Принцип исключения Паули

редактировать

Принцип квантовой механики: два идентичных фермиона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии одновременно

Вольфганг Паули сформулировал закон, гласящий, что нет двух электроны могут иметь одинаковый набор квантовых чисел.

Принцип исключения Паули - это квантово-механический принцип, который утверждает, что два или более одинаковых фермионы (частицы с полуцелым спином ) не могут одновременно занимать одно и то же квантовое состояние внутри квантовой системы. Этот принцип был сформулирован австрийским физиком Вольфгангом Паули в 1925 году для электронов, а затем распространился на все фермионы в его теореме спиновой статистики 1940 года.

В случае электронов в атомах, это можно сформулировать следующим образом: невозможно, чтобы два электрона многоэлектронного атома имели одинаковые значения четырех квантовых чисел : n, главное квантовое число, ℓ, азимутальное квантовое число, m ℓ, магнитное квантовое число и m s, квантовое число спина. Например, если два электрона находятся на одной орбитали, то их значения n, ℓ и m ℓ одинаковы, поэтому их m s должны быть различны, и, следовательно, электроны должны иметь противоположные полуцелые проекции спина 1/2 и -1/2.

Частицы с целочисленным спином или бозоны не подпадают под действие принципа исключения Паули: любое количество идентичных бозонов может занимать одно и то же квантовое состояние, как, например, с произведенными фотонами. с помощью лазера или атомов в конденсате Бозе – Эйнштейна.

Более строгое утверждение касается обмена двумя идентичными частицами: полная (многочастичная) волновая функция является антисимметричным для фермионов и симметричным для бозонов. Это означает, что если поменять местами пространственные и спиновые координаты двух одинаковых частиц, то полная волновая функция меняет знак для фермионов и не меняется для бозонов.

Если бы два фермиона находились в одном и том же состоянии (например, на одной орбитали с одинаковым спином в одном и том же атоме), их перестановка ничего не изменила бы, и общая волновая функция не изменилась бы. Единственный способ, при котором полная волновая функция может как изменить знак, как требуется для фермионов, так и остаться неизменным, - это то, что эта функция должна быть везде равна нулю, что означает, что состояние не может существовать. Это рассуждение неприменимо к бозонам, потому что знак не меняется.

Содержание

1 Обзор
2 История
3 Связь с симметрией квантового состояния
- 3.1 Продвинутая квантовая теория
4 Последствия
- 4.1 Атомы
- 4.2 Свойства твердого состояния
- 4.3 Стабильность вещества
- 4.4 Астрофизика
5 См. Также
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Обзор

Принцип исключения Паули описывает поведение всех фермионов (частицы с «полуцелым спином »), а бозоны (частицы с «целым спином») подчиняются другим принципам. Фермионы включают элементарные частицы, такие как кварки, электроны и нейтрино. Кроме того, барионы, такие как протоны и нейтроны (субатомные частицы, состоящие из трех кварков) и некоторые атомы ( такие как гелий-3 ) являются фермионами и, следовательно, также описываются принципом исключения Паули. Атомы могут иметь различный общий «спин», который определяет, являются ли они фермионами или бозонами - например, гелий-3 имеет спин 1/2 и, следовательно, является фермионом, в отличие от гелия-4 со спином 0 и является бозоном. Таким образом, принцип исключения Паули лежит в основе многих свойств повседневной материи, от ее крупномасштабной стабильности до химического поведения атомов.

«Полуцелый спин» означает, что внутренний угловой момент значение фермионов равно $ℏ = h / 2 π {\ displaystyle \ hbar = h / 2 \ pi}$ $\ hbar = h / 2 \ pi$ (уменьшенное постоянная Планка ), умноженное на половину- целое число (1/2, 3/2, 5/2 и т. д.). В теории квантовой механики фермионы описываются антисимметричными состояниями. Напротив, частицы с целочисленным спином (называемые бозонами) имеют симметричные волновые функции; в отличие от фермионов они могут иметь одни и те же квантовые состояния. Бозоны включают в себя фотон, куперовские пары, которые отвечают за сверхпроводимость, и W- и Z-бозоны. (Фермионы получили свое название от статистического распределения Ферми – Дирака, которому они подчиняются, а бозоны - от их распределения Бозе – Эйнштейна.)

