Второе квантование

редактировать

Формулировка квантовой задачи многих тел

Второе квантование, также называемое представление числа занятости - это формализм, использование для описания и анализа квантовых систем многих тел. В квантовой теории поля это известно как каноническое квантование, в котором поля (обычно как волновые функции материи) рассматриваются как операторы поля, аналогично тому, как физические величины ( положение, импульс и т.д.) рассматриваются как операторы в первом квантовании. Ключевые идеи этого метода были представлены в 1927 году Полем Дираком, а позже былиы, в первую очередь, Владимиром Фоком и Паскуалем Джорданом.

В этом подходе квантовые многочастичные состояния представлены в базисе состояния Фока, который строится путем заполнения каждого одночастичного определенного определенным идентичных частиц. Формализм второго квантования вводит операторы создания и уничтожения для построения и обработки состояний Фока, предоставляя полезные инструменты для изучения квантовой теории многих тел.

Содержание

1 Квантовые многочастичные состояния
- 1.1 Первоначально квантованная волновая функция многих тел
- 1.2 Второквантованные Фока
2 Операции создания и уничтожения
- 2.1 Операции вставки и удаления
- 2.2 Операторы создания и уничтожения бозонов
  - 2.2.1 Определение
  - 2.2.2 Действия сми состояния Фока
  - 2.2.3 Идентификаторы операторов
- 2.3 Операторы и уничтожения фермионов
  - 2.3.1 Определение
  - 2.3.2 Действия при состояниях Фока
  - 2.3.3 Идентификаторы операторов
3 Операторы квантового поля
4 Комментарий к номенклатуре
5 См. Также
6 Ссылки
7 Дополнительная литература
8 Внешние ссылки

Квантовые состояния многих тел

Отправной точкой формализма второго квантования является понятием неразличимости элементов в квантовой механике. В от классической механики, где каждая часть помечена отличие от вектора положения $ri {\ displaystyle \ mathbf {\ mathbf {r} _ {i}}$ $\ mathbf {r} _ {i}$ и различными конфигурациями набора $ri {\ displaystyle \ mathbf { r} _ {i}}$ $\ mathbf {r} _ {i}$ соответствуют состояниям многих тел, в квантовой механике частицы идентичны, так что обмениваются двумя частями, т.е. $ri ↔ rj {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i} \ leftrightarrow \ mathbf {r} _ {j}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i} \ leftrightarrow \ mathbf {r} _ {j} }$ , не приводит к другому квантовому состоянию многих тел. Это означает, что квантовая многочастичная волновая функция должна быть инвариантной (с точностью до фазового множителя) при обмене двумя частями. Согласно статистике частиц, многочастичная волновая функция может быть либо симметричной, либо антисимметричной относительно обмена частями:

Ψ B (⋯, ri, ⋯, rj, ⋯) = + Ψ В (⋯, rj, ⋯, ри, ⋯) {\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {B}} (\ cdots, \ mathbf {r} _ {i}, \ cdots, \ mathbf {r} _ {j}, \ cdots) = + \ Psi _ {\ rm {B}} (\ cdots, \ mathbf {r} _ {j}, \ cdots, \ mathbf {r} _ {i}, \ cdots)}

{\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {B}} (\ cdots, \ mathbf {r} _ {i}, \ cdots, \ mathbf {r} _ {j}, \ cdots) = + \ Psi _ {\ rm {B}} (\ cdots, \ mathbf {r} _ {j}, \ cdots, \ mathbf {r} _ {i}, \ cdots)}

если частицы являются бозонами,

Ψ F (⋯, ri, ⋯, rj, ⋯) = - Ψ F (⋯, rj, ⋯, ri, ⋯) {\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {F}} (\ cdots, \ mathbf {r} _ {i}, \ cdots, \ mathbf {r} _ {j}, \ cdots) = - \ Psi _ {\ rm {F}} (\ cdots, \ mathbf {r} _ {j}, \ cdots, \ mathbf {r} _ {i}, \ cdots)}

{\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {F}} (\ cdots, \ mathbf {r } _ {i}, \ cdots, \ mathbf {r} _ {j}, \ cdots) = - \ Psi _ {\ rm {F}} (\ cdots, \ mathbf {r} _ {j}, \ cdots, \ mathbf {r} _ {i}, \ cdots)}

, если частицы являются фермионами.

