаллических структур, таких как алмаз или кремний, где количество соседей невелико. Модель может быть легко объединена с моделью почти свободных электронов в гибридной модели NFE-TB.

Функции Блоха описывают электронные состояния в периодической кристаллической решетке. Функции Блоха могут быть представлены как ряд Фурье

$\psi \; m\; (k,\; r)\; =\; 1\; N\; \sum \; nam\; (R\; n,\; r)\; eik\; \cdot \; R\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{m\}\; \backslash \; mathbf\; \{\; (k,\; r)\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{N\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \{a\_\; \{m\}\; \backslash \; mathbf\; \{(R\_\; \{n\},\; r)\}\}\; e\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{ik\; \backslash \; cdot\; R\_\; \{n\}\}\}\; \backslash ,\}$

где Rnобозначает атомную позицию в периодической кристаллической решетке, k - волновой вектор блоховского По теореме r - положение электрона, m - индекс зоны, а сумма - по всем N атомным позициям. Теорема Блоха представляет собой точное собственное решение для волновой функции электрона в периодическом кристаллическом потенциале, соответствующем энергии E m(k), и распространяется по всему объему кристалла.

Используя анализ преобразования Фурье, пространственно локализованную волновую функцию для m-го энергетического диапазона можно построить из нескольких теорем Блоха:

$am\; (R\; n,\; r)\; =\; 1\; N\; \sum \; ke\; -\; ik\; R\; n\; \psi \; m\; (k,\; r)\; =\; 1\; N\; \sum \; keik\; \cdot \; (r\; -\; R\; n)\; um\; (k,\; r).\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{m\}\; \backslash \; mathbf\; \{(R\_\; \{n\},\; r)\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{N\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; \{e\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{-ik\; \backslash \; cdot\; R\_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{m\}\; \backslash \; mathbf\; \{(k,\; r)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{N\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\; \}\}\; \{e\; ^\; \{\backslash \; mathbf\; \{ik\; \backslash \; cdot\; (r-R\_\; \{n\})\}\}\; u\_\; \{m\}\; \backslash \; mathbf\; \{(k,\; r)\}\}.\}$

Эти волновые функции реального пространства $am\; (R\; n,\; r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{a\_\; \{m\}\; \backslash \; mathbf\; \{(R\_\; \{n\},\; r)\}\}\}$называются функциями Ванье и довольно близко локализованы на атомный сайт Rn. Конечно, если у нас есть точные функции Ванье, точные функции Блоха могут быть получены с использованием обратного преобразования Фурье.

Однако непросто вычислить напрямую либо функции Блоха, либо функции Ванье. При расчете электронных структур твердых тел необходим приближенный подход. Если мы рассмотрим крайний случай изолированных атомов, функция Ванье превратилась бы в изолированную атомную орбиталь. Этот предел предполагает выбор атомной волновой функции в качестве приближенной формы для функции Ванье, так называемого приближения сильной связи.

Современные объяснения электронной структуры, такие как модель t-J и модель Хаббарда, основаны на модели сильной связи. Тесную привязку можно понять, работая в рамках формализма второго квантования.

Используя атомную орбиталь в качестве базового состояния, оператор гамильтониана второго квантования в структуре сильной связи можно записать как:

$H\; =\; -\; t\; \sum \; ⟨i,\; j⟩,\; \sigma \; (ci,\; \sigma \; †\; cj,\; \sigma \; +\; час.\; c.)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; =\; -t\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; langle\; i,\; j\; \backslash \; rangle,\; \backslash \; sigma\}\; (c\_\; \{i,\; \backslash \; sigma\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; c\_\; \{j,\; \backslash \; sigma\; \}\; ^\; \{\}\; +\; hc)\}$,

$ci\; \sigma \; †,\; cj\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{i\; \backslash \; sigma\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\},\; c\_\; \{j\; \backslash \; sigma\}\}$- операторы создания и уничтожения

$\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$- спиновая поляризация

$t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; t\}$- интеграл перескока

$⟨i,\; j⟩\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; i,\; j\; \backslash \; rangle\}$- индекс ближайшего соседа

$h.\; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; hc\}$- эрмитовское сопряжение другого члена (ов)

Здесь интеграл перескока $t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; t\}$соответствует интеграл переноса $\gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\}$в модели с сильной привязкой. Рассматривая крайние случаи $t\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; \backslash \; rightarrow\; 0\}$, электрон не может прыгать в соседние узлы. Этот случай - изолированная атомная система. Если параметр скачкообразного изменения включен ($t>0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; t>0\}$) электроны могут оставаться в обоих узлах, понижая их кинетическую энергию.

