Вторичная мера

В математике вторичная мера, связанная с мерой положительного Плотность ρ, когда она есть, является мерой положительной плотности μ, превращающей вторичные многочлены, связанные с ортогональными многочленами для ρ, в ортогональную систему.

• 1 Введение
• 2 Общие положения теории
• 3 Случай меры Лебега и некоторые другие примеры
  • 3.1 Примеры несводимых мер
• 4 Последовательность вторичных мер
  • 4.1 Эквинормальные меры
• 5 Несколько красивых приложений
• 6 См. Также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

При определенных предположениях, которые мы укажем далее, можно получить наличие вторичной меры и даже выразить ее.

Например, если кто-то работает в гильбертовом пространстве L ([0, 1], R, ρ)

$\forall \; x\; \in \; [0,\; 1\; ],\; \mu \; (Икс)\; знак\; равно\; \rho \; (Икс)\; \phi \; 2\; (Икс)\; 4\; +\; \pi \; 2\; \rho \; 2\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; forall\; x\; \backslash \; in\; [0,1],\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mu\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; (x)\}\; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varphi\; ^\; \{2\}\; (x)\}\; \{4\}\}\; +\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rho\; ^\; \{2\}\; (x)\}\}\}$

с

$\phi \; (Икс)\; знак\; равно\; lim\; \epsilon \; \to \; 0\; +\; 2\; \int \; 0\; 1\; (x\; -\; t)\; \rho \; (t)\; (x\; -\; t)\; 2\; +\; \epsilon \; 2\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; to\; 0\; ^\; \{+\}\}\; 2\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{(xt)\; \backslash \; rho\; (t)\}\; \{(xt)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash ,\; dt\}$

в общем случае, или:

$\phi \; (x)\; =\; 2\; \rho \; (x)\; ln\; (x\; 1\; -\; x)\; -\; 2\; \int \; 0\; 1\; \rho \; (t)\; -\; \rho \; (x)\; t\; -\; xdt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x)\; =\; 2\; \backslash \; rho\; (x)\; \{\backslash \; text\; \{ln\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{1-x\}\}\; \backslash \; right)\; -2\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\; 1\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; (t)\; -\; \backslash \; rho\; (x)\}\; \{tx\}\}\; \backslash ,\; dt\}$

, когда ρ удовлетворяет условию Липшица.

Это приложение φ называется редуктором ρ.

В более общем смысле, μ et ρ связаны своим преобразованием Стилтьеса следующей формулой:

$S\; \mu \; (z)\; =\; z\; -\; c\; 1\; -\; 1\; S\; \rho \; (z)\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; S\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; (z)\; =\; z-c\_\; \{1\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{S\; \_\; \{\backslash \; rho\}\; (z)\}\}\}$

, в котором c 1 равно момент порядка 1 меры ρ.

Эти вторичные меры и теория вокруг них приводят к некоторым удивительным результатам и позволяют элегантным способом найти довольно много традиционных формул анализа, в основном связанных с Эйлером Гамма-функцией, Римана дзета-функция и константа Эйлера.

Они также позволили уточнить интегралы и ряды с огромной эффективностью, хотя это априори сложно.

Наконец, они позволяют решать интегральные уравнения вида

$f\; (x)\; =\; \int \; 0\; 1\; g\; (t)\; -\; g\; (x)\; t\; -\; x\; \rho \; (t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{g\; (t)\; -g\; (x)\}\; \{tx\}\}\; \backslash \; rho\; (t)\; \backslash ,\; dt\}$

где g - неизвестная функция, и приводят к теоремам о сходимости к мерам Чебышева и Дирака.

Пусть ρ - мера положительной плотности На интервале я и допуская моменты любого порядка. Мы можем построить семейство {P n } из ортогональных многочленов для скалярного произведения, индуцированного ρ. Назовем {Q n } последовательностью вторичных многочленов, связанных с семейством P. При определенных условиях существует мера, для которой семейство Q ортогонально. Эта мера, которую мы можем уточнить из ρ, называется вторичной мерой, ассоциированной с начальной мерой ρ.

