Теорема Блоха

Эта статья посвящена теореме квантовой механики. Относительно теоремы, используемой в комплексном анализе, см . Теорему Блоха (комплексные переменные). Изоповерхность квадратного модуля блоховского состояния в решетке кремния Сплошная линия: схематическое изображение реальной части типичного состояния Блоха в одном измерении. Пунктирная линия соответствует коэффициенту e ^{i k r}. Светлые кружки представляют атомы.

В физике конденсированных сред, теорема Блоха утверждает, что решения для уравнения Шредингера в периодическом потенциале принять форму плоской волны модулируется периодической функции. Математически они записываются:

Функция Блоха

${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} и (\ mathbf {r})}$

где - положение, - волновая функция, - периодическая функция с той же периодичностью, что и кристалл, волновой вектор - это вектор импульса кристалла, - число Эйлера и - мнимая единица. ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {e}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {я}}$

Функции этой формы известны как блоховские функции или блоховские состояния и служат подходящей основой для волновых функций или состояний электронов в кристаллических твердых телах.

Названное в честь швейцарского физика Феликса Блоха, описание электронов в терминах блоховских функций, называемых блоховскими электронами (или реже блоховскими волнами), лежит в основе концепции электронных зонных структур.

Эти собственные состояния записываются с нижними индексами как, где - дискретный индекс, называемый индексом полосы, который присутствует, потому что существует много разных волновых функций с одинаковыми (каждая из которых имеет различную периодическую составляющую). В пределах диапазона (т. Е. Для фиксированного) изменяется непрерывно, равно как и его энергия. Кроме того, уникально только с точностью до постоянного вектора обратной решетки, или,. Следовательно, волновой вектор может быть ограничен первой зоной Бриллюэна обратной решетки без потери общности. ${\ Displaystyle \ psi _ {п \ mathbf {k}}}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle \ psi _ {п \ mathbf {k}}}$${\ displaystyle \ mathbf {k}}$${\ Displaystyle \ psi _ {п \ mathbf {k}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {K}}$${\ Displaystyle \ psi _ {п \ mathbf {k}} = \ psi _ {n (\ mathbf {k + K})}}$${\ displaystyle \ mathbf {k}}$

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Приложения и последствия
  • 1.1 Применимость
  • 1.2 Волновой вектор
  • 1.3 Подробный пример
• 2 Теорема Блоха
  • 2.1 Доказательство теоремы
    • 2.1.1 Предварительные сведения: симметрии кристаллов, решетка и обратная решетка
    • 2.1.2 Лемма об операторах трансляции
    • 2.1.3 Доказательство
  • 2.2 Еще одно доказательство
  • 2.3 Доказательство теории групп
• 3 Скорость и эффективная масса блоховских электронов
• 4 История и соответствующие уравнения
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
• 7 Дальнейшее чтение

Приложения и последствия

Применимость

Наиболее распространенный пример теоремы Блоха - это описание электронов в кристалле, особенно при характеристике электронных свойств кристалла, таких как электронная зонная структура. Однако описание блоховских волн в более общем смысле применимо к любому волновому явлению в периодической среде. Например, периодическая диэлектрическая структура в электромагнетизме приводит к фотонным кристаллам, а периодическая акустическая среда приводит к фононным кристаллам. Обычно его рассматривают в различных формах динамической теории дифракции.

Волновой вектор

Волновая функция Блоха (внизу) может быть разбита на произведение периодической функции (вверху) и плоской волны (в центре). Левая и правая стороны представляют одно и то же блоховское состояние, разбитое двумя разными способами, включая волновой вектор k 1 (слева) или k 2 (справа). Разность ( k 1 - k 2) представляет собой вектор обратной решетки. На всех графиках синий - действительная часть, а красный - мнимая часть.

Предположим, электрон находится в блоховском состоянии.

${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} и (\ mathbf {r}),}$

где u периодичен с той же периодичностью, что и кристаллическая решетка. Фактическое квантовое состояние электрона полностью определяется, а не напрямую k или u. Это важно, поскольку к и у являются не единственными. В частности, если можно записать, как указано выше, с использованием k, это также можно записать с помощью ( k + K), где K - любой вектор обратной решетки (см. Рисунок справа). Следовательно, волновые векторы, различающиеся вектором обратной решетки, эквивалентны в том смысле, что они характеризуют один и тот же набор блоховских состояний. ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ psi}$

Первая зона Бриллюэна представляет собой ограниченный набор значений к со свойством, что никакие два из них не эквивалентны, но каждая возможная к эквивалентно одному (и только один) вектора в первой зоне Бриллюэна. Следовательно, если мы ограничим k первой зоной Бриллюэна, то каждое блоховское состояние будет иметь уникальное k. Поэтому первая зона Бриллюэна часто используется для изображения всех блоховских состояний без избыточности, например, в зонной структуре, и используется по той же причине во многих вычислениях.

