Формула Лейбница для определителей

редактировать

В алгебре формула Лейбница, названная в честь Готфрида Лейбница, выражает определитель квадратной матрицы в единицах мутации элементов матрицы. Если A - матрица размера n × n, где a i, j - запись в i-й строке и j-м столбце матрицы A, формула имеет вид

det (A) = ∑ τ ∈ S n sgn ⁡ (τ) ∏ я знак равно 1 наи, τ (я) знак равно ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ (σ) ∏ я знак равно 1 на σ (я), я, {\ Displaystyle \ det (A) = \ сумма _ { \ tau \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ tau) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i, \ tau (i)} = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a _ {\ sigma (i), i},}

{\ displaystyle \ det (A) = \ sum _ {\ tau \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ tau) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i, \ tau (i)} = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a _ {\ sigma (i), i},}

где sgn - знаковая функция из перестановок в группе перестановок Sn, которая возвращает +1 и -1 для четных и нечетных перестановок соответственно.

Другое распространенное обозначение, используемое для формулы, - это символ Леви-Чивиты и используется нотация суммирования Эйнштейна, где оно становится

det (A) знак равно ϵ я 1 ⋯ инна 1 я 1 ⋯ анин, {\ displaystyle \ det (A) = \ epsilon _ {i_ {1} \ cdots i_ {n}} {a} _ {1i_ {1}} \ cdots {a} _ {ni_ {n}},}

{\ displaystyle \ det (A) = \ epsilon _ {i_ {1} \ cdots i_ {n}} {a} _ {1i_ {1}} \ cdots {a} _ {ni_ {n}},}

, которые могут быть более знакомы физикам.

Непосредственное вычисление формулы Лейбница из определения требует $Ω (n! ⋅ n) {\ displaystyle \ Omega (n! \ Cdot n)}$ $\ Omega (n! \ cdot n)$ операций в целом, то есть, количество операций, асимптотически пропорциональное n факториалу - потому что n! - количество перестановок порядка n. Это практически сложно для больших n. Вместо этого определитель может быть оценен за O (n) операций путем формирования LU-разложения $A = LU {\ displaystyle A = LU}$ $A=LU$ (обычно через гауссовский устранение или аналогичные методы), в этом случае $det A = (det L) (det U) {\ displaystyle \ det A = (\ det L) (\ det U)}$ $\ det A = (\ det L) (\ det U)$ а определители треугольных матриц L и U - это просто произведения их диагональных элементов. (Однако в практических приложениях числовой линейной алгебры явное вычисление определителя требуется редко.) См., Например, Trefethen Bau (1997).

Формальное утверждение и доказательство

Теорема. Существует ровно одна функция

F: M n (K) → K {\ displaystyle F: M_ {n} (\ mathbb {K}) \ rightarrow \ mathbb {K}}

F: M_ {n} ({\ mathbb K}) \ rightarrow {\ mathbb K}

, которая чередуется полилинейный по столбцы и такие, что $F (I) = 1 {\ displaystyle F (I) = 1}$ $F (I) = 1$ .

Доказательство.

Уникальность: Пусть $F {\ displaystyle F}$ $F$ будет такой функцией, и пусть $A = (aij) i = 1,…, nj = 1,…, n {\ displaystyle A = (a_ {i} ^ {j}) _ {i = 1, \ dots, n} ^ {j = 1, \ dots, n}}$ $A = (a_ {i} ^ {j}) _ {{ i = 1, \ dots, n}} ^ {{j = 1, \ dots, n}}$ быть матрицей $n × n {\ displaystyle n \ times n}$ $n \ times n$ . Вызов $A j {\ displaystyle A ^ {j}}$ $A ^ {j}$ $j {\ displaystyle j}$ $j$ -й столбец $A {\ displaystyle A}$ $A$ , т.е. $A j = (aij) i = 1,…, n {\ displaystyle A ^ {j} = (a_ {i} ^ {j}) _ {i = 1, \ точки, n}}$ $A ^ {j } = (a_ {i} ^ {j}) _ {{i = 1, \ dots, n}}$ , так что $A = (A 1,…, A n). {\ displaystyle A = \ left (A ^ {1}, \ dots, A ^ {n} \ right).}$ $A = \ left (A ^ {1}, \ dots, A ^ {n} \ right).$

Кроме того, пусть $E k {\ displaystyle E ^ {k}}$ $E ^ {k}$ обозначает $k {\ displaystyle k}$ $k$ -й вектор-столбец единичной матрицы.