Когда ρ является функцией плотности вероятности, достаточным условием, чтобы μ, допускающие моменты любого порядка, могли быть вторичной мерой, связанной с ρ, является то, что его Stieltjes Преобразование задается равенством типа:

$S\; \mu \; (z)\; =\; a\; (z\; -\; c\; 1-1\; S\; \rho \; (z)),\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; (z)\; =\; a\; \backslash \; left\; (z-c\_\; \{1\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{S\; \_\; \{\backslash \; rho\}\; (z)\}\}\; \backslash \; right),\}$

a - произвольная константа, а c 1 обозначает момент порядка 1 величины ρ.

Для a = 1 мы получаем показатель, известный как вторичный, замечательный, поскольку для n ≥ 1 норма полинома P n для ρ точно совпадает с нормой вторичного многочлена, ассоциированного с Q n при использовании меры μ.

В этом важнейшем случае, и если пространство, порожденное ортогональными многочленами, плотно в L (I, R, ρ), оператор Tρопределяется по формуле

$f\; (x)\; \mapsto \; \int \; I\; f\; (t)\; -\; f\; (x)\; t\; -\; x\; \rho \; (t)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; int\; \_\; \{I\}\; \{\backslash \; frac\; \{\; f\; (t)\; -f\; (x)\}\; \{tx\}\}\; \backslash \; rho\; (t)\; dt\}$

создание вторичных многочленов может быть продолжено до линейной карты, соединяющей пространство L (I, R, ρ) в L (I, R, μ) ​​и становится изометрическим, если ограничивается гиперплоскостью Hρортогональных функций с P 0 = 1.

Для неуказанных функций квадратично интегрируемых для ρ мы получаем более общую формулу ковариации :

$⟨f\; /\; g⟩\; \rho \; -\; ⟨f\; /\; 1⟩\; \rho \; \times \; ⟨\; g\; /\; 1⟩\; \rho \; =\; ⟨T\; \rho \; (f)\; /\; T\; \rho \; (g)⟩\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; f\; /\; g\; \backslash \; rangle\; \_\; \{\backslash \; rho\}\; -\; \backslash \; langle\; f\; /\; 1\; \backslash \; rangle\; \_\; \{\backslash \; rho\}\; \backslash \; times\; \backslash \; langle\; g\; /\; 1\; \backslash \; rangle\; \_\; \{\backslash \; rho\}\; =\; \backslash \; langle\; T\; \_\; \{\backslash \; rho\}\; (f)\; /\; T\; \_\; \{\backslash \; rho\}\; (g)\; \backslash \; rangle\; \_\; \{\backslash \; mu\}.\}$

Теория продолжается введением концепции приводимой меры, означающей, что фактор ρ / μ является элементом L (I, R, μ). Затем устанавливаются следующие результаты:

Редуктор φ для ρ является антецедентом ρ / μ для оператора T ρ. (Фактически, единственный антецедент, принадлежащий H ρ).

Для любой функции, интегрируемой с квадратом для ρ, существует равенство, известное как сокращающая формула:

$⟨f\; /\; \phi ⟩\; \rho \; =\; ⟨T\; \rho \; (f)\; /\; 1⟩\; \rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; f\; /\; \backslash \; varphi\; \backslash \; rangle\; \_\; \{\backslash \; rho\}\; =\; \backslash \; langle\; T\; \_\; \{\backslash \; rho\}\; (f)\; /\; 1\; \backslash \; rangle\; \_\; \{\backslash \; rho\}\}$.

Оператор

$f\; \mapsto \; \phi \; \times \; f\; -\; T\; \rho \; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; varphi\; \backslash \; times\; f-T\; \_\; \{\backslash \; rho\}\; (f)\}$

, определенный на многочленах, продолжается в изометрии Sρ, связывающей замыкание пространство этих многочленов в L (I, R, ρμ) на гиперплоскость Hρс нормой, индуцированной ρ.

При определенных ограничительных условиях оператор S ρ действует как сопряженный к T ρ для скалярного произведения, индуцированного на ρ.