Когда k умножается на уменьшенную постоянную Планка, он равен импульсу кристалла электрона. В связи с этим групповая скорость электрона может быть вычислена на основе того, как энергия блоховского состояния изменяется с k ; подробнее см. импульс кристалла.

Подробный пример

Подробный пример, в котором следствия теоремы Блоха прорабатываются в конкретной ситуации, можно найти в статье: Частица в одномерной решетке (периодический потенциал).

Теорема Блоха

Теорема Блоха такова:

Для электронов в идеальном кристалле существует базис волновых функций со свойствами:

• Каждая из этих волновых функций является собственным энергетическим состоянием.
• Каждая из этих волновых функций является блоховским состоянием, а это означает, что эту волновую функцию можно записать в виде${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} и (\ mathbf {r})}$ где u имеет ту же периодичность, что и атомная структура кристалла. ${\ displaystyle u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x}) = u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x} + \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {a})}$

Доказательство теоремы

Доказательство с решеточной периодичностью  -

Предварительные сведения: симметрии кристаллов, решетка и обратная решетка.

Определяющим свойством кристалла является трансляционная симметрия, что означает, что если кристалл сдвинуть на соответствующую величину, он окажется со всеми своими атомами в одних и тех же местах. (Кристалл конечного размера не может иметь совершенной трансляционной симметрии, но это полезное приближение.)

Трехмерный кристалл имеет три примитивных вектора решетки a 1, a 2, a 3. Если кристалл сдвинут на любой из этих трех векторов или их комбинацию вида

${\ displaystyle n_ {1} \ mathbf {a} _ {1} + n_ {2} \ mathbf {a} _ {2} + n_ {3} \ mathbf {a} _ {3}}$

где n i - три целых числа, тогда атомы оказываются в том же наборе местоположений, в котором они были в начале.

Еще одним полезным ингредиентом доказательства являются векторы обратной решетки. Это три вектора b 1, b 2, b 3 (с элементами обратной длины), обладающие тем свойством, что a i b i = 2π, но a i b j = 0, когда i ≠ j. (Формулу для b i см. Вектор обратной решетки. )

Лемма об операторах трансляции

Пусть обозначает оператор сдвига, что сдвиги каждой волновой функции на величину п - 1 + п 2 2 + п 3 3 (как и выше, п J целые числа). Следующий факт полезен для доказательства теоремы Блоха: ${\ displaystyle {\ hat {T}} _ {n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}} \!}$

Лемма: Если волновая функция является собственным состоянием всех операторов сдвига (одновременно), то это состояние Блоха.${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle \ psi}$

Доказательство: предположим, что у нас есть волновая функция, которая является собственным состоянием всех операторов сдвига. Как частный случай этого, ${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r} + \ mathbf {a} _ {j}) = C_ {j} \ psi (\ mathbf {r})}$

для j = 1, 2, 3, где C j - три числа ( собственные значения ), не зависящие от r. Полезно записать числа C j в другой форме, выбрав три числа θ 1, θ 2, θ 3 с e ^{2 πiθ j} = C j:

${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r} + \ mathbf {a} _ {j}) = \ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} \ theta _ {j}} \ psi (\ mathbf {р})}$

Опять же, θ j - это три числа, которые не зависят от r. Определим k = θ 1 b 1 + θ 2 b 2 + θ 3 b 3, где b j - векторы обратной решетки (см. Выше). Наконец, определим

${\ displaystyle u (\ mathbf {r}) = \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} \ psi (\ mathbf {r}) \,. }$

Затем

${\ Displaystyle и (\ mathbf {r} + \ mathbf {a} _ {j}) = \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ mathbf {k} \ cdot (\ mathbf {r} + \ mathbf {a} _ {j})} \ psi (\ mathbf {r} + \ mathbf {a} _ {j}) = {\ big (} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {a} _ {j}} {\ big)} {\ big ( } \ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm {i} \ theta _ {j}} \ psi (\ mathbf {r}) {\ big)} = \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i } \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} \ mathrm {e} ^ {- 2 \ pi \ mathrm {i} \ theta _ {j}} \ mathrm {e} ^ {2 \ pi \ mathrm { я} \ theta _ {j}} \ psi (\ mathbf {r}) = u (\ mathbf {r})}$.