В сильно коррелированной электронной системе необходимо учитывать электрон-электронное взаимодействие. Этот член можно записать в виде

$H\; ee\; =\; 1\; 2\; \sum \; n,\; m,\; \sigma \; ⟨n\; 1\; m\; 1,\; n\; 2\; m\; 2\; |\; e\; 2\; |\; r\; 1\; -\; r\; 2\; |\; |\; n\; 3\; m\; 3,\; N\; 4\; м\; 4⟩\; сп\; 1\; м\; 1\; \sigma \; 1\; †\; сп\; 2\; м\; 2\; \sigma \; 2\; †\; сп\; 4\; м\; 4\; \sigma \; 2\; сп\; 3\; м\; 3\; \sigma \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; H\_\; \{ee\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 2\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n,\; m,\; \backslash \; sigma\}\; \backslash \; langle\; n\_\; \{1\}\; m\_\; \{1\},\; n\_\; \{2\}\; m\_\; \{2\}\; |\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{2\}\}\; \{|\; r\_\; \{1\}\; -r\_\; \{2\}\; |\}\}\; |\; n\_\; \{3\}\; m\_\; \{3\},\; n\_\; \{4\}\; m\_\; \{4\}\; \backslash \; rangle\; c\_\; \{n\_\; \{1\}\; m\_\; \{1\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; c\_\; \{n\_\; \{2\}\; m\_\; \{2\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; c\_\; \{n\_\; \{4\}\; m\_\; \{4\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{2\}\}\; c\_\; \{n\_\; \{3\}\; m\_\; \{3\}\; \backslash \; sigma\; \_\; \{1\}\}\}$

Этот гамильтониан взаимодействия включает в себя энергию прямого кулоновского взаимодействия и энергию обменного взаимодействия между en электроны. Есть несколько новых физических свойств, вызванных этой энергией взаимодействия электронов, таких как переходы металл-изолятор (MIT), высокотемпературная сверхпроводимость и несколько квантовых фазовых переходов.

Здесь модель сильной связи проиллюстрирована с помощью модели s-диапазона для цепочки атомов с одной s-орбиталью по прямой с интервалом а и σ-связями между атомными узлами.

Чтобы найти приблизительные собственные состояния гамильтониана, мы можем использовать линейную комбинацию атомных орбиталей

$|\; k⟩\; =\; 1\; N\; \sum \; n\; =\; 1\; N\; e\; i\; n\; k\; a\; |\; n⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; k\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{N\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{N\}\; e\; ^\; \{inka\}\; |\; n\; \backslash \; rangle\}$

где N = общее количество сайтов, а $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$- реальный параметр с $-\; \pi \; a\; \leqq \; k\; \leqq \; \pi \; a\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{\; a\}\}\; \backslash \; leqq\; k\; \backslash \; leqq\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{a\}\}\}$. (Эта волновая функция нормирована к единице главным множителем 1 / √N при условии, что перекрытие атомных волновых функций игнорируется.) Если предположить, что перекрываются только ближайшие соседи, единственные ненулевые матричные элементы гамильтониана могут быть выражены как

$⟨\; п\; |\; H\; |\; п⟩\; знак\; равно\; E\; 0\; =\; E\; я\; -\; U.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; n\; |\; H\; |\; n\; \backslash \; rangle\; =\; E\_\; \{0\}\; =\; E\_\; \{i\}\; -U\; \backslash .\}$

$⟨n\; \pm \; 1\; |\; H\; |\; n⟩\; знак\; равно\; -\; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; n\; \backslash \; pm\; 1\; |\; H\; |\; n\; \backslash \; rangle\; =\; -\; \backslash \; Delta\; \backslash \}$

$⟨n\; |\; n⟩\; =\; 1;\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; n\; |\; n\; \backslash \; rangle\; =\; 1\; \backslash ;\}$$⟨n\; \pm \; 1\; |\; п⟩\; =\; S.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; n\; \backslash \; pm\; 1\; |\; n\; \backslash \; rangle\; =\; S\; \backslash .\}$

Энергия E i - это энергия ионизации, соответствующая выбранной атомной орбитали, а U - энергетический сдвиг орбитали. в результате потенциала соседних атомов. $⟨n\; \pm \; 1\; |\; H\; |\; n⟩\; =\; -\; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; n\; \backslash \; pm\; 1\; |\; H\; |\; n\; \backslash \; rangle\; =\; -\; \backslash \; Delta\}$элементы, которые являются элементами межатомной матрицы Слейтера и Костера, являются энергии связи $E\; i,\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{i,\; j\}\}$. В этой одномерной модели s-диапазона у нас есть только $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$-связи между s-орбиталями с энергией связи $E\; s,\; s\; =\; V\; ss\; \sigma \; \{\backslash \; стиль\; отображения\; E\_\; \{s,\; s\}\; =\; V\_\; \{ss\; \backslash \; sigma\}\}$. Перекрытие состояний на соседних атомах равно S. Мы можем получить энергию состояния $|\; k⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; k\; \backslash \; rangle\}$используя приведенное выше уравнение:

