Функция Ванье

редактировать

Функции Ванье трех- и односвязных димеров азота в нитриде палладия.

Функции Ванье - это полный набор ортогональных функций, используемых в физике твердого тела. Их представил Грегори Ванье. Функции Ванье - это локализованные молекулярные орбитали кристаллических систем.

Функции Ванье для различных узлов решетки в кристалле ортогональны, что дает удобную основу для разложения состояний электрона в определенных режимах. Функции Ванье нашли широкое применение, например, при анализе сил связи, действующих на электроны; существование экспоненциально локализованных функций Ванье в изоляторах было доказано в 2006 году. В частности, эти функции также используются при анализе экситонов и конденсированной ридберговской материи.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Свойства
- 1.2 Локализация
2 Современная теория поляризации
3 Интерполяция Ванье
4 См. Также
5 Ссылки
6 Дополнительная литература
7 Внешние ссылки
8 См. Также

Определение

Пример локальной функции Ванье титана в титанате бария (BaTiO3)

Хотя, как и локализованные молекулярные орбитали, функции Ванье могут быть выбраны Во многих случаях исходное, простейшее и наиболее распространенное определение в физике твердого тела выглядит следующим образом. Выберите единственную полосу в идеальном кристалле и обозначьте ее блоховские состояния как

ψ k (r) = eik ⋅ ruk (r) {\ displaystyle \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r})}

{\ displaystyle \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = e ^ {я \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} u _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r})}

где u k(r) имеет ту же периодичность, что и кристалл. Тогда функции Ванье определяются следующим образом:

ϕ R (r) = 1 N ∑ ke - ik ⋅ R ψ k (r) {\ displaystyle \ phi _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ sum _ {\ mathbf {k}} e ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {R}} \ psi _ {\ mathbf {k }} (\ mathbf {r})}

\ phi _ {{{\ mathbf {R}}}} ({\ mathbf {r}}) = {\ frac {1} {{ \ sqrt {N}}}} \ sum _ {{{\ mathbf {k}}}} e ^ {- i {\ mathbf {k}} \ cdot {\ mathbf {R}}}} \ psi _ { {{\ mathbf {k}}}} ({\ mathbf {r}})

где

R- любой вектор решетки (т. е. существует одна функция Ванье для каждого вектора решетки Браве );
N - количество примитивных ячеек в кристалле;
Сумма на k включает все значения k в зоне Бриллюэна (или любой другой примитивная ячейка обратной решетки ), которые согласуются с периодическими граничными условиями на кристалле. Это включает N различных значений k, разброс равномерно через зону Бриллюэна. Поскольку N обычно очень велико, сумма может быть записана в виде интеграла в соответствии с правилом замены:

∑ k ⟶ N Ω ∫ BZ d 3 k {\ displaystyle \ sum _ {\ mathbf {k}} \ longrightarrow {\ frac {N} {\ Omega}} \ int _ {\ text {BZ}} d ^ {3} \ mathbf {k}}

{\ displaystyle \ sum _ {\ mathbf {k}} \ longrightarrow {\ frac {N} {\ Omega}} \ int _ {\ text {BZ}} d ^ {3} \ mathbf {k}}

где «BZ» обозначает зону Бриллюэна, имеющую объем Ω.

Свойства

На основе этого определения могут быть доказаны следующие свойства:

Для любого вектора решетки R ',

ϕ R (r) = ϕ R + R '(г + R') {\ Displaystyle \ phi _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r}) = \ phi _ {\ mathbf {R} + \ mathbf {R} '} ( \ mathbf {r} + \ mathbf {R} ')}

\phi _{{{\mathbf {R}}}}({\mathbf {r}})=\phi _{{{\mathbf {R}}+{\mathbf {R}}'}}({\mathbf {r}}+{\mathbf {R}}')

Другими словами, функция Ванье зависит только от количества (r− R). В результате эти функции часто записываются в альтернативной записи

ϕ (r - R): = ϕ R (r) {\ displaystyle \ phi (\ mathbf {r} - \ mathbf {R}): = \ phi _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r})}

\ phi ({\ mathbf {r}} - {\ mathbf {R}}): = \ phi _ {{{\ mathbf {R}}}} ({\ math bf {r}})

Функции Блоха могут быть записаны в терминах функций Ванье следующим образом:

ψ k (r) = 1 N ∑ R eik ⋅ R ϕ р (г) {\ Displaystyle \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {\ sqrt {N}}} \ sum _ {\ mathbf {R}} e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {R}} \ phi _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r})}

\ psi _ {{{\ mathbf {k}}}} ({\ mathbf {r}}) = { \ frac {1} {{\ sqrt {N}}}} \ sum _ {{{\ mathbf {R}}}} e ^ {{i {\ mathbf {k}} \ cdot {\ mathbf {R}} }} \ phi _ {{{\ mathbf {R}}}} ({\ mathbf {r}})

где сумма берется по каждому вектору решетки R в кристалле.

Набор волновых функций $ϕ R {\ displaystyle \ phi _ {\ mathbf {R}}}$ $\ phi _ {{{\ mathbf {R}}}}$ является ортонормированным базисом для рассматриваемого диапазона.