Это доказывает, что u имеет периодичность решетки. Поскольку это доказывает, что состояние является блоховским. ${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} и (\ mathbf {r})}$

Доказательство

Наконец, мы готовы к основному доказательству теоремы Блоха, которое заключается в следующем.

Как и выше, пусть обозначает оператор перевода, который сдвигает каждую волновую функцию на величину n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3, где n i - целые числа. Поскольку кристалл обладает трансляционной симметрией, этот оператор коммутирует с оператором Гамильтона. Более того, каждый такой оператор трансляции коммутирует друг с другом. Следовательно, существует одновременный собственный базис оператора Гамильтона и всевозможного оператора. Эта основа - то, что мы ищем. Волновые функции в этом базисе являются собственными состояниями энергии (поскольку они являются собственными состояниями гамильтониана), а также они являются состояниями Блоха (поскольку они являются собственными состояниями операторов сдвига; см. Лемму выше). ${\ displaystyle {\ hat {T}} _ {n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}} \!}$ ${\ displaystyle {\ hat {T}} _ {n_ {1}, n_ {2}, n_ {3}} \!}$

Еще одно доказательство

Доказательство с операторами  -

Определяем оператор перевода

${\ Displaystyle {\ шляпа {\ mathbf {T}}} _ {\ mathbf {n}} \ psi (\ mathbf {r}) = \ psi (\ mathbf {r} + \ mathbf {T} _ {\ mathbf {n}}) = \ psi (\ mathbf {r} + n_ {1} \ mathbf {a} _ {1} + n_ {2} \ mathbf {a} _ {2} + n_ {3} \ mathbf { a} _ {3}) = \ psi (\ mathbf {r} + \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {a})}$

Воспользуемся гипотезой о среднем периодическом потенциале

${\ Displaystyle U (\ mathbf {x} + \ mathbf {T} _ {\ mathbf {n}}) = U (\ mathbf {x})}$

и приближение независимых электронов с гамильтонианом

${\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {{\ hat {\ mathbf {p}}} ^ {2}} {2m}} + U (\ mathbf {x})}$

Поскольку гамильтониан инвариантен для сдвигов, он должен коммутировать с оператором сдвига

${\ Displaystyle [{\ шляпа {H}}, {\ шляпа {\ mathbf {T}}} _ {\ mathbf {n}}] = 0}$

и два оператора должны иметь общий набор собственных функций. Поэтому мы начинаем смотреть на собственные функции оператора трансляции:

${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}} _ {\ mathbf {n}} \ psi (\ mathbf {x}) = \ lambda _ {\ mathbf {n}} \ psi (\ mathbf {x})}$

Дан аддитивный оператор ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}} _ {\ mathbf {n}}}$

${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {T}}} _ {\ mathbf {n_ {1}}} {\ hat {\ mathbf {T}}} _ {\ mathbf {n_ {2}}} \ psi ( \ mathbf {x}) = \ psi (\ mathbf {x} + \ mathbf {n_ {1}} \ cdot \ mathbf {a} + \ mathbf {n_ {2}} \ cdot \ mathbf {a}) = { \ hat {\ mathbf {T}}} _ {\ mathbf {n_ {1}} + \ mathbf {n_ {2}}} \ psi (\ mathbf {x})}$

Если мы подставим сюда уравнение на собственные значения и разделим обе части, мы получим ${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {x})}$

${\ displaystyle \ lambda _ {\ mathbf {n_ {1}}} \ lambda _ {\ mathbf {n_ {2}}} = \ lambda _ {\ mathbf {n_ {1}} + \ mathbf {n_ {2} }}}$

Это верно для

${\ displaystyle \ lambda _ {\ mathbf {n}} = e ^ {s \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {a}}}$

