Последовательность Шеффера

В математике последовательность Шеффера или poweroid - это полиномиальная последовательность, то есть последовательность {p n (x): n = 0, 1, 2, 3,... } полиномов, в которых индекс каждого полинома равен его степени, удовлетворяющих условиям, относящимся к исчислению теней в комбинаторике. Они названы в честь Исадора М. Шеффера.

• 1 Определение
• 2 Свойства
• 3 Примеры
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Зафиксируем полиномиальную последовательность p n. Определим линейный оператор Q на многочленах от x как

$Q\; p\; n\; (x)\; =\; n\; p\; n\; -\; 1\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; Qp\_\; \{n\}\; (x)\; =\; np\_\; \{n-1\}\; (x)\; \backslash ,.\}$

Это определяет Q на всех многочленах. Полиномиальная последовательность p n является последовательностью Шеффера, если только что определенный линейный оператор Q является эквивариантным по сдвигу. Здесь мы определяем линейный оператор Q на многочленах как эквивариантный по сдвигу, если всякий раз, когда f (x) = g (x + a) = T a g (x) является «сдвигом» g ( x), то (Qf) (x) = (Qg) (x + a); то есть Q коммутирует с каждым оператором сдвига : T a Q = QT a. Такой Q является дельта-оператором.

Набор всех последовательностей Шеффера является группой при операции теневой композиции полиномиальных последовательностей., определяемый следующим образом. Предположим, что {p n (x): n = 0, 1, 2, 3,...} и {q n (x): n = 0, 1, 2, 3,...} - полиномиальные последовательности, задаваемые формулами

$pn\; (x)\; =\; k\; =\; 0\; nan,\; kxk\; и\; qn\; (x)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; nbn,\; kxk.\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{n\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{n,\; k\}\; x\; ^\; \{k\}\; \backslash \; \{\backslash \; t\_dv\; \{and\}\}\; \backslash \; q\_\; \{n\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; b\_\; \{n,\; k\}\; x\; ^\; \{k\}.\}$

Тогда умбральная композиция $p\; \circ \; q\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; circ\; q\}$- последовательность полиномов, n-й член которой равен

$(pn\; \circ \; q)\; (x)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; nan,\; kqk\; (x)\; =\; \sum \; 0\; \le \; k\; \le \; \ell \; \le \; nan,\; kbk,\; \ell \; x\; \ell \; \{\backslash \; displaystyle\; (p\_\; \{n\}\; \backslash \; circ\; q)\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; a\_\; \{n,\; k\}\; q\_\; \{k\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{0\; \backslash \; leq\; k\; \backslash \; leq\; \backslash \; ell\; \backslash \; leq\; n\}\; a\_\; \{n,\; k\}\; b\_\; \{k,\; \backslash \; ell\}\; x\; ^\; \{\backslash \; ell\}\}$

(нижний индекс n появляется в p n, поскольку это термин n этой последовательности, но не в q, поскольку это относится к последовательности в целом, а не к одному из ее членов).

Нейтральный элемент этой группы - стандартный мономиальный базис

$e\; n\; (x)\; =\; x\; n\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; \delta \; n,\; k\; x\; k.\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{n\}\; (x)\; =\; x\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{n,\; k\}\; x\; ^\; \{k\}.\}$

Две важные подгруппы - это группа последовательностей Аппеля, которые представляют собой те последовательности, для которых оператор Q является простым дифференцированием, и группа последовательностей биномиального типа, которые удовлетворяют тождеству

$pn\; (x\; +\; y)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; pk\; (x)\; pn\; -\; k\; (y).\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{n\}\; (x\; +\; y)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; choose\; k\}\; p\_\; \{k\}\; (x)\; p\_\; \{nk\}\; (y).\}$

Последовательность Шеффера {p n (x): n = 0, 1, 2,... } имеет биномиальный тип тогда и только тогда, когда оба

$p\; 0\; (x)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{0\}\; (x)\; =\; 1\; \backslash ,\}$

и

$pn\; (0)\; =\; 0\; для\; n\; \ge \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{n\}\; (0)\; =\; 0\; \{\backslash \; t\_dv\; \{for\}\}\; n\; \backslash \; geq\; 1.\; \backslash ,\}$