Наконец, два оператора также связаны между собой при условии, что рассматриваемые изображения определены фундаментальной формулой композиции:

$T\; \rho \; \circ \; S\; \rho \; (f)\; =\; \rho \; \mu \; \times \; (f).\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; rho\}\; \backslash \; circ\; S\; \_\; \{\backslash \; rho\}\; \backslash \; left\; (f\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\}\; \{\backslash \; mu\}\}\; \backslash \; times\; (f).\}$

Мера Лебега на стандартном интервале [0, 1] получается путем взятия постоянной плотности ρ (x) = 1.

Соответствующая Ортогональные многочлены называются многочленами Лежандра и могут быть пояснены с помощью

$P\; n\; (x)\; =\; dndxn\; (xn\; (1\; -\; x)\; n).\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{n\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\}\; \{dx\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{n\}\; (1-x)\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right).\; \}$

норма из P n стоит

$n!\; 2\; п\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{n!\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2n\; +\; 1\}\}\}.\}$

Рекуррентное соотношение в трех членах записывается:

$2\; (2\; n\; +\; 1)\; XP\; n\; (X)\; =\; -\; P\; n\; +\; 1\; (X)\; +\; (2\; n\; +\; 1)\; P\; n\; (X)\; -\; n\; 2\; P\; n\; -\; 1\; (X).\; \{\backslash \; Displaystyle\; 2\; (2n\; +\; 1)\; XP\_\; \{n\}\; (X)\; =\; -\; P\_\; \{n\; +\; 1\}\; (X)\; +\; (2n\; +\; 1)\; P\_\; \{n\}\; (X)\; -n\; ^\; \{2\}\; P\_\; \{n-\; 1\}\; (X).\}$

Редуктор этой меры Лебега задается формулой

$\phi \; (x)\; =\; 2\; ln\; \; (x\; 1\; -\; x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x)\; =\; 2\; \backslash \; ln\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{1-x\}\}\; \backslash \; right).\}$

Связанная вторичная мера затем уточняется как

$\mu \; (x)\; Знак\; равно\; 1\; пер\; 2\; \; (Икс\; 1\; -\; Икс)\; +\; \pi \; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mu\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; ln\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{1-x\})\; \}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\}\}$.

Если мы нормализуем полиномы Лежандра, коэффициенты Фурье редуктора φ, относящегося к этой ортонормированной системе, равны нулю для четного индекса и задаются формулой

$C\; n\; (\phi )\; =\; -\; 4\; 2\; n\; +\; 1\; n\; (n\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{n\}\; (\backslash \; varphi)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \{\backslash \; sqrt\; \{2n\; +\; 1)\; \}\}\}\; \{n\; (n\; +\; 1)\}\}\}$

для нечетного индекса n.

Полиномы Лагерра связаны с плотностью ρ (x) = e на интервале I = [0, ∞). Они поясняются формулой

$L\; n\; (x)\; =\; e\; x\; n!\; Д\; N\; Д\; Икс\; N\; (Икс\; N\; е\; -\; Икс)\; знак\; равно\; \sum \; К\; знак\; равно\; 0\; N\; (N\; К)\; (-\; 1)\; К\; Икс\; К\; К!\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{n\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{x\}\}\; \{n!\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\}\; \{dx\; ^\; \{n\}\}\}\; (x\; ^\; \{n\}\; e\; ^\; \{-\; x\})\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; binom\; \{n\}\; \{k\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{k\}\}\; \{k\; !\}\}\}$

и нормализованы.

Связанный редуктор определяется как

$\phi \; (x)\; =\; 2\; (ln\; \; (x)\; -\; \int \; 0\; \infty \; e\; -\; t\; ln\; \; |\; x\; -\; t\; |\; d\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x)\; =\; 2\; \backslash \; left\; (\backslash \; ln\; (x)\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; \backslash \; ln\; |\; xt\; |\; dt\; \backslash \; right).\}$

Коэффициенты Фурье редуктора φ, связанные с полиномами Лагерра, задаются как

$C\; n\; (\phi )\; =\; -\; 1\; n\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; -\; 1\; 1\; (n\; -\; 1\; k).\; \{\backslash \; Displaystyle\; C\_\; \{n\}\; (\backslash \; varphi)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; binom\; \{n-1\; \}\; \{k\}\}\}.\}$

Этот коэффициент C n (φ) является не чем иным, как противоположностью суммы элементов строки индекса n в таблице гармонических треугольных чисел из Лейбница.

