Темное исчисление

В математике до 1970-х годов термин мрачное исчисление относится к удивительному сходству между кажущимися несвязанными полиномиальными уравнениями и некоторыми скрытыми методами, используемыми для их «доказательства». Эти техники были введены Джоном Блиссардом (1861) и иногда называются символическим методом Блиссарда . Их часто приписывают Эдуару Лукасу (или Джеймсу Джозефу Сильвестру ), который широко использовал эту технику.

• 1 Краткая история
• 2 XIX век Темное исчисление
• 3 Серия Умбрал Тейлор
• 4 Белл и Риордан
• 5 Современное теневое исчисление
• 6 См. также
• 7 Примечания
• 8 Ссылки
• 9 Внешние ссылки

В 1930-х и 1940-х гг. Эрик Темпл Белл попытался строго обосновать мрачное исчисление.

В 1970-х годах Стивен Роман, Джан-Карло Рота и другие разработали умбральное исчисление с помощью линейных функционалов на пространствах полиномы. В настоящее время теневое исчисление относится к изучению последовательностей Шеффера, включая полиномиальные последовательности биномиального типа и последовательности Аппеля, но может включать в себя методы систематического соответствия исчисление конечных разностей.

Метод представляет собой условную процедуру, используемую для вывода тождеств, включающих индексированные последовательности чисел, притворяясь, что индексы являются показателями степени. Сконструированный буквально, он абсурден, но все же он успешен: тождества, полученные с помощью теневого исчисления, также могут быть правильно выведены более сложными методами, которые можно воспринимать буквально без логических затруднений.

Пример включает полиномы Бернулли. Рассмотрим, например, обычное биномиальное разложение (которое содержит биномиальный коэффициент ):

$(y\; +\; x)\; n\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; yn\; -\; kxk\; \{\backslash \; displaystyle\; (y\; +\; x)\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; choose\; k\}\; y\; ^\; \{nk\}\; x\; ^\; \{k\}\}$

и удивительно похожие - смотря соотношение на многочленах Бернулли :

$B\; n\; (y\; +\; x)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; B\; n\; -\; k\; (y)\; xk.\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n\}\; (y\; +\; x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; choose\; k\}\; B\_\; \{nk\}\; (y)\; x\; ^\; \{k\}.\}$

Сравните также обычная производная

$ddxxn\; =\; nxn\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; x\; ^\; \{n\}\; =\; nx\; ^\; \{n-1\}\}$

с очень похожим соотношением на Многочлены Бернулли:

$ddx\; B\; n\; (x)\; =\; n\; B\; n\; -\; 1\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; B\_\; \{n\}\; (x)\; =\; nB\_\; \{n-1\}\; (x).\}$

Эти сходства позволяют строить мрачные доказательства, которые на поверхности не может быть правильным, но, похоже, все равно работает. Таким образом, например, делая вид, что индекс n - k является показателем степени:

$B\; n\; (x)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; bn\; -\; kxk\; =\; (b\; +\; x)\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{\; n\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; choose\; k\}\; b\; ^\; \{nk\}\; x\; ^\; \{k\}\; =\; (b\; +\; x)\; ^\; \{n\},\}$

и затем дифференцируя, получаем желаемый результат:

$B\; n\; \prime \; (x)\; =\; n\; (b\; +\; x)\; n\; -\; 1\; =\; n\; B\; n\; -\; 1\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n\}\; \text{'}(x)\; =\; n\; (b\; +\; x)\; ^\; \{n-1\}\; =\; nB\_\; \{n-1\}\; (x).\}$

В приведенном выше примере переменная b представляет собой «тень "(латинское для тени).

См. Также Формула Фолхабера.

Подобные отношения наблюдались также в теории конечных разностей. Мрачная версия ряда Тейлора дается аналогичным выражением, включающим k-е прямые разности $\Delta \; k\; [f]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; ^\; \{k\}\; [\; f]\}$полиномиальной функции f,

$f\; (x)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; \Delta \; k\; [f]\; (0)\; k!\; (Икс)\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (х)\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{к\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{\backslash \; Delta\; ^\; \{k\}\; [f]\; (0)\}\; \{k!\}\}\; (х)\; \_\; \{k\}\}$

где

$(x)\; k\; =\; x\; (x\; -\; 1)\; (x\; -\; 2)\; \cdots \; (x\; -\; k\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x)\; \_\; \{k\}\; =\; x\; (x\; -1)\; (x-2)\; \backslash \; cdots\; (x-k\; +\; 1)\}$

- это символ Поххаммера, используемый здесь для падающего последовательного произведения. Аналогичная зависимость сохраняется для обратных различий и возрастающего факториала.

Эта серия также известна как серия Ньютона или разность прямой разности Ньютона . Аналогия с расширением Тейлора используется в исчислении конечных разностей.

В 1930-х и 1940-х годах Эрик Темпл Белл безуспешно пытался сделать такой вид аргумент логически строгий. комбинатор Джон Риордан в своей книге «Комбинаторные идентичности», опубликованной в 1960-х годах, широко использовал методы такого рода.