История

В начале 20 века стало очевидно, что атомы и молекулы с четным числом электронов химически более стабильны, чем молекулы с нечетным числом электронов. В статье 1916 года «Атом и молекула» Гилберта Н. Льюиса, например, третий из шести постулатов химического поведения гласит, что атом имеет тенденцию удерживать четное число электронов в любом заданном оболочка, и особенно для удержания восьми электронов, которые обычно расположены симметрично в восьми углах куба (см.: кубический атом ). В 1919 году химик Ирвинг Ленгмюр предположил, что периодическая таблица может быть объяснена, если электроны в атоме каким-то образом связаны или сгруппированы. Считалось, что группы электронов занимают набор электронных оболочек вокруг ядра. В 1922 году Нильс Бор обновил свою модель атома, предположив, что определенное количество электронов (например, 2, 8 и 18) соответствует стабильным «замкнутым оболочкам».

Паули искал объяснение этих чисел, которые сначала были только эмпирическими. В то же время он пытался объяснить экспериментальные результаты эффекта Зеемана в атомной спектроскопии и в ферромагнетизме. Он нашел важный ключ к разгадке в статье Эдмунда К. Стонера 1924 года, в которой указывалось, что для данного значения главного квантового числа (n) количество уровней энергии одного электрона в спектрах щелочного металла во внешнем магнитном поле, где все вырожденные уровни энергии разделены, равно количеству электронов в замкнутой оболочке благородные газы на то же значение n. Это привело Паули к пониманию того, что сложное количество электронов в закрытых оболочках можно свести к простому правилу одного электрона на состояние, если электронные состояния определены с использованием четырех квантовых чисел. С этой целью он ввел новое двузначное квантовое число, идентифицированное Самуэлем Гоудсмитом и Джорджем Уленбеком как спин электрона.

Связь с симметрией квантового состояния

Принцип исключения Паули с однозначной многочастичной волновой функцией эквивалентен требованию, чтобы волновая функция была антисимметричной по отношению к обмену. Антисимметричное двухчастичное состояние представлено как сумма состояний, в которой одна частица находится в состоянии $| x⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle | x \ rangle}$ $\ scriptstyle | x \ rangle$ , а другой в состоянии $| y⟩ {\ displaystyle \ scriptstyle | y \ rangle}$ $\ scriptstyle | y \ rangle$ и определяется выражением:

| ψ⟩ = ∑ x, y A (x, y) | x, y⟩, {\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ sum _ {x, y} A (x, y) | x, y \ rangle,}

| \ psi \ rangle = \ sum _ {{x, y}} A (x, y) | x, y \ rangle,

и антисимметрия при обмене означает, что A (x, y) = −A (y, x). Отсюда следует, что A (x, y) = 0 при x = y, что является исключением Паули. Это верно для любого базиса, поскольку локальные изменения базиса сохраняют антисимметричные матрицы антисимметричными.

И наоборот, если диагональные величины A (x, x) равны нулю в каждом базисе, то составляющая волновой функции

A (x, y) = ⟨ψ | x, y⟩ = ⟨ψ | (| Икс⟩ ⊗ | Y⟩) {\ Displaystyle A (x, y) = \ langle \ psi | x, y \ rangle = \ langle \ psi | (| x \ rangle \ otimes | y \ rangle)}

A (x, y) = \ langle \ psi | x, y \ rangle = \ langle \ psi | (| x \ rangle \ otimes | y \ rangle)

обязательно антисимметрично. Чтобы доказать это, рассмотрим матричный элемент

⟨ψ | ((| x⟩ + | y⟩) ⊗ (| x⟩ + | y⟩)). {\ displaystyle \ langle \ psi | {\ Big (} (| x \ rangle + | y ​​\ rangle) \ otimes (| x \ rangle + | y ​​\ rangle) {\ Big)}.}

\ langle \ psi | {\ Big (} ( | x \ rangle + | y ​​\ rangle) \ otimes (| x \ rangle + | y ​​\ rangle) {\ Big)}.

