Модель почти свободных электронов

В физике твердого тела, модель почти свободных электронов (или модель NFE ) - это квантово-механическая модель физических свойств электронов, которые могут двигаться почти свободно через кристаллическую решетку твердого тела. Модель тесно связана с более концептуальным приближением пустой решетки. Модель позволяет понять и рассчитать электронную зонную структуру, особенно металлов.

Эта модель является непосредственным улучшением модели свободных электронов, в которой металл считался невзаимодействующий электронный газ и ионы полностью игнорировались.

.

• 1 Математическая формулировка
• 2 Результаты
• 3 Обоснования
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Модель почти свободных электронов является модификацией модели газа свободных электронов, которая включает слабое периодическое возмущение, предназначенное для моделирования взаимодействия между электронами проводимости и ионы в кристаллическом твердом веществе. Эта модель, как и модель свободных электронов, не учитывает электрон-электронные взаимодействия; то есть приближение независимых электронов все еще действует.

Как показано в теореме Блоха, введение периодического потенциала в уравнение Шредингера приводит к волновой функции вида

$\psi \; к\; (г)\; знак\; равно\; великобритании\; (г)\; eik\; \cdot \; р\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; u\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}$

где функция u kимеет ту же периодичность, что и решетка :

$uk\; (r)\; =\; uk\; (r\; +\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; u\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{T\})\}$

(где T - решетка вектор сдвига.)

Поскольку это приближение почти свободных электронов, мы можем предположить, что

$uk\; (r)\; \approx \; 1\; Ом\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; Omega\; \_\; \{r\}\}\}\}\}$

Решение этой формы можно подставить в уравнение Шредингера, что приведет к центральному уравнению :

$(\lambda \; К\; -\; ϵ)\; С\; К\; +\; \sum \; GUGC\; К\; -\; G\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; -\; \backslash \; epsilon)\; C\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{\; G\}\}\; U\; \_\; \{\backslash \; math\; bf\; \{G\}\}\; C\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\; -\; \backslash \; mathbf\; \{G\}\}\; =\; 0\}$

где кинетическая энергия $\lambda \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\}$дается выражением

$\lambda \; К\; \psi \; К\; (r)\; =\; -\; \hslash \; 2\; 2\; м\; \nabla \; 2\; \psi \; k\; (r)\; =\; -\; \hslash \; 2\; 2\; m\; \nabla \; 2\; (uk\; (r)\; eik\; \cdot \; r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; (u\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; (\; \backslash \; mathbf\; \{r\})\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\})\}$

который после деления на $\psi \; k\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\}$, сокращается до

$\lambda \; k\; =\; \hslash \; 2\; k\; 2\; 2\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar\; ^\; \{2\}\; k\; ^\; \{2\}\}\; \{2m\}\}\}$

, если предположить, что $uk\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \}$почти постоянно и $\nabla \; 2\; uk\; (r)\; \ll \; k\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nabla\; ^\; \{2\}\; u\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; \backslash \; ll\; k\; ^\; \{2\}.\}$

Взаимные параметры C kи U Gявляются Коэффициенты Фурье волновой функции ψ (r ) и экранированный потенциал энергия U (r ) соответственно:

$U\; (г)\; знак\; равно\; \sum \; GUG\; ei\; G\; \cdot \; р\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{G\}\}\; U\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{G\}\}\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; mathbf\; \{G\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}$

$\psi \; (r)\; =\; \sum \; К\; C\; keik\; \cdot \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; (\backslash \; mathbf\; \{r\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; C\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{\; k\}\}\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}$

Векторы G - это векторы обратной решетки, а дискретные значения k определяются граничными условиями рассматриваемой решетки.