Другой комбинатор, Джан-Карло Рота, указал, что загадка исчезает, если рассматривать линейный функционал L на многочлены от z, определенные как

$L\; (zn)\; =\; B\; n\; (0)\; =\; B\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (z\; ^\; \{n\})\; =\; B\_\; \{n\}\; (0)\; =\; B\_\; \{n\}.\}$

Затем, используя определение полиномов Бернулли и определение и линейность L, можно написать

$B\; n\; (x)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; B\; n\; -\; kxk\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; L\; (zn\; -\; k)\; xk\; =\; L\; (\sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; zn\; -\; kxk).)\; =\; L\; ((z\; +\; x)\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; B\_\; \{n\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; select\; k\}\; B\_\; \{nk\; \}\; x\; ^\; \{k\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; выбрать\; k\}\; L\; \backslash \; left\; (z\; ^\; \{nk\}\; \backslash \; right)\; x\; ^\; \{k\}\; \backslash \backslash \; =\; L\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; choose\; k\}\; z\; ^\; \{nk\}\; x\; ^\; \{k\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; L\; \backslash \; left\; ((z\; +\; x)\; ^\; \{n\; \}\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Это позволяет заменить вхождения $B\; n\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n\}\; (x)\}$на $L\; ((z\; +\; x)\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ((z\; +\; x)\; ^\; \{n\})\}$, то есть переместить n с нижнего индекса на верхний (ключевая операция тупого исчисление). Например, теперь мы можем доказать, что:

$\sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; B\; n\; -\; k\; (y)\; xk\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; L\; ((z\; +\; y)\; n\; -\; k)\; xk\; =\; L\; (\sum \; k\; =\; 0\; n\; (nk)\; (z\; +\; y)\; n\; -\; kxk)\; =\; L\; ((z\; +\; x\; +\; y)\; n)\; =\; B\; n\; (x\; +\; y).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; select\; k\}\; B\_\; \{nk\}\; (y)\; x\; ^\; \{k\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; choose\; k\}\; L\; \backslash \; left\; ((z\; +\; y)\; ^\; \{nk\}\; \backslash \; right)\; x\; ^\; \{k\}\; \backslash \backslash \; =\; L\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; выбрать\; k\}\; (z\; +\; y)\; ^\; \{nk\}\; x\; ^\; \{k\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; L\; \backslash \; left\; ((z\; +\; x\; +\; y)\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; =\; B\_\; \{n\}\; (x\; +\; y).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Позже Рота заявил, что большая путаница возникла из-за того, что не удалось различить три отношения эквивалентности, которые часто встречаются в этой теме, все из которые были обозначены знаком "=".

В статье, опубликованной в 1964 году, Рота использовал теневые методы для установления формулы рекурсии, удовлетворяющей числам Белла, которые перечисляют разделы конечные множества.

В статье Романа и Рота, цитируемой ниже, умбральное исчисление характеризуется как изучение умбральной алгебры, определяемой как алгебра линейных функционалов от векторное пространство многочленов от переменной x с произведением L 1L2линейных функционалов, определенных как

$⟨L\; 1\; L\; 2\; |\; x\; n⟩\; знак\; равно\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; (n\; k)\; ⟨L\; 1\; |\; x\; k⟩\; ⟨L\; 2\; |\; х\; п\; -\; к⟩.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; L\_\; \{1\}\; L\_\; \{2\}\; |\; x\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{n\; \backslash \; select\; k\}\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; L\_\; \{\; 1\}\; |\; x\; ^\; \{k\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle\; \backslash \; left\; \backslash \; langle\; L\_\; \{2\}\; |\; x\; ^\; \{nk\}\; \backslash \; right\; \backslash \; rangle.\}$

Когда полиномиальные последовательности заменяют последовательности чисел как изображения относительно y при линейном отображении L, то метод теней рассматривается как существенный компонент общей теории специальных многочленов Роты, и эта теория является теневым исчислением согласно некоторым более современным определениям этого термина. Небольшой образец этой теории можно найти в статье о полиномиальных последовательностях биномиального типа. Другая - статья под названием Последовательность Шеффера.

Рота позже широко применил теневое исчисление в своей работе с Шеном для изучения различных комбинаторных свойств кумулянтов.

• Тёмная композиция полиномиальных последовательностей
• Вычисление конечных разностей
• Многочлены Пиддака
• Символьный метод в теории инвариантов

1. ^E. Т. Белл, «История символического метода Блиссарда с очерком из жизни его изобретателя», The American Mathematical Monthly 45 : 7 (1938), стр. 414–421.
2. ^Rota, G.C.; Kahaner, D.; Одлызко, А. (1973). «Об основах комбинаторной теории. VIII. Конечное операторное исчисление». Журнал математического анализа и приложений. 42 (3): 684. doi : 10.1016 / 0022-247X (73) 90172-8.
3. ^G.-C. Рота и Дж. Шен, «Комбинаторика кумулянтов», Journal of Combinatorial Theory, Series A, 91: 283–304, 2000.

• Bell, ET ( 1938), «История символического метода Блиссарда с очерком из жизни его изобретателя», The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 45(7): 414–421, doi : 10.1080 / 00029890.1938.11990829, ISSN 0002-9890, JSTOR 2304144
• Блиссард, Джон (1861 г.), «Теория общих уравнений», Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики, 4 : 279–305
• Роман, Стивен М.; Рота, Джан-Карло (1978), «Темное исчисление», Успехи в математике, 27 (2): 95–188, doi : 10.1016 / 0001-8708 (78) 90087-7, ISSN 0001-8708, MR 0485417
• G.-C. Рота, Д. Каханер и А. Одлызко, "Конечное операторное исчисление", Журнал математического анализа и его приложений, вып. 42, нет. 3 июня 1973 г. Перепечатано в книге с тем же названием, Academic Press, New York, 1975.
• Роман, Стивен (1984), Тёмное исчисление, Чистая и прикладная математика, 111, Лондон: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-594380-2, MR 0741185. Перепечатано Dover, 2005.
• Роман, С. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press

• Weisstein, Eric W. «Мрачное исчисление». MathWorld.
• А. Ди Буккьянико, Д. Леб (2000). «Избранный обзор темного исчисления» (PDF). Электронный журнал комбинаторики. Динамические опросы. DS3 . Архивировано из оригинального (PDF) от 24 февраля 2012 года.
• Роман С. (1982), Theory of the Umbral Calculus, I