Это ноль, потому что две частицы имеют нулевую вероятность оказаться в состоянии суперпозиции $| х⟩ + | y⟩ {\ displaystyle | x \ rangle + | y \ rangle}$ $| x \ rangle + | y \ rangle$ . Но это равно

⟨ψ | x, x⟩ + ⟨ψ | x, y⟩ + ⟨ψ | y, x⟩ + ⟨ψ | у, у⟩. {\ Displaystyle \ langle \ psi | x, x \ rangle + \ langle \ psi | x, y \ rangle + \ langle \ psi | y, x \ rangle + \ langle \ psi | y, y \ rangle.}

\ langle \ psi | x, x \ rangle + \ langle \ psi | x, y \ rangle + \ langle \ psi | y, x \ rangle + \ langle \ psi | y, y \ rangle.

Первый и последний члены являются диагональными элементами и равны нулю, а вся сумма равна нулю. Таким образом, элементы матрицы волновой функции подчиняются:

⟨ψ | x, y⟩ + ⟨ψ | Y, Икс⟩ знак равно 0, {\ Displaystyle \ langle \ psi | x, y \ rangle + \ langle \ psi | y, x \ rangle = 0,}

\ langle \ psi | x, y \ rangle + \ langle \ psi | y, x \ rangle = 0,

или

A (x, y) = - А (у, х). {\ displaystyle A (x, y) = - A (y, x).}

A(x,y)=-A(y,x).

Расширенная квантовая теория

Согласно теореме спин-статистика, частицы с целочисленным спином занимают симметричные квантовые состояния, а частицы с полуцелым спином занимают антисимметричные состояния; кроме того, принципы квантовой механики допускают только целые или полуцелые значения спина. В релятивистской квантовой теории поля принцип Паули следует из применения оператора вращения в мнимом времени к частицам с полуцелым спином.

В одном измерении бозоны, как и фермионы, могут подчиняться принципу исключения. Одномерный бозе-газ с бесконечной силой отталкивающих дельта-функций эквивалентен газу свободных фермионов. Причина этого в том, что в одном измерении обмен частицами требует, чтобы они прошли друг через друга; при бесконечно сильном отталкивании этого не может быть. Эта модель описывается квантовым нелинейным уравнением Шредингера. В импульсном пространстве принцип исключения действует также для конечного отталкивания в бозе-газе с дельта-функциональными взаимодействиями, а также для взаимодействующих спинов и модели Хаббарда в одном измерении, а также для другие модели решаемые с помощью анзаца Бете. Основное состояние в моделях, решаемых с помощью анзаца Бете, - это сфера Ферми.

Последствия

Атомы

Принцип исключения Паули помогает объяснить широкий спектр физических явления. Одним из особенно важных следствий этого принципа является сложная структура электронной оболочки атомов и способ, которым атомы делят электроны, объясняющие разнообразие химических элементов и их химических комбинаций. электрически нейтральный атом содержит связанных электронов, количество которых равно количеству протонов в ядре. Электроны, будучи фермионами, не могут занимать то же квантовое состояние, что и другие электроны, поэтому электроны должны «складываться» внутри атома, т.е. иметь разные спины, находясь на одной электронной орбитали, как описано ниже.

Примером является нейтральный атом гелия, который имеет два связанных электрона, каждый из которых может занимать состояния с самой низкой энергией (1s ), приобретая противоположный спин; поскольку спин является частью квантового состояния электрона, два электрона находятся в разных квантовых состояниях и не нарушают принцип Паули. Однако вращение может принимать только два разных значения (собственные значения ). В атоме лития с тремя связанными электронами третий электрон не может находиться в 1s-состоянии и вместо этого должен занимать одно из более высокоэнергетических 2s-состояний. Точно так же последовательно более крупные элементы должны иметь оболочки с последовательно более высокой энергией. Химические свойства элемента во многом зависят от количества электронов во внешней оболочке; атомы с разным количеством занятых электронных оболочек, но с одинаковым количеством электронов во внешней оболочке имеют аналогичные свойства, что дает начало периодической таблице элементов.

