Многочлены Лагерра

В математике, полиномы Лагерра, названные в честь Эдмона Лагерра (1834–1886), являются решениями уравнения Лагерра:

$xy\; ″\; +\; (1\; -\; x)\; y\; \prime \; +\; ny\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; xy\; \text{'}\text{'}\; +\; (1-x)\; y\; \text{'}+\; ny\; =\; 0\}$

, которое является линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Это уравнение имеет невырожденные решения только в том случае, если n - целое неотрицательное число.

Иногда название полиномы Лагерра используется для решений

$x\; y\; ″\; +\; (\alpha \; +\; 1\; -\; x)\; y\; \prime \; +\; n\; y\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; xy\; \text{'}\text{'}\; +\; (\backslash \; alpha\; +\; 1-x)\; y\; \text{'}+\; ny\; =\; 0\; ~.\}$

где n по-прежнему неотрицательное целое число. Затем они также называются обобщенными полиномами Лагерра, как это будет сделано здесь (альтернативно ассоциированными полиномами Лагерра или, реже, полиномами Сонина, в честь их изобретателя Николай Яковлевич Сонин ).

В более общем смысле, функция Лагерра является решением, когда n не обязательно является неотрицательным целым числом.

Многочлены Лагерра также используются для квадратур Гаусса для численного вычисления интегралов вида

$\int \; 0\; \infty \; f\; (x)\; e\; -\; x\; d\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (x)\; e\; ^\; \{-\; x\}\; \backslash ,\; dx.\}$

Эти многочлены, обычно обозначаемые L 0, L 1,..., являются полиномиальной последовательностью, которая может быть определена формулой Родригеса,

$L\; n\; (x)\; =\; exn!\; Д\; Н\; Д\; Икс\; N\; (Е\; -\; Икс\; Х\; N)\; знак\; равно\; 1\; N!\; (ddx\; -\; 1)\; nxn,\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{x\}\}\; \{n!\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\}\; \{dx\; ^\; \{n\}\}\; \}\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{-\; x\}\; x\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n!\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right)\; ^\; \{\; n\}\; x\; ^\; \{n\},\}$

сводится к закрытой форме следующего раздела.

Они являются ортогональными многочленами по отношению к внутреннему произведению

$⟨f,\; g⟩\; =\; \int \; 0\; \infty \; f\; (x)\; g\; (x)\; e\; -\; x\; d\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; f,\; g\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (x)\; g\; (x)\; e\; ^\; \{-\; x\}\; \backslash ,\; dx.\}$

Последовательность полиномов Лагерра n ! L n - это последовательность Шеффера,

$d\; d\; x\; L\; n\; =\; (d\; d\; x\; -\; 1)\; L\; n\; -\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; L\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right)\; L\_\; \{n-1\}.\}$

многочлены ладьи в комбинаторике более или менее такие же, как многочлены Лагерра, с точностью до элементарных замен переменных. Далее см. Полиномы Трикоми – Карлица.

Полиномы Лагерра возникают в квантовой механике в радиальной части решения уравнения Шредингера для одноэлектронного атома. Они также описывают статические функции Вигнера осцилляторных систем в квантовой механике в фазовом пространстве. Далее они входят в квантовую механику потенциала Морзе и трехмерного изотропного гармонического осциллятора.

. Иногда физики используют определение полиномов Лагерра, которое больше в n раз! чем определение, используемое здесь. (Точно так же некоторые физики могут использовать несколько иные определения так называемых ассоциированных полиномов Лагерра.)

• 1 Первые несколько полиномов
• 2 Рекурсивное определение, замкнутая форма и производящая функция
• 3 Обобщенный Многочлены Лагерра
  • 3.1 Явные примеры и свойства обобщенных многочленов Лагерра
  • 3.2 Как контурный интеграл
  • 3.3 Рекуррентные соотношения
  • 3.4 Производные обобщенных многочленов Лагерра
  • 3.5 Ортогональность
  • 3.6 Разложения в ряды
    • 3.6.1 Дополнительные примеры расширений
• 4 В квантовой механике
• 5 Теоремы умножения
• 6 Связь с многочленами Эрмита
• 7 Связь с гипергеометрическими функциями
• 8 Формула Харди – Хилле
• 9 См. Также
• 10 Примечания
• 11 Ссылки
• 12 Внешние ссылки

Это первые несколько многочленов Лагерра:

n	$L\; n\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; (x)\; \backslash ,\}$
0	$1\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; \backslash ,\}$
1	$-\; x\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; -x\; +\; 1\; \backslash ,\}$
2	$1\; 2\; (x\; 2\; -\; 4\; x\; +\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (x\; ^\; \{2\}\; -4x\; +\; 2)\; \backslash ,\}$
3	$1\; 6\; (-\; x\; 3\; +\; 9\; x\; 2\; -\; 18\; x\; +\; 6)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{6\}\}\; (-\; x\; ^\; \{3\}\; +\; 9x\; ^\; \{2\}\; -18x\; +\; 6)\; \backslash ,\}$
4	$1\; 24\; (x\; 4\; -\; 16\; x\; 3\; +\; 72\; x\; 2\; -\; 96\; x\; +\; 24)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{24\}\}\; (x\; ^\; \{4\}\; -16x\; ^\; \{3\}\; +\; 72x\; ^\; \{2\}\; -96x\; +\; 24)\; \backslash ,\}$
5	$1\; 120\; (-\; x\; 5\; +\; 25\; x\; 4\; -\; 200\; x\; 3\; +\; 600\; x\; 2\; -\; 600\; x\; +\; 120)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{120\}\}\; (-\; x\; ^\; \{5\}\; +\; 25x\; ^\; \{4\}\; -200x\; ^\; \{3\; \}\; +\; 600x\; ^\; \{2\}\; -600x\; +\; 120)\; \backslash ,\}$
6	$1\; 720\; (x\; 6\; -\; 36\; x\; 5\; +\; 450\; x\; 4\; -\; 2400\; x\; 3\; +\; 5400\; x\; 2\; -\; 4320\; x\; +\; 720)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{720\}\}\; (x\; ^\; \{6\}\; -36x\; ^\; \{5\}\; +\; 450x\; ^\; \{4\}\; -2400x\; ^\; \{3\}\; +\; 5400x\; ^\; \{2\}\; -4320x\; +\; 720)\; \backslash ,\}$

первые шесть полиномов Лагерра.