Многочлены Эрмита связаны с гауссовой плотностью

$\rho \; (x)\; =\; e\; -\; x\; 2\; 2\; 2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\}$

на I = R.

Они поясняются

$H\; n\; (x)\; =\; 1\; n!\; пример\; 2\; 2\; dndxn\; (е\; -\; x\; 2\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{n!\}\}\}\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{\; 2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{n\}\}\; \{dx\; ^\; \{n\}\}\}\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

и нормализованы.

Связанный редуктор определяется как

$\phi \; (x)\; =\; -\; 2\; 2\; \pi \; \int \; -\; \infty \; \infty \; t\; e\; -\; t\; 2\; 2\; ln\; \; |\; х\; -\; т\; |\; д\; т.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (x)\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; te\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{\; 2\}\}\; \{2\}\}\}\; \backslash \; ln\; |\; xt\; |\; \backslash ,\; dt.\}$

Коэффициенты Фурье редуктора φ, относящиеся к системе полиномов Эрмита, равны нулю для четного индекса и равны задается формулой

$C\; n\; (\phi )\; =\; (-\; 1)\; n\; +\; 1\; 2\; (n\; -\; 1\; 2)!\; п!\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{n\}\; (\backslash \; varphi)\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n\; +\; 1\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n-1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)!\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{n!\}\}\}\}$

для нечетного индекса n.

Чебышевская мера второй формы. Это определяется плотностью

$\rho \; (x)\; =\; 8\; \pi \; x\; (1\; -\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{8\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; (1-\; x)\}\}\}$

на интервале [0, 1].

Это единственное, что совпадает со своей вторичной мерой, нормированной на этом стандартном интервале. При определенных условиях это происходит как предел последовательности нормированных вторичных мер данной плотности.

Примеры несводимых мер

Мера Якоби на (0, 1) плотности

$\rho \; (x)\; =\; 2\; \pi \; 1\; -\; x\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{1-x\}\; \{x\}\}\}.\}$

мера Чебышева на (−1, 1) первой формы плотности

$\rho \; (x)\; =\; 1\; \pi \; 1\; -\; x\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}\}\}.\}$

вторичных мера μ, связанная с функцией плотности вероятности ρ, имеет момент порядка 0, заданный формулой

$d\; 0\; =\; c\; 2\; -\; c\; 1\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{0\}\; =\; c\_\; \{2\}\; -c\_\; \{1\}\; ^\; \{2\},\}$

, где c 1 и c 2, обозначающие соответствующие моменты первого и второго порядка ρ.

Затем, чтобы иметь возможность повторять процесс, «нормализует» μ, определяя ρ 1 = μ / d 0, которое, в свою очередь, становится плотностью вероятности естественно называется нормированной вторичной мерой, связанной с р.

Затем мы можем создать из ρ 1 вторичную нормализованную меру ρ 2, а затем определить ρ 3 из ρ 2 и так далее. Следовательно, мы можем видеть последовательность последовательных вторичных мер, созданных из ρ 0 = ρ, такова, что ρ n + 1, которая является вторичной нормализованной мерой, выведенной из ρ n

. Можно уточнить плотность ρ n с помощью ортогональных многочленов Pnдля ρ, вторичных многочленов Q n и связанного редуктора φ. Это дает формулу

