Антисимметризатор

Оператор в квантовой механике, обеспечивающий фермионное соответствие принципу исключения Паули

В квантовой механике, антисимметризатор $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\}$(также известный как оператор антисимметризации) - линейный оператор, который делает волновую функцию N идентичной фермионы антисимметричны относительно обмена координатами любой пары фермионов. После применения $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\}$волновая функция удовлетворяет принципу исключения Паули. Поскольку $A\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\}$является оператором проекции, применение антисимметризатора к волновой функции, которая уже полностью антисимметрична, не имеет никакого эффекта, действует как оператор тождества.

• 1 Математическое определение
• 2 Свойства антисимметризатора
• 3 Связь с детерминантом Слейтера
  • 3.1 Пример
• 4 Межмолекулярный антисимметризатор
• 5 См. также
• 6 Ссылки

Рассмотрим волновую функцию, зависящую от пространственных и спиновых координат N фермионов:

$\Psi \; (1,\; 2,\dots ,\; N)\; с\; i\; \leftrightarrow \; (ri\; \sigma \; я),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Psi\; (1,2,\; \backslash \; ldots,\; N)\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{with\}\}\; \backslash \; quad\; i\; \backslash \; leftrightarrow\; (\backslash \; mathbf\; \{r\}\; \_\; \{i\},\; \backslash \; sigma\; \_\; \{i\; \}),\}$

где вектор положения riчастицы i является вектором в $R\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{3\}\}$и σ i принимает 2s + 1 значений, где s - это полуцелый внутренний спин фермиона. Для электронов s = 1/2 и σ может иметь два значения («спин вверх»: 1/2 и «спин вниз»: -1/2). Предполагается, что положения координат в обозначении имеют вполне определенный смысл. Например, 2-фермионная функция Ψ (1,2) в общем случае не будет такой же, как Ψ (2,1). Это означает, что в целом $\Psi \; (1,\; 2)\; -\; \Psi \; (2,\; 1)\; \ne \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\; (1,2)\; -\; \backslash \; Psi\; (2,1)\; \backslash \; neq\; 0\}$и поэтому мы можем осмысленно определить оператор транспозиции $P\; ^\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\; \_\; \{ij\}\}$, который меняет местами координаты частицы i и j. В общем случае этот оператор не будет равен оператору идентичности (хотя в особых случаях это может быть).

A транспонирование имеет четность (также известную как подпись) -1. Принцип Паули постулирует, что волновая функция одинаковых фермионов должна быть собственной функцией оператора транспозиции с его четностью как собственным значением

$P\; ^\; ij\; \Psi \; (1,\; 2,\dots ,\; i,\dots ,\; j,\; \dots ,\; N)\; \equiv \; \Psi \; (\pi \; (1),\; \pi \; (2),\dots ,\; \pi \; (i),\dots ,\; \pi \; (j),\dots ,\; \pi \; (N))\; \equiv \; \Psi \; (1,\; 2,\dots ,\; j,\dots ,\; i,\dots ,\; N)\; =\; -\; \Psi \; (1,\; 2,\dots ,\; i,\dots ,\; j,\dots ,\; N).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\; \_\; \{ij\}\; \backslash \; Psi\; \{\backslash \; big\; (\}\; 1,2,\; \backslash \; ldots,\; i,\; \backslash \; ldots,\; j,\; \backslash \; ldots,\; N\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; Psi\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; pi\; (1),\; \backslash \; pi\; (2),\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; pi\; (i),\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; pi\; (j),\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; pi\; (N)\; \{\backslash \; big)\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; Equiv\; \backslash \; Psi\; (1,2,\; \backslash \; ldots,\; j,\; \backslash \; ldots,\; i,\; \backslash \; ldots,\; N)\; \backslash \backslash \; =\; -\; \backslash \; Psi\; (1,2,\; \backslash \; ldots,\; i,\; \backslash \; ldots,\; j,\; \backslash \; ldots,\; N).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Здесь мы связали оператор транспонирования $P\; ^\; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\; \_\; \{ij\}\}$с перестановкой координат π, которая действует на множество N координат. В этом случае π = (ij), где (ij) - обозначение цикла для перестановки координат частицы i и j.