Теперь каждый записывает каждое из $A j {\ displaystyle A ^ {j}}$ $A ^ {j}$ в терминах $E k {\ displaystyle E ^ {k }}$ $E ^ {k}$ , т.е.

A j = ∑ k = 1 nakj E k {\ displaystyle A ^ {j} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} ^ { j} E ^ {k}}

A ^ {j } = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} a_ {k} ^ {j} E ^ {k}

Поскольку $F {\ displaystyle F}$ $F$ является полилинейным,

F (A) = F (∑ k 1 = 1 nak 1 1 E k 1,…, kn = 1 naknn E kn) = ∑ k 1,…, kn = 1 n (∏ i = 1 nakii) F (E k 1,…, E kn). {\ Displaystyle {\ begin {align} F (A) = F \ left (\ sum _ {k_ {1} = 1} ^ {n} a_ {k_ {1}} ^ {1} E ^ {k_ { 1}}, \ dots, \ sum _ {k_ {n} = 1} ^ {n} a_ {k_ {n}} ^ {n} E ^ {k_ {n}} \ right) \\ = \ sum _ {k_ {1}, \ dots, k_ {n} = 1} ^ {n} \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {k_ {i}} ^ {i} \ right) F \ left (E ^ {k_ {1}}, \ dots, E ^ {k_ {n}} \ right). \ End {align}}}

{\ begin {align} F (A) = F \ left (\ sum _ {{k_ {1} = 1}} ^ {n} a _ {{k_ {1}}} ^ {1 } E ^ {{k_ {1}}}, \ dots, \ sum _ {{k_ {n} = 1}} ^ {n} a _ {{k_ {n}}} ^ {n} E ^ {{k_ {n}}} \ right) \\ = \ sum _ {{k_ {1}, \ dots, k_ {n} = 1}} ^ {n} \ left (\ prod _ {{i = 1}} ^ {n} a _ {{k_ {i}}} ^ {i} \ right) F \ left (E ^ {{k_ {1}}}, \ dots, E ^ {{k_ {n}}}} \ right). \ end {align}}

Из чередования следует, что любой член с повторяющимися индексами равен нулю. Таким образом, сумма может быть ограничена кортежами с неповторяющимися индексами, т.е. перестановками:

F (A) = ∑ σ ∈ S n (∏ i = 1 na σ (i) i) F (E σ (1), …, E σ (n)). {\ Displaystyle F (A) = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \ right) F (E ^ {\ sigma (1)}, \ dots, E ^ {\ sigma (n)}).}

F (A) = \ sum _ {{\ sigma \ in S_ {n}}} \ left (\ prod _ {{i = 1}} ^ {n} a _ {{\ sigma (i)}} ^ {i} \ right) F (E ^ {{\ sigma (1)}}, \ dots, E ^ {{\ sigma (n)}}).

Поскольку F чередуется, столбцы $E {\ displaystyle E}$ $E$ можно менять местами, пока он не станет идентификатором. Знаковая функция $sgn ⁡ (σ) {\ displaystyle \ operatorname {sgn} (\ sigma)}$ $\ sgn (\ sigma)$ определяется для подсчета количества необходимых свопов и учета полученных результатов. изменение знака. В итоге получаем:

F (A) = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ (σ) (∏ i = 1 na σ (i) i) F (I) = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ (σ) ∏ я знак равно 1 на σ (я) я {\ Displaystyle {\ begin {align} F (A) = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \ right) F (I) \\ = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname { sgn} (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \ end {align}}}

{\ begin {выровнено} F (A) = \ sum _ {{\ sigma \ in S_ {n}}} \ operatorname {sgn} ( \ sigma) \ left (\ prod _ {{i = 1}} ^ {n} a _ {{\ sigma (i)}} ^ {i} \ right) F (I) \\ = \ sum _ {{ \ sigma \ in S_ {n}}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ prod _ {{i = 1}} ^ {n} a _ {{\ sigma (i)}} ^ {i} \ end { выровнено}}

как $F (I) {\ displaystyle F (I)}$ $F (I)$ должен быть равен $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ .

Следовательно, никакая функция, кроме функции, определенной формулой Лейбница, не может быть полилинейной переменной функцией с $F (I) = 1 {\ displaystyle F \ left (I \ right) = 1}$ $F \ left (I \ right) = 1$ .