. Это свойство симметрии обмена накладывает ограничение на волновую функцию многих тел. Каждый раз, когда частица добавляется или удаляется из системы многих тел, волновая функция должна быть правильно симметризована или антисимметризована, чтобы удовлетворить ограничению симметрии. В первой формелизме квантования это ограничение гарантируется представлением волновой функции в виде линейной комбинации перманентов (для бозонов) или детерминантов (для фермионов) одночастичных состояний. В формелизме второго квантования проблема симметричного автоматического решения оператора создания и уничтожения, так что ее обозначение может быть намного проще.

Первоначально квантованная волновая функция многих тел

Рассмотрим полный набор одночастичных волновых функций $ψ α (r) {\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} (\ mathbf {r})}$ , помеченный $α {\ displaystyle \ alpha}$ $\ alpha$ (который может быть комбинированным индексом ряда квантовых чисел). Следующая волновая функция

Ψ [ri] = ∏ i = 1 N ψ α i (ri) ≡ ψ α 1 ⊗ ψ α 2 ⊗ ⋯ ⊗ ψ α N {\ displaystyle \ Psi [\ mathbf {r} _ {i }] = \ prod _ {i = 1} ^ {N} \ psi _ {\ alpha _ {i}} (\ mathbf {r} _ {i}) \ Equiv \ psi _ {\ alpha _ {1}} \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {2}} \ otimes \ cdots \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {N}}}

{\ displaystyle \ Psi [\ mathbf {r} _ {i}] = \ prod _ {i = 1} ^ {N} \ psi _ {\ alpha _ {i}} (\ mathbf {r} _ {i }) \ Equiv \ psi _ {\ alpha _ {1}} \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {2}} \ otimes \ cdots \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {N}}}

представляет состояние N-частиц, где i-я частица занимает одночастичное состояние $| α я⟩ {\ displaystyle | {\ alpha _ {i}} \ rangle}$ $| {\ alpha _ {i}} \ rangle$ . В сокращенных обозначенных функциях волновой функции можно опустить, и резолюции, что i-я одночастичная функция волновая функция состояния i-й частицы. Волновая функция $Ψ {\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ не была симметризована или антисимметризована, поэтому в целом не квалифицируется как волновая функция многих тел для идентичных частиц. Однако его можно привести к симметризованной (антисимметризованной) форме с помощью операторов $S {\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal {S}}$ для симметризатора и $A {\ displaystyle {\ mathcal {A} }}$ ${\ mathcal {A}}$ для антисимметризатора.

Для бозонов, многочастичная волновая функция должна быть симметризована,

Ψ B [ri] = NS Ψ [ri] = N ∑ π ∈ SN ∏ i = 1 N ψ α π (i) (ri) = N ∑ π ∈ SN ψ α π (1) ⊗ ψ α π (2) ⊗ ⋯ ⊗ ψ α π (N); {\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {B}} [\ mathbf {r} _ {i}] = {\ mathcal {N}} {\ mathcal {S}} \ Psi [\ mathbf {r} _ {i }] = {\ mathcal {N}} \ sum _ {\ pi \ in S_ {N}} \ prod _ {i = 1} ^ {N} \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (i)}} (\ mathbf {r} _ {i}) = {\ mathcal {N}} \ sum _ {\ pi \ in S_ {N}} \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (1)}} \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (2)}} \ otimes \ cdots \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (N)}};}

{\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {B}} [\ mathbf {r} _ {i}] = {\ mathcal {N}} {\ mathcal {S }} \ Psi [\ mathbf {r} _ {i}] = {\ mathcal {N}} \ sum _ {\ pi \ in S_ {N}} \ prod _ {i = 1} ^ {N} \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (i)}} (\ mathbf {r} _ {i}) = {\ mathcal {N}} \ сумма _ {\ pi \ in S_ {N}} \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (1)}} \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (2)}} \ otimes \ cdots \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (N)}};}

тогда как для фермионов многочастичная волновая функция должна быть антисимметризованы,

Ψ F [ri] = NA Ψ [ri] = N ∑ π ∈ SN (- 1) π ∏ i = 1 N ψ α π (i) (ri) = N ∑ π ∈ SN (- 1) π ψ α π (1) ⊗ ψ α π (2) ⊗ ⋯ ⊗ ψ α π (N). {\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {F}} [\ mathbf {r} _ {i}] = {\ mathcal {N}} {\ mathcal {A}} \ Psi [\ mathbf {r} _ {i }] = {\ mathcal {N}} \ sum _ {\ pi \ in S_ {N}} (- 1) ^ {\ pi} \ prod _ {i = 1} ^ {N} \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (i)}} (\ mathbf {r} _ {i}) = {\ mathcal {N}} \ sum _ {\ pi \ in S_ {N}} (- 1) ^ {\ pi} \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (1)}} \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (2)}} \ otimes \ cdots \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (N)}}.}