куда ${\ displaystyle s \ in \ mathbb {C}}$

если мы используем условие нормализации по одной примитивной ячейке объема V

${\ displaystyle 1 = \ int _ {V} | \ psi (\ mathbf {x}) | ^ {2} d \ mathbf {x} = \ int _ {V} | \ mathbf {{\ hat {T}} _ {n}} \ psi (\ mathbf {x}) | ^ {2} d \ mathbf {x} = | \ lambda _ {\ mathbf {n}} | ^ {2} \ int _ {V} | \ фунт / кв. дюйм (\ mathbf {x}) | ^ {2} d \ mathbf {x}}$

и поэтому

${\ displaystyle 1 = | \ lambda _ {\ mathbf {n}} | ^ {2}}$и где${\ displaystyle s = ik}$${\ Displaystyle к \ в \ mathbb {R}}$

Наконец

${\ displaystyle \ mathbf {{\ hat {T}} _ {n}} \ psi (\ mathbf {x}) = \ psi (\ mathbf {x} + \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {a}) = e ^ {ik \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {a}} \ psi (\ mathbf {x})}$

Что верно для блоховской волны, т. Е. Для с ${\ displaystyle \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x}) = e ^ {я \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {x}} и _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf { Икс})}$${\ displaystyle u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x}) = u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x} + \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {a})}$

Доказательство теории групп

Доказательство с теорией характера  -

Все переводы являются унитарными и абелевы. Переводы могут быть записаны в терминах единичных векторов

${\ displaystyle {\ vec {\ mathbf {\ tau}}} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} n_ {i} {\ vec {\ mathbf {a}}} _ {я}}$

Мы можем рассматривать их как коммутирующие операторы

${\ displaystyle {\ hat {\ vec {\ mathbf {\ tau}}}} = {\ hat {\ vec {\ mathbf {\ tau}}}} _ {1} {\ hat {\ vec {\ mathbf {\ mathbf { \ tau}}}} _ {2} {\ hat {\ vec {\ mathbf {\ tau}}}}} _ {3}}$ куда ${\ displaystyle {\ hat {\ vec {\ mathbf {\ tau}}}}} _ {i} = n_ {i} {\ hat {\ vec {\ mathbf {a}}}} _ {i}}$

Коммутативность операторов дает три коммутирующие циклические подгруппы (при условии, что они могут быть порождены только одним элементом), которые являются бесконечными, одномерными и абелевыми. Все неприводимые представления абелевых групп одномерны. ${\ displaystyle {\ hat {\ vec {\ mathbf {\ tau}}}}} _ {я}}$

Учитывая, что они одномерные, матричное представление и символ одинаковы. Характер является представлением над комплексными числами группы или же на следе от представления, которое в данном случае является одна мерной матрицей. Все эти подгруппы, если они циклические, имеют характеры, соответствующие корням из единицы. Фактически у них есть один генератор, который должен подчиняться, а значит, и характер. Обратите внимание, что это просто в случае конечной циклической группы, но в счетном бесконечном случае бесконечной циклической группы (т.е. группы сдвигов здесь) существует предел, в котором характер остается конечным. ${\ displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ гамма ^ {п} = 1}$${\ Displaystyle \ чи (\ гамма) ^ {п} = 1}$ ${\ Displaystyle п \ к \ infty}$

Учитывая, что символ является корнем из единицы, для каждой подгруппы символ может быть записан как

${\ displaystyle \ chi _ {k_ {1}} ({\ hat {\ vec {\ tau}}} _ {1} (n_ {1}, a_ {1})) = e ^ {ik_ {1} n_ {1} а_ {1}}}$

Если ввести граничное условие Борна – фон Кармана на потенциал:

${\ Displaystyle V (\ mathbf {r} + \ sum N_ {i} \ mathbf {a} _ {i}) = V (\ mathbf {r} + \ mathbf {L}) = V (\ mathbf {r})}$

Где L - макроскопическая периодичность в направлении, которое также можно рассматривать как кратное, где${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ сумма N_ {я} \ mathbf {а} _ {я}}$

Это заменяет не зависящее от времени уравнение Шредингера простым эффективным гамильтонианом

${\ displaystyle {\ hat {H}} = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + V ({\ vec {r}})}$

индуцирует периодичность с волновой функцией:

${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r} + \ sum N_ {i} \ mathbf {a} _ {i}) = \ psi (\ mathbf {r})}$

И для каждого измерения оператор перевода с периодом L

${\ displaystyle {\ hat {P}} _ {\ varepsilon | \ tau _ {i} + L_ {i}} = {\ hat {P}} _ {\ varepsilon | \ tau _ {i}}}$