∫ кристалл ϕ R (r) ∗ ϕ R ′ (r) d 3 r = 1 N ∑ k, k ′ ∫ кристалл eik ⋅ R ψ k (r) ∗ e - ik ′ ⋅ R ′ ψ k ′ (r) d 3 р знак равно 1 N ∑ К, k ′ eik ⋅ R e - ik ′ ⋅ R ′ δ k, k ′ = 1 N ∑ keik ⋅ (R ′ - R) = δ R, R ′ {\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ int _ {\ text {crystal}} \ phi _ {\ mathbf {R}} (\ mathbf {r}) ^ {*} \ phi _ {\ mathbf {R '}} (\ mathbf {r }) d ^ {3} \ mathbf {r} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {\ mathbf {k, k '}} \ int _ {\ text {crystal}} e ^ { я \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {R}} \ psi _ {\ mathbf {k}} (\ mathbf {r}) ^ {*} e ^ {- i \ mathbf {k '} \ cdot \ mathbf {R '}} \ psi _ {\ mathbf {k'}} (\ mathbf {r}) d ^ {3} \ mathbf {r} \\ = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {\ mathbf {k, k '}} e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {R}} e ^ {- i \ mathbf {k'} \ cdot \ mathbf {R '}} \ delta _ {\ mathbf {k, k '}} \\ = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {\ mathbf {k}} e ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {(R '-R)}} \\ = \ delta _ {\ mathbf {R, R'}} \ end {align}}}

{\begin{aligned}\int _{\text{crystal}}\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r})^{*}\phi _{\mathbf {R'} }(\mathbf {r})d^{3}\mathbf {r} ={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k,k'} }\int _{\text{crystal}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r})^{*}e^{-i\mathbf {k'} \cdot \mathbf {R'} }\psi _{\mathbf {k'} }(\mathbf {r})d^{3}\mathbf {r} \\={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k,k'} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k'} \cdot \mathbf {R'} }\delta _{\mathbf {k,k'} }\\={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {(R'-R)} }\\=\delta _{\mathbf {R,R'} }\end{aligned}}

Ванн Другие функции также были расширены до почти периодических потенциалов.

Локализация

Блоховские состояния ψ k(r) определены как собственные функции конкретного гамильтониана и поэтому определены только с точностью до общая фаза. Применяя фазовое преобразование е к функциям ψ k(r) для любой (действительной) функции θ (k ), можно прийти к равнозначному выбору. Хотя изменение не имеет последствий для свойств состояний Блоха, соответствующие функции Ванье значительно изменяются этим преобразованием.

Следовательно, можно использовать свободу выбора фаз блоховских состояний, чтобы дать наиболее удобный набор функций Ванье. На практике это обычно максимально локализованный набор, в котором функция Ванье ϕ Rлокализована вокруг точки R и быстро стремится к нулю при удалении от R . Для одномерного случая Кон доказал, что всегда существует единственный выбор, который придает эти свойства (с учетом определенных симметрий). Следовательно, это применимо к любому разделяемому потенциалу в более высоких измерениях; общие условия не установлены и являются предметом текущих исследований.

A Схема локализации в стиле Пипека-Мезея также недавно была предложена для получения функций Ванье. В отличие от максимально локализованных функций Ванье (которые являются приложением схемы Фостера-Бойса к кристаллическим системам), функции Ванье Пипека-Мези не смешивают орбитали σ и π.

Современная теория поляризации

Функции Ванье недавно нашли применение при описании поляризации в кристаллах, например, сегнетоэлектриках. Пионерами современной теории поляризации являются Раффаэле Реста и Дэвид Вандербильт. См., Например, Бергхольд и Нахмансон, а также введение Вандербильта о Power-Point. Поляризацию на элементарную ячейку в твердом теле можно определить как дипольный момент плотности заряда Ванье:

p c = - e ∑ n ∫ d 3 r r | W n (r) | 2, {\ displaystyle \ mathbf {p_ {c}} = -e \ sum _ {n} \ int \ d ^ {3} r \, \, \ mathbf {r} | W_ {n} (\ mathbf {r }) | ^ {2} \,}

{\ mathbf {p_ {c}}} = - e \ sum _ {n} \ int \ d ^ {3} r \, \, {\ mathbf {r}} | W_ {n} ({\ mathbf {r}}) | ^ {2} \,

, где суммирование производится по занятым полосам, а W n - функция Ванье, локализованная в ячейке для полосы n. Изменение поляризации во время непрерывного физического процесса является производной поляризации по времени и также может быть сформулировано в терминах фазы Берри занятых состояний Блоха.

Интерполяция Ванье

Функции Ванье часто используются для интерполяции структуры полосы, рассчитанной ab initio при грубом захвате k -точек, в любую произвольную k -точку. Это особенно полезно для вычисления интегралов Бриллюэна-1 на плотных сетках и поиска точек Вейля, а также для получения производных в k -пространстве. Этот подход похож по духу на приближение сильной связи, но, напротив, позволяет точно описывать полосы в определенном диапазоне энергий. Были получены схемы интерполяции Ванье для спектральных свойств, аномальной холловской проводимости, орбитальной намагниченности, термоэлектрических и электронных транспортных свойств, гиротропных эффектов, тока сдвига, спиновая холловская проводимость и другие эффекты.

См. Также

Орбитальная намагниченность

Ссылки

Дополнительная литература

Karin M Rabe; Жан-Марк Трискон; Чарльз Х. Ан (2007). Физика сегнетоэлектриков: современная перспектива. Springer. п. 2. ISBN 978-3-540-34590-9.

Внешние ссылки

Ванье Грегори Х (1937). «Структура уровней электронного возбуждения в диэлектрических кристаллах». Физический обзор. 52 (3): 191–197. Bibcode : 1937PhRv... 52..191W. doi : 10.1103 / PhysRev.52.191.
Компьютерный код Wannier90, который вычисляет максимально локализованные функции Ванье
Транспортный код Ванье, который вычисляет максимально локализованные функции Ванье, подходящие для приложений квантового транспорта
WannierTools: Пакет программного обеспечения с открытым исходным кодом для новых топологических материалов
WannierBerri - код Python для интерполяции Ванье и вычислений с сильной привязкой

См. Также