Транспозиции могут быть составлены (применены последовательно). Это определяет продукт между транспозициями, который является ассоциативным. Можно показать, что произвольная перестановка N объектов может быть записана как произведение транспозиций, и что количество перестановок в этом разложении имеет фиксированную четность. То есть либо перестановка всегда разлагается на четное количество транспозиций (перестановка называется четной и имеет четность +1), либо перестановка всегда разбивается на нечетное количество транспозиций, и тогда это нечетная перестановка с четностью −1. Обозначая четность произвольной перестановки π через (−1), получаем, что антисимметричная волновая функция удовлетворяет

$P\; ^\; \Psi \; (1,\; 2,\dots ,\; N)\; \equiv \; \Psi \; (\pi \; (1),\; \pi \; (2),\; \dots ,\; \Pi \; (N))\; =\; (-\; 1)\; \pi \; \Psi \; (1,\; 2,\dots ,\; N),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\; \backslash \; Psi\; \{\backslash \; big\; (\}\; 1,2,\; \backslash \; ldots,\; N\; \{\; \backslash \; big)\}\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; Psi\; \{\backslash \; big\; (\}\; \backslash \; pi\; (1),\; \backslash \; pi\; (2),\; \backslash \; ldots,\; \backslash \; pi\; (N)\; \{\backslash \; big)\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; Psi\; (1,2,\; \backslash \; ldots,\; N),\}$

где мы связали линейный оператор $P\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\}$с перестановкой π.

Набор всех N! перестановки с ассоциативным произведением: «применять одну перестановку за другой» - это группа, известная как группа перестановок или симметрическая группа, обозначаемая S N. Определим антисимметризатор как

$A\; \equiv \; 1\; N!\; \sum \; P\; \in \; S\; N\; (-\; 1)\; \pi \; P\; ^.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{N!\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{P\; \backslash \; in\; S\_\; \{N\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\; \}.\}$

В теории представлений конечных групп антисимметризатор является хорошо известным объектом, поскольку множество четностей $\{(-\; 1)\; \pi \}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{(-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \}\}$образует одномерное (и, следовательно, неприводимое) представление группы перестановок, известное как антисимметричное представление. Поскольку представление является одномерным, набор четностей формирует символ антисимметричного представления. Антисимметризатор на самом деле a и равен,

Отсюда следует, что для любой N-частичной волновой функции Ψ (1,..., N) мы имеем

$A\; \Psi \; (1,\dots ,\; N)\; =\; \{\; 0\; \Psi \; \prime \; (1,\dots ,\; N)\; \ne \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; \backslash \; Psi\; (1,\; \backslash \; ldots,\; N)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; 0\; \backslash \backslash \; \backslash \; Psi\; \text{'}(1,\; \backslash \; dots,\; N)\; \backslash \; neq\; 0.\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

Либо Ψ не имеет антисимметричной компоненты, и тогда антисимметричный компонент проецируется на ноль, либо он имеет один, а затем антисимметричный компонент проецирует эту антисимметричную компоненту Ψ '. Антисимметризатор несет левое и правое представление группы:

$P\; ^\; A\; =\; AP\; ^\; =\; (-\; 1)\; \pi \; A,\; \forall \; \pi \; \in \; SN,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\; \}\}\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\},\; \backslash \; qquad\; \backslash \; forall\; \backslash \; pi\; \backslash \; in\; S\_\; \{N\},\}$

с оператором $P\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\}$, представляющим перестановку координат π. Теперь для любой N-частичной волновой функции Ψ (1,..., N) с ненулевой антисимметричной компонентой

$P\; ^\; A\; \Psi \; (1,\dots ,\; N)\; \equiv \; P\; ^\; \Psi \; \prime \; (\; 1,\dots ,\; N)\; =\; (-\; 1)\; \pi \; \Psi \; \prime \; (1,\dots ,\; N),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; \backslash \; Psi\; (1,\; \backslash \; ldots,\; N)\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\; \backslash \; Psi\; \text{'}(1,\; \backslash \; ldots,\; N)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; Psi\text{'}\; (1,\; \backslash \; ldots,\; N),\}$

показывая, что не- исчезающая компонента действительно антисимметрична.