$\rho \; n\; (x)\; =\; 1\; d\; 0\; n\; -\; 1\; \rho \; (x)\; (P\; n\; -\; 1\; (x)\; \phi \; (x)\; 2\; -\; Q\; n\; -\; 1\; (x))\; 2\; +\; \pi \; 2\; \rho \; 2\; (х)\; P\; n\; -\; 1\; 2\; (х).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{n\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{d\_\; \{0\}\; ^\; \{n-1\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; rho\; (x)\}\; \{\backslash \; left\; (P\_\; \{n-\; 1\}\; (x)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varphi\; (x)\}\; \{2\}\}\; -\; Q\_\; \{n-1\}\; (x)\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rho\; ^\; \{2\}\; (\; x)\; P\_\; \{n-1\}\; ^\; \{2\}\; (x)\}\}.\}$

Коэффициент $d\; 0\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; d\_\; \{0\}\; ^\; \{n-1\}\}$легко получить, исходя из старших коэффициентов многочленов P n-1 и P n. Мы также можем пояснить редуктор φ n, связанный с ρ n, а также ортогональные многочлены, соответствующие ρ n.

. Очень красивый результат связывает эволюцию этих плотностей, когда индекс стремится к бесконечности, и опорой меры является стандартный интервал [0, 1].

Пусть

$x\; P\; n\; (x)\; =\; tn\; P\; n\; +\; 1\; (x)\; +\; sn\; P\; n\; (x)\; +\; tn\; -\; 1\; P\; n\; -\; 1\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; xP\_\; \{n\}\; (x)\; =\; t\_\; \{n\}\; P\_\; \{n\; +\; 1\}\; (x)\; +\; s\_\; \{n\}\; P\_\; \{n\}\; (x)\; +\; t\_\; \{n-1\}\; P\_\; \{n-1\}\; (x)\}$

быть классическое рекуррентное отношение в трех терминах. Если

$lim\; n\; \mapsto \; \infty \; tn\; =\; 1\; 4,\; lim\; n\; \mapsto \; \infty \; sn\; =\; 1\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; infty\}\; t\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{4\}\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; infty\}\; s\_\; \{n\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\},\}$

то последовательность {ρ n } полностью сходится к Чебышев плотность второй формы

$\rho \; tch\; (x)\; =\; 8\; \pi \; x\; (1\; -\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{tch\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{8\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{x\; (1-x)\}\}\}$.

Эти условия, касающиеся пределов, проверяются очень широким классом традиционных плотностей. Вывод последовательности вторичных мер и сходимости можно найти в

Эквинормальные меры

Один вызывает две меры, что приводит к одной и той же нормализованной вторичной плотности. Примечательно, что элементы данного класса, имеющие одинаковый момент порядка 1, связаны гомотопией. Точнее, если функция плотности ρ имеет момент порядка 1, равный c 1, то эти плотности, равные нормальным с ρ, задаются формулой вида:

$\rho \; t\; (x)\; =\; t\; \rho \; (x)\; (1\; 2\; (t\; -\; 1)\; (x\; -\; c\; 1)\; \phi \; (x)\; -\; t)\; 2\; +\; \pi \; 2\; \rho \; 2\; (x)\; (t\; -\; 1)\; 2\; (x\; -\; c\; 1)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{t\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{t\; \backslash \; rho\; (x)\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (t-1)\; (x-c\_\; \{1\})\; \backslash \; varphi\; (x)\; -t\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; rho\; ^\; \{2\}\; (x)\; (t-1)\; ^\; \{2\}\; (x-c\_\; \{1\})\; ^\; \{2\}\; \}\},\}$

t, описывающий интервал, содержащий] 0, 1].

Если μ - вторичная мера ρ, то ρ t будет tμ.

Редуктор ρ t равен

$\phi \; t\; (x)\; =\; 2\; (x\; -\; c\; 1)\; -\; t\; G\; (x)\; ((x\; -\; c\; 1)\; -\; t\; 1\; 2\; г\; (Икс))\; 2\; +\; T\; 2\; \pi \; 2\; \mu \; 2\; (Икс)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; varphi\; \_\; \{т\}\; (х)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{2\; (х-с\_\; \{1\})\; -\; tG\; (х)\}\; \{\; \backslash \; left\; ((x-c\_\; \{1\})\; -\; t\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; G\; (x)\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; t\; ^\; \{2\}\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mu\; ^\; \{\; 2\}\; (x)\}\}\}$

, отмечая G (x) редуктор μ.