Отсюда мы видим, что символ также будет неизменным при переводе: ${\ displaystyle L_ {i}}$

${\ displaystyle e ^ {ik_ {1} n_ {1} a_ {1}} = e ^ {ik_ {1} (n_ {1} a_ {1} + L_ {1})}}$

и из последнего уравнения мы получаем для каждого измерения периодическое условие:

${\ displaystyle k_ {1} n_ {1} a_ {1} = k_ {1} (n_ {1} a_ {1} + L_ {1}) - 2 \ pi m_ {1}}$

где целое число и${\ displaystyle m_ {1} \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle k_ {1} = {\ frac {2 \ pi m_ {1}} {L_ {1}}}}$

Волновой вектор идентифицирует неприводимое представление таким же образом, как и является макроскопической периодической длиной кристалла в направлении. В этом контексте волновой вектор служит квантовым числом для оператора трансляции. ${\ displaystyle k_ {1}}$${\ displaystyle m_ {1}}$${\ displaystyle L_ {1}}$${\ displaystyle a_ {1}}$

Мы можем обобщить это для трех измерений ${\ displaystyle \ chi _ {k_ {1}} (n_ {1}, a_ {1}) \ chi _ {k_ {2}} (n_ {2}, a_ {2}) \ chi _ {k_ {3 }} (n_ {3}, a_ {3}) = e ^ {i {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {\ tau}}}}}$

и общая формула для волновой функции принимает следующий вид:

${\ displaystyle {\ hat {P}} _ {R} \ psi _ {j} = \ sum _ {\ alpha} \ psi _ {\ alpha} \ chi _ {\ alpha j} (R)}$

т.е. специализируясь на переводе

${\ displaystyle {\ hat {P}} _ {\ varepsilon | {\ vec {\ tau}}} \ psi ({\ vec {\ mathbf {r}}}) = \ psi ({\ vec {\ mathbf { r}}}) e ^ {i {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {\ tau}}} = \ psi ({\ vec {\ mathbf {r}}} + {\ vec {\ mathbf { \ tau}}})}$

и мы доказали теорему Блоха.

Это доказательство, являющееся частью технической теории групп, интересно тем, что становится ясно, как обобщить теорему Блоха для групп, которые не являются только переводами.

Обычно это делается для пространственных групп, которые представляют собой комбинацию трансляции и точечной группы, и используется для вычисления зонной структуры, спектра и удельной теплоемкости кристаллов с учетом конкретной симметрии кристаллической группы, такой как FCC или BCC, и, в конечном итоге, дополнительной основы.

В этом доказательстве также можно заметить, как важно то, что дополнительная точечная группа управляется симметрией в эффективном потенциале, но она должна коммутировать с гамильтонианом.

В обобщенной версии теоремы Блоха преобразование Фурье, то есть разложение волновой функции, обобщается из дискретного преобразования Фурье, которое применимо только для циклических групп и, следовательно, переводится в разложение по характеру волновой функции, где символы задаются из конкретная конечная точечная группа.

Также здесь можно увидеть, как символы (как инварианты неприводимых представлений) могут рассматриваться как фундаментальные строительные блоки, а не как сами неприводимые представления.

Скорость и эффективная масса блоховских электронов

Если мы применим не зависящее от времени уравнение Шредингера к волновой функции Блоха, получим

${\ displaystyle {\ hat {H _ {\ mathbf {k}}}} u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = \ left [{\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m} } \ left (-i \ nabla + \ mathbf {k} \ right) ^ {2} + U (\ mathbf {r}) \ right] u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = \ varepsilon _ {\ mathbf {k}} u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r})}$

с граничными условиями

${\ Displaystyle и _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r} + \ mathbf {R})}$

Учитывая, что это определено в конечном объеме, мы ожидаем бесконечное семейство собственных значений, это параметр гамильтониана, и поэтому мы приходим к «непрерывному семейству» собственных значений, зависящих от непрерывного параметра и, следовательно, к основной концепции электронной зоны структура ${\ displaystyle {\ mathbf {k}}}$${\ Displaystyle \ varepsilon _ {п} (\ mathbf {k})}$${\ displaystyle {\ mathbf {k}}}$

