Ортогональные многочлены

набор многочленов, любые два из которых ортогональны друг другу

В математике ортогональная полиномиальная последовательность - это семейство полиномов таких, что любые два разных полинома в последовательности ортогональны друг другу при некотором внутреннем произведении.

Наиболее широко используемые ортогональные полиномы - это классические ортогональные полиномы, состоящие из полиномов Эрмита, полиномов Лагерра и полиномов Якоби вместе с их частными случаями: полиномы Гегенбауэра, полиномы Чебышева и полиномы Лежандра.

Область ортогональных полиномов возникла в конце 19 века в результате изучения непрерывные дроби по П. Л. Чебышев и преследовался А. А. Марков и Т. Дж. Стилтьес. Некоторые из математиков, которые работали с ортогональными многочленами, включают Габора Сеге, Сергея Бернштейна, Наума Ахиезера, Артура Эрдейи, Яков Геронимус, Вольфганг Хан, Теодор Сейо Чихара, Мурад Исмаил, Валид аль-Салам и Ричард Askey.

• 1 Определение случая с одной переменной для действительной меры
  • 1.1 Абсолютно непрерывный случай
• 2 Примеры ортогональных многочленов
• 3 Свойства
  • 3.1 Отношение к моментам
  • 3.2 Отношение рекуррентности
  • 3.3 Формула Кристоффеля – Дарбу
  • 3.4 Нули
• 4 Многомерные ортогональные многочлены
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Для любой неубывающей функции α на действительных числах мы можем определить интеграл Лебега – Стилтьеса

$\int \; f\; (x)\; d\; \alpha \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; f\; (x)\; \backslash ;\; d\; \backslash \; alpha\; (x)\}$

функции f. Если этот интеграл конечен для всех многочленов f, мы можем определить скалярное произведение на парах многочленов f и g по формуле

$⟨f,\; g⟩\; =\; \int \; f\; (x)\; g\; (x)\; d\; \alpha \; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; f,\; g\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; int\; f\; (x)\; g\; (x)\; \backslash ;\; d\; \backslash \; alpha\; (x).\}$

Эта операция является положительным полуопределенным внутренним продуктом на векторное пространство всех многочленов и положительно определено, если функция α имеет бесконечное количество точек роста. Это индуцирует понятие ортогональности обычным способом, а именно, что два многочлена ортогональны, если их внутренний продукт равен нулю.

Тогда последовательность (P n)n = 0 ортогональных многочленов определяется соотношениями

$deg\; \; P\; n\; =\; n,\; ⟨P\; m,\; P\; n⟩\; =\; 0\; для\; m\; \ne \; п.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; P\_\; \{n\}\; =\; n\; ~,\; \backslash \; quad\; \backslash \; langle\; P\_\; \{m\},\; \backslash ,\; P\_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\; =\; 0\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; \backslash \; quad\; m\; \backslash \; neq\; n\; ~.\}$

Другими словами, последовательность получается из последовательности одночленов 1, x, x,... процессом Грама – Шмидта относительно этого внутреннего произведения.

Обычно требуется, чтобы последовательность была ортонормированной, а именно,

$⟨P\; n,\; P\; n⟩\; =\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; P\_\; \{n\},\; P\_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\; =\; 1\; ~,\}$

однако иногда используются другие нормализации.

Абсолютно непрерывный случай

Иногда мы имеем

$d\; \alpha \; (x)\; =\; W\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; альфа\; (x)\; =\; W\; (x)\; \backslash ,\; dx\}$

где

$W:\; [x\; 1,\; x\; 2]\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; W:\; [x\_\; \{1\},\; x\_\; \{2\}]\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$

- неотрицательная функция с поддержкой на некотором интервале [x 1, x 2 ] в вещественной строке (где x 1 = −∞ и x 2 = ∞ допустимы). Su ch a W называется весовой функцией . Тогда внутреннее произведение задается как

$⟨f,\; g⟩\; =\; \int \; x\; 1\; x\; 2\; f\; (x)\; g\; (x)\; W\; (x)\; d\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; f,\; g\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{x\_\; \{1\}\}\; ^\; \{x\_\; \{2\}\}\; f\; (x)\; g\; (x)\; W\; (x)\; \backslash ;\; dx.\}$

Однако там являются многими примерами ортогональных многочленов, где мера dα (x) имеет точки с ненулевой мерой, где функция α разрывна, поэтому не может быть задана весовой функцией W, как указано выше.