Ортогональные многочлены для меры ρ t выясняются из n = 1 по формуле

$P\; nt\; (x)\; =\; t\; P\; n\; (x)\; +\; (1\; -\; t)\; (\; Икс\; -\; с\; 1)\; Q\; N\; (Икс)\; t\; \{\backslash \; Displaystyle\; P\_\; \{n\}\; ^\; \{t\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{tP\_\; \{n\}\; (x)\; +\; (1-t)\; (x-c\_\; \{1\}))\; Q\_\; \{n\}\; (x)\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{t\}\}\}\}$

с вторичным многочленом Q n, связанным с P n.

. Примечательно также, что в смысле распределений предел, когда t стремится к 0 при более высоком значении ρ t, является мерой Дирака, сосредоточенной на c 1.

. Например, эквинормальные плотности с мерой Чебышева второй формы определяются следующим образом:

$\rho \; T\; (Икс)\; знак\; равно\; 2\; T\; 1\; -\; Икс\; 2\; \pi \; [T\; 2\; +\; 4\; (1\; -\; T)\; X\; 2],\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; rho\; \_\; \{t\}\; (х)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{2t\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; -x\; ^\; \{2\}\}\}\}\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; left\; [t\; ^\; \{2\}\; +4\; (1-t)\; x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\}\},\}$

с t, описывающим] 0, 2]. Значение t = 2 дает меру Чебышева первой формы.

В формулах ниже G - это константа Каталана, γ - константа Эйлера, β 2n - число Бернулли порядка 2n, H 2n + 1 - это номер гармоники порядка 2n + 1, а Ei - Экспоненциальный интеграл функция.

$1\; пер\; (п)\; знак\; равно\; 1\; п\; -\; 1\; +\; \int \; 0\; \infty \; 1\; (x\; +\; p)\; (пер\; 2\; \; (x)\; +\; \pi \; 2)\; dx\; \forall \; p>1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; \backslash \; ln\; (p)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{p-1\}\}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(x\; +\; p)\; (\backslash \; ln\; ^\; \{2\; \}\; (x)\; +\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\})\}\}\; dx\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; forall\; p>1\}$

$\gamma \; =\; \int \; 0\; \infty \; ln\; \; (1\; +\; 1\; x)\; ln\; 2\; \; (x)\; +\; \pi \; 2\; dx\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; (1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\})\}\; \{\backslash \; ln\; ^\; \{2\}\; (x)\; +\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\}\; dx\}$

$\gamma \; =\; 1\; 2\; +\; \int \; 0\; \infty \; (x\; +\; 1)\; cos\; \; (\pi \; x)\; ¯\; x\; +\; 1\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \}\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; overline\; \{(x\; +\; 1)\; \backslash \; cos\; (\backslash \; pi\; x)\}\}\; \{x\; +\; 1\}\}\; dx\}$

Обозначение $x\; \mapsto \; (x\; +\; 1)\; cos\; \; (\pi \; x)\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; mapsto\; \{\backslash \; overline\; \{(x\; +\; 1)\; \backslash \; cos\; (\backslash \; pi\; x)\}\}\}$, обозначающий 2-периодическую функцию совпадает с $x\; \mapsto \; (x\; +\; 1)\; cos\; \; (\pi \; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; mapsto\; (x\; +\; 1)\; \backslash \; cos\; (\backslash \; pi\; x)\}$на (−1, 1)

$\gamma \; =\; 1\; 2\; +\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; \beta \; 2\; k\; 2\; k\; -\; \beta \; 2\; n\; \zeta \; (2\; n)\; \int \; 1\; \infty \; \lfloor \; T\; \rfloor \; соз\; \; (2\; \pi \; t)\; t\; -\; 2\; n\; -\; 1\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\; \}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\; \_\; \{2k\}\}\; \{2k\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\; \_\; \{2n\}\}\; \{\backslash \; zeta\; (2n)\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\; \}\; \backslash \; lfloor\; t\; \backslash \; rfloor\; \backslash \; cos\; (2\; \backslash \; pi\; t)\; t\; ^\; \{-\; 2n-1\}\; dt\}$