Можно также определить полиномы Лагерра рекурсивно, определяя первые два полинома как

$L\; 0\; (x)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{0\}\; (x)\; =\; 1\}$

$L\; 1\; (x)\; =\; 1\; -\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{1\}\; (x)\; =\; 1-x\}$

, а затем с использованием следующего повторения соотношение для любого k ≥ 1:

$L\; k\; +\; 1\; (x)\; =\; (2\; k\; +\; 1\; -\; x)\; L\; k\; (x)\; -\; k\; L\; к\; -\; 1\; (х)\; к\; +\; 1.\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\_\; \{k\; +\; 1\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(2k\; +\; 1-x)\; L\_\; \{k\}\; (x)\; -kL\_\; \{k-1\}\; (x)\}\; \{k\; +\; 1\}\}.\}$

При решении некоторых краевых задач могут быть полезны характеристические значения:

$L\; k\; (0)\; =\; 1,\; L\; k\; \prime \; (0)\; =\; -\; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{k\}\; (0)\; =\; 1,\; L\_\; \{k\}\; \text{'}(0)\; =\; -\; k.\}$

закрытая форма - это

$L\; n\; (x)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; (-\; 1)\; kk!\; х\; к.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{k\}\}\; \{k!\}\; \}\; x\; ^\; \{k\}.\}$

Производящая функция для них аналогичным образом следует,

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; tn\; L\; n\; (x)\; =\; 1\; 1\; -\; te\; -\; tx\; /\; (1\; -\; т).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; t\; ^\; \{n\}\; L\_\; \{n\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-t\}\}\; e\; ^\; \{-\; tx\; /\; (1-\; t)\}.\}$

Многочлены с отрицательным индексом могут быть выражены с помощью полиномов с положительным индексом:

$L\; -\; n\; (x)\; =\; ex\; L\; n\; -\; 1\; (-\; x).\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; \_\; \{-\; n\}\; (x)\; =\; e\; ^\; \{x\}\; L\_\; \{n-1\}\; (-\; x).\}$

Для произвольного действительного α полиномиальные решения дифференциальное уравнение

$ху\; ″\; +\; (\alpha \; +\; 1\; -\; x)\; y\; \prime \; +\; ny\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash ,\; y\; \text{'}\text{'}\; +\; (\backslash \; alpha\; +\; 1-x)\; \backslash ,\; y\; \text{'}+\; n\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \}$

называются обобщенными многочленами Лагерра или ассоциированными многочленами Лагерра .

Можно также определить обобщенные многочлены Лагерра рекурсивно, определив первые два многочлена как

$L\; 0\; (\alpha )\; (Икс)\; =\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\_\; \{0\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (х)\; =\; 1\}$

$L\; 1\; (\alpha )\; (х)\; =\; 1\; +\; \alpha \; -\; х\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\_\; \{1\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; 1\; +\; \backslash \; alpha\; -x\}$

, а затем используя следующее рекуррентное соотношение для любого k ≥ 1:

$L\; k\; +\; 1\; (\alpha )\; (\; х)\; знак\; равно\; (2\; k\; +\; 1\; +\; \alpha \; -\; x)\; L\; k\; (\alpha )\; (x)\; -\; (k\; +\; \alpha )\; L\; k\; -\; 1\; (\alpha )\; (x)\; k\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{k\; +\; 1\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(2k\; +\; 1\; +\; \backslash \; alpha\; -x)\; L\_\; \{k\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; -\; (\; k\; +\; \backslash \; alpha)\; L\_\; \{k-1\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\}\; \{k\; +\; 1\}\}.\}$

Простые многочлены Лагерра являются частным случаем α = 0 обобщенных многочленов Лагерра:

$L\; n\; (0)\; (х)\; =\; L\; n\; (х).\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(0)\}\; (x)\; =\; L\_\; \{n\}\; (x).\}$

формула Родригеса для них:

$L\; n\; (\alpha )\; (\; х)\; =\; х\; -\; \alpha \; exn!\; д\; N\; д\; Икс\; N\; (е\; -\; Икс\; Икс\; N\; +\; \alpha )\; знак\; равно\; Икс\; -\; \alpha \; (д\; д\; х\; -\; 1)\; N\; N!\; х\; п\; +\; а.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; \{x\; ^\; \{-\; \backslash \; alpha\}\; e\; ^\; \{x\}\; \backslash \; over\; n!\}\; \{d\; ^\; \{n\}\; \backslash \; над\; dx\; ^\; \{n\}\}\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{-\; x\}\; x\; ^\; \{n\; +\; \backslash \; alpha\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; x\; ^\; \{-\; \backslash \; alpha\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; -\; 1\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; x\; ^\; \{n\; +\; \backslash \; alpha\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Генерирующая функция для это

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; tn\; L\; n\; (\alpha )\; (x)\; =\; 1\; (1\; -\; t)\; \alpha \; +\; 1\; e\; -\; tx\; /\; (1\; -\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; t\; ^\; \{n\}\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1-t)\; ^\; \{\; \backslash \; alpha\; +1\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; tx\; /\; (1-t)\}.\}$

Первые несколько обобщенных многочленов Лагерра, L n (x)

Явные примеры и свойства Обобщенные полиномы Лагерра

• Функции Лагерра определяются конфлюэнтными гипергеометрическими функциями и преобразованием Куммера как

$L\; n\; (\alpha )\; (x):\; =\; (n\; +\; \alpha \; n)\; M\; (-\; n,\; \alpha \; +\; 1,\; х).\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x):\; =\; \{n\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; choose\; n\}\; M\; (-n,\; \backslash \; alpha\; +\; 1,\; x).\}$

$(n\; +\; \alpha \; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{n\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; choose\; n\}\}$- обобщенный биномиальный коэффициент. Когда n является целым числом, функция сводится к полиному степени n. Он имеет альтернативное выражение

$L\; n\; (\alpha )\; (x)\; =\; (-\; 1)\; n\; n!\; U\; (-\; n,\; \alpha \; +\; 1,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; U\; (-\; n,\; \backslash \; alpha\; +\; 1,\; x)\}$

в терминах функции Куммера второго рода.

• Замкнутая форма для этих обобщенных многочленов Лагерра степени n равна

$L\; n\; (\alpha )\; (x)\; Знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 0\; N\; (-\; 1)\; я\; (N\; +\; \alpha \; N\; -\; я)\; xii!\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; (-\; 1)\; ^\; \{i\}\; \{n\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; choose\; ni\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; x\; ^\; \{i\}\}\; \{i!\}\}\}$

получено путем применения теоремы Лейбница для дифференцирования произведения к формуле Родрига.