{\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {F}} [\ mathbf {r} _ {i}] = {\ mathcal {N}} {\ mathcal {A}} \ Psi [\ mathbf {r} _ {i}] = {\ mathcal {N}} \ sum _ {\ pi \ in S_ {N}} (- 1) ^ {\ pi} \ prod _ {i = 1} ^ {N} \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (i)}} (\ mathbf {r} _ {i}) = {\ mathcal {N}} \ сумма _ {\ pi \ в S_ {N}} (- 1) ^ {\ pi} \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (1)}} \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (2)}} \ otimes \ cdots \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {\ pi (N)}}.}

Здесь $π {\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ - это элемент в группе перестановок из N тел (или симметричной группе ) $SN { \ displaystyle S_ {N}}$ $S _ {{N}}$ , который работает перестановку среди меток состояния $α i {\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ $\ альфа _ {я}$ , а $(- 1) π {\ displaystyle (-1) ^ {\ pi}}$ $(-1) ^ {\ pi}$ обозначает соответствующий знак перестановки . $N {\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$ ${\ mathcal {N}}$ - оператор нормализации, который нормализует волновую функцию. (Это оператор который, применяет подходящий числовой нормированный коэффициент к симметризованным тензорам степени n; его значение в следующем разделе.)

Если объединить одночастичные волновые функции в матрицу $U {\ displaystyle U}$ $U$ , такой, что матричный элемент строки i, столбца j, равенство $U ij = ψ α j (ri) ≡ ri | α J⟩ {\ Displaystyle U_ {ij} = \ psi _ {\ alpha _ {j}} (\ mathbf {r} _ {i}) \ Equiv \ langle \ mathbf {r} _ {i} | \ alpha _ {j} \ rangle}$ ${\ displaystyle U_ {ij} = \ psi _ {\ alpha _ {j}} (\ mathbf {r} _ {i}) \ Equiv \ langle \ mathbf {r} _ {i} | \ alpha _ {j} \ rangle}$ , тогда бозонная многочастичная волновая функция может быть просто записана как постоянная $Ψ B = N perm ⁡ U {\ displaystyle \ Psi _ { \ rm {B}} = {\ mathcal {N}} \ operatorname {perm} U}$ ${\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {B}} = {\ mathcal {N}} \ operatorname {perm} U}$ , и многочастичная волновая функция фермиона как детерминант $Ψ F = N det ⁡ U {\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {F}} = {\ mathcal {N}} \ operatorname {det} U}$ ${\ displaystyle \ Psi _ {\ rm {F}} = {\ mathcal {N}} \ operatorname {det} U}$ (также известный как определитель Slater ).

Вторично квантованные состояния Фока

Первоначально квантованные волновые функции включают сложные процедуры симметризации для описания физически реализуемых состояний многих тел, потому что язык первого квантования избыточен для неразличимых частиц. На первом языке квантования состояние многих тел описывается ответами на ряд вопросов, таких как «Какая частица в каком состоянии находится?». Однако это не невозможно сказать, какая частица. На первый взгляд разные состояния $ψ 1 ⊗ ψ 2 {\ displaystyle \ psi _ {1} \ otimes \ psi _ {2}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {1} \ otimes \ psi _ {2}}$ и $ψ 2 ⊗ ψ 1 {\ displaystyle \ psi _ {2} \ otimes \ psi _ {1}}$ ${\ displaystyle \ psi _ {2} \ otimes \ psi _ {1}}$ на самом деле являются существующими именами одного и того же квантового состояния многих тел. Поэтому симметризация (или антисимметризация) должна быть введена, чтобы устранить эту избыточность в первом описании квантования.