$H\; |\; k⟩\; =\; 1\; N\; \sum \; n\; e\; i\; n\; k\; a\; H\; |\; n⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; |\; k\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{N\}\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; e\; ^\; \{inka\}\; H\; |\; n\; \backslash \; rangle\}$

$⟨k\; |\; H\; |\; k⟩\; знак\; равно\; 1\; N\; \sum \; n,\; m\; e\; i\; (n\; -\; m)\; k\; a\; m\; |\; H\; |\; п⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; k\; |\; H\; |\; k\; \backslash \; rangle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n,\; \backslash \; m\}\; e\; ^\; \{i\; (nm)\; ka\}\; \backslash \; langle\; m\; |\; H\; |\; n\; \backslash \; rangle\}$$=\; 1\; N\; \sum \; n\; ⟨n\; |\; H\; |\; n⟩\; +\; 1\; N\; \sum \; n\; ⟨n\; -\; 1\; |\; H\; |\; п⟩\; е\; +\; я\; к\; а\; +\; 1\; н\; \sum \; п\; ⟨п\; +\; 1\; |\; H\; |\; п⟩\; е\; -\; ika\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \backslash \; langle\; n\; |\; H\; |\; n\; \backslash \; rangle\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \}\; \backslash \; langle\; n-1\; |\; H\; |\; n\; \backslash \; rangle\; e\; ^\; \{+\; ika\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \backslash \; langle\; n\; +\; 1\; |\; H\; |\; n\; \backslash \; rangle\; e\; ^\; \{-\; ika\}\}$$=\; E\; 0–2\; \Delta \; cos\; \; (ka),\; \{\backslash \; displaystyle\; =\; E\_\; \{0\}\; -2\; \backslash \; Delta\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; (ka)\; \backslash ,\}$

где, например,

$1\; N\; \sum \; n\; ⟨n\; |\; H\; |\; n⟩\; знак\; равно\; E\; 0\; 1\; N\; \sum \; N\; 1\; знак\; равно\; E\; 0,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \backslash \; langle\; n\; |\; H\; |\; n\; \backslash \; rangle\; =\; E\_\; \{0\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; 1\; =\; E\_\; \{0\}\; \backslash ,\}$

и

$1\; N\; \sum \; n\; ⟨n\; -\; 1\; |\; H\; |\; N⟩\; е\; +\; я\; К\; а\; знак\; равно\; -\; \Delta \; е\; я\; К\; а\; 1\; N\; \sum \; N\; 1\; знак\; равно\; -\; \Delta \; е\; я\; К\; а.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \backslash \; langle\; n-1\; |\; H\; |\; n\; \backslash \; rangle\; e\; ^\; \{+\; ika\}\; =\; -\; \backslash \; Delta\; e\; ^\; \{ika\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; 1\; =\; -\; \backslash \; Delta\; e\; ^\; \{ika\}\; \backslash .\}$

$1\; N\; \sum \; n\; ⟨n\; -\; 1\; |\; N⟩\; E\; +\; I\; K\; A\; =\; S\; e\; i\; K\; a\; 1\; N\; \sum \; N\; 1\; =\; S\; E\; i\; K\; a.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \backslash \; langle\; n-1\; |\; n\; \backslash \; rangle\; e\; ^\; \{+\; ika\}\; =\; Se\; ^\; \{ika\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; 1\; =\; Se\; ^\; \{ika\}\; \backslash .\}$

Таким образом, энергия этого состояния $|\; k⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; k\; \backslash \; rangle\}$можно представить в знакомой форме энергетической дисперсии:

$E\; (k)\; =\; E\; 0\; -\; 2\; \Delta \; cos\; \; (ka)\; 1\; +\; 2\; S\; соз\; \; (ка)\; \{\backslash \; Displaystyle\; E\; (к)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{E\_\; \{0\}\; -2\; \backslash \; Delta\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; (ka)\}\; \{1\; +\; 2S\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; (ka)\}\}\}$.

• Для $k\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; 0\}$энергия равна $E\; =\; (E\; 0–2\; \Delta )\; /\; (1\; +\; 2\; S)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; (E\_\; \{\; 0\}\; -2\; \backslash \; Delta)\; /\; (1\; +\; 2S)\}$и состояние состоит из суммы всех атомных орбиталей. Это состояние можно рассматривать как цепочку связывающих орбиталей.
• . Для $k\; =\; \pi \; /\; (2\; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; \backslash \; pi\; /\; (2a)\}$энергия равна $E\; =\; E\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; E\_\; \{0\}\}$и состояние состоит из суммы атомных орбиталей, которые являются множителем $ei\; \pi \; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{\; i\; \backslash \; pi\; /\; 2\}\}$не в фазе. Это состояние можно рассматривать как цепочку несвязывающих орбиталей.
• Наконец для $k\; =\; \pi \; /\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; \backslash \; pi\; /\; a\}$энергия $E\; =\; (E\; 0\; +\; 2\; \Delta )\; /\; (1-2\; S)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; (E\_\; \{0\}\; +2\; \backslash \; Delta)\; /\; (1-2S)\}$и состояние состоит из переменная сумма атомных орбиталей. Это состояние можно рассматривать как цепочку антисвязывающих орбиталей.