Наиболее часто используемые ортогональные многочлены являются ортогональными для меры с поддержкой в ​​реальном интервале. Сюда входят:

• классические ортогональные полиномы (полиномы Якоби, полиномы Лагерра, полиномы Эрмита и их частные случаи полиномы Гегенбауэра, полиномы Чебышева и полиномы Лежандра ).
• полиномы Вильсона, которые обобщают полиномы Якоби. Они включают многие ортогональные полиномы в качестве частных случаев, например, Мейкснера –Многочлены Поллачека, непрерывные многочлены Хана, непрерывные двойственные многочлены Хана и классические многочлены, описываемые схемой Аски
• Многочлены Аски – Вильсона вводят дополнительный параметр q в многочлены Вильсона.

Дискретные ортогональные многочлены ортогональны относительно некоторой дискретной меры. Иногда мера имеет конечный носитель, и в этом случае семейство ортогональных многочленов является конечной, а не бесконечной последовательностью. Многочлены Рака являются примерами дискретных ортогональные многочлены, и включают в качестве особых случаев полиномы Хана и двойственные многочлены Хана, которые, в свою очередь, включают в качестве особых случаев полиномы Мейкснера, полиномы Кравчука и многочлены Шарлье.

просеянные ортогональные многочлены, такие как просеянные ультрасферические полиномы, просеянные полиномы Якоби и просеянные полиномы Поллачека, изменили отношения повторения.

Можно также рассматривать ортогональные многочлены для некоторой кривой на комплексной плоскости. Самый важный случай (кроме вещественных интервалов) - это когда кривая представляет собой единичную окружность, дающую ортогональные полиномы на единичной окружности, такие как полиномы Роджерса – Сеге.

Есть несколько семейств ортогональных многочленов, которые ортогональны на плоских участках, таких как треугольники или диски. Иногда их можно записать в терминах полиномов Якоби. Например, полиномы Цернике ортогональны на единичном диске.

Преимущество ортогональности между различными порядками полиномов Эрмита применяется к структуре обобщенного мультиплексирования с частотным разделением (GFDM). В каждой сетке частотно-временной решетки можно переносить более одного символа.

Ортогональные многочлены одной переменной, определенные неотрицательной мерой на действительной прямой, обладают следующими свойствами.

Отношение к моментам

Ортогональные многочлены P n могут быть выражены через моменты

$mn\; =\; \int \; xnd\; \alpha \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; m\_\; \{n\}\; =\; \backslash \; int\; x\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; alpha\; (x)\}$

следующим образом:

$P\; n\; (x)\; =\; cn\; det\; [m\; 0\; m\; 1\; m\; 2\; \cdots \; mnm\; 1\; m\; 2\; м\; 3\; \cdots \; mn\; +\; 1\; ⋮\; ⋮\; mn\; -\; 1\; mnmn\; +\; 1\; \cdots \; m\; 2\; n\; -\; 1\; 1\; xx\; 2\; \cdots \; xn],\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; (x)\; =\; c\_\; \{n\}\; \backslash ,\; \backslash \; det\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; m\_\; \{0\}\; m\_\; \{1\}\; m\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; m\_\; \{n\}\; \backslash \backslash \; m\_\; \{1\}\; m\_\; \{2\}\; m\_\; \{3\}\; \backslash \; cdots\; m\_\; \{n\; +\; 1\}\; \backslash \backslash \; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; m\_\; \{n-1\}\; m\_\; \{n\}\; m\_\; \{n\; +\; 1\}\; \backslash \; cdots\; m\_\; \{2n-1\}\; \backslash \backslash \; 1\; x\; x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; x\; ^\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\; \}\; ~,\}$

, где константы c n произвольны (зависят от нормализации P n).