Группа последовательностей Аппеля абелева ; группа последовательностей биномиального типа - нет. Группа последовательностей Аппеля - это нормальная подгруппа ; группа последовательностей биномиального типа - нет. Группа последовательностей Шеффера является полупрямым произведением группы последовательностей Аппеля и группы последовательностей биномиального типа. Отсюда следует, что каждый смежный класс группы последовательностей Аппеля содержит ровно одну последовательность биномиального типа. Две последовательности Шеффера находятся в одном таком смежном классе тогда и только тогда, когда описанный выше оператор Q - называемый «дельта-оператором » этой последовательности - является одним и тем же линейным оператором в обоих случаях. (Как правило, дельта-оператор представляет собой линейный оператор, эквивариантный сдвигу на многочленах, который уменьшает степень на единицу. Этот термин принадлежит Ф. Хильдебрандту.)

Если s n (x) равно последовательность Шеффера и p n (x) - это одна последовательность биномиального типа, которая имеет один и тот же дельта-оператор, тогда

$sn\; (x\; +\; y)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; pk\; (\; х)\; sn\; -\; k\; (y).\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{n\}\; (x\; +\; y)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; choose\; k\}\; p\_\; \{k\}\; (x)\; s\_\; \{nk\}\; (y).\}$

Иногда термин «последовательность Шеффера» означает последовательность, которая имеет это отношение к некоторой последовательности биномиального типа. В частности, если {s n (x)} является последовательностью Аппеля, то

$s\; n\; (x\; +\; y)\; =\; k\; =\; 0\; n\; (n\; k)\; x\; k\; s\; n\; -\; k\; (y).\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{n\}\; (x\; +\; y)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; choose\; k\}\; x\; ^\; \{k\}\; s\_\; \{nk\}\; (y).\}$

Последовательность из многочленов Эрмита, последовательность многочленов Бернулли и одночленов {x: n = 0, 1, 2,...} являются примерами Аппеля последовательности.

Последовательность Шеффера p n характеризуется своей экспоненциальной производящей функцией

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; p\; n\; (x)\; n!\; tn\; знак\; равно\; A\; (T)\; ехр\; \; (Икс\; В\; (T))\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{n\}\; (x)\}\; \{n!\}\}\; t\; ^\; \{n\}\; =\; A\; (t)\; \backslash \; exp\; (xB\; (t))\; \backslash ,\}$

где A и B - (формальные) степенные ряды по t. Таким образом, последовательности Шеффера являются примерами обобщенных полиномов Аппеля и, следовательно, имеют ассоциированное рекуррентное отношение.

Примеры полиномиальных последовательностей, которые являются последовательностями Шеффера, включают:

• Многочлены Абеля ;
• Многочлены Бернулли ;
• Центральные факториальные многочлены;
• Многочлены Эрмита ;
• Многочлены Лагерра ;
• Малер многочлены ;
• одночлены {x: n = 0, 1, 2,...};
• многочлены Мотта ;

• Rota, G.-C. ; Kahaner, D.; Одлызко А. (июнь 1973 г.). "Об основах комбинаторной теории VIII: конечно-операторное исчисление". Журнал математического анализа и приложений. 42 (3): 684–750. doi : 10.1016 / 0022-247X (73) 90172-8. Перепечатано в следующей ссылке.
• Rota, G.-C. ; Doubilet, P.; Greene, C.; Kahaner, D.; Одлызко, А.; Стэнли, Р. (1975). Конечное операторное исчисление. Академическая пресса. ISBN 0-12-596650-4.
• Шеффер, И.М. (1939). «Некоторые свойства полиномиальных множеств нулевого типа». Математический журнал Герцога. 5(3): 590–622. doi : 10.1215 / S0012-7094-39-00549-1.
• Роман, Стивен (1984). Мрачное исчисление. Чистая и прикладная математика. 111 . Лондон: Academic Press Inc. [издательство Harcourt Brace Jovanovich Publishers]. ISBN 978-0-12-594380-2. MR 0741185.Перепечатано Dover, 2005.

• Вайсштейн, Эрик У. "Последовательность Шеффера". MathWorld.