. Этот пример легко расширить до трех измерений, например, до объемно-центрированной кубической или гранецентрированной кубической решетки путем введения местоположений векторов ближайших соседей. вместо просто n a. Точно так же метод может быть расширен на несколько диапазонов, используя несколько разных атомных орбиталей на каждом сайте. Приведенная выше общая формулировка показывает, как можно осуществить эти расширения.

В 1954 году Дж. Слейтер и Г.Ф. Костер опубликовал, в основном для расчета d-полос переходного металла, таблицу межатомных матричных элементов

$E\; i,\; j\; (r\; \to \; n,\; n\; \text{'})\; =\; ⟨n,\; i\; |\; H\; |\; n\; \prime ,\; j⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{i,\; j\}\; (\{\backslash \; vec\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}\; \_\; \{n,\; n\; \text{'}\})\; =\; \backslash \; langle\; n,\; i\; |\; H\; |\; n\text{'},\; j\; \backslash \; rangle\}$

, который также может быть получен из кубических гармонических орбиталей напрямую. В таблице представлены матричные элементы как функции от LCAO двухцентровых интегралов связей между двумя кубическими гармоническими орбиталями, i и j, на соседних атомах. Интегралами связи являются, например, $V\; ss\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{ss\; \backslash \; sigma\}\}$, $V\; pp\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{pp\; \backslash \; pi\}\}$и $V\; dd\; \delta \; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{dd\; \backslash \; delta\}\}$для связей сигма, pi и дельта (обратите внимание, что эти интегралы также должны зависеть от расстояния между атомами, т.е. являются функцией от $(l,\; m,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; (l,\; m,\; n)\}$, хотя это не указывается явно каждый раз.).

Межатомный вектор выражается как

$r\; \to \; n,\; n\; \text{'}=\; (rx,\; ry,\; rz)\; =\; d\; (l,\; m,\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \}\}\; \_\; \{n,\; n\; \text{'}\}\; =\; (r\_\; \{x\},\; r\_\; \{y\},\; r\_\; \{z\})\; =\; d\; (l,\; m,\; n)\}$

где d - расстояние между атомами и l, m и n - направляющие косинусы к соседнему атому.

$E\; s,\; s\; =\; V\; ss\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{s,\; s\}\; =\; V\_\; \{ss\; \backslash \; sigma\}\}$

$E\; s,\; x\; =\; l\; V\; sp\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{s,\; x\}\; =\; lV\_\; \{sp\; \backslash \; sigma\}\}$

$E\; x,\; x\; =\; l\; 2\; V\; pp\; \sigma \; +\; (1\; -\; l\; 2)\; V\; pp\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{x,\; x\}\; =\; l\; ^\; \{2\}\; V\_\; \{pp\; \backslash \; sigma\; \}\; +\; (1-l\; ^\; \{2\})\; V\_\; \{pp\; \backslash \; pi\}\}$

$E\; x,\; y\; =\; lm\; V\; pp\; \sigma \; -\; lm\; V\; pp\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{x,\; y\}\; =\; lmV\_\; \{pp\; \backslash \; sigma\; \}\; -lmV\_\; \{pp\; \backslash \; pi\}\}$

$E\; x,\; z\; =\; ln\; V\; pp\; \sigma \; -\; ln\; V\; pp\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{x,\; z\}\; =\; lnV\_\; \{pp\; \backslash \; sigma\}\; -lnV\_\; \{pp\; \backslash \; pi\}\}$

$E\; s,\; xy\; =\; 3\; лм\; V\; sd\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{s,\; xy\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; lmV\_\; \{sd\; \backslash \; sigma\}\}$

$E\; s,\; x\; 2\; -\; y\; 2\; =\; 3\; 2\; (l\; 2\; -\; m\; 2)\; V\; sd\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{s,\; x\; ^\; \{2\}\; -y\; ^\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sqrt\; \{3\}\}\; \{2\}\}\; (l\; ^\; \{2\; \}\; -m\; ^\; \{2\})\; V\_\; \{sd\; \backslash \; sigma\}\}$

$E\; s,\; 3\; z\; 2\; -\; r\; 2\; =\; [n\; 2\; -\; (l\; 2\; +\; m\; 2)\; /\; 2]\; V\; sd\; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{\; s,\; 3z\; ^\; \{2\}\; -r\; ^\; \{2\}\}\; =\; [n\; ^\; \{2\}\; -\; (l\; ^\; \{2\}\; +\; m\; ^\; \{2\})\; /\; 2]\; V\_\; \{sd\; \backslash \; sigma\}\}$