• Первые несколько обобщенных многочленов Лагерра:

$L\; 0\; (\alpha )\; (x)\; =\; 1\; L\; 1\; (\alpha )\; (x)\; =\; -\; x\; +\; \alpha \; +\; 1\; L\; 2\; (\alpha )\; (x)\; =\; x\; 2\; 2\; -\; (\alpha \; +\; 2)\; x\; +\; (\alpha \; +\; 2)\; (\alpha \; +\; 1)\; 2\; L\; 3\; (\alpha )\; (x)\; =\; -\; x\; 3\; 6\; +\; (\alpha \; +\; 3)\; x\; 2\; 2\; -\; (\alpha \; +\; 2)\; (\alpha \; +\; 3)\; x\; 2\; +\; (\alpha \; +\; 1)\; (\alpha \; +\; 2)\; (\alpha \; +\; 3)\; 6\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; L\_\; \{0\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; 1\; \backslash \backslash \; L\_\; \{1\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; -\; x\; +\; \backslash \; alpha\; +1\; \backslash \backslash \; L\_\; \{2\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; -\; (\backslash \; alpha\; +2)\; x\; +\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{(\backslash \; alpha\; +2)\; (\backslash \; alpha\; +1)\}\; \{2\}\}\; \backslash \backslash \; L\_\; \{3\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-x\; ^\; \{3\}\}\; \{6\; \}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; alpha\; +3)\; x\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; alpha\; +2)\; (\backslash \; alpha\; +3)\; x\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; alpha\; +1)\; (\backslash \; alpha\; +2)\; (\backslash \; alpha\; +3)\}\; \{6\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

• Коэффициент ведущего члена равен (−1) / n !;
• Постоянный член , который является значением на 0, равен

$L\; n\; (\alpha )\; (0)\; =\; (n\; +\; \alpha \; n)\; =\; n\; \alpha \; \Gamma \; (\alpha \; +\; 1)\; +\; O\; (n\; \alpha \; -\; 1);\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (0)\; =\; \{n\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; choose\; n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\; \{\backslash \; Gamma\; (\backslash \; alpha\; +1)\}\}\; +\; O\; \backslash \; left\; (n\; ^\; \{\backslash \; alpha\; -1\}\; \backslash \; right);\}$

• Если α неотрицательно, то L n имеет n вещественных, строго положительных корни (обратите внимание, что $((-\; 1)\; n\; -\; i\; L\; n\; -\; i\; (\alpha ))\; i\; =\; 0\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; ((-\; 1)\; ^\; \{ni\}\; L\_\; \{ni\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\}$- это цепочка Штурма ), которые все находятся в интервале $(0,\; n\; +\; \alpha \; +\; (n\; -\; 1)\; n\; +\; \alpha ].\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; left\; (0,\; n\; +\; \backslash \; alpha\; +\; (n-1)\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\; +\; \backslash \; alpha\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; right\; ].\}$
• Асимптотическое поведение многочленов для больших n, но фиксированных α и x>0, определяется как

$L\; n\; (\alpha )\; (x)\; =\; n\; \alpha \; 2\; -\; 1\; 4\; \pi \; ex\; 2\; x\; \alpha \; 2\; +\; 1\; 4\; sin\; \; (2\; nx\; -\; \pi \; 2\; (\alpha \; -\; 1\; 2))\; +\; O\; (n\; \alpha \; 2\; -\; 3\; 4),\; L\; n\; (\alpha )\; (-\; x)\; =\; (n\; +\; 1)\; \alpha \; 2\; -\; 1\; 4\; 2\; \pi \; е\; -\; Икс\; /\; 2\; Икс\; \alpha \; 2\; +\; 1\; 4\; е\; 2\; Икс\; (N\; +\; 1)\; \cdot \; (1\; +\; O\; (1\; N\; +\; 1)),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; альфа)\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{е\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{2\}\}\}\; \{x\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\}\}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (2\; \{\backslash \; sqrt\; \{nx\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (\; \backslash \; alpha\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\; +\; O\; \backslash \; left\; (n\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{4\}\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash \backslash \; [6pt]\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (-\; x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(n\; +\; 1)\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; гидроразрыв\; \{1\}\; \{4\}\}\}\}\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; pi\}\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; x\; /\; 2\}\}\; \{x\; ^\; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\}\}\}\; e\; ^\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; (n\; +\; 1)\}\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; left\; (1\; +\; O\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right),\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и суммируя

$L\; n\; (\alpha )\; (xn)\; n\; \alpha \; \approx \; ex\; /\; 2\; n\; \cdot \; J\; \alpha \; (\; 2\; Икс)\; Икс\; \alpha ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{n\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\}\; \backslash \; приблизительно\; e\; ^\; \{x\; /\; 2n\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{J\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; left\; (2\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{x\}\}\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\},\}$

где $J\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; J\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\}$- это функция Бесселя.

В виде контурного интеграла

Учитывая производящую функцию Как указано выше, полиномы могут быть выражены через контурный интеграл

$L\; n\; (\alpha )\; (x)\; =\; 1\; 2\; \pi \; i\; \oint \; C\; e\; -\; xt\; /\; (1\; -\; t)\; (1\; -\; t)\; \alpha \; +\; 1\; тн\; +\; 1\; dt,\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; i\}\}\; \backslash \; oint\; \_\; \{C\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; xt\; /\; (\; 1-t)\}\}\; \{(1-t)\; ^\; \{\backslash \; alpha\; +1\}\; \backslash ,\; t\; ^\; \{n\; +\; 1\}\}\}\; \backslash ;\; dt,\}$

где контур обходит начало координат один раз против часовой стрелки без включающая существенную особенность в 1

Соотношения рекуррентности

Формула сложения для многочленов Лагерра:

$L\; n\; (\alpha \; +\; \beta \; +\; 1)\; (x\; +\; y)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; n\; L\; я\; (\alpha )\; (Икс)\; L\; N\; -\; я\; (\beta )\; (Y)\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\_\; \{п\}\; ^\; \{(\backslash \; альфа\; +\; \backslash \; бета\; +1)\}\; (х\; +\; Y)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\; =\; 0\; \}\; ^\; \{n\}\; L\_\; \{i\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; L\_\; \{ni\}\; ^\; \{(\backslash \; beta)\}\; (y)\}$.