Если волновая функция симметрична относительно любой перестановки нечетной четности, она не имеет антисимметричной компоненты. Действительно, предположим, что перестановка π, представленная оператором $P\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\}$, имеет нечетную четность и что Ψ симметрична, тогда

$P\; ^\; \Psi \; знак\; равно\; \Psi \; ⟹\; AP\; ^\; \Psi \; знак\; равно\; A\; \Psi \; ⟹\; -\; A\; \Psi \; =\; A\; \Psi \; ⟹\; A\; \Psi \; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\; \backslash \; Psi\; =\; \backslash \; Psi\; \backslash \; Longrightarrow\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{P\}\}\; \backslash \; Psi\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; \backslash \; Psi\; \backslash \; Longrightarrow\; -\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; \backslash \; Psi\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; \backslash \; Psi\; \backslash \; Longrightarrow\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; \backslash \; Psi\; =\; 0.\}$

В качестве примера применения этого результата мы предполагаем, что Ψ является спин-орбитальным произведением. Предположим далее, что спин-орбиталь встречается дважды («дважды занята») в этом продукте: один раз с координатой k и один раз с координатой q. Тогда произведение симметрично относительно транспонирования (k, q) и, следовательно, обращается в нуль. Обратите внимание, что этот результат дает оригинальную формулировку принципа Паули : никакие два электрона не могут иметь одинаковый набор квантовых чисел (находиться на одной спин-орбитали).

Перестановки одинаковых частиц унитарны (эрмитово сопряженное равен обратному к оператору), и поскольку π и π имеют одинаковую четность, отсюда следует, что антисимметризатор эрмитов,

$A\; †\; =\; A.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; ^\; \{\backslash \; dagger\}\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}.\}$

Антисимметризатор коммутирует с любым наблюдаемым $H\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{H\}\}\; \backslash ,\}$(эрмитов оператор, соответствующий физической - наблюдаемой - величине)

$[A,\; H\; ^]\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; [\{\backslash \; mathcal\; \{A\}\},\; \{\backslash \; hat\; \{H\}\; \}]\; =\; 0.\}$

В противном случае измерение $H\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{H\}\}\; \backslash ,\}$могло бы различить частицы, что противоречит предположению что антисимметризатор влияет только на координаты неразличимых частиц.

В частном случае, когда антисимметризуемая волновая функция является произведением спин-орбиталей

$\Psi \; (1,\; 2,\dots ,\; N)\; =\; \psi \; n\; 1\; (1)\; \psi \; N\; 2\; (2)\; \cdots \; \psi \; N\; (N)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Psi\; (1,2,\; \backslash \; ldots,\; N)\; =\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\_\; \{1\}\}\; (1)\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\_\; \{2\}\}\; (2)\; \backslash \; cdots\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\_\; \{N\}\}\; (N)\}$

определитель Слейтера создается антисимметризатором, работающим на произведении спин-орбиталей, как показано ниже :

$N!\; A\; \Psi \; (1,\; 2,\dots ,\; N)\; =\; 1\; N!\; |\; \psi \; n\; 1\; (1)\; \psi \; n\; 1\; (2)\; \cdots \; \psi \; n\; 1\; (N)\; \psi \; n\; 2\; (1)\; \psi \; n\; 2\; (2)\; \cdots \; \psi \; n\; 2\; (N)\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; \psi \; n\; N\; (1)\; \psi \; n\; N\; (2)\; \psi \; n\; N\; (N)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{N!\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; \backslash \; Psi\; (1,2,\; \backslash \; ldots,\; N)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{N!\}\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{vmatrix\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\_\; \{1\}\}\; (1)\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\_\; \{1\}\}\; (2)\; \backslash \; cdots\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\_\; \{1\}\}\; (N)\; \backslash \backslash \backslash \; psi\; \_\; \{\; n\_\; \{2\}\}\; (1)\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\_\; \{2\}\}\; (2)\; \backslash \; cdots\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\_\; \{2\}\}\; (N)\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \backslash \; psi\; \_\; \{n\_\; \{N\}\}\; (1)\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\_\; \{N\}\}\; (2)\; \backslash \; cdots\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\_\; \{N\}\}\; (N)\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{vmatrix\}\}\}$

Соответствие непосредственно следует из формулы Лейбница для определителей, которая гласит:

$det\; (B)\; =\; \sum \; \pi \; \in \; SN\; (-\; 1)\; \pi \; B\; 1,\; \pi \; (1)\; \cdot \; B\; 2,\; \pi \; (2)\; \cdot \; В\; 3,\; \pi \; (3)\; \cdot \; \cdots \; \cdot \; BN,\; \pi \; (N),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; det\; (\backslash \; mathbf\; \{B\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; in\; S\_\; \{N\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; B\_\; \{1,\; \backslash \; pi\; (1)\}\; \backslash \; cdot\; B\_\; \{2,\; \backslash \; pi\; (2)\}\; \backslash \; cdot\; B\_\; \{3,\; \backslash \; pi\; (3)\}\; \backslash \; cdot\; \backslash ,\; \backslash \; cdots\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; B\_\; \{N,\; \backslash \; pi\; (N)\},\}$

где B - матрица

$B\; =\; (B\; 1,\; 1\; B\; 1,\; 2\; \cdots \; B\; 1,\; NB\; 2,\; 1\; B\; 2,\; 2\; \cdots \; B\; 2,\; N\; ⋮\; ⋮\; ⋮\; BN,\; 1\; BN,\; 2\; \cdots \; BN,\; N).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{B\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; B\_\; \{1,1\}\; B\_\; \{1,2\}\; \backslash \; cdots\; B\_\; \{1,\; N\}\; \backslash \backslash \; B\_\; \{2,1\}\; и\; B\_\; \{2,2\}\; \backslash \; cdots\; B\_\; \{2,\; N\}\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; B\_\; \{N,\; 1\}\; B\_\; \{N,\; 2\}\; \backslash \; cdots\; B\_\; \{N,\; N\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

Чтобы увидеть соответствие, мы замечаем, что метки фермионов, переставленные членами антисимметризатора, маркируют разные столбцы (вторые индексы). Первые индексы - это орбитальные индексы, n 1,..., n N, маркирующие строки.

Пример

По определению антисимметризатора

$A\; \psi \; a\; (1)\; \psi \; b\; (2)\; \psi \; c\; (3)\; =\; 1\; 6\; (\psi \; a\; (1)\; \psi \; b\; (\; 2)\; \psi \; c\; (3)\; +\; \psi \; a\; (3)\; \psi \; b\; (1)\; \psi \; c\; (2)\; +\; \psi \; a\; (2)\; \psi \; b\; (3)\; \psi \; c\; (1)\; -\; \psi \; a\; (2)\; \psi \; b\; (1)\; \psi \; c\; (3)\; -\; \psi \; a\; (3)\; \psi \; b\; (2)\; \psi \; c\; (1)\; -\; \psi \; a\; (1)\; \psi \; b\; (3)\; \psi \; c\; (2)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{a\}\; (1)\; \backslash \; psi\; \_\; \{b\}\; (2)\; \backslash \; psi\; \_\; \{c\}\; (3)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{6\}\}\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{a\}\; (1)\; \backslash \; psi\; \_\; \{b\}\; (2)\; \backslash \; psi\; \_\; \{c\}\; (3)\; +\; \backslash \; psi\; \_\; \{a\}\; (3)\; \backslash \; psi\; \_\; \{b\}\; (1)\; \backslash \; psi\; \_\; \{c\}\; (2)\; +\; \backslash \; psi\; \_\; \{a\}\; (2)\; \backslash \; psi\; \_\; \{b\}\; (3)\; \backslash \; psi\; \_\; \{c\}\; (1)\; \backslash \backslash \; \{\}\; -\; \backslash \; psi\; \_\; \{a\}\; (2)\; \backslash \; psi\; \_\; \{b\}\; (1)\; \backslash \; psi\; \_\; \{c\}\; (3)\; -\; \backslash \; psi\; \_\; \{a\}\; (3)\; \backslash \; psi\; \_\; \{b\}\; (2)\; \backslash \; psi\; \_\; \{c\; \}\; (1)\; -\; \backslash \; psi\; \_\; \{a\}\; (1)\; \backslash \; psi\; \_\; \{b\}\; (3)\; \backslash \; psi\; \_\; \{c\}\; (2)\; \{\backslash \; Big)\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Учитывайте Определитель Слейтера