На языке второго квантования вместо того, чтобы спрашивать «каждую часть в каком состоянии», спрашивают «Сколько частиц находится в каждом состоянии?». Это описание не относится к маркировке информации и, следовательно, приводит к точному и более простому описанию квантового состояния многих тел. В этом подходе состояние многих тел в базисе числа занятий, а базовое состояние помечено набор чисел занятия, обозначенным

| [n α]⟩ ≡ | N 1, N 2, ⋯, N α, ⋯⟩, {\ Displaystyle | [n _ {\ alpha}] \ rangle \ Equiv | n_ {1}, n_ {2}, \ cdots, n _ {\ alpha}, \ cdots \ rangle,}

| [n _ {{\ alpha}}] \ rangle \ Equiv | n_ {1}, n_ {2}, \ cdots, n _ {{\ alpha}}, \ cdots \ rangle,

означает, что существуют $n α {\ displaystyle n _ {\ alpha}}$ $n _ {{\ alpha}}$ частицы в одночастичном состоянии $| α⟩ {\ Displaystyle | \ alpha \ rangle}$ $| \ alpha \ rangle$ (или как $ψ α {\ displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$ $\ psi_ \ alpha$ ). Сумма чисел заполнена равным общему количеству частиц, то есть $∑ α n α = N {\ displaystyle \ sum _ {\ alpha} n _ {\ alpha} = N}$ $\ sum _ {\ alpha} n _ {{\ alpha}} = N$ . Для фермионов число заполнения $n α {\ displaystyle n _ {\ alpha}}$ $n _ {{\ alpha}}$ может быть только 0 или 1 из-за принципа исключения Паули ; в то время как для бозонов это может быть любое неотрицательное целое число

n α = {0, 1 фермионы, 0, 1, 2, 3,... бозоны. {\ displaystyle n _ {\ alpha} = {\ begin {case} 0,1 {\ text {fermions,}} \\ 0,1,2,3,... {\ text {бозоны.}} \ end {case}}}

n_ {{\ alpha}} = {\ begin {case} 0,1 {\ text {fermions,}} \\ 0,1,2,3,... {\ text {бозоны.}} \ end {cases}}

Номер занятия указывает на $| [N α]⟩ {\ Displaystyle | [n _ {\ alpha}] \ rangle}$ $| [n _ {{\ alpha}}] \ rangle$ также известны как состояния Фока. Все фоковские состояния составляют полную основу многочастичного гильбертова пространства, или фоковского пространства. Любое типичное квантовое состояние многих тел можно выразить как линейную комбинацию состояний Фока.

Обратите внимание, что помимо более эффективного языка пространство допускает переменное количество частиц. Как гильбертово пространство, оно изоморфно сумме n-частичных бозонных или фермионных тензорных пространств, описанных в предыдущем разделе, включая одномерное пространство с нулевыми частями ℂ.