Многочлены Лагерра удовлетворяют рекуррентным соотношениям

$L\; n\; (\alpha )\; (Икс)\; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 0\; N\; L\; N\; -\; я\; (\alpha \; +\; я)\; (у)\; (у\; -\; х)\; II!,\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; L\_\; \{ni\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha\; +\; i)\}\; (y)\; \{\backslash \; frac\; \{(yx)\; ^\; \{i\}\}\; \{i!\}\},\}$

в частности

$L\; n\; (\alpha \; +\; 1)\; (x)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; n\; L\; i\; (\alpha )\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha\; +1)\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; L\_\; \{i\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\}$

и

$L\; N\; (\alpha )\; (Икс)\; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 0\; N\; (\alpha \; -\; \beta \; +\; N\; -\; я\; -\; 1\; N\; -\; I)\; L\; я\; (\beta )\; (х),\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\_\; \{п\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; alpha\; -\; \backslash \; beta\; +\; ni-1\; \backslash \; choose\; ni\}\; L\_\; \{i\}\; ^\; \{(\backslash \; beta)\}\; (x),\}$

или

$L\; n\; (\alpha )\; (x)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; n\; (\alpha \; -\; \beta \; +\; nn\; -\; i)\; L\; i\; (\beta \; -\; i)\; (x);\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; alpha\; -\; \backslash \; beta\; +\; n\; \backslash \; select\; ni\}\; L\_\; \{i\}\; ^\; \{(\backslash \; beta\; -i)\}\; (x);\}$

кроме того

$L\; n\; (\alpha )\; (x)\; -\; \sum \; j\; =\; 0\; \Delta \; -\; 1\; (n\; +\; \alpha \; n\; -\; j)\; (-\; 1)\; jxjj!\; =\; (-\; 1)\; \Delta \; x\; \Delta \; (\Delta \; -\; 1)!\; \sum \; я\; знак\; равно\; 0\; N\; -\; \Delta \; (N\; +\; \alpha \; N\; -\; \Delta \; -\; я)\; (N\; -\; я)\; (N\; я)\; L\; я\; (\alpha \; +\; \Delta )\; (х)\; =\; (-\; 1)\; \Delta \; x\; \Delta \; (\Delta \; -\; 1)!\; \sum \; я\; знак\; равно\; 0\; N\; -\; \Delta \; (N\; +\; \alpha \; -\; я\; -\; 1\; N\; -\; \Delta \; -\; я)\; (N\; -\; я)\; (NI)\; L\; я\; (N\; +\; \alpha \; +\; \Delta \; -\; я)\; (х)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{\; выровнено\}\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; -\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; Delta\; -1\}\; \{n\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; choose\; nj\}\; (-\; 1)\; ^\; \{j\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{j\}\}\; \{j!\}\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; Delta\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{\backslash \; Delta\}\}\; \{(\backslash \; Delta\; -1)!\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n-\; \backslash \; Delta\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; choose\; n-\; \backslash \; Delta\; -i\}\; \{(ni)\; \{n\; \backslash \; choose\; i\}\}\}\; L\_\; \{i\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha\; +\; \backslash \; Delta)\}\; (x)\; \backslash \backslash \; [6pt]\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; Delta\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{\backslash \; Delta\}\}\; \{(\backslash \; Delta\; -1)!\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n-\; \backslash \; Delta\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\; +\; \backslash \; alpha\; -i-1\; \backslash \; select\; n-\; \backslash \; Delta\; -i\}\; \{(ni)\; \{n\; \backslash \; choose\; i\}\}\}\; L\_\; \{i\}\; ^\; \{(n\; +\; \backslash \; alpha\; +\; \backslash \; Delta\; -i)\}\; (x)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Их можно использовать для получения четырех трехточечных правил

$L n (α) (x) = L n (α + 1) (x) - L n - 1 (α + 1) (x) = ∑ j = 0 k (kj) L n - j (α + k) (x), n L n (α) (x) = ( n + α) L n - 1 (α) (x) - x L n - 1 (α + 1) (x) или xkk! L n (α) (x) = ∑ i = 0 k (- 1) i (n + ii) (n + α k - i) L n + i (α - k) (x), n L n (α + 1) (x) = (n - x) L n - 1 (α + 1) (x) + (n + α) L n - 1 (α) (x) x L n (α + 1) (x) = (n + α) L n - 1 (α) (x) - (n - x) L n (α) (x); {\ Displaystyle {\ begin {align} L_ {n} ^ {(\ alpha)} (x) = L_ {n} ^ {(\ alpha +1)} (x) -L_ {n-1} ^ { (\ alpha +1)} (x) = \ sum _ {j = 0} ^ {k} {k \ choose j} L_ {nj} ^ {(\ alpha + k)} (x), \\ [10pt ] nL_ {n} ^ {(\ alpha)} (x) = (n + \ alpha) L_ {n-1} ^ {(\ alpha)} (x) -xL_ {n-1} ^ {(\ alpha +1)} (x), \\ [10pt] {\ text {or}} \\ {\ frac {x ^ {k}} {k!}} L_ {n} ^ {(\ alpha)} ( x) = \ sum _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {i} {n + i \ choose i} {n + \ alpha \ choose ki} L_ {n + i} ^ {(\ альфа-k)} (x), \\ [10pt] nL_ {n} ^ {(\ alpha +1)} (x) = (nx) L_ {n-1} ^ {(\ alpha +1)} (x) + (n + \ alpha) L_ {n-1} ^ {(\ alpha)} (x) \\ [10pt] xL_ {n} ^ {(\ alpha +1)} (x) = (n + \ alpha) L_ {n-1} ^ {(\ alpha)} (x) - (nx) L_ {n} ^ {(\ alpha)} (x); \ end {align}}}$

объединили их приведем эти дополнительные полезные рекуррентные соотношения

$L\; n\; (\alpha )\; (x)\; =\; (2\; +\; \alpha \; -\; 1\; -\; xn)\; L\; n\; -\; 1\; (\alpha )\; (x)\; -\; (1\; +\; \alpha \; -\; 1\; n)\; L\; n\; -\; 2\; (\alpha )\; (Икс)\; знак\; равно\; \alpha \; +\; 1\; -\; Иксn\; L\; N\; -\; 1\; (\alpha \; +\; 1)\; (Икс)\; -\; XN\; L\; N\; -\; 2\; (\alpha \; +\; 2)\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{Выровнено\}\; L\_\; \{\; n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; \backslash \; left\; (2\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; -1-x\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; L\_\; \{n-1\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; -\; \backslash \; left\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; -1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right)\; L\_\; \{n-2\}\; ^\; \{(\backslash \; альфа)\}\; (x)\; \backslash \backslash \; [10pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; +\; 1-x\}\; \{n\}\}\; L\_\; \{n-1\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha\; +1)\}\; (x)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{n\}\}\; L\_\; \{n-2\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha\; +2)\}\; (x)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Поскольку $L\; n\; (\alpha )\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\}$- монический многочлен степени $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$в $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$, есть разложение частичной дроби