Существование: Теперь мы покажем, что F, где F - функция, определенная формулой Лейбница, обладает этими тремя свойствами.

Полилинейный :

F (A 1,…, c A j,…) = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ (σ) ca σ (j) j ∏ i = 1, i ≠ jna σ (i) i = c ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ (σ) a σ (j) j ∏ i = 1, i ≠ jna σ (i) i = c F (A 1,…, A j,…) F (A 1, …, B + A j,…) = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ (σ) (b σ (j) + a σ (j) j) ∏ i = 1, i ≠ jna σ (i) i = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ (σ) ((b σ (j) ∏ i = 1, i ≠ jna σ (i) i) + (a σ (j) j i = 1, i ≠ jna σ (i) i))) = (∑ σ ∈ S n sign ⁡ (σ) b σ (j) ∏ i = 1, i ≠ jna σ (i) i) + (∑ σ ∈ S n sgn ⁡ (σ) ∏ i = 1 na σ (я) я) знак равно F (A 1,…, b,…) + F (A 1,…, A j,…) {\ displaystyle {\ begin {align}} F (A ^ {1}, \ dots, cA ^ {j}, \ dots) = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) ca _ {\ sigma (j)} ^ {j} \ prod _ { i = 1, i \ neq j} ^ {n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \\ = c \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) a _ {\ sigma (j)} ^ {j} \ prod _ {i = 1, i \ neq j} ^ {n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \\ = cF (A ^ {1}, \ dots, A ^ {j}, \ dots) \\\\ F (A ^ {1}, \ dots, b + A ^ {j}, \ dots) = \ sum _ {\ сигма \ в S_ {n}} \ opera torname {sgn} (\ sigma) \ left (b _ {\ sigma (j)} + a _ {\ sigma (j)} ^ {j} \ right) \ prod _ {i = 1, i \ neq j} ^ { n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \\ = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ left (\ left (b _ {\ sigma (j)} \ prod _ {i = 1, i \ neq j} ^ {n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \ right) + \ left (a _ {\ sigma (j)} ^ { j} \ prod _ {i = 1, i \ neq j} ^ {n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \ right) \ right) \\ = \ left (\ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) b _ {\ sigma (j)} \ prod _ {i = 1, i \ neq j} ^ {n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \ right) + \ left (\ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \ right) \\ = F (A ^ {1}, \ dots, b, \ dots) + F (A ^ {1}, \ dots, A ^ {j}, \ dots) \\\\\ конец {выровнено}}}

{\ begin {align} F (A ^ {1}, \ dots, cA ^ {j}, \ dots) = \ sum _ { {\ sigma \ in S_ {n}}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) ca _ {{\ sigma (j)}} ^ {j} \ prod _ {{i = 1, i \ neq j}} ^ {n} a _ {{\ sigma (i)}} ^ {i} \\ = c \ sum _ {{\ sigma \ in S_ {n}}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) a _ {{\ sigma (j)}} ^ {j} \ prod _ {{i = 1, i \ neq j}} ^ {n} a _ {{\ sigma (i)}} ^ {i} \\ = cF (A ^ {1}, \ dots, A ^ {j}, \ dots) \\\\ F (A ^ {1}, \ dots, b + A ^ {j}, \ dots) = \ sum _ {{ \ sigma \ in S_ {n}}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ left (b _ {{\ sigma (j)}} + a _ {{\ sigma (j)}} ^ {j} \ right) \ prod _ {{i = 1, i \ neq j}} ^ {n} a _ {{\ sigma (i)}} ^ {i} \\ = \ sum _ {{\ sigma \ in S_ {n} }} \ operatorname {sgn} (\ sig ma) \ left (\ left (b _ {{\ sigma (j)}} \ prod _ {{i = 1, i \ neq j}} ^ {n} a _ {{\ sigma (i)}} ^ {i } \ right) + \ left (a _ {{\ sigma (j)}} ^ {j} \ prod _ {{i = 1, i \ neq j}} ^ {n} a _ {{\ sigma (i)} } ^ {i} \ right) \ right) \\ = \ left (\ sum _ {{\ sigma \ in S_ {n}}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) b _ {{\ sigma (j) }} \ prod _ {{i = 1, i \ neq j}} ^ {n} a _ {{\ sigma (i)}} ^ {i} \ right) + \ left (\ sum _ {{\ sigma \ в S_ {n}}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ prod _ {{i = 1}} ^ {n} a _ {{\ sigma (i)}} ^ {i} \ right) \\ = F (A ^ {1}, \ dots, b, \ dots) + F (A ^ {1}, \ dots, A ^ {j}, \ dots) \\\\\ конец {выровнено}}