Доказательство  -

${\ Displaystyle [{\ гидроразрыва {- \ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + U (\ mathbf {x})] \ left (e ^ {я \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {x}} u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x}) \ right) = E _ {\ mathbf {k}} \ left (e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf { x}} u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x}) \ right)}$

Мы остаемся с

${\ displaystyle {\ frac {- \ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla \ cdot \ left (я \ mathbf {k} e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {x}} u_ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x}) + e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {x}} \ nabla u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x}) \ справа) + U (\ mathbf {x}) e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {x}} u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x}) = E _ {\ mathbf {k }} e ^ {я \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {x}} u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x})}$

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {- \ hbar ^ {2}} {2m}} \ left (я \ mathbf {k} \ cdot \ left (я \ mathbf {k} e ^ {я \ mathbf {k} \ cdot) \ mathbf {x}} u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x}) + e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {x}} \ nabla u _ {\ mathbf {k}} ( \ mathbf {x}) \ right) + i \ mathbf {k} \ cdot e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {x}} \ nabla u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x }) + e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {x}} \ nabla ^ {2} u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x}) \ right) + U (\ mathbf { x}) e ^ {я \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {x}} u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x}) = E _ {\ mathbf {k}} e ^ {i \ mathbf {к} \ cdot \ mathbf {x}} и _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x})}$

${\ displaystyle {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ left (\ mathbf {k} ^ {2} e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {x}} u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x}) -2i \ mathbf {k} \ cdot e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {x}} \ nabla u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x}) -e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {x}} \ nabla ^ {2} u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x}) \ right) + U ( \ mathbf {x}) e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {x}} u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x}) = E _ {\ mathbf {k}} e ^ { я \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {x}} u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x})}$

${\ displaystyle {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ left (-i \ nabla + \ mathbf {k} \ right) ^ {2} u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf { x}) + U (\ mathbf {x}) u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x}) = E _ {\ mathbf {k}} u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {x})}$

Это показывает, как эффективный импульс можно рассматривать как составленный из двух частей.

${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {p}}} _ {eff} = \ left (-i \ hbar \ nabla + \ hbar \ mathbf {k} \ right)}$

Стандартный импульс и импульс кристалла. Точнее, импульс кристалла - это не импульс, но он соотносится с импульсом так же, как электромагнитный импульс при минимальной связи, и как часть канонического преобразования импульса. ${\ displaystyle -i \ hbar \ nabla}$ ${\ displaystyle \ hbar \ mathbf {k}}$

Для эффективной скорости можно получить

средняя скорость блоховского электрона

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ varepsilon _ {n}} {\ partial \ mathbf {k}}} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {m}} \ int d \ mathbf {r} \, \ psi _ {n \ mathbf {k}} ^ {*} (- i \ nabla) \ psi _ {n \ mathbf {k}} = {\ frac {\ hbar} {m}} \ langle {\ шляпа {\ mathbf {p}}} \ rangle = \ hbar \ langle {\ hat {\ mathbf {v}}} \ rangle}$

Доказательство  -

Мы вычисляем производные, и учитывая, что они являются коэффициентами следующего разложения по q, где q считается малым по отношению к k ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ varepsilon _ {n}} {\ partial \ mathbf {k}}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ varepsilon _ {n} (\ mathbf {k})} {\ partial k_ {i} \ partial k_ {j}}}}$

${\ displaystyle \ varepsilon _ {n} (\ mathbf {k} + \ mathbf {q}) = \ varepsilon _ {n} (\ mathbf {k}) + \ sum _ {i} {\ frac {\ partial \ varepsilon _ {n}} {\ partial k_ {i}}} q_ {i} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {ij} {\ frac {\ partial ^ {2} \ varepsilon _ { n}} {\ partial k_ {i} \ partial k_ {j}}} q_ {i} q_ {j} + O (q ^ {3})}$

Даны собственные значения. Мы можем рассмотреть следующую задачу о возмущении по q: ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {п} (\ mathbf {k} + \ mathbf {q})}$${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {\ mathbf {k} + \ mathbf {q}}}$

${\ displaystyle {\ hat {H}} _ {\ mathbf {k} + \ mathbf {q}} = {\ hat {H}} _ {\ mathbf {k}} + {\ frac {\ hbar ^ {2 }} {m}} \ mathbf {q} \ cdot (-i \ nabla + \ mathbf {k}) + {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} q ^ {2}}$

Теория возмущений второго порядка гласит, что:

${\ displaystyle E_ {n} = E_ {n} ^ {0} + \ int d \ mathbf {r} \, \ psi _ {n} ^ {*} {\ hat {V}} \ psi _ {n} + \ sum _ {n '\ neq n} {\ frac {| \ int d \ mathbf {r} \, \ psi _ {n} ^ {*} {\ hat {V}} \ psi _ {n} | ^ {2}} {E_ {n} ^ {0} -E_ {n '} ^ {0}}} +...}$

Чтобы вычислить в линейном порядке по q

${\ displaystyle \ sum _ {i} {\ frac {\ partial \ varepsilon _ {n}} {\ partial k_ {i}}} q_ {i} = \ sum _ {i} \ int d \ mathbf {r} \, u_ {n \ mathbf {k}} ^ {*} {\ frac {\ hbar ^ {2}} {m}} (- i \ nabla + \ mathbf {k}) _ {i} q_ {i} и_ {п \ mathbf {k}}}$

Если интеграции производятся по элементарной ячейке или по всему кристаллу, если интеграл:

${\ displaystyle \ int d \ mathbf {r} \, u_ {n \ mathbf {k}} ^ {*} u_ {n \ mathbf {k}}}$

нормализуется по ячейке или кристаллу.

Мы можем упростить по q и остаться с

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ varepsilon _ {n}} {\ partial \ mathbf {k}}} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {m}} \ int d \ mathbf {r} \, u_ {n \ mathbf {k}} ^ {*} (- i \ nabla + \ mathbf {k}) u_ {n \ mathbf {k}}}$

И мы можем заново вставить полные волновые функции

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ varepsilon _ {n}} {\ partial \ mathbf {k}}} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {m}} \ int d \ mathbf {r} \ psi _ {n \ mathbf {k}} ^ {*} (- i \ nabla) \ psi _ {n \ mathbf {k}}}$

А для эффективной массы

теорема об эффективной массе

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ varepsilon _ {n} (\ mathbf {k})} {\ partial k_ {i} \ partial k_ {j}}} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {m}} \ delta _ {ij} + \ left ({\ frac {\ hbar ^ {2}} {m}} \ right) ^ {2} \ sum _ {n '\ neq n} {\ frac {\ langle n \ mathbf {k} | -i \ nabla _ {i} | n '\ mathbf {k} \ rangle \ langle n' \ mathbf {k} | -i \ nabla _ {j} | п \ mathbf {k} \ rangle + \ langle n \ mathbf {k} | -i \ nabla _ {j} | n '\ mathbf {k} \ rangle \ langle n' \ mathbf {k} | -i \ nabla _ {i} | n \ mathbf {k} \ rangle} {\ varepsilon _ {n} (\ mathbf {k}) - \ varepsilon _ {n '} (\ mathbf {k})}}}$

Доказательство  -

Член второго порядка

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ sum _ {ij} {\ frac {\ partial ^ {2} \ varepsilon _ {n}} {\ partial k_ {i} \ partial k_ {j}} } q_ {i} q_ {j} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} q ^ {2} + \ sum _ {n '\ neq n} {\ frac {| \ int d \ mathbf {r} \, u_ {n \ mathbf {k}} ^ {*} {\ frac {\ hbar ^ {2}} {m}} \ mathbf {q} \ cdot (-i \ nabla + \ mathbf { k}) u_ {n '\ mathbf {k}} | ^ {2}} {\ varepsilon _ {n \ mathbf {k}} - \ varepsilon _ {n' \ mathbf {k}}}}}$

Снова с ${\ displaystyle \ psi _ {n \ mathbf {k}} = | n \ mathbf {k} \ rangle = e ^ {я \ mathbf {k} \ mathbf {x}} u_ {n \ mathbf {k}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ sum _ {ij} {\ frac {\ partial ^ {2} \ varepsilon _ {n}} {\ partial k_ {i} \ partial k_ {j}} } q_ {i} q_ {j} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} q ^ {2} + \ sum _ {n '\ neq n} {\ frac {| \ langle n \ mathbf {k} | {\ frac {\ hbar ^ {2}} {m}} \ mathbf {q} \ cdot (-i \ nabla) | n '\ mathbf {k} \ rangle | ^ {2}} { \ varepsilon _ {n \ mathbf {k}} - \ varepsilon _ {n '\ mathbf {k}}}}}$