$n!\; L\; n\; (\alpha )\; (x)\; (\alpha \; +\; 1)\; n\; =\; 1\; -\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; (-\; 1)\; jj\; \alpha \; +\; j\; (nj)\; L\; n\; (-\; j)\; (x)\; =\; 1\; -\; \sum \; j\; =\; 1\; nxj\; \alpha \; +\; J\; L\; N\; -\; J\; (J)\; (Икс)\; (J\; -\; 1)!\; Знак\; равно\; 1\; -\; Икс\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; L\; N\; -\; я\; (-\; \alpha )\; (Икс)\; L\; я\; -\; 1\; (\alpha \; +\; 1)\; (-\; Икс)\; \alpha \; +\; я.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{n!\; \backslash ,\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\}\; \{(\backslash \; alpha\; +1)\; \_\; \{n\}\}\}\; =\; 1-\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (-\; 1)\; ^\; \{j\}\; \{\backslash \; frac\; \{j\}\; \{\backslash \; alpha\; +\; j\}\}\; \{n\; \backslash \; choose\; j\}\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(-\; j)\}\; (\; x)\; \backslash \backslash \; =\; 1-\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{j\}\}\; \{\backslash \; alpha\; +\; j\}\}\; \backslash ,\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{L\_\; \{nj\}\; ^\; \{(j)\}\; (x)\}\; \{(j-1)!\}\}\; \backslash \backslash \; =\; 1-x\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{L\_\; \{ni\}\; ^\; \{(-\; \backslash \; alpha)\}\; (x)\; L\_\; \{i-1\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha\; +1)\}\; (-\; x)\}\; \{\backslash \; alpha\; +\; i\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Второе равенство следует за следующее тождество, действительное для целых чисел i и n и непосредственно из выражения $L\; n\; (\alpha )\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\}$в терминах полиномов Шарлье :

$(-\; x)\; ii!\; L\; N\; (я\; -\; N)\; (х)\; знак\; равно\; (-\; х)\; N\; N!\; L\; я\; (п\; -\; я)\; (х).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{(-x)\; ^\; \{i\}\}\; \{i!\}\}\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(in)\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(-x)\; ^\; \{n\}\}\; \{n\; !\}\}\; L\_\; \{i\}\; ^\; \{(ni)\}\; (x).\}$

Для третьего равенства примените четвертый и пятый тождества этого раздела.

Производные обобщенных многочленов Лагерра

Дифференцирование представления степенного ряда обобщенного многочлена Лагерра k раз приводит к

$dkdxk\; L\; n\; (\alpha )\; (x)\; =\; \{(-\; 1)\; k\; L\; n\; -\; k\; (\alpha \; +\; k)\; (x),\; если\; k\; \le \; n,\; 0\; в\; противном\; случае.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{k\}\}\; \{dx\; ^\; \{k\}\}\}\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; L\_\; \{nk\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha\; +\; k)\}\; (x)\; \{\backslash \; text\; \{if\}\}\; k\; \backslash \; leq\; n,\; \backslash \backslash \; 0\; \{\backslash \; text\; \{в\; противном\; случае.\}\}\; \backslash \; End\; \{cases\}\}\}$

Это указывает на частный случай (α = 0) приведенной выше формулы: для целого числа α = k можно записать обобщенный многочлен

$L\; n\; (k)\; (x)\; =\; (-\; 1)\; kdk\; L\; n\; +\; k\; (x)\; dxk,\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(k)\}\; (x)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{k\}\; L\_\; \{n\; +\; k\}\; (x)\}\; \{dx\; ^\; \{k\}\}\},\}$

сдвиг на k иногда вызывает путаницу с обычным обозначением скобок для производной.

Кроме того, выполняется следующее уравнение:

$1\; k!\; dkdxkx\; \alpha \; L\; N\; (\alpha )\; (Икс)\; знак\; равно\; (N\; +\; \alpha \; К)\; Икс\; \alpha \; -\; К\; L\; N\; (\alpha \; -\; К)\; (х),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{k!\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; d\; ^\; \{k\}\}\; \{dx\; ^\; \{k\}\}\}\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; \{n\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; choose\; k\}\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\; -k\; \}\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha\; -k)\}\; (x),\}$

который обобщается с помощью формулы Коши до

$L\; n\; (\alpha \; \prime )\; (x)\; =\; (\alpha \; \prime \; -\; \alpha )\; (\alpha \; \prime \; +\; n\; \alpha \; \prime \; -\; \alpha )\; \int \; 0\; xt\; \alpha \; (x\; -\; t)\; \alpha \; \prime \; -\; \alpha \; -\; 1\; x\; \alpha \; \prime \; L\; n\; (\alpha )\; (t)\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha\; \text{'})\}\; (x)\; =\; (\backslash \; alpha\text{'}\; -\; \backslash \; alpha)\; \{\backslash \; alpha\; \text{'}+\; n\; \backslash \; choose\; \backslash \; alpha\text{'}\; -\; \backslash \; alpha\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\; x\}\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; (xt)\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \text{'}-\; \backslash \; alpha\; -1\}\}\; \{x\; ^\; \{\backslash \; alpha\text{'}\}\}\}\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (t)\; \backslash ,\; dt.\}$

Производная по второй переменной α имеет вид,

$dd\; \alpha \; L\; n\; (\alpha )\; (x)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; n\; -\; 1\; L\; i\; (\alpha )\; (x)\; п\; -\; я.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{d\; \backslash \; alpha\}\}\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; \{\backslash \; frac\; \{L\_\; \{\; i\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\}\; \{ni\}\}.\}$

Это видно из представленного ниже контурного интегрального представления.

Обобщенные полиномы Лагерра подчиняются дифференциальному уравнению

$x\; L\; n\; (\alpha )\; \prime \; \prime \; (x)\; +\; (\alpha \; +\; 1\; -\; x)\; L\; n\; (\alpha )\; \prime \; (x)\; +\; n\; L\; n\; (\; \alpha )\; (Икс)\; знак\; равно\; 0,\; \{\backslash \; Displaystyle\; XL\_\; \{п\}\; ^\; \{(\backslash \; альфа)\; \backslash \; простое\; \backslash \; простое\}\; (х)\; +\; (\backslash \; альфа\; +\; 1-х)\; L\_\; \{п\}\; ^\; \{(\backslash \; альфа)\; \backslash \; простое\; \}\; (x)\; +\; nL\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; 0,\}$

что можно сравнить с уравнением, которому подчиняется k-я производная обычного полинома Лагерра,

$x\; L\; n\; [к]\; \prime \; \prime \; (Икс)\; +\; (К\; +\; 1\; -\; Икс)\; L\; N\; [К]\; \prime \; (Икс)\; +\; (N\; -\; К)\; L\; N\; [К]\; (Икс)\; =\; 0,\; \{\backslash \; Displaystyle\; xL\_\; \{n\}\; ^\; \{[k]\; \backslash \; prime\; \backslash \; prime\}\; (x)\; +\; (k\; +\; 1-x)\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{[k]\; \backslash \; prime\}\; (x)\; +\; (nk)\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{[k]\}\; (\; x)\; =\; 0,\}$

где $L\; n\; [k]\; (x)\; \equiv \; dk\; L\; n\; (x)\; dxk\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{[k]\}\; (x)\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{k\}\; L\_\; \{n\}\; (x)\}\; \{dx\; ^\; \{k\}\}\}\}$только для этого уравнения.