$E\; x,\; xy\; =\; 3\; l\; 2\; m\; V\; pd\; \sigma \; +\; m\; (\; 1\; -\; 2\; l\; 2)\; V\; pd\; \pi \; \{\backslash displaystyle\; E\_\{x,xy\}=\{\backslash sqrt\; \{3\}\}l^\{2\}mV\_\{pd\backslash sigma\; \}\; +m(1-2l^\{2\})V\_\{pd\backslash pi\; \}\}$

$E\; x,\; yz\; =\; 3\; lmn\; V\; pd\; \sigma \; -\; 2\; lmn\; V\; pd\; \pi \; \{\backslash displaystyle\; E\_\{x,yz\}=\{\backslash sqrt\; \{3\}\}lmnV\; \_\{pd\backslash sigma\; \}-2lmnV\_\{pd\backslash pi\; \}\}$

$E\; x,\; z\; x\; =\; 3\; l\; 2\; n\; V\; p\; d\; \sigma \; +\; n\; (\; 1\; -\; 2\; l\; 2)\; V\; p\; d\; \pi \; \{\backslash displaystyle\; E\_\{x,zx\}=\{\backslash sqrt\; \{3\}\}l^\{2\}nV\_\{pd\backslash sigma\; \}+n(1-2l^\{2\})V\_\{pd\backslash pi\; \}\}$

$E\; x,\; x\; 2\; -\; y\; 2\; =\; 3\; 2\; l\; (\; l\; 2\; -\; m\; 2)\; V\; p\; d\; \sigma \; +\; l\; (\; 1\; -\; l\; 2\; +\; m\; 2)\; V\; p\; d\; \pi \; \{\backslash displaystyle\; E\_\{x,x^\{2\}-y^\{2\}\}=\{\backslash frac\; \{\backslash sqrt\; \{3\}\}\{2\}\}l(l^\{2\}-m^\{2\})V\_\{pd\backslash sigma\; \}+l(1-l^\{2\}+m^\{2\})V\_\{pd\backslash pi\; \}\}$

$E\; y,\; x\; 2\; -\; y\; 2\; =\; 3\; 2\; m\; (\; l\; 2\; -\; m\; 2)\; V\; p\; d\; \sigma \; -\; m\; (\; 1\; +\; l\; 2\; -\; m\; 2)\; V\; p\; d\; \pi \; \{\backslash displaystyle\; E\_\{y,x^\{2\}-y^\{2\}\}=\{\backslash frac\; \{\backslash sqrt\; \{3\}\}\{2\}\}m(l^\{2\}-m^\{2\})V\_\{pd\backslash sigma\; \}-m(1+l^\{2\}-m^\{2\})V\_\{pd\backslash pi\; \}\}$

$E\; z,\; x\; 2\; -\; y\; 2\; =\; 3\; 2\; n\; (\; l\; 2\; -\; m\; 2)\; V\; p\; d\; \sigma \; -\; n\; (\; l\; 2\; -\; m\; 2)\; V\; p\; d\; \pi \; \{\backslash displaystyle\; E\_\{z,x^\{2\}-y^\{2\}\}=\{\backslash frac\; \{\backslash sqrt\; \{3\}\}\{2\}\}n(l^\{2\}-m^\{2\})V\_\{pd\backslash sigma\; \}-n(l^\{2\}-m^\{2\})V\_\{pd\backslash pi\; \}\}$

$E\; x,\; 3\; z\; 2\; -\; r\; 2\; =\; l\; [\; n\; 2\; -\; (\; l\; 2\; +\; m\; 2)\; /\; 2\; ]\; V\; p\; d\; \sigma \; -\; 3\; l\; n\; 2\; V\; p\; d\; \pi \; \{\backslash displaystyle\; E\_\{x,3z^\{2\}-r^\{2\}\}=l[n^\{2\}-(l^\{2\}+m^\{2\})/2]V\_\{pd\backslash sigma\; \}-\{\backslash sqrt\; \{3\}\}ln^\{2\}V\_\{pd\backslash pi\; \}\}$

$E\; y,\; 3\; z\; 2\; -\; r\; 2\; =\; m\; [\; n\; 2\; -\; (\; l\; 2\; +\; m\; 2)\; /\; 2\; ]\; V\; p\; d\; \sigma \; -\; 3\; m\; n\; 2\; V\; p\; d\; \pi \; \{\; \backslash displaystyle\; E\_\{y,3z^\{2\}-r^\{2\}\}=m[n^\{2\}-(l^\{2\}+m^\{2\})/2]V\_\{pd\backslash sigma\; \}-\{\backslash sqrt\; \{3\}\}mn^\{2\}V\_\{pd\backslash pi\; \}\}$