При любом анализе возмущений необходимо учитывать базовый случай, к которому применяется возмущение. Здесь в базовом случае U (x) = 0, и поэтому все коэффициенты Фурье потенциала также равны нулю. В этом случае центральное уравнение сводится к форме

$(\lambda \; k\; -\; ϵ)\; C\; k\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; -\; \backslash \; epsilon)\; C\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; =\; 0\}$

Это тождество означает, что для каждого k должен выполняться один из двух следующих случаев:

1. $C\; k\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; =\; 0\}$,
2. $\lambda \; К\; =\; ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; =\; \backslash \; epsilon\}$

Если значения $\lambda \; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\}$являются невырожденными, тогда второй случай имеет место только для одного значения k, в то время как для остальных случаев коэффициент разложения Фурье $C\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\}$должен быть равен нулю. В этом невырожденном случае получается стандартный результат для свободного электронного газа:

$\psi \; k\; \propto \; eik\; \cdot \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; \backslash \; propto\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{r\}\}\}$

Однако в вырожденном случае будет набор векторов решетки k1,..., kmс λ 1 =... = λ м. Когда энергия $ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\}$равна этому значению λ, будет m независимых решений в виде плоских волн, любая линейная комбинация которых также является решением:

$\psi \; \propto \; \sum \; J\; =\; 1\; м\; A\; jeikj\; \cdot \; р\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; psi\; \backslash \; propto\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{m\}\; A\_\; \{j\}\; e\; ^\; \{я\; \backslash \; mathbf\; \{k\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{\; r\}\}\}$

Невырожденная и вырожденная теория возмущений может применяться в этих двух случаях для определения коэффициентов Фурье C kволновой функции (с точностью до первого порядка по U) и собственного значения энергии (с точностью до второго заказ в U). Важным результатом этого вывода является отсутствие сдвига первого порядка по энергии ε в случае отсутствия вырождения, тогда как в случае почти вырождения он имеет место, что означает, что последний случай более важен в данном анализе. В частности, на границе зоны зоны Бриллюэна (или, что то же самое, в любой точке плоскости брэгговской плоскости ) обнаруживается двукратное вырождение энергии, которое приводит к сдвигу энергии, определяемому как:

$ϵ\; =\; \lambda \; k\; \pm \; |\; U\; G\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; epsilon\; =\; \backslash \; lambda\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{k\}\}\; \backslash \; pm\; |\; U\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{G\}\}\; |\}$

Эта энергетическая щель между зонами Бриллюэна известна как запрещенная зона с величиной $2\; |\; U\; G\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; |\; U\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{G\}\}\; |\}$.

Введение этого слабого возмущения оказывает значительное влияние на решение уравнения Шредингера, что наиболее существенно приводит к запрещенная зона между волновыми векторами в разных зонах Бриллюэна.

В этой модели предполагается, что взаимодействие между электронами проводимости и ионные остовы можно смоделировать с помощью «слабого» возмущающего потенциала. Это может показаться серьезным приближением, поскольку кулоновское притяжение между этими двумя частицами противоположного заряда может быть весьма значительным на малых расстояниях. Однако это можно частично оправдать, если отметить два важных свойства квантово-механической системы:

1. Сила между ионами и электронами максимальна на очень малых расстояниях. Однако электронам проводимости не разрешается приближаться так близко к ионным остовам из-за принципа исключения Паули : орбитали, ближайшие к ионному остову, уже заняты остовными электронами. Следовательно, электроны проводимости никогда не подходят достаточно близко к ионным остовам, чтобы почувствовать их полную силу.
2. Кроме того, сердцевинные электроны экранируют величину заряда иона, «видимую» электронами проводимости. Результатом является эффективный заряд ядра, испытываемый электронами проводимости, который значительно уменьшается по сравнению с фактическим зарядом ядра.

• Приближение пустой решетки
• Электронная зонная структура
• Модель сильной связи
• Теорема Блоха
• Модель Кронига-Пенни

Викискладе есть материалы, связанные с дисперсионными соотношениями электронов.

• Ashcroft, Neil W.; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого тела. Орландо: Харкорт. ISBN 0-03-083993-9.
• Киттель, Чарльз (1996). Введение в физику твердого тела (7-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-11181-3.
• Эллиотт, Стивен (1998). Физика и химия твердого тела. Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-98194-X.