Чередование :

F (…, A j 1,…, A j 2,…) = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ (σ) (∏ i = 1 я ≠ J 1, я ≠ J 2 на σ (я) я) a σ (J 1) J 1 a σ (J 2) J 2 {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} F (\ точки, A ^ { j_ {1}}, \ dots, A ^ {j_ {2}}, \ dots) = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ left (\ prod _ {i = 1, i \ neq j_ {1}, i \ neq j_ {2}} ^ {n} a _ {\ sigma (i)} ^ {i} \ right) a _ {\ sigma (j_ {1})} ^ {j_ {1}} a _ {\ sigma (j_ {2})} ^ {j_ {2}} \\\ end {align}}}

{\ begin {align} F (\ dots, A ^ { {j_ {1}}}, \ dots, A ^ {{j_ {2}}}, \ dots) = \ sum _ {{\ sigma \ in S_ {n}}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ left (\ prod _ {{i = 1, i \ neq j_ {1}, i \ neq j_ {2}}} ^ {n} a _ {{\ sigma (i)}} ^ {i} \ right) a _ {{\ sigma (j_ {1})}} ^ {{j_ {1}}} a _ {{\ sigma (j_ {2})}} ^ {{j_ {2}}} \\\ end { выровнено}}

Для любого $σ ∈ S n {\ displaystyle \ sigma \ in S_ {n}}$ $\ sigma \ in S_n$ пусть $σ ′ {\ displaystyle \ sigma '}$ $\sigma '$ будет кортежем, равным $σ {\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ с переключенными индексами $j 1 {\ displaystyle j_ {1}}$ $j_1$ и $j 2 {\ displaystyle j_ {2}}$ $j_2$ .

F (A) = ∑ σ ∈ S n, σ (j 1) < σ ( j 2) [ sgn ⁡ ( σ) ( ∏ i = 1, i ≠ j 1, i ≠ j 2 n a σ ( i) i) a σ ( j 1) j 1 a σ ( j 2) j 2 + sgn ⁡ ( σ ′) ( ∏ i = 1, i ≠ j 1, i ≠ j 2 n a σ ′ ( i) i) a σ ′ ( j 1) j 1 a σ ′ ( j 2) j 2 ] = ∑ σ ∈ S n, σ ( j 1) < σ ( j 2) [ sgn ⁡ ( σ) ( ∏ i = 1, i ≠ j 1, i ≠ j 2 n a σ ( i) i) a σ ( j 1) j 1 a σ ( j 2) j 2 − sgn ⁡ ( σ) ( ∏ i = 1, i ≠ j 1, i ≠ j 2 n a σ ( i) i) a σ ( j 2) j 1 a σ ( j 1) j 2 ] = ∑ σ ∈ S n, σ ( j 1) < σ ( j 2) sgn ⁡ ( σ) ( ∏ i = 1, i ≠ j 1, i ≠ j 2 n a σ ( i) i) ( a σ ( j 1) j 1 a σ ( j 2) j 2 − a σ ( j 1) j 2 a σ ( j 2) j 1) {\displaystyle {\begin{aligned}F(A)=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\left[\operatorname {sgn}(\sigma)\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}+\operatorname {sgn}(\sigma ')\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma '(i)}^{i}\right)a_{\sigma '(j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma '(j_{2})}^{j_{2}}\right]\\=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\left[\operatorname {sgn}(\sigma)\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-\operatorname {sgn}(\sigma)\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{2})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}\right]\\=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\operatorname {sgn}(\sigma)\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\left(a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{_{1}}}\right)\\\\\end{aligned}}}