$E\; z,\; 3\; z\; 2\; -\; r\; 2\; =\; n\; [\; n\; 2\; -\; (\; l\; 2\; +\; m\; 2)\; /\; 2\; ]\; V\; p\; d\; \sigma \; +\; 3\; n\; (\; l\; 2\; +\; m\; 2)\; V\; p\; d\; \pi \; \{\backslash displaystyle\; E\_\{z,3z^\{2\}-r^\{2\}\}=n[n^\{2\}-(l^\{2\}+m^\{2\})/2]V\_\{pd\backslash sigma\; \}+\{\backslash sqrt\; \{3\}\}n(l^\{2\}+m^\{2\})V\_\{pd\backslash pi\; \}\}$

$E\; x\; y,\; x\; y\; =\; 3\; l\; 2\; m\; 2\; V\; d\; d\; \sigma \; +\; (\; l\; 2\; +\; m\; 2\; -\; 4\; l\; 2\; m\; 2)\; V\; d\; d\; \pi \; +\; (\; n\; 2\; +\; l\; 2\; m\; 2)\; V\; d\; d\; \delta \; \{\backslash displaystyle\; E\_\{xy,xy\}=3l^\{2\}m^\{2\}V\_\{dd\backslash sigma\; \}+(l^\{2\}+m^\{2\}-4l^\{2\}m^\{2\})V\_\{dd\backslash pi\; \}+(n^\{2\}+l^\{2\}m^\{2\})V\_\{dd\backslash delta\; \}\}$

$E\; x\; y,\; y\; z\; =\; 3\; l\; m\; 2\; n\; V\; d\; d\; \sigma \; +\; l\; n\; (\; 1\; -\; 4\; m\; 2)\; V\; d\; d\; \pi \; +\; l\; n\; (\; m\; 2\; -\; 1)\; V\; d\; d\; \delta \; \{\backslash displaystyle\; E\_\{xy,yz\}=3lm^\{2\}nV\_\{dd\backslash sigma\; \}+ln(1-4m^\{2\})V\_\{dd\backslash pi\; \}+ln(m^\{2\}-1)V\_\{dd\backslash delta\; \}\}$

$E\; x\; y,\; z\; x\; =\; 3\; l\; 2\; m\; n\; V\; d\; d\; \sigma \; +\; m\; n\; (\; 1\; -\; 4\; l\; 2)\; V\; d\; d\; \pi \; +\; m\; n\; (\; l\; 2\; -\; 1)\; V\; d\; d\; \delta \; \{\backslash displaystyle\; E\_\{xy,zx\}=3l^\{2\}mnV\_\{dd\backslash sigma\; \}+mn(1-4l^\{2\})V\_\{dd\backslash pi\; \}+mn(l^\{2\}-1)V\_\{dd\backslash delta\; \}\}$

$E\; x\; y,\; x\; 2\; -\; y\; 2\; =\; 3\; 2\; l\; m\; (\; l\; 2\; -\; m\; 2)\; V\; d\; d\; \sigma \; +\; 2\; l\; m\; (\; m\; 2\; -\; l\; 2)\; V\; d\; d\; \pi \; +\; [\; l\; m\; (\; l\; 2\; -\; m\; 2)\; /\; 2\; ]\; V\; d\; d\; \delta \; \{\backslash displaystyle\; E\_\{xy,x^\{2\}-y^\{2\}\}=\{\backslash frac\; \{3\}\{2\}\}lm(l^\{2\}-m^\{2\})V\_\{dd\backslash sigma\; \}+2lm(m^\{2\}-l^\{2\})V\_\{dd\backslash pi\; \}+[lm(l^\{2\}-m^\{2\})/2]V\_\{dd\backslash delta\; \}\}$

$E\; y\; z,\; x\; 2\; -\; y\; 2\; =\; 3\; 2\; m\; n\; (\; l\; 2\; -\; m\; 2)\; V\; d\; d\; \sigma \; -\; m\; n\; [\; 1\; +\; 2\; (\; l\; 2\; -\; m\; 2)\; ]\; V\; d\; d\; \pi \; +\; m\; n\; [\; 1\; +\; (\; l\; 2\; -\; m\; 2)\; /\; 2\; ]\; V\; d\; d\; \delta \; \{\backslash displaystyle\; E\_\{yz,x^\{2\}-y^\{2\}\}=\{\backslash frac\; \{3\}\{2\}\}mn(l^\{2\}-m^\{2\})V\_\{dd\backslash sigma\; \}-mn[1+2(l^\{2\}-m^\{2\})]V\_\{dd\backslash pi\; \}+mn[1+(l^\{2\}-m^\{2\})/2]V\_\{dd\backslash delta\; \}\}$

$E\; z\; x,\; x\; 2\; -\; y\; 2\; =\; 3\; 2\; n\; l\; (\; l\; 2\; -\; m\; 2)\; V\; d\; d\; \sigma \; +\; n\; l\; [\; 1\; -\; 2\; (\; l\; 2\; -\; m\; 2)\; ]\; V\; d\; d\; \pi \; -\; n\; l\; [\; 1\; -\; (\; l\; 2\; -\; m\; 2)\; /\; 2\; ]\; V\; d\; d\; \delta \; \{\backslash displaystyle\; E\_\{zx,x^\{2\}-y^\{2\}\}=\{\backslash frac\; \{3\}\{2\}\}nl(l^\{2\}-m^\{2\})V\_\{dd\backslash sigma\; \}+nl[1-2(l^\{2\}-m^\{2\})]V\_\{dd\backslash pi\; \}-nl[1-(l^\{2\}-m^\{2\})/2]V\_\{dd\backslash delta\; \}\}$