И избавляемся, и у нас есть теорема ${\ displaystyle q_ {i}}$${\ displaystyle q_ {j}}$${\ Displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ varepsilon _ {n} (\ mathbf {k})} {\ partial k_ {i} \ partial k_ {j}}} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {m}} \ delta _ {ij} + \ left ({\ frac {\ hbar ^ {2}} {m}} \ right) ^ {2} \ sum _ {n '\ neq n} {\ frac {\ langle n \ mathbf {k} | -i \ nabla _ {i} | n '\ mathbf {k} \ rangle \ langle n' \ mathbf {k} | -i \ nabla _ {j} | п \ mathbf {k} \ rangle + \ langle n \ mathbf {k} | -i \ nabla _ {j} | n '\ mathbf {k} \ rangle \ langle n' \ mathbf {k} | -i \ nabla _ {i} | n \ mathbf {k} \ rangle} {\ varepsilon _ {n} (\ mathbf {k}) - \ varepsilon _ {n '} (\ mathbf {k})}}}$

Величина справа, умноженная на коэффициент, называется тензором эффективной массы, и мы можем использовать его, чтобы написать полуклассическое уравнение для носителя заряда в полосе ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ hbar ^ {2}}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {M} (\ mathbf {k})}$

Полуклассическое уравнение движения носителя заряда в зоне второго порядка

${\ Displaystyle \ mathbf {M} (\ mathbf {k}) \ mathbf {a} = \ mp e (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} (\ mathbf {k}) \ times \ mathbf {B})}$

Где это ускорение. Это уравнение находится в близкой аналогии с приближением типа волн Де Бройля. ${\ Displaystyle \ mathbf {а}}$

Полуклассическое уравнение движения электрона в зоне первого порядка

${\ displaystyle \ hbar {\ dot {k}} = - е (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B})}$

В качестве интуитивной интерпретации оба последних уравнения напоминают формально и находятся в полуклассической аналогии с уравнением Ньютона во внешней силе Лоренца.

История и связанные уравнения

Концепция состояния Блоха была разработана Феликсом Блохом в 1928 году для описания проводимости электронов в кристаллических твердых телах. Однако та же основная математика была открыта независимо несколько раз: Джорджем Уильямом Хиллом (1877 г.), Гастоном Флоке (1883 г.) и Александром Ляпуновым (1892 г.). В результате широко используются различные номенклатуры: в применении к обыкновенным дифференциальным уравнениям она называется теорией Флоке (или иногда теоремой Ляпунова – Флоке). Общая форма одномерного периодического потенциального уравнения - это уравнение Хилла :

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} + f (t) y = 0,}$

где f (t) - периодический потенциал. Конкретные периодические одномерные уравнения включают модель Кронига – Пенни и уравнение Матье.

Математически теорема Блоха интерпретируется в терминах унитарных характеров решеточной группы и применяется к спектральной геометрии.

Смотрите также

• Блоховские колебания
• Волна Блоха - метод MoM
• Электронная зонная структура
• Модель почти свободных электронов
• Периодические граничные условия
• Симметрии в квантовой механике
• Модель с плотной обвязкой
• Функция Ванье

использованная литература

дальнейшее чтение

• Эшкрофт, Нил ; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого тела. Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN   978-0-03-083993-1.
• Дрессельхаус, MS (2002). "Приложения теории групп к физике твердого тела" (PDF). Массачусетский технологический институт. Архивировано (PDF) из оригинала 1 ноября 2019 года. Проверено 12 сентября 2020.
• Дрессельхаус, MS (2010). Теория групп: приложение к физике конденсированного состояния. Springer-Verlag. ISBN   978-3-642-06945-1. OCLC   692760083.
• Х. Фёлль. «Периодические потенциалы и теорема Блоха - лекции в« Полупроводниках I » ». Кильский университет.
• MSP Eastham (1973). Спектральная теория периодических дифференциальных уравнений. Тексты по математике. Эдинбург: шотландская академическая пресса.
• Ж. Газале; С. Дюпон; JC Kastelik; К. Роллан и Б. Джафари-Рухани (2013). «Обучающий обзор волн, распространяющихся в периодических средах: электронные, фотонные и фононные кристаллы. Восприятие теоремы Блоха как в реальной, так и в Фурье-областях». Волновое движение. 50 (3): 619–654. DOI : 10.1016 / j.wavemoti.2012.12.010.