самолет Брэгга

редактировать

Ray диаграмма формулировки фон Лауэ

В физике, плоскость Брэгга - это плоскость в обратном пространстве, которая делит пополам вектор обратной решетки, $K {\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {K}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {K}}$ , под прямым углом. Плоскость Брэгга определяется как часть условия Фон Лауэ для дифракционных пиков в кристаллографии дифракции рентгеновских лучей.

. Принимая во внимание соседнюю диаграмму, поступающие рентгеновские лучи плоская волна определяется следующим образом:

eik ⋅ r = cos ⁡ (k ⋅ r) + i sin ⁡ (k ⋅ r) {\ displaystyle e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} = \ cos {(\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r})} + i \ sin {(\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r})}}

{\ Displaystyle е ^ {я \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} = \ cos {(\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r})} + я \ sin {(\ mathbf {k } \ cdot \ mathbf {r})}}

Где $k {\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {k}}$ - вектор падающей волны, определяемый по формуле:

k = 2 π λ n ^ {\ displaystyle \ mathbf {k} = {\ frac { 2 \ pi} {\ lambda}} {\ hat {n}}}

{\ displaystyle \ mathbf {k} = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} {\ hat {n}}}

где $λ {\ displaystyle \ scriptstyle \ lambda}$ $\ scriptstyle \ lambda$ - длина волны падающий фотон. В то время как формула Брэгга предполагает уникальный выбор прямых плоскостей решетки и зеркального отражения падающих рентгеновских лучей, формула Фон Лауэ предполагает только монохроматический свет и то, что каждый центр рассеяния действует как источник вторичных вейвлетов, описанный принципом Гюйгенса. Каждая рассеянная волна вносит вклад в новую плоскую волну, задаваемую следующим образом:

k ′ = 2 π λ n ^ ′ {\ displaystyle \ mathbf {k ^ {\ prime}} = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda} } {\ hat {n}} ^ {\ prime}}

{\ displaystyle \ mathbf {k ^ {\ prime}} = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} {\ hat {n}} ^ {\ prime} }

Условие конструктивного вмешательства в $n ^ ′ {\ displaystyle \ scriptstyle {\ hat {n}} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ hat {n}} ^ {\ prime}}$ направление состоит в том, что разница в пути между фотонами является целым кратным (м) их длины волны. Тогда мы знаем, что для конструктивного вмешательства у нас есть:

| d | cos ⁡ θ + | d | соз ⁡ θ ′ знак равно d ⋅ (n ^ - n ^ ′) = m λ {\ displaystyle | \ mathbf {d} | \ cos {\ theta} + | \ mathbf {d} | \ cos {\ theta ^ {\ prime}} = \ mathbf {d} \ cdot ({\ hat {n}} - {\ hat {n}} ^ {\ prime}) = m \ lambda}

{\ displaystyle | \ mathbf {d} | \ cos {\ theta} + | \ mathbf {d} | \ cos {\ theta ^ {\ prime}} = \ mathbf {d} \ cdot ({\ hat {n}} - {\ hat {n}} ^ {\ prime}) = m \ lambda}

, где $m ∈ Z {\ displaystyle \ scriptstyle m ~ \ in ~ \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle m ~ \ in ~ \ mathbb {Z}}$ . Умножая указанное выше на $2 π λ {\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}}}$ , мы формулируем условие в терминах волновых векторов, $k {\ Displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {k}}$ и $k ′ {\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {k ^ {\ prime}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf { к ^ {\ прайм}}}$ :

d ⋅ (k - k ′) Знак равно 2 π m {\ displaystyle \ mathbf {d} \ cdot (\ mathbf {k} - \ mathbf {k ^ {\ prime}}) = 2 \ pi m}

{\ Displaystyle \ м athbf {d} \ cdot (\ mathbf {k} - \ mathbf {k ^ {\ prime}}) = 2 \ pi m}

Плоскость Брэгга, обозначенная синим цветом, и связанная с ней вектор обратной решетки K.

Теперь рассмотрим, что кристалл представляет собой массив центров рассеяния, каждый из которых находится в точке решетки Браве. Мы можем установить один из центров рассеяния как начало массива. Поскольку точки решетки смещаются векторами решетки Браве, $R {\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {R}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {R}}$ , рассеянные волны конструктивно интерферируют, когда вышеуказанное условие выполняется одновременно для всех значений $R {\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {R}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {R}}$ , которые являются векторами решетки Браве, тогда условие принимает следующий вид:

R ⋅ (k - k ′) = 2 π m {\ displaystyle \ mathbf {R} \ cdot \ left (\ mathbf {k} - \ mathbf {k ^ {\ prime}} \ right) = 2 \ pi m}

{\ displaystyle \ mathbf {R} \ cdot \ left (\ mathbf {k} - \ mathbf {k ^ {\ prime}} \ right) = 2 \ pi m}

Эквивалентное утверждение (см. математическое описание обратной решетки ) означает, что:

ei (k - k ') ⋅ R = 1 {\ displaystyle e ^ {i (\ mathbf {k} - \ mathbf {k ^ {\ prime}}) \ cdot \ mathbf {R}} = 1}

{\ displaystyle e ^ {я (\ mathbf {k} - \ mathbf {k ^ {\ prime}}) \ cdot \ mathbf {R}} = 1}

Сравнивая это уравнение с определением вектора обратной решетки, мы видим, что конструктивная интерференция возникает, если $K = k - k ′ {\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {K } ~ = ~ \ mathbf {k} \, - \, \ mathbf {k ^ {\ prime}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {K} ~ = ~ \ mathbf {k} \, - \, \ mathbf {k ^ {\ prime}}}$ - вектор обратной решетки. Мы замечаем, что $k {\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {k}}$ и $k ′ {\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {k ^ {\ prime}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf { к ^ {\ прайм}}}$ имеют такую же величину, мы можем переформулировать формулировку фон Лауэ как требующую, чтобы вершина падающего волнового вектора, $k {\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {k}}$ , должна лежать в плоскость, которая является серединным перпендикуляром вектора обратной решетки, $K {\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {K}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {K}}$ . Эта плоскость обратного пространства и есть плоскость Брэгга.

См. Также

Ссылки