Состояние Фока со всеми числами заполнения, равными нулю, называется состоянием вакуума, обозначается $| 0⟩ ≡ | ⋯, 0 α, ⋯⟩ {\ Displaystyle | 0 \ rangle \ Equiv | \ cdots, 0 _ {\ alpha}, \ cdots \ rangle}$ $| 0 \ rangle \ Equiv | \ cdots, 0 _ {\ alpha}, \ cdots \ rangle$ . Состояние Фока только с одним ненулевым заполнением является однимодовым состоянием Фока, обозначенным $| n α⟩ ≡ | ⋯, 0, N α, 0, ⋯⟩ {\ displaystyle | n _ {\ alpha} \ rangle \ Equiv | \ cdots, 0, n _ {\ alpha}, 0, \ cdots \ rangle}$ $| n _ {\ alpha} \ rangle \ Equiv | \ cdots, 0, n _ {\ alpha}, 0, \ cdots \ rangle$ . В терминах первой квантованной волновой функции состояние вакуума является единичным тензорным произведением и может быть обозначено $| 0⟩ знак равно 1 {\ displaystyle | 0 \ rangle = 1}$ $| 0 \ rangle = 1$ . Одночастичное состояние сводится к его волновой функции $| 1 α⟩ знак равно ψ α {\ Displaystyle | 1 _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha}}$ $| 1 _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha}$ . Другие одномодовые многочастичные (бозонные) состояния - это просто тензорное произведение волновой функции этой моды, например $| 2 α⟩ знак равно ψ α ⊗ ψ α {\ displaystyle | 2 _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha} \ otimes \ psi _ {\ alpha}}$ $| 2 _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ альфа} \ otimes \ psi _ {\ alpha}$ и $| n α⟩ знак равно ψ α ⊗ N {\ displaystyle | n _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes n}}$ $| n _ {\ alpha} \ rangle = \ psi _ {\ alpha} ^ {{\ otimes n}}$ . Для многомодовых состояний Фока (то есть задействовано более одного одночастичного состояния $| α⟩ {\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$ $| \ alpha \ rangle$ ) соответствующая квантованная сначала волновая функция потребует надлежащих симметризация согласно статистике частиц, например $| 1 1, 1 2⟩ знак равно (ψ 1 ψ 2 + ψ 2 ψ 1) / 2 {\ displaystyle | 1_ {1}, 1_ {2} \ rangle = (\ psi _ {1} \ psi _ {2} + \ psi _ {2} \ psi _ {1}) / {\ sqrt {2}}}$ $| 1_ {1}, 1_ {2} \ rangle = (\ psi _ {1} \ psi _ {2} + \ psi _ {2} \ psi _ {1}) / {\ sqrt {2}}$ для состояния бозона и $| 1 1, 1 2⟩ знак равно (ψ 1 ψ 2 - ψ 2 ψ 1) / 2 {\ displaystyle | 1_ {1}, 1_ {2} \ rangle = (\ psi _ {1} \ psi _ {2} - \ psi _ {2} \ psi _ {1}) / {\ sqrt {2}}}$ $| 1_ {1}, 1_ {2} \ rangle = (\ psi _ {1} \ psi _ {2} - \ psi _ {2} \ psi _ {1}) / {\ sqrt {2}}$ для состояния фермиона (символ $⊗ {\ displaystyle \ otimes}$ $\ otimes$ между $ψ 1 {\ displaystyle \ psi _ {1}}$ $\ psi _ {1}$ и $ψ 2 {\ displaystyle \ psi _ {2}}$ $\ psi _ {2}$ для простоты опущено). В общем, нормализация оказывается $α n α! N! {\ displaystyle {\ sqrt {\ tfrac {\ prod _ {\ alpha} n _ {\ alpha}!} {N!}}}}$ ${\ sqrt {{\ tfrac {\ prod _ {{\ alpha}} n _ {\ alpha}!} {N!}}}}$ , где N - общее количество частиц. Для фермиона это выражение сводится к $1 N! {\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {N!}}}}$ ${\ tfrac {1} {{\ sqrt {N!}}}}$ as $n α {\ displaystyle n _ {\ alpha}}$ $n _ {\ alpha}$ может быть только ноль или один. Таким образом, квантованная вначале волновая функция, соответствующее состояние Фока, имеет вид

| [N α]⟩ В знак равно (∏ α N α! N!) 1/2 S ⨂ α ψ α ⊗ N α {\ displaystyle | [n _ {\ alpha}] \ rangle _ {\ rm {B}} = \ left ({\ frac {\ prod _ {\ alpha} n _ {\ alpha}!} {N!}} \ right) ^ {1/2} {\ mathcal {S}} \ bigotimes \ limits _ {\ alpha} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes n _ {\ alpha}}}

{\ displaystyle | [n _ {\ alpha}] \ rangle _ {\ rm {B}} = \ left ({\ frac {\ prod _ {\ alpha} n _ {\ alpha}!} {N!}} \ right) ^ {1/2} {\ mathcal {S}} \ bigotimes \ limits _ {\ alpha} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes n _ {\ alpha}}}

для бозонов и

| [n α]⟩ F = 1 N! A ⨂ α ψ α ⊗ N α {\ Displaystyle | [n _ {\ alpha}] \ rangle _ {\ rm {F}} = {\ frac {1} {\ sqrt {N!}}} {\ Mathcal {A}} \ bigotimes \ limits _ {\ alpha} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes n _ {\ alpha}}}

{\ displaystyle | [n _ {\ alpha}] \ rangle _ {\ rm {F}} = {\ frac {1} {\ sqrt {N!}}} {\ mathcal {A}} \ bigotimes \ limits _ {\ alpha} \ psi _ {\ alpha} ^ {\ otimes n _ {\ alpha}}}

для фермионов. Обратите внимание, что только для фермионов $n α = 0, 1 {\ displaystyle n _ {\ alpha} = 0,1}$ ${\ displaystyle n_ {\ alpha} = 0,1}$ , поэтому тензорное произведение, приведенное выше, фактически является просто произведением на все занятые одиночные- состояния частиц.