В форме Штурма – Лиувилля дифференциальное уравнение имеет вид

$-\; (x\; \alpha \; +\; 1\; e\; -\; x\; \cdot \; L\; n\; (\alpha )\; (x)\; \prime )\; \prime \; =\; n\; \cdot \; x\; \alpha \; е\; -\; Икс\; \cdot \; L\; N\; (\alpha )\; (Икс),\; \{\backslash \; Displaystyle\; -\; \backslash \; влево\; (х\; ^\; \{\backslash \; альфа\; +1\}\; е\; ^\; \{-\; х\}\; \backslash \; CDOT\; L\_\; \{п\}\; ^\; \{(\backslash \; альфа)\}\; (х)\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; =\; n\; \backslash \; cdot\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; e\; ^\; \{-\; x\}\; \backslash \; cdot\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x),\}$

что показывает, что L. nявляется собственным вектором для собственного значения n.

Ортогональность

Обобщенные многочлены Лагерра ортогональны над [0, ∞) относительно меры с весовой функцией xe:

$\int \; 0\; \infty \; x\; \alpha \; e\; -\; x\; L\; n\; (\alpha )\; (х)\; L\; м\; (\alpha )\; (х)\; dx\; =\; (п\; +\; \alpha )!\; п!\; \delta \; N,\; м,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; e\; ^\; \{-\; x\}\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; L\_\; \{m\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(n\; +\; \backslash \; alpha)!\}\; \{n!\}\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{n,\; m\},\}$

что следует из

$\int \; 0\; \infty \; x\; \alpha \; \prime \; -\; 1\; e\; -\; x\; L\; n\; (\alpha )\; (x)\; dx\; =\; (\alpha \; -\; \alpha \; \prime \; +\; nn)\; \Gamma \; (\alpha \; \prime ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \text{'}-1\}\; e\; ^\; \{-\; x\}\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; dx\; =\; \{\backslash \; alpha\; -\; \backslash \; альфа\; \text{'}+\; n\; \backslash \; выбрать\; n\}\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; alpha\text{'}).\}$

Если $\Gamma \; (x,\; \alpha \; +\; 1,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (x,\; \backslash \; alpha\; +1,1)\}$обозначает гамма-распределение, тогда соотношение ортогональности можно записать как

$\int \; 0\; \infty \; L\; n\; (\alpha )\; (x)\; L\; m\; (\alpha )\; (x)\; \Gamma \; (x,\; \alpha \; +\; 1,\; 1)\; dx\; знак\; равно\; (N\; +\; \alpha \; N)\; \delta \; N,\; m,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; L\_\; \{m\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; \backslash \; Gamma\; (x,\; \backslash \; alpha\; +1,1)\; dx\; =\; \{n\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; choose\; n\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{n,\; m\},\}$

Соответствующий симметричный ядерный многочлен имеет представления ( Формула Кристоффеля – Дарбу )

$K\; n\; (\alpha )\; (x,\; y):\; =\; 1\; \Gamma \; (\alpha \; +\; 1)\; \sum \; i\; =\; 0\; n\; L\; i\; (\alpha )\; (x)\; L\; i\; (\alpha )\; (y)\; (\alpha \; +\; ii)\; =\; 1\; \Gamma \; (\alpha \; +\; 1)\; L\; n\; (\alpha )\; (x)\; L\; n\; +\; 1\; (\alpha )\; (y)\; -\; L\; n\; +\; 1\; (\alpha )\; (x)\; L\; n\; (\alpha )\; (y)\; x\; -\; yn\; +\; 1\; (n\; +\; \alpha \; n)\; =\; 1\; \Gamma \; (\alpha \; +\; 1)\; \sum \; i\; =\; 0\; nxii!\; L\; n\; -\; i\; (\alpha \; +\; i)\; (x)\; L\; n\; -\; i\; (\alpha \; +\; i\; +\; 1)\; (y)\; (\alpha \; +\; nn)\; (ni);\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; K\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x,\; y)\; :\; =\; \{\backslash \; fr\; ac\; \{1\}\; \{\backslash \; Gamma\; (\backslash \; alpha\; +1)\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{L\_\; \{i\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; L\_\; \{i\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (y)\}\; \{\backslash \; alpha\; +\; i\; \backslash \; choose\; i\}\}\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Gamma\; (\backslash \; alpha\; +1)\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{L\_\; \{\; n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; L\_\; \{n\; +\; 1\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (y)\; -L\_\; \{n\; +\; 1\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (y)\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{xy\}\; \{n\; +\; 1\}\}\; \{n\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; choose\; n\}\}\}\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Gamma\; (\; \backslash \; alpha\; +1)\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{i\}\}\; \{i!\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{L\_\; \{ni\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha\; +\; i)\; \}\; (x)\; L\_\; \{ni\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha\; +\; i\; +\; 1)\}\; (y)\}\; \{\{\backslash \; alpha\; +\; n\; \backslash \; choose\; n\}\; \{n\; \backslash \; choose\; i\}\}\};\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

рекурсивно

$K\; n\; (\alpha )\; (x,\; y)\; =\; y\; \alpha \; +\; 1\; K\; n\; -\; 1\; (\alpha \; +\; 1)\; (x,\; y)\; +\; 1\; \Gamma \; (\alpha \; +\; 1)\; L\; n\; (\alpha \; +\; 1)\; (x)\; L\; n\; (\alpha )\; (y)\; (\alpha \; +\; nn).\; \{\backslash \; displaystyle\; K\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{y\}\; \{\backslash \; alpha\; +1\}\}\; K\_\; \{n-1\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha\; +1)\}\; (x,\; y)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; Gamma\; (\backslash \; alpha\; +1)\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha\; +1)\}\; (x)\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (y)\}\; \{\backslash \; alpha\; +\; n\; \backslash \; choose\; n\}\}.\}$

Кроме того,

$y\; \alpha \; e\; -\; y\; K\; n\; (\alpha )\; (\cdot ,\; y)\; \to \; \delta \; (y\; -\; \cdot ).\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; e\; ^\; \{-\; y\}\; K\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (\backslash \; cdot,\; y)\; \backslash \; to\; \backslash \; delta\; (y-\; \backslash \; cdot).\}$

