Ортогональные функции

редактировать

В математике, ортогональные функции принадлежат пространству функций , которое является векторным пространством , имеющим билинейную форму . Когда функциональное пространство имеет интервал в качестве области, билинейная форма может быть интегралом произведения функций в интервале:

⟨f, g⟩ = ∫ f (x) ¯ g (x) dx. {\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int {\ overline {f (x)}} g (x) \, dx.}

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int {\ overline {f (x)}} g (x) \, dx.}

Функции $f {\ displaystyle f}$ $f$ и $g {\ displaystyle g}$ $g$ являются ортогональными, когда этот интеграл равен нулю, то есть $⟨f, g⟩ = 0 {\ displaystyle \ langle f, \ g \ rangle = 0}$ ${\ displaystyle \ langle f, \ g \ rangle = 0}$ всякий раз, когда $f ≠ g {\ displaystyle f \ neq g}$ ${\ displaystyle f \ neq g}$ . Как и в случае базиса векторов в конечномерном пространстве, ортогональные функции могут формировать бесконечный базис для функционального пространства. Концептуально указанный выше интеграл является эквивалентом векторного скалярного произведения; два вектора являются взаимно независимыми (ортогональными), если их скалярное произведение равно нулю.

Предположим, что ${f 0, f 1,…} {\ displaystyle \ {f_ {0}, f_ {1}, \ ldots \}}$ ${\ displaystyle \ {f_ {0}, f_ {1}, \ ldots \}}$ - последовательность ортогональных функции ненулевых L-норм $‖ fn ‖ 2 = ⟨fn, fn⟩ = (∫ fn 2 dx) 1 2 {\ displaystyle \ Vert f_ {n} \ Vert _ {2} = {\ sqrt {\ langle f_ {n}, f_ {n} \ rangle}} = \ left (\ int f_ {n} ^ {2} \ dx \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle \ Vert f_ {n} \ Vert _ {2} = {\ sqrt {\ langle f_ {n}, f_ {n} \ rangle}} = \ left (\ int f_ {n} ^ {2} \ dx \ справа) ^ {\ frac {1} {2}}}$ . Отсюда следует, что последовательность ${fn / ‖ fn ‖ 2} {\ displaystyle \ left \ {f_ {n} / \ Vert f_ {n} \ Vert _ {2} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {f_ {n} / \ Vert f_ {n} \ Vert _ {2} \ right \}}$ имеет функции единицы L-нормы, образуя ортонормированную последовательность. Чтобы иметь определенную L-норму, интеграл должен быть ограниченным, что ограничивает функции интегрируемыми с квадратом.

Содержание

1 Тригонометрические функции
2 Полиномы
3 Функции с двоичными значениями
4 Рациональные функции
5 В дифференциальных уравнениях
6 См. Также
7 Ссылки
8 Внешние ссылки

Тригонометрические функции

Некоторые наборы ортогональных функций стали стандартными базами для аппроксимирующие функции. Например, синусоидальные функции sin nx и sin mx ортогональны на интервале $x ∈ (- π, π) {\ displaystyle x \ in (- \ pi, \ pi)}$ ${\ displaystyle x \ in (- \ pi, \ pi)}$ при $m ≠ n {\ displaystyle m \ neq n}$ $m \ neq n$ , а n и m - положительные целые числа. Ибо тогда

2 грех ⁡ (mx) sin ⁡ (nx) = соз ⁡ ((m - n) x) - cos ⁡ ((m + n) x), {\ displaystyle 2 \ sin (mx) \ sin (nx) = \ cos \ left ((mn) x \ right) - \ cos \ left ((m + n) x \ right),}

{\ displaystyle 2 \ sin (mx) \ sin (nx) = \ cos \ left ((mn) x \ right) - \ cos \ left ((m + n) x \ right),}

, и интеграл от произведения двух синусоидальных функций равен нулю. Вместе с косинусными функциями эти ортогональные функции могут быть собраны в тригонометрический полином для аппроксимации заданной функции на интервале с помощью ее ряда Фурье.

Полиномы

Если начать с мономиальная последовательность ${1, x, x 2,…} {\ displaystyle \ {1, x, x ^ {2}, \ dots \}}$ ${\ displ aystyle \ {1, x, x ^ {2}, \ dots \}}$ на interval $[- 1, 1] {\ displaystyle [-1,1]}$ $[-1,1]$ и применяет процесс Грама – Шмидта, затем получаем полиномы Лежандра. Другой набор ортогональных многочленов - это связанные многочлены Лежандра.

Изучение ортогональных многочленов включает весовые функции $w (x) {\ displaystyle w (x)}$ $w(x)$ , которые вставляются в билинейную форму:

⟨f, g⟩ = ∫ w (x) f (x) g (x) dx. {\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int w (x) f (x) g (x) \, dx.}

{ \ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int w (x) f (x) g (x) \, dx.}

Для многочленов Лагерра на $(0, ∞) {\ displaystyle (0, \ infty)}$ $(0, \ infty)$ весовая функция: $w (x) = e - x {\ displaystyle w (x) = e ^ {- x}}$ ${\ displaystyle w (x) = e ^ {- x}}$ .

И физики, и теоретики вероятностей используют полиномы Эрмита на $(- ∞, ∞) {\ displaystyle (- \ infty, \ infty)}$ $(- \ infty, \ infty)$ , где весовая функция $вес (x) = е - x 2 {\ displaystyle w (x) = e ^ {- x ^ {2}}}$ $w (x) = e ^ {- x ^ {2}}$ или $w (x) = e - x 2 2. {\ displaystyle w (x) = e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}}.}$ ${\ displaystyle w (x) = e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}}.}$

Многочлены Чебышева определены на $[- 1, 1] { \ displaystyle [-1,1]}$ $[-1,1]$ и используйте веса $w (x) = 1 1 - x 2 {\ displaystyle w (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 -x ^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle w (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}} }}}$ или $w (x) = 1 - x 2 {\ displaystyle w (x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}} }$ ${\ displaystyle w (x) = {\ sqrt {1 -x ^ {2}}}}$ .

Многочлены Цернике определены на единичном диске и имеют ортогональность как радиальной, так и угловой частей.

Двоичные функции

Функции Уолша и вейвлеты Хаара являются примерами ортогональных функций с дискретными диапазонами.

Рациональные функции

График рациональных функций Чебышева порядка n = 0,1,2,3 и 4 между x = 0,01 и 100.

Полиномы Лежандра и Чебышева обеспечивают ортогональные семейства для интервала [−1, 1], а иногда требуются ортогональные семейства на [0, ∞). В этом случае удобно сначала применить преобразование Кэли, чтобы привести аргумент в [-1, 1]. Эта процедура приводит к семействам рациональных ортогональных функций, называемых рациональными функциями Лежандра и рациональными функциями Чебышева.

В дифференциальных уравнениях

Решения линейных дифференциальные уравнения с граничными условиями часто можно записать как взвешенную сумму ортогональных функций решения (также известных как собственные функции ), что приводит к обобщенному ряду Фурье.

См. также

Список литературы

Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер (2005) Математические методы для физиков, 6-е издание, глава 10: Теория Штурма-Лиувилля - ортогональные функции, Academic Press.
Price, Justin J. (1975). «Разделы ортогональных функций». Американский математический ежемесячник. 82: 594–609. doi : 10.2307 / 2319690.
Джованни Сансоне (перевод Эйнсли Х. Даймонд) (1959) Ортогональные функции, Interscience Publishers.

Внешние ссылки

Ортогональные Функции в MathWorld.