$\beta \; k\; =\; (-\; 1)\; kk!\; \pi \; Im\; (\int \; -\; \infty \; \infty \; ex\; (1\; +\; ex)\; (x\; -\; i\; \pi )\; kdx)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; \_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{k\}\; k!\}\; \{\backslash \; pi\}\; \}\; \{\backslash \; text\; \{Im\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{x\}\}\; \{(1\; +\; e\; ^\; \{x\})\; (xi\; \backslash \; pi)\; ^\; \{k\}\}\}\; dx\; \backslash \; right)\}$

$\int \; 0\; 1\; ln\; 2\; n\; \; (x\; 1\; -\; x)\; dx\; =\; (-\; 1)\; n\; +\; 1\; (2\; 2\; n\; -\; 2)\; \beta \; 2\; n\; \pi \; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; ln\; ^\; \{2n\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{1-x\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dx\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; (\; 2\; ^\; \{2n\}\; -2)\; \backslash \; beta\; \_\; \{2n\}\; \backslash \; pi\; ^\; \{2n\}\}$

$\int \; 0\; 1\; \cdots \; \int \; 0\; 1\; (\sum \; k\; =\; 1\; 2\; n\; ln\; \; (tk)\; \prod \; i\; \ne \; k\; (tk\; -\; ti))\; dt\; 1\; \cdots \; dt\; 2\; n\; знак\; равно\; 1\; 2\; (-\; 1)\; n\; +\; 1\; (2\; \pi )\; 2\; n\; \beta \; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{2n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; ln\; (t\_\; \{k\})\}\; \{\backslash \; prod\; \_\; \{i\; \backslash \; neq\; k\}\; (t\_\; \{k\}\; -t\_\; \{i\; \})\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dt\_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; dt\_\; \{2n\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; (2\; \backslash \; pi)\; ^\; \{2n\}\; \backslash \; бета\; \_\; \{2n\}\}$

$\int \; 0\; \infty \; e\; -\; \alpha \; x\; \Gamma \; (x\; +\; 1)\; dx\; =\; ee\; -\; \alpha \; -\; 1\; +\; \int \; 0\; \infty \; 1\; -\; e\; -\; x\; (ln\; \; (x)\; +\; \alpha )\; 2\; +\; \pi \; 2\; dxx\; \forall \; \alpha \; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{e\; ^\; \{-\; \backslash \; alpha\; x\}\}\; \{\backslash \; Gamma\; (x\; +\; 1)\}\}\; dx\; =\; e\; ^\; \{e\; ^\; \{-\; \backslash \; alpha\}\}\; -\; 1+\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1-e\; ^\; \{-\; x\}\}\; \{(\backslash \; ln\; (x)\; +\; \backslash \; alpha)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; пи\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{x\}\}\; \backslash \; qqu\; ad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; forall\; \backslash \; alpha\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\}$

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; (1\; n\; \sum \; k\; =\; 0\; n\; -\; 1\; 1\; (n\; -\; 1\; k))\; 2\; =\; 4\; 9\; \pi \; 2\; =\; \int \; 0\; \infty \; 4\; (E\; i\; (1,\; -\; x)\; +\; i\; \pi )\; 2\; e\; -\; 3\; xdx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; \backslash \; binom\; \{n-1\}\; \{k\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{4\}\; \{9\}\}\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; 4\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathrm\; \{Ei\}\; (1,\; -x)\; +\; i\; \backslash \; pi\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; e\; ^\; \{-\; 3x\}\; \backslash ,\; dx.\}$

$23\; 15\; -\; ln\; \; (2)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; 1575\; 2\; (n\; +\; 1)\; (2\; n\; +\; 1)\; (4\; n\; -\; 3)\; (4\; n\; -\; 1)\; (4\; n\; +\; 1)\; (4\; n\; +\; 5)\; (4\; n\; +\; 7)\; (4\; n\; +\; 9)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{23\}\; \{15\}\}\; -\; \backslash \; ln\; (2)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1575\}\; \{2\; (n\; +\; 1)\; (2n\; +\; 1)\; (4n-3)\; (4n-1)\; (4n\; +\; 1)\; (4n\; +\; 5)\; (4n\; +\; 7)\; (4n\; +\; 9)\}\}\}$