Неравенства Турана можно вывести здесь, то есть

$L\; n\; (\alpha )\; (x)\; 2\; -\; L\; n\; -\; 1\; (\alpha )\; (x)\; L\; n\; +\; 1\; (\alpha )\; (x)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; -\; 1\; (\alpha \; +\; N\; -\; 1\; N\; -\; K)\; N\; (NK)\; L\; K\; (\alpha \; -\; 1)\; (x)\; 2>0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; L\_\; \{п\}\; ^\; \{(\backslash \; альфа)\}\; (х)\; ^\; \{2\}\; -L\_\; \{п-1\}\; ^\; \{(\backslash \; альфа)\}\; (х)\; L\_\; \{п\; +\; 1\}\; ^\; \{(\backslash \; альфа)\; \}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; +\; n-1\; \backslash \; choose\; nk\}\; \{n\; \{n\; \backslash \; choose\; k\}\}\}\; L\_\; \{k\}\; ^\; \{(\; \backslash \; alpha\; -1)\}\; (x)\; ^\; \{2\}>0.\}$

Следующий интеграл необходим для квантово-механической обработки атома водорода ,

$\int \; 0\; \infty \; x\; \alpha \; +\; 1\; e\; -\; x\; [\; L\; N\; (\alpha )\; (x)]\; 2\; dx\; знак\; равно\; (N\; +\; \alpha )!\; N!\; (2\; N\; +\; \alpha \; +\; 1).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; x\; ^\; \{\backslash \; alpha\; +1\; \}\; e\; ^\; \{-\; x\}\; \backslash \; left\; [L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; \backslash \; right]\; ^\; \{2\}\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(n\; +\; \backslash \; alpha)!\}\; \{n!\}\}\; (\; 2n\; +\; \backslash \; alpha\; +1).\}$

Разложения в ряд

Пусть функция имеет (формальное) разложение в ряд

$f\; (x)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; \infty \; fi\; (\alpha )\; L\; i\; (\alpha )\; (х),\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (х)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\_\; \{я\}\; ^\; \{(\backslash \; альфа)\}\; L\_\; \{я\}\; ^\; \{(\backslash \; альфа)\}\; (х).\}$

Тогда

$fi\; (\alpha )\; =\; \int \; 0\; \infty \; L\; i\; (\alpha )\; (x)\; (i\; +\; \alpha \; i)\; \cdot \; x\; \alpha \; e\; -\; x\; \Gamma \; (\alpha \; +\; 1)\; \cdot \; f\; (x)\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{i\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{L\_\; \{i\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\}\; \{i\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; choose\; i\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\; e\; ^\; \{-\; x\}\}\; \{\backslash \; Gamma\; (\backslash \; alpha\; +1)\}\}\; \backslash \; cdot\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx.\}$

Ряд сходится в ассоциированном Гильберте пробел L [0, ∞) тогда и только тогда, когда

Дополнительные примеры расширений

Мономы представлены как

$x\; n\; n!\; Знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 0\; N\; (-\; 1)\; я\; (N\; +\; \alpha \; N\; -\; I)\; L\; я\; (\alpha )\; (х),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; =\; \backslash \; Sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; (-\; 1)\; ^\; \{i\}\; \{n\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; choose\; ni\}\; L\_\; \{i\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x),\}$

в то время как биномиальные имеют параметризацию

$(n\; +\; xn)\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; n\; \alpha \; ii!\; L\; n\; -\; i\; (x\; +\; i)\; (\alpha ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{n\; +\; x\; \backslash \; choose\; n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha\; ^\; \{i\}\}\; \{i!\}\}\; L\_\; \{ni\}\; ^\; \{(x\; +\; i)\}\; (\backslash \; alpha).\}$

Это приводит непосредственно к

$e\; -\; \gamma \; x\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; \infty \; \gamma \; i\; (1\; +\; \gamma )\; i\; +\; \alpha \; +\; 1\; L\; i\; (\alpha )\; (x)\; сходящемуся\; тогда\; и\; только\; тогда,\; когда\; \Re \; (\gamma )>-\; 1\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; gamma\; x\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; ^\; \{i\}\}\; \{(1+\; \backslash \; gamma)\; ^\; \{i\; +\; \backslash \; alpha\; +1\}\}\}\; L\_\; \{i\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{convergent\; iff\}\}\; \backslash \; Re\; (\backslash \; gamma)>-\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{\; 2\}\}\}$

для экспоненциальной функции. Неполная гамма-функция имеет представление

$\Gamma \; (\alpha ,\; x)\; =\; x\; \alpha \; e\; -\; x\; \sum \; i\; =\; 0\; \infty \; L\; я\; (\alpha )\; (Икс)\; 1\; +\; я\; (\Re \; (\alpha )>-\; 1,\; х>0).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; альфа,\; х)\; =\; х\; ^\; \{\backslash \; альфа\}\; е\; ^\; \{-\; х\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{L\_\; \{i\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\}\; \{1\; +\; i\}\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; left\; (\backslash \; Re\; (\backslash \; alpha)>-1,\; x>0\; \backslash \; right).\}$

В квантовой механике уравнение Шредингера для водородоподобного атома точно решается путем разделения переменных в сферических координатах. Радиальная часть волновой функции является (обобщенным) полиномом Лагерра.

Вибронные переходы в приближении Франка-Кондона также могут быть описаны с помощью полиномов Лагерра.

Эрдейи дает следующие две теоремы умножения

$tn\; +\; 1\; +\; \alpha \; e\; (1\; -\; t)\; z\; L\; n\; (\alpha )\; (zt)\; =\; \sum \; k\; =\; n\; \infty \; (kn)\; (1\; -\; 1\; t)\; k\; -\; n\; L\; k\; (\alpha )\; (z),\; e\; (1\; -\; t)\; z\; L\; n\; (\alpha )\; (zt)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; (1\; -\; t)\; kzkk!\; L\; n\; (\alpha \; +\; k)\; (z).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; t\; ^\; \{n\; +\; 1\; +\; \backslash \; alpha\}\; e\; ^\; \{(1-t)\; z\}\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (zt)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; n\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{k\; \backslash \; choose\; n\}\; \backslash \; left\; (1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{t\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{kn\}\; L\_\; \{k\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (z),\; \backslash \backslash \; [6pt]\; e\; ^\; \{(1-t)\; z\}\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (zt)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(1-\; t)\; ^\; \{k\}\; z\; ^\; \{k\}\}\; \{k!\}\}\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha\; +\; k)\}\; (z).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Обобщенные полиномы Лагерра связаны с полиномами Эрмита :