Отношение рекуррентности

Многочлены P n удовлетворяют рекуррентному соотношению вида

$P\; n\; (x)\; =\; (A\; nx\; +\; B\; n)\; P\; n\; -\; 1\; (х)\; +\; C\; n\; P\; n\; -\; 2\; (х).\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\_\; \{n\}\; (x)\; =\; (A\_\; \{n\}\; x\; +\; B\_\; \{n\})\; P\_\; \{n-1\}\; (x)\; +\; C\_\; \{n\}\; P\_\; \{n-2\}\; (x)\; ~.\}$

Обратный результат см. В теореме Фавара.

Формула Кристоффеля – Дарбу

Нули

Если мера dα поддерживается на интервале [a, b], все нули P n лежат в [a, b]. Кроме того, нули обладают следующим свойством чередования: если m < n, there is a zero of Pn между любыми двумя нулями P m.

Многочлены Макдональда являются ортогональными многочленами в несколько переменных, в зависимости от выбора аффинной корневой системы. Они включают в себя множество других семейств многомерных ортогональных многочленов в качестве частных случаев, в том числе многочлены Джека, многочлены Холла – Литтлвуда, многочлены Хекмана – Опдама и Многочлены Коорнвиндера. Многочлены Аски – Вильсона являются частным случаем многочленов Макдональда для некоторой нередуцированной корневой системы ранга 1.

• Последовательность Аппеля
• Схема Аски гипергеометрических ортогональных многочленов
• Теорема Фавара
• Полиномиальные последовательности биномиального типа
• Биортогональные многочлены
• Обобщенный ряд Фурье
• Вторичная мера
• Последовательность Шеффера
• Теория Штурма-Лиувилля
• Умбрал исчисление

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 22». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями; десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.
• Чихара, Теодор Сейо (1978). Введение в ортогональные многочлены. Гордон и Брич, Нью-Йорк. ISBN 0-677-04150-0.
• Чихара, Теодор Сейо (2001). «45 лет ортогональным многочленам: взгляд с крыльев». Труды Пятого Международного симпозиума по ортогональным многочленам, специальным функциям и их приложениям (Patras, 1999). Журнал вычислительной и прикладной математики. 133 (1): 13–21. Bibcode : 2001JCoAM.133... 13C. DOI : 10.1016 / S0377-0427 (00) 00632-4. ISSN 0377-0427. MR 1858267.
• Foncannon, J. J.; Foncannon, J. J.; Пеконен, Осмо (2008). "Обзор классических и квантовых ортогональных многочленов от одной переменной Мурада Исмаила". Математический интеллигент. Springer Нью-Йорк. 30 : 54–60. DOI : 10.1007 / BF02985757. ISSN 0343-6993. S2CID 118133026.
• Исмаил, Мурад Э. Х. (2005). Классические и квантовые ортогональные многочлены от одной переменной. Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. ISBN 0-521-78201-5.
• Джексон, Данэм (2004) [1941]. Ряды Фурье и ортогональные многочлены. Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-43808-2.
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S.C.; Коэкоек, Рулоф; Свартту, Рене Ф. (2010), «Ортогональные многочлены», в Олвер, Фрэнк У. Дж. ; Lozier, Daniel M.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз У. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Сегё, Габор (1939). Ортогональные многочлены. Публикации коллоквиума. XXIII . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1023-1. MR 0372517.
• стр. Сиркар, Р. Б. Пачори и Р. Кумар, Анализ ритмов сигналов ЭЭГ с использованием ортогональной полиномиальной аппроксимации, Международная конференция ACM по конвергенции и гибридным информационным технологиям, стр. 176–180, 27–29 августа 2009 г., Тэджон, Южная Корея.
• Тотик, Вилмос (2005). «Ортогональные многочлены». Обзоры по теории приближений. 1 : 70–125. arXiv : math.CA/0512424.
• C. Чан, А. Миронов, А. Морозов, А. Слепцов, arXiv :1712.03155.