$G\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; (-\; 1)\; k\; 4\; К\; +\; 1\; (1\; (4\; К\; +\; 3)\; 2\; +\; 2\; (4\; К\; +\; 2)\; 2\; +\; 2\; (4\; К\; +\; 1)\; 2)\; +\; \pi \; 8\; пер\; \; (2)\; \{\backslash \; Displaystyle\; G\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{(-1)\; ^\; \{k\}\}\; \{4\; ^\; \{k\; +\; 1\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(4k\; +\; 3)\; ^\; \{2\}\; \}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{(4k\; +\; 2)\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{(4k\; +\; 1)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; \}\; \{8\}\}\; \backslash \; ln\; (2)\}$

$G\; =\; \pi \; 8\; ln\; \; (2)\; +\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; (-\; 1)\; n\; H\; 2\; n\; +\; 1\; 2\; n\; +\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{8\}\}\; \backslash \; ln\; (2)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{H\_\; \{2n)\; +1\}\}\; \{2n\; +\; 1\}\}.\}$

Если мера ρ приводима и пусть φ - ассоциированный редуктор, выполняется равенство

$\int \; I\; \phi \; 2\; (x)\; \rho \; (x)\; dx\; =\; 4\; \pi \; 2\; 3\; \int \; I\; \rho \; 3\; (x)\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{I\}\; \backslash \; varphi\; ^\; \{2\}\; (x)\; \backslash \; rho\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\}\; \{3\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{I\}\; \backslash \; rho\; ^\; \{3\}\; (x)\; \backslash ,\; dx.\}$

Если мера ρ сводима с μ ассоциированным редуктором, то если f квадратично интегрируема для μ, и если g квадратично интегрируема для ρ и ортогонален с P 0 = 1, имеет эквивалентность:

$f\; (x)\; =\; \int \; I\; g\; (t)\; -\; g\; (x)\; t\; -\; x\; \rho \; (t)\; dt\; \iff \; g\; (x)\; =\; (x\; -\; c\; 1)\; f\; (x)\; -\; T\; \mu \; (f\; (x))\; =\; \phi \; (x)\; \mu \; (x)\; \rho \; (x)\; f\; (x)\; -\; T\; \rho \; (\mu \; (x)\; \rho \; (x)).\; е\; (х))\; \{\backslash \; Displaystyle\; е\; (х)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{I\}\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{g\; (t)\; -g\; (x)\}\; \{tx\}\}\; \backslash \; rho\; (t)\; dt\; \backslash \; Leftrightarrow\; g\; (x)\; =\; (x-c\_\; \{1\})\; f\; (x)\; -T\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; (f\; (x))\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; varphi\; (x)\; \backslash \; mu\; (x)\}\; \{\backslash \; rho\; (x)\}\}\; f\; (\; x)\; -T\; \_\; \{\backslash \; rho\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\; (x)\}\; \{\backslash \; rho\; (x)\}\}\; f\; (x)\; \backslash \; right)\}$

c1указывает момент порядка 1 для ρ и T ρ оператор

$g\; (x)\; \mapsto \; \int \; I\; g\; (t)\; -\; g\; (x)\; t\; -\; x\; \rho \; (t)\; dt.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; int\; \_\; \{I\}\; \{\backslash \; frac\; \{g\; (t)\; -g\; (x)\}\; \{tx\}\}\; \backslash \; rho\; (t)\; \backslash ,\; dt.\}$

Кроме того, последовательность вторичных мер имеет приложения в квантовой механике. Эта последовательность порождает так называемую последовательность остаточных спектральных плотностей для специализированных гамильтонианов Паули-Фирца. Это также обеспечивает физическую интерпретацию последовательности вторичных мер.

• Ортогональные многочлены
• Вероятность

• личная страница Ролана Гро о теории вторичных мер