$D\; \equiv \; 1\; 6\; |\; \psi \; a\; (1)\; \psi \; a\; (2)\; \psi \; a\; (3)\; \psi \; b\; (1)\; \psi \; b\; (2)\; \psi \; b\; (3)\; \psi \; c\; (1)\; \psi \; c\; (2)\; \psi \; c\; (3)\; |.\; \{\backslash \; Displaystyle\; D\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{vmatrix\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{a\}\; (1)\; \backslash \; psi\; \_\; \{a\}\; (2)\; \backslash \; psi\; \_\; \{\; a\}\; (3)\; \backslash \backslash \backslash \; psi\; \_\; \{b\}\; (1)\; \backslash \; psi\; \_\; \{b\}\; (2)\; \backslash \; psi\; \_\; \{b\}\; (3)\; \backslash \backslash \backslash \; psi\; \_\; \{c\}\; (1)\; \backslash \; psi\; \_\; \{c\}\; (2)\; \backslash \; psi\; \_\; \{c\}\; (3)\; \backslash \; end\; \{vmatrix\}\}.\}$

По разложению Лапласа по первой строке D

$D\; =\; 1\; 6\; \psi \; a\; (1)\; |\; \psi \; b\; (2)\; \psi \; b\; (3)\; \psi \; c\; (2)\; \psi \; c\; (3)\; |\; -\; 1\; 6\; \psi \; a\; (2)\; |\; \psi \; b\; (1)\; \psi \; b\; (3)\; \psi \; c\; (1)\; \psi \; c\; (3)\; |\; +\; 1\; 6\; \psi \; a\; (3)\; |\; \psi \; b\; (1)\; \psi \; b\; (2)\; \psi \; c\; (1)\; \psi \; c\; (2)\; |,\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{a\}\; (1)\; \{\backslash \; begin\; \{vmatrix\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{b\}\; (2)\; \backslash \; psi\; \_\; \{b\; \}\; (3)\; \backslash \backslash \backslash \; psi\; \_\; \{c\}\; (2)\; \backslash \; psi\; \_\; \{c\}\; (3)\; \backslash \; end\; \{vmatrix\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{\; a\}\; (2)\; \{\backslash \; begin\; \{vmatrix\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{b\}\; (1)\; \backslash \; psi\; \_\; \{b\}\; (3)\; \backslash \backslash \backslash \; psi\; \_\; \{c\}\; (1)\; \backslash \; psi\; \_\; \{c\}\; (3)\; \backslash \; end\; \{vmatrix\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{a\}\; (3)\; \{\backslash \; begin\; \{vmatrix\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{b\}\; (1)\; \backslash \; psi\; \_\; \{b\}\; (2)\; \backslash \backslash \backslash \; psi\; \_\; \{c\}\; (1)\; \backslash \; psi\; \_\; \{c\}\; (2)\; \backslash \; end\; \{vmatrix\}\},\}$

так, что

$D\; =\; 1\; 6\; \psi \; a\; (\; 1)\; (\psi \; b\; (2)\; \psi \; c\; (3)\; -\; \psi \; b\; (3)\; \psi \; c\; (2))\; -\; 1\; 6\; \psi \; a\; (2)\; (\psi \; b\; (1)\; \psi \; c\; (3)\; -\; \psi \; b\; (3)\; \psi \; c\; (1))\; +\; 1\; 6\; \psi \; a\; (3)\; (\psi \; b\; (1)\; \psi \; c\; (2)\; -\; \psi \; b\; (2)\; \psi \; c\; (1)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; D\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{a\}\; (1)\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{b\}\; (2)\; \backslash \; psi\; \_\; \{c\}\; (3)\; -\; \backslash \; psi\; \_\; \{b\}\; (3)\; \backslash \; psi\; \_\; \{c\}\; (2)\; \{\backslash \; Big)\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{a\}\; (2)\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{b\}\; (1)\; \backslash \; psi\; \_\; \{c\}\; (3)\; -\; \backslash \; psi\; \_\; \{b\}\; (3)\; \backslash \; psi\; \_\; \{c\}\; (1)\; \{\backslash \; Большой)\}\; \backslash \backslash \; \{\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{a\}\; (3)\; \{\backslash \; Big\; (\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{b\}\; (1)\; \backslash \; psi\; \_\; \{\; c\}\; (2)\; -\; \backslash \; psi\; \_\; \{b\}\; (2)\; \backslash \; psi\; \_\; \{c\}\; (1)\; \{\backslash \; Big)\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Сравнивая условия, мы видим, что