$E\; x\; y,\; 3\; z\; 2\; -\; r\; 2\; =\; 3\; [\; l\; m\; (\; n\; 2\; -\; (\; l\; 2\; +\; m\; 2)\; /\; 2)\; ]\; V\; d\; d\; \sigma \; -\; 2\; l\; m\; n\; 2\; V\; d\; d\; \pi \; +\; [\; l\; m\; (\; 1\; +\; n\; 2)\; /\; 2\; ]\; V\; d\; d\; \delta \; ]\; \{\backslash displaystyle\; E\_\{xy,3z^\{2\}-r^\{2\}\}=\{\backslash sqrt\; \{3\}\}\backslash left[lm(n^\{2\}-(l^\{2\}+m^\{2\})/2)]V\_\{dd\backslash sigma\; \}-2lmn^\{2\}V\_\{dd\backslash pi\; \}+[lm(1+n^\{2\})/2]V\_\{dd\backslash delta\; \}\backslash right]\}$

$E\; y\; z,\; 3\; z\; 2\; -\; r\; 2\; =\; 3\; [\; m\; n\; (\; n\; 2\; -\; (\; l\; 2\; +\; m\; 2)\; /\; 2)\; V\; d\; d\; \sigma \; +\; m\; n\; (\; l\; 2\; +\; m\; 2\; -\; n\; 2)\; V\; d\; d\; \pi \; -\; [\; m\; n\; (\; l\; 2\; +\; m\; 2)\; /\; 2\; ]\; V\; d\; d\; \delta \; ]\; \{\backslash displaystyle\; E\_\{yz,3z^\{2\}-r^\{2\}\}=\{\backslash sqrt\; \{3\}\}\backslash left[mn(n^\{2\}-(l^\{2\}+m^\{2\})/2)V\_\{dd\backslash sigma\; \}+mn(l^\{2\}+m^\{2\}-n^\{2\})V\_\{dd\backslash pi\; \}-[mn(l^\{2\}+m^\{2\})/2]V\_\{dd\backslash delta\; \}\backslash right]\}$

$E\; z\; x,\; 3\; z\; 2\; -\; r\; 2\; =\; 3\; [\; l\; n\; (\; n\; 2\; -\; (\; l\; 2\; +\; m\; 2)\; /\; 2)\; V\; d\; d\; \sigma \; +\; l\; n\; (\; l\; 2\; +\; m\; 2\; -\; n\; 2)\; V\; d\; d\; \pi \; -\; [\; l\; n\; (\; l\; 2\; +\; m\; 2)\; /\; 2\; ]\; V\; d\; d\; \delta \; ]\; \{\backslash displaystyle\; E\_\{zx,3z^\{2\}-r^\{2\}\}=\{\backslash sqrt\; \{3\}\}\backslash left[ln(n^\{2\}-(l^\{2\}+m^\{2\})/2)V\_\{dd\backslash sigma\; \}+ln(l^\{2\}+m^\{2\}-n^\{2\})V\_\{dd\backslash pi\; \}-[ln(l^\{2\}+m^\{2\})/2]V\_\{dd\backslash delta\; \}\backslash right]\}$

$E\; x\; 2\; -\; y\; 2,\; x\; 2\; -\; y\; 2\; =\; 3\; 4\; (\; l\; 2\; -\; m\; 2)\; 2\; V\; d\; d\; \sigma \; +\; [\; l\; 2\; +\; m\; 2\; -\; (\; l\; 2\; -\; m\; 2)\; 2\; ]\; V\; d\; d\; \pi \; +\; [\; n\; 2\; +\; (\; l\; 2\; -\; m\; 2)\; 2\; /\; 4\; ]\; V\; d\; d\; \delta \; \{\backslash displaystyle\; E\_\{x^\{2\}-y^\{2\},x^\{2\}-y^\{2\}\}=\{\backslash frac\; \{3\}\{4\}\}(l^\{2\}-m^\{2\})^\{2\}V\_\{dd\backslash sigma\; \}+[l^\{2\}+m^\{2\}-(l^\{2\}-m^\{2\})^\{2\}]V\_\{dd\backslash pi\; \}+[n^\{2\}+(l^\{2\}-m^\{2\})^\{2\}/4]V\_\{dd\backslash delta\; \}\}$