Операторы создания и уничтожения

Операторы создания и уничтожения вводятся для добавления или удаления частиц из системы многих тел. Эти операторы лежат в основе формализма второго квантования, преодолевая разрыв между состояниями первого и второго квантования. Применение оператора создания (уничтожения) к квантованной вначале многочастичной функции будет вставлять (удалять) одночастичное состояние из волновойфункции симметризованным образом в зависимости от статистики частиц. Все вторично квантованные состояния созданы путем многократного применения операторов к вакуумному состоянию.

Операторы рождения и уничтожения (для бозонов) изначально построены в контексте квантового гармонического осциллятора как повышающие и понижающие операторы, которые обобщаются на операторы поля в квантовой теории поля. Они являются фундаментальными для квантовой теории многих тел в том смысле, что любой оператор многих тел (включая гамильтониан многих тел и все физические характеристики) может быть выражен через них.

Операция вставки и удаление

Создание и уничтожение частиц осуществляется вставкой и удалением одночастичного состояния из первой квантованной волновой функции в симметричной или антисимметричной манера. Пусть $ψ α {\ displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$ $\ psi_ \ alpha$ будет одночастичным состоянием, пусть 1 будет тензорным тождеством (это генератор пространства нулевых частиц ℂ и удовлетворяет $ψ α ≡ 1 ⊗ ψ α ≡ ψ α ⊗ 1 {\ Displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ Equiv 1 \ otimes \ psi _ {\ alpha} \ Equiv \ psi _ {\ alpha} \ otimes 1}$ $\ psi _ {\ alpha} \ Equiv 1 \ otimes \ psi _ {\ alpha} \ Equiv \ psi _ {\ alpha} \ otimes 1$ в тензорной алгебре над фундаментальным гильбертовым пространством), и пусть $Ψ = ψ α 1 ⊗ ψ α 2 ⊗ ⋯ {\ displaystyle \ Psi = \ psi _ {\ alpha _ {1}} \ otimes \ psi _ {\ alpha _ {2}} \ otimes \ cdots}$ $\ Psi = \ psi _ {{\ alpha _ {1}}} \ otimes \ psi _ {{\ alpha _ {2}}} \ otimes \ cdots$ - общее состояние тензорного произведения. Операторы вставки $⊗ ± {\ displaystyle \ otimes _ {\ pm}}$ $\ otimes _ {\ pm}$ и удаление $⊘ ± {\ displaystyle \ oslash _ {\ pm}}$ $\ oslash _ {\ pm}$ являются линейными операторами, определяемыми используемыми рекурсивными уравнениями

ψ α ⊗ ± 1 = ψ α, ψ α ⊗ ± (ψ β ⊗) = ψ α ⊗ ψ β ⊗ ± ψ β ⊗ (ψ α ⊗ ± Ψ); {\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {\ pm} 1 = \ psi _ {\ alpha}, \ quad \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {\ pm} (\ psi _ {\ beta } \ otimes \ Psi) = \ psi _ {\ alpha} \ otimes \ psi _ {\ beta} \ otimes \ Psi \ pm \ psi _ {\ beta} \ otimes (\ psi _ {\ alpha} \ otimes _ { \ pm} \ Psi);}

\ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {\ pm} 1 = \ psi _ {\ alpha}, \ quad \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {\ pm} (\ psi _ {\ beta} \ otimes \ Psi) = \ psi _ {\ alpha} \ otimes \ psi _ {\ beta} \ otimes \ Psi \ pm \ psi _ {\ beta} \ otimes (\ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {\ pm} \ Psi);

ψ α ⊘ ± 1 = 0, ψ α ⊘ ± (ψ β ⊗) = δ α β Ψ ± ψ β (ψ α ⊘ ±). {\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {\ pm} 1 = 0, \ quad \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {\ pm} (\ psi _ {\ beta} \ otimes \ Psi) = \ delta _ {\ alpha \ beta} \ Psi \ pm \ psi _ {\ beta} \ otimes (\ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {\ pm} \ Psi).}

\ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {\ pm} 1 = 0, \ quad \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {\ pm} (\ psi _ {\ beta} \ otimes \ Psi) = \ delta _ {{\ alpha \ beta}} \ Psi \ pm \ psi _ {\ beta} \ otimes (\ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {\ pm} \ Psi).