$H\; 2\; n\; (x)\; =\; (-\; 1)\; n\; 2\; 2\; nn!\; L\; N\; (-\; 1/2)\; (Икс\; 2)\; H\; 2\; N\; +\; 1\; (Икс)\; знак\; равно\; (-\; 1)\; N\; 2\; 2\; N\; +\; 1\; N!\; Икс\; L\; N\; (1/2)\; (Икс\; 2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; H\_\; \{2n\}\; (x)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; 2\; ^\; \{2n\}\; n!\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(-1/2)\}\; (x\; ^\; \{2\})\; \backslash \backslash \; [4pt]\; H\_\; \{2n\; +\; 1\}\; (x)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; 2\; ^\; \{2n\; +\; 1\}\; n!\; XL\_\; \{\; n\}\; ^\; \{(1/2)\}\; (x\; ^\; \{2\})\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где H n (x) - это полиномы Эрмита на основе весовой функции exp (−x), так называемой «версии физика».

Из-за этого при рассмотрении квантового гармонического осциллятора возникают обобщенные полиномы Лагерра.

Полиномы Лагерра могут быть определены в терминах гипергеометрические функции, в частности, конфлюэнтные гипергеометрические функции, как

$L\; n\; (\alpha )\; (x)\; =\; (n\; +\; \alpha \; n)\; M\; (-\; n,\; \alpha \; +\; 1,\; x)\; =\; (\alpha \; +\; 1)\; пп!\; 1\; F\; 1\; (-\; n,\; \alpha \; +\; 1,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; =\; \{n\; +\; \backslash \; alpha\; \backslash \; select\; n\}\; M\; (-n,\; \backslash \; alpha\; +\; 1,\; x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(\backslash \; alpha\; +1)\; \_\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; \backslash ,\; \_\; \{1\}\; F\_\; \{1\}\; (-\; n,\; \backslash \; alpha\; +\; 1,\; x)\}$

где $(a)\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; (a)\; \_\; \{n\}\}$- это символ Поххаммера (который в данном случае представляет возрастающий факториал).

Обобщенные многочлены Лагерра удовлетворяют формуле Харди – Хилле

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; n!\; \Gamma \; (\alpha \; +\; 1)\; \Gamma \; (n\; +\; \alpha \; +\; 1)\; L\; n\; (\alpha )\; (x)\; L\; n\; (\alpha )\; (y)\; tn\; =\; 1\; (1\; -\; t)\; \alpha \; +\; 1\; e\; -\; (x\; +\; y)\; t\; /\; (1\; -\; t)\; 0\; F\; 1\; (;\; \alpha \; +\; 1;\; xyt\; (1\; -\; t)\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{n!\; \backslash ,\; \backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (\backslash \; alpha\; +1\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; Gamma\; \backslash \; left\; (n\; +\; \backslash \; alpha\; +1\; \backslash \; right)\}\}\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (x)\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\; \}\; (y)\; t\; ^\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(1-t)\; ^\; \{\backslash \; alpha\; +1\}\}\}\; e\; ^\; \{-\; (x\; +\; y)\; t\; /\; (1-t)\}\; \backslash ,\; \_\; \{0\}\; F\_\; \{1\}\; \backslash \; left\; (;\; \backslash \; alpha\; +1;\; \{\backslash \; frac\; \{xyt\}\; \{(1-t)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right),\}$

где сходится ряд слева для $\alpha >-\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha>-1\}$и . Используя тождество

$0\; F\; 1\; (;\; \alpha \; +\; 1;\; z)\; =\; \Gamma \; (\alpha \; +\; 1)\; Z\; -\; \alpha \; /\; 2\; я\; \alpha \; (2\; Z),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash ,\; \_\; \{0\}\; F\_\; \{1\}\; (;\; \backslash \; alpha\; +1;\; z)\; =\; \backslash ,\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; alpha\; +1)\; z\; ^\; \{\; -\; \backslash \; alpha\; /\; 2\}\; I\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; left\; (2\; \{\backslash \; sqrt\; \{z\}\}\; \backslash \; right),\}$

(см. обобщенная гипергеометрическая функция ), это также можно записать как

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; n!\; \Gamma \; (1\; +\; \alpha \; +\; n)\; L\; n\; (\alpha )\; (x)\; L\; n\; (\alpha )\; (y)\; tn\; =\; 1\; (xyt)\; \alpha \; /\; 2\; (1\; -\; t)\; e\; -\; (x\; +\; y)\; t\; /\; (1\; -\; t)\; I\; \alpha \; (2\; xyt\; 1\; -\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{\backslash \; Gamma\; (1+\; \backslash \; alpha\; +\; n)\}\}\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (х)\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(\backslash \; alpha)\}\; (y)\; t\; ^\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(xyt)\; ^\; \{\backslash \; alpha\; /\; 2\}\; (1-t)\}\}\; e\; ^\; \{-\; (x\; +\; y)\; t\; /\; (1-t)\}\; I\; \_\; \{\backslash \; alpha\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \{\backslash \; sqrt\; \{xyt\}\}\}\; \{1-t\}\}\; \backslash \; right).\}$

Эта формула является обобщение ядра Мелера для многочленов Эрмита, которое может быть восстановлено из него с помощью соотношений между полиномами Лагерра и Эрмита, приведенными выше.

• Полиномы Анжелеску
• Поперечная мода, важное применение полиномов Лагерра для описания интенсивности поля в волноводе или профиле лазерного луча.

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 22». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями; десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• G. Сегё, Ортогональные многочлены, 4-е издание, Amer. Математика. Soc. Коллок. Publ., Vol. 23, амер. Математика. Soc., Providence, RI, 1975.
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S.C.; Коэкоек, Рулоф; Сварттоу, Рене Ф. (2010), «Ортогональные многочлены», в Олвер, Фрэнк У. Дж. ; Lozier, Daniel M.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз У. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Б. Испания, M.G. Смит, Функции математической физики, Van Nostrand Reinhold Company, Лондон, 1970. Глава 10 посвящена многочленам Лагерра.
• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Эрик В. Вайсштейн, «Полином Лагерра », из MathWorld - веб-ресурс Wolfram.
• Джордж Арфкен и Ханс Вебер (2000). Математические методы для физиков. Академическая пресса. ISBN 978-0-12-059825-0.

• Тимоти Джонс. "The Legendre and Laguerre Polynomials and the elementary quantum mechanical model of the Hydrogen Atom".
• Weisstein, Eric W. "Laguerre polynomial". MathWorld.