$E\; x\; 2\; -\; y\; 2,\; 3\; z\; 2\; -\; r\; 2\; =\; 3\; [\; (\; l\; 2\; -\; m\; 2)\; [\; n\; 2\; -\; (\; l\; 2\; +\; m\; 2)\; /\; 2\; ]\; V\; d\; d\; \sigma \; /\; 2\; +\; n\; 2\; (\; m\; 2\; -\; l\; 2)\; V\; d\; d\; \pi \; +\; [\; (\; 1\; +\; n\; 2)\; (\; l\; 2\; -\; m\; 2)\; /\; 4\; ]\; V\; d\; d\; \delta \; ]\; \{\backslash displaystyle\; E\_\{x^\{2\}-y^\{2\},3z^\{2\}-r^\{2\}\}=\{\backslash sqrt\; \{3\}\}\backslash left[(l^\{2\}-m^\{2\})[n^\{2\}-(l^\{2\}+m^\{2\})/2]V\_\{dd\backslash sigma\; \}/2+n^\{2\}(m^\{2\}-l^\{2\})V\_\{dd\backslash pi\; \}+[(1+n^\{2\})(l^\{2\}-m^\{2\})/4]V\_\{dd\backslash delta\; \}\backslash right]\}$

$E\; 3\; z\; 2\; -\; r\; 2,\; 3\; z\; 2\; -\; r\; 2\; =\; [\; n\; 2\; -\; (\; l\; 2\; +\; m\; 2)\; /\; 2]\; 2\; V\; dd\; \sigma \; +\; 3\; n\; 2\; (l\; 2\; +\; m\; 2)\; V\; dd\; \pi \; +\; 3\; 4\; (l\; 2\; +\; m\; 2)\; 2\; V\; dd\; \delta \; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{3z\; ^\; \{2\; \}\; -r\; ^\; \{2\},\; 3z\; ^\; \{2\}\; -r\; ^\; \{2\}\}\; =\; [n\; ^\; \{2\}\; -\; (l\; ^\; \{2\}\; +\; m\; ^\; \{2\})\; /\; 2]\; ^\; \{2\}\; V\_\; \{\; dd\; \backslash \; sigma\}\; +\; 3n\; ^\; \{2\}\; (l\; ^\; \{2\}\; +\; m\; ^\; \{2\})\; V\_\; \{dd\; \backslash \; pi\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\; (l\; ^\; \{2\}\; +\; m\; ^\; \{\; 2\})\; ^\; \{2\}\; V\_\; \{dd\; \backslash \; delta\}\}$

Не все элементы межатомной матрицы указаны явно. Элементы матрицы, не указанные в этой таблице, могут быть построены путем перестановки индексов и направлений косинусов других элементов матрицы в таблице.

• Электронная зонная структура
• Модель почти свободных электронов
• Теоремы Блоха
• Модель Кронига-Пенни
• Поверхность Ферми
• Функция Ванье
• Модель Хаббарда
• tJ модель
• Эффективная масса
• Правило Андерсона
• Динамическая теория дифракции
• Физика твердого тела
• Линейная комбинация атомных орбиталей Метод молекулярных орбиталей (LCAO)
• Holstein – Herring метод
• подстановка Пайерлса

На Викискладе есть материалы, относящиеся к Дисперсионные отношения электронов.

• N. У. Эшкрофт и Н. Д. Мермин, Физика твердого тела (Thomson Learning, Торонто, 1976).
• Стивен Бланделл Магнетизм в конденсированных средах (Оксфорд, 2001).
• С.Маекава и др. Физика оксидов переходных металлов (Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2004).
• Теория зон Джона Синглтона и электронные свойства твердых тел (Оксфорд, 2001).

• Уолтер Эшли Харрисон (1989). Электронная структура и свойства твердых тел. Dover Publications. ISBN 0-486-66021-4.
• N. У. Эшкрофт и Н. Д. Мермин (1976). Физика твердого тела. Торонто: Thomson Learning.
• Дэвис, Джон Х. (1998). Физика низкоразмерных полупроводников: Введение. Кембридж, Соединенное Королевство: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-48491-X.
• Goringe, C M; Bowler, D.R; Эрнандес, Э (1997). «Плотно связывающее моделирование материалов». Отчеты о достижениях физики. 60 (12): 1447–1512. Bibcode : 1997RPPh... 60.1447G. doi : 10,1088 / 0034-4885 / 60/12/001.
• Slater, J.C.; Костер, Г. Ф. (1954). «Упрощенный метод ЛКАО для периодической потенциальной проблемы». Физический обзор. 94 (6): 1498–1524. Полномочный код : 1954PhRv... 94.1498S. doi : 10.1103 / PhysRev.94.1498.

• Теория кристаллического поля, метод сильной связи и эффект Яна-Теллера в Э. Паварини, Э. Кох, Ф. Андерс и М. Джаррелл (редакторы): Correlated Electrons: From Models to Materials, Jülich 2012, ISBN 978-3-89336-796-2
• Tight-Binding Studio : пакет технического программного обеспечения для поиска параметров гамильтониана Tight-Binding