Многочлены Мотта

В математике полиномы Мотта s n ( x) - это полиномы, введенные Н. Ф. Моттом  ( 1932, стр. 442), который применил их к задаче теории электронов. Они задаются экспоненциальной производящей функцией

${\ displaystyle e ^ {x ({\ sqrt {1-t ^ {2}}} - 1) / t} = \ sum _ {n} s_ {n} (x) t ^ {n} / n !. }$

Поскольку множитель в экспоненте имеет степенной ряд

${\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt {1-t ^ {2}}} - 1} {t}} = - \ sum _ {k \ geq 0} C_ {k} \ left ({\ frac {t } {2}} \ right) ^ {2k + 1}}$

в терминах каталонских чисел коэффициент перед многочленом можно записать как ${\ displaystyle C_ {k}}$${\ displaystyle x ^ {k}}$

${\ displaystyle [x ^ {k}] s_ {n} (x) = (- 1) ^ {k} {\ frac {n!} {k! 2 ^ {n}}} \ sum _ {n = l_ {1} + l_ {2} + \ cdots l_ {k}} C _ {(l_ {1} -1) / 2} C _ {(l_ {2} -1) / 2} \ cdots C _ {(l_ {k } -1) / 2}}$,

в соответствии с общей формулой для обобщенных полиномов Аппеля, где сумма по всем композициям из Into положительных нечетных чисел. Пустой продукт, отображаемый для равно 1. Специальные значения, где все участвующие каталонские числа равны 1, являются ${\ Displaystyle п = l_ {1} + l_ {2} + \ cdots l_ {k}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle к = п = 0}$

${\ displaystyle [x ^ {n}] s_ {n} (x) = {\ frac {(-1) ^ {n}} {2 ^ {n}}}.}.$

${\ Displaystyle [х ^ {n-2}] s_ {n} (x) = {\ frac {(-1) ^ {n} n (n-1) (n-2)} {2 ^ {n} }}.}$

При дифференцировании рекуррентность первой производной становится

${\ displaystyle s '(x) = - \ sum _ {k = 0} ^ {\ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor} {\ frac {n!} {(n-1-2k)! 2 ^ {2k + 1}}} C_ {k} s_ {n-1-2k} (x).}$

Первые несколько из них (последовательность A137378 в OEIS )

${\ Displaystyle s_ {0} (х) = 1;}$

${\ displaystyle s_ {1} (x) = - {\ frac {1} {2}} x;}$

${\ Displaystyle s_ {2} (х) = {\ гидроразрыва {1} {4}} х ^ {2};}$

${\ displaystyle s_ {3} (x) = - {\ frac {3} {4}} x - {\ frac {1} {8}} x ^ {3};}$

${\ displaystyle s_ {4} (x) = {\ frac {3} {2}} x ^ {2} + {\ frac {1} {16}} x ^ {4};}$

${\ displaystyle s_ {5} (x) = - {\ frac {15} {2}} x - {\ frac {15} {8}} x ^ {3} - {\ frac {1} {32}} х ^ {5};}$

${\ displaystyle s_ {6} (x) = {\ frac {225} {8}} x ^ {2} + {\ frac {15} {8}} x ^ {4} + {\ frac {1} { 64}} x ^ {6};}$

Многочлены s n ( x) образуют ассоциированную последовательность Шеффера для –2 t / (1 – t ²) ( Роман 1984, стр.130). Артур Эрдейи, Вильгельм Магнус, Фриц Оберхеттингер и др. ( 1955, с. 251) дают для них явное выражение в терминах обобщенной гипергеометрической функции 3 F 0:

${\ displaystyle s_ {n} (x) = (- x / 2) ^ {n} {} _ {3} F_ {0} (- n, {\ frac {1-n} {2}}, 1- {\ frac {n} {2}} ;; - {\ frac {4} {x ^ {2}}})}$

• Эрдели, Артур; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1955), Высшие трансцендентные функции. Vol. III, McGraw-Hill Book Company, Inc., Нью-Йорк-Торонто-Лондон, MR   0066496
• Мотт, Н.Ф. (1932), "Поляризация электронов двойным рассеянием", Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащих статей математического и физического характера, 135 (827): 429-458, DOI : 10.1098 / rspa.1932.0044, ISSN   0950-1207, JSTOR   95868
• Роман, Стивен (1984), Темное исчисление, Чистая и прикладная математика, 111, Лондон: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN   978-0-12-594380-2, MR   0741185, Перепечатано Dover, 2005