Здесь $δ α β {\ displaystyle \ delta _ {\ alpha \ beta}}$ $\ delta _ {{\ alpha \ beta}}$ - символ дельта Кронекера, который дает 1, если $α = β {\ displaystyle \ alpha = \ beta}$ $\ alpha = \ beta$ , в случае опасности - 0. Нижний индекс $± {\ displaystyle \ pm}$ $\ pm$ операторов вставки или удаления указывает, реализована ли симметризация (для бозонов) или антисимметризация ( для фермионов).

Операторы создания и уничтожения бозонов

Оператор создания (или уничтожения) бозонов обычно обозначается как $b α † {\ displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$ $b _ {{\ alpha}} ^ {\ dagger}$ (соответственно $b α {\ displaystyle b _ {\ alpha}}$ $b _ {{\ alpha}}$ ). Оператор создания $b α † {\ displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$ $b _ {{\ alpha}} ^ {\ dagger}$ перебозон в одночастичное состояние $| α⟩ {\ Displaystyle | \ alpha \ rangle}$ $| \ alpha \ rangle$ , оператор аннигиляции $b α {\ displaystyle b _ {\ alpha}}$ $b _ {{\ alpha}}$ удаляет бозон из одночастичной состояния $| α⟩ {\ Displaystyle | \ альфа \ rangle}$ $| \ alpha \ rangle$ . Операторы создания и уничтожения эрмитово сопряжены друг с другом, но ни один из них не является эрмитовым ( $b α ≠ b α † {\ displaystyle b _ {\ alpha} \ neq b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}}$ $b _ {\ alpha} \ neq b _ {\ alpha} ^ {\ dagger}$ ).

Определение

Оператор создания (уничтожения) бозона - это линейный оператор, действие которого на N-частичную волновую функцию, квантованную первым квантованием $Ψ {\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ определяется как

b α † Ψ = 1 N + 1 ψ α ⊗ + Ψ, {\ displaystyle b _ {\ alpha} ^ {\ dagger} \ Psi = {\ frac {1} {\ sqrt {N + 1}}} \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {+} \ Psi,}

b _ {\ alpha} ^ {\ dagger} \ Psi = {\ frac {1} {{\ sqrt {N + 1}}}} \ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {+} \ Psi,

b α Ψ = 1 N ψ α ⊘ + Ψ, {\ displaystyle b _ {\ alpha} \ Psi = { \ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {+} \ Psi,}

b _ {\ alpha} \ Psi = {\ frac {1} {{\ sqrt {N}}}} \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {+} \ Psi,

где $ψ α ⊗ + {\ displaystyle \ psi _ {\ alpha } \ otimes _ {+}}$ $\ psi _ {\ alpha} \ otimes _ {+ }$ вставляет одночастичное состояние $ψ α {\ displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$ $\ psi_ \ alpha$ в $N + 1 {\ displaystyle N + 1}$ $N+1$ возможные позиции вставки симметрично, а $ψ α ⊘ + {\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {+}}$ $\ psi _ {\ alpha} \ oslash _ {+}$ удаляет одночастичное состояние $ψ α {\ displaystyle \ psi _ {\ alpha}}$ $\ psi_ \ alpha$ из $N {\ displaystyle N}$ $N$ преступников позиц ий удаление симметрично.

Примеры (щелкните, чтобы просмотреть)

Здесь и далее символ тензора $⊗ {\ displaystyle \ otimes}$ $\ otimes$ между одночастичными состояниями опущен для простоты. Возьмем состояние $| 1 1, 1 2⟩ знак равно (ψ 1 ψ 2 + ψ 2 ψ 1) / 2 {\ displaystyle | 1_ {1}, 1_ {2} \ rangle = (\ psi _ {1} \ psi _ {2} + \ psi _ {2} \ psi _ {1}) / {\ sqrt {2}}}$ $| 1_ {1}, 1_ {2} \ rangle = (\ psi _ {1} \ psi _ {2} + \ psi _ {2} \ psi _ {1}) / {\ sqrt {2}}$ , создайте еще один бозон в состоянии $ψ 1 {\полуклассической трактовки системы к полностью квантово-механической.$

См. Также

Функционал Шредингера

Ссылки

Дополнительная литература

Второе квантование Карло Мария Бекки, Scholarpedia, 5 (6): 7902. doi: 10.4249 / scholarpedia.7902

Внешние ссылки

Второе квантование в Викиверсии

Многоэлектронные состояния у Э. Паварини, Э. Коха и У. Шольвёка: существующие явления в коррелированных Matter, Юлих 2013, ISBN 978-3-89336-884-6