Чтобы проверить принцип исключения Паули для атома He, Дрейк провели очень точные расчеты состояний атома Не, которые его нарушают; они называются пароническими состояниями . Позже паронное состояние 1s2s S 0, вычисленное Дрейком, искали с помощью атомно-лучевого спектрометра. Поиск не увенчался успехом с верхним пределом 5х10.

Свойства твердого тела

В проводниках и полупроводниках очень большое количество молекулярных орбиталей, которые эффективно образуют непрерывная полосная структура из уровней энергии. В прочных проводниках (металлы ) электроны настолько вырождены, что даже не могут вносить большой вклад в теплоемкость металла. Многие механические, электрические, магнитные, оптические и химические свойства твердых тел являются прямым следствием исключения Паули.

Стабильность вещества

Стабильность каждого электронного состояния в атоме описывается квантовой теорией атома, которая показывает, что близкое приближение электрона к ядру обязательно увеличивает кинетическую энергия, применение принципа неопределенности Гейзенберга. Однако стабильность больших систем со многими электронами и многими нуклонами - это другой вопрос, требующий принципа исключения Паули.

Было показано, что принцип исключения Паули отвечает за этот факт. это обычное объемное вещество стабильно и занимает объем. Это предположение было впервые сделано в 1931 г. Полем Эренфестом, который указал, что электроны каждого атома не могут все упасть на орбиталь с наименьшей энергией и должны занимать последовательно более крупные оболочки. Следовательно, атомы занимают объем и не могут быть сжаты слишком близко друг к другу.

Более строгое доказательство было предоставлено в 1967 году Фрименом Дайсоном и Эндрю Ленардом, которые считали баланс притяжения (электрон –Ядерные) и отталкивающие (электронно-электронные и ядерно-ядерные) силы и показали, что обычная материя коллапсирует и занимает гораздо меньший объем без принципа Паули.

Следствием принципа Паули является то, что электроны один и тот же спин удерживается отталкивающим обменным взаимодействием, которое является короткодействующим эффектом, действующим одновременно с дальнодействующей электростатической или кулоновской силой. Этот эффект частично ответственен за повседневное наблюдение в макроскопическом мире, что два твердых объекта не могут находиться в одном месте в одно и то же время.

Astrophysics

Freeman Dyson и не рассматривали экстремальные магнитные или гравитационные силы, которые возникают в некоторых астрономических объектах. В 1995 году Эллиот Либ и его сотрудники показали, что принцип Паули по-прежнему приводит к стабильности в интенсивных магнитных полях, таких как нейтронные звезды, хотя и при гораздо более высокой плотности, чем в обычном веществе. Следствием общей теории относительности является то, что в достаточно интенсивных гравитационных полях материя коллапсирует, образуя черную дыру.

Астрономия дает впечатляющую демонстрацию эффекта принципа Паули в форме белый карлик и нейтронные звезды. В обоих телах атомная структура нарушена экстремальным давлением, но звезды удерживаются в гидростатическом равновесии за счет давления вырождения, также известного как давление Ферми. Эта экзотическая форма материи известна как вырожденная материя. Огромная гравитационная сила массы звезды обычно поддерживается в равновесии с помощью теплового давления, вызванного теплом, выделяемым в термоядерном синтезе в ядре звезды. В белых карликах, которые не подвергаются ядерному синтезу, сила, противодействующая гравитации, обеспечивается давлением вырождения электронов. В нейтронных звездах, подверженных еще более сильным гравитационным силам, электроны слились с протонами с образованием нейтронов. Нейтроны способны создавать еще более высокое давление вырождения давление вырождения нейтронов, хотя и в более коротком диапазоне. Это может стабилизировать нейтронные звезды от дальнейшего коллапса, но при меньших размерах и более высокой плотности, чем белый карлик. Нейтронные звезды - самые «жесткие» известные объекты; их модуль упругости (или, точнее, объемный модуль ) на 20 порядков больше, чем у алмаза. Однако даже эту огромную жесткость можно преодолеть с помощью гравитационного поля нейтронной звезды, масса которого превышает предел Толмена – Оппенгеймера – Волкова, что приводит к образованию черной дыры..

См. Также

Ссылки

Общее

Внешние ссылки

Нобелевская лекция: Принцип исключения и квантовая механика Отчет Паули о развитии принципа исключения.