$D\; =\; 6\; A\; \psi \; a\; (1)\; \psi \; b\; (2)\; \psi \; c\; (3).\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{6\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; \backslash \; psi\; \_\; \{a\}\; (1)\; \backslash \; psi\; \_\; \{b\}\; (2)\; \backslash \; psi\; \_\; \{c\}\; (3).\}$

Часто встречается волновая функция вида произведения $\Psi \; A\; (1,\; 2,\dots ,\; NA)\; \Psi \; B\; (NA\; +\; 1,\; NA\; +\; 2,\dots ,\; NA\; +\; NB)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\; \_\; \{A\}\; (1,2,\; \backslash \; точки,\; N\_\; \{A\})\; \backslash \; Psi\; \_\; \{B\}\; (N\_\; \{A\}\; +\; 1,\; N\_\; \{A\}\; +2,\; \backslash \; dots,\; N\_\; \{A\; \}\; +\; N\_\; \{B\})\}$где полная волновая функция не антисимметрична, но факторы антисимметричны,

$AA\; \Psi \; A\; (1,\; 2,\dots ,\; NA)\; =\; \Psi \; A\; (1,\; 2,\dots ,\; NA)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; ^\; \{A\}\; \backslash \; Psi\; \_\; \{A\}\; (1,2,\; \backslash \; dots,\; N\_\; \{A\})\; =\; \backslash \; Psi\; \_\; \{A\}\; (1,2,\; \backslash \; dots,\; N\_\; \{A\})\}$

и

$AB\; \Psi \; B\; (NA\; +\; 1,\; NA\; +\; 2,\dots ,\; NA\; +\; NB)\; =\; \Psi \; B\; (NA\; +\; 1,\; NA\; +\; 2,\dots ,\; NA\; +\; NB).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; ^\; \{B\}\; \backslash \; Psi\; \_\; \{B\}\; (N\_\; \{A\}\; +\; 1,\; N\_\; \{A\}\; +2,\; \backslash \; dots,\; N\_\; \{A\}\; +\; N\_\; \{B\})\; =\; \backslash \; Psi\; \_\; \{B\}\; (N\_\; \{A\}\; +\; 1,\; N\_\; \{A\}\; +2,\; \backslash \; dots,\; N\_\; \{A\}\; +\; N\_\; \{B\}).\}$

Здесь $AA\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; A\}\}\; ^\; \{A\}\}$антисимметризует первые N A частиц и $AB\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; ^\; \{B\}\}$антисимметризует второй набор N B частиц. Операторы, фигурирующие в этих двух антисимметризаторах, представляют элементы подгрупп SNAи S NB, соответственно, из S NA+NB.

Обычно такие частично антисимметричные волновые функции встречаются в теории межмолекулярных сил., где $\Psi \; A\; (1,\; 2,\dots ,\; NA)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\; \_\; \{A\}\; (1,2,\; \backslash \; dots,\; N\_\; \{A\})\}$- это электронная волновая функция молекулы A и $\Psi \; B\; (NA\; +\; 1,\; NA\; +\; 2,\dots ,\; NA\; +\; NB)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Psi\; \_\; \{B\}\; (N\_\; \{A\}\; +\; 1,\; N\_\; \{A\}\; +2,\; \backslash \; dots,\; N\_\; \{A\}\; +\; N\_\; \{B\})\}$- волновая функция молекулы B. Когда A и B взаимодействуют, принцип Паули требует антисимметрии полной волновой функции, в том числе при межмолекулярном взаимодействии. перестановки.

Вся система может быть антисимметрична с помощью общего антисимметризатора $AAB\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; ^\; \{AB\}\}$, который состоит из (N A + N B)! члены группы S NA+NB. Однако таким образом нельзя воспользоваться уже имеющейся частичной антисимметрией. Более экономично использовать тот факт, что произведение двух подгрупп также является подгруппой, и рассматривать левые смежные классы этой группы продуктов в S NA+NB:

$SNA\; \otimes \; SNB\; \subset \; SNA\; +\; NB\; ⟹\; \forall \; \pi \; \in \; SNA\; +\; NB:\; \pi \; =\; \tau \; \pi \; A\; \pi \; B,\; \pi \; A\; \in \; SNA,\; \pi \; B\; \in \; SNB,\; \{\backslash \; displaystyle\; S\_\; \{N\_\; \{A\}\}\; \backslash \; otimes\; S\_\; \{N\_\; \{B\}\}\; \backslash \; subset\; S\_\; \{N\_\; \{A\; \}\; +\; N\_\; \{B\}\}\; \backslash \; Longrightarrow\; \backslash \; forall\; \backslash \; pi\; \backslash \; in\; S\_\; \{N\_\; \{A\}\; +\; N\_\; \{B\}\}:\; \backslash \; quad\; \backslash \; pi\; =\; \backslash \; tau\; \backslash \; pi\; \_\; \{A\}\; \backslash \; pi\; \_\; \{B\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; pi\; \_\; \{A\}\; \backslash \; in\; S\_\; \{N\_\; \{A\}\},\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash \; pi\; \_\; \{B\}\; \backslash \; in\; S\_\; \{N\_\; \{B\}\},\}$

где τ - представитель левого смежного класса. Поскольку

$(-\; 1)\; \pi \; =\; (-\; 1)\; \tau \; (-\; 1)\; \pi \; A\; (-\; 1)\; \pi \; B,\; \{\backslash \; displaystyle\; (-1)\; ^\; \{\backslash \; pi\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; tau\}\; (-1)\; ^\; \{\backslash \; pi\; \_\; \{A\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; pi\; \_\; \{B\}\},\}$

мы можем написать

$AAB\; =\; A\; ~\; ABAAAB\; с\; A\; ~\; AB\; =\; \sum \; T\; =\; 1\; CAB\; (-\; 1)\; \tau \; T\; ^,\; CAB\; =\; (NA\; +\; NBNA).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; ^\; \{AB\}\; =\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\}\; ^\; \{AB\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; ^\; \{A\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; ^\; \{\; B\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; hbox\; \{with\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\}\; ^\; \{AB\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{T\; =\; 1\}\; ^\; \{C\_\; \{AB\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{\; \backslash \; tau\}\; \{\backslash \; hat\; \{T\}\},\; \backslash \; quad\; C\_\; \{AB\}\; =\; \{\backslash \; binom\; \{N\_\; \{A\}\; +\; N\_\; \{B\}\}\; \{N\_\; \{A\}\}\}.\}$

Оператор $T\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{T\}\}\}$представляет представитель смежного класса τ (перестановка межмолекулярных координат). Очевидно, что межмолекулярный антисимметризатор $A\; ~\; AB\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\}\; ^\; \{AB\}\}$имеет коэффициент N A ! N B ! меньше членов, чем полный антисимметризатор. Наконец,

$AAB\; \Psi \; A\; (1,\; 2,\dots ,\; NA)\; \Psi \; B\; (NA\; +\; 1,\; NA\; +\; 2,\dots ,\; NA\; +\; NB)\; =\; A\; ~\; AB\; \Psi \; A\; (1,\; 2,\dots ,\; NA)\; \Psi \; В\; (NA\; +\; 1,\; NA\; +\; 2,\dots ,\; NA\; +\; NB),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\; ^\; \{AB\}\; \backslash \; Psi\; \_\; \{A\}\; (1,2,\; \backslash \; точки,\; N\_\; \{A\})\; \backslash \; Psi\; \_\; \{B\}\; (N\_\; \{A\}\; +\; 1,\; N\_\; \{A\}\; +2,\; \backslash \; dots,\; N\_\; \{A\}\; +\; N\_\; \{B\})\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathcal\; \{A\}\}\}\; ^\; \{AB\}\; \backslash \; Psi\; \_\; \{A\}\; (1,2,\; \backslash \; dots,\; N\_\; \{A\})\; \backslash \; Psi\; \_\; \{B\}\; (N\_\; \{A\}\; +\; 1,\; N\_\; \{A\}\; +2,\; \backslash \; dots,\; N\_\; \{A\}\; +\; N\_\; \{B\}),\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

, так что мы видим, что достаточно действовать с $A\; ~\; AB\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{\backslash \; mathcal\; \{\; A\}\}\}\; ^\; \{AB\}\}$, если волновые функции подсистем уже антисимметричны.

• Определитель Слейтера
• Идентичные частицы

1. ^P.A.M. Дирак, Принципы квантовой механики, 4-е издание, Clarendon, Oxford UK, (1958) с. 248