{\begin{aligned}F(A)=\sum _{{\sigma \in S_{{n}},\sigma (j_{{1}})<\sigma (j_{{2}})}}\left[\operatorname{sgn}(\sigma)\left(\prod _{{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}}^{n}a_{{\sigma (i)}}^{{i}}\right)a_{{\sigma (j_{{1}})}}^{{j_{{1}}}}a_{{\sigma (j_{{2}})}}^{{j_{{2}}}}+\operatorname{sgn}(\sigma ')\left(\prod _{{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}}^{n}a_{{\sigma '(i)}}^{{i}}\right)a_{{\sigma '(j_{{1}})}}^{{j_{{1}}}}a_{{\sigma '(j_{{2}})}}^{{j_{{2}}}}\right]\\=\sum _{{\sigma \in S_{{n}},\sigma (j_{{1}})<\sigma (j_{{2}})}}\left[\operatorname{sgn}(\sigma)\left(\prod _{{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}}^{n}a_{{\sigma (i)}}^{{i}}\right)a_{{\sigma (j_{{1}})}}^{{j_{{1}}}}a_{{\sigma (j_{{2}})}}^{{j_{{2}}}}-\operatorname{sgn}(\sigma)\left(\prod _{{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}}^{n}a_{{\sigma (i)}}^{{i}}\right)a_{{\sigma (j_{{2}})}}^{{j_{{1}}}}a_{{\sigma (j_{{1}})}}^{{j_{{2}}}}\right]\\=\sum _{{\sigma \in S_{{n}},\sigma (j_{{1}})<\sigma (j_{{2}})}}\operatorname{sgn}(\sigma)\left(\prod _{{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}}^{n}a_{{\sigma (i)}}^{{i}}\right)\left(a_{{\sigma (j_{{1}})}}^{{j_{{1}}}}a_{{\sigma (j_{{2}})}}^{{j_{{2}}}}-a_{{\sigma (j_{{1}})}}^{{j_{{2}}}}a_{{\sigma (j_{{2}})}}^{{j_{{_{{1}}}}}}\right)\\\\\end{aligned}}

Таким образом, если $A j 1 = A j 2 {\ displaystyle A ^ {j_ {1}} = A ^ {j_ {2}}}$ $A ^ {{j_ {1}}} = A ^ {{j_ {2}}}$ , затем $F (…, A j 1,…, A j 2,…) = 0 {\ displaystyle F (\ dots, A ^ {j_ {1}}, \ точки, A ^ {j_ {2}}, \ точки) = 0}$ $F (\ dots, A ^ {{j_ {1} }}, \ dots, A ^ {{j_ {2}}}, \ dots) = 0$ .

Наконец, $F (I) = 1 {\ displaystyle F (I) = 1}$ $F (I) = 1$ :

F (I) = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ (σ) ∏ i = 1 n I σ (i) i = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ (σ) ∏ i = 1 n δ i, σ (i) = ∑ σ ∈ S n знак ⁡ (σ) δ σ, id {1… n} = sign ⁡ (id {1… n}) = 1 {\ displaystyle {\ begin {выровнено} F (I) = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} I _ {\ sigma (i)} ^ {i} = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n }} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ operatorname {\ delta} _ {i, \ sigma (i)} \\ = \ sum _ {\ sigma \ в S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ operatorname {\ delta} _ {\ sigma, \ operatorname {id} _ {\ {1 \ ldots n \}}} = \ operatorname {sgn} ( \ operatorname {id} _ {\ {1 \ ldots n \}}) = 1 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} F (I) = \ сумма _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} I _ {\ sigma (i)} ^ {i} = \ sum _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ operatorname {\ delta} _ {i, \ sigma (i)} \\ = \ сумма _ {\ sigma \ in S_ {n}} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ operatorname {\ delta} _ {\ sigma, \ operatorname {id} _ {\ {1 \ ldots n \}}} = \ operatorname {sgn} (\ operatorname {id} _ {\ {1 \ ldots n \}}) = 1 \ end {align}}}

Таким образом, единственные чередующиеся полилинейные функции с $F (I) = 1 {\ displaystyle F ( I) = 1}$ $F (I) = 1$ - остальные привязан к функции, определенной формулой Лейбница, и на самом деле он также обладает этими тремя свойствами. Следовательно, определитель можно определить как единственную функцию

det: M n (K) → K {\ displaystyle \ det: M_ {n} (\ mathbb {K}) \ rightarrow \ mathbb {K}}

\ det: M_ {n} ({\ mathbb K}) \ rightarrow { \ mathbb K}

с этими тремя свойствами.

См. Также

Ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Trefethen, Lloyd N.; Бау, Дэвид (1 июня 1997 г.). Числовая линейная алгебра. СИАМ. ISBN 978-0898713619. CS1 maint: ref = harv (ссылка )