Интеграция Лебега – Стилтьеса

В теоретико-методический анализ и смежные разделы математики, интеграция Лебега – Стилтьеса обобщает Римана – Стилтьеса и Интеграция Лебега, сохраняющая многие преимущества первого в более общей теории меры. Интеграл Лебега – Стилтьеса - это обычный интеграл Лебега-Стилтьеса по мере, известной как мера Лебега – Стилтьеса, которая может быть связана с любой функцией ограниченной вариации на вещественной прямой. Мера Лебега – Стилтьеса является регулярной борелевской мерой, и, наоборот, каждая регулярная борелевская мера на вещественной прямой относится к этому типу.

Интегралы Лебега-Стилтьеса , названные в честь Анри Леона Лебега и Томаса Джоаннеса Стилтьеса, также известны как интегралы Лебега-Радона или просто интегралы Радона после Иоганна Радона, которому принадлежит большая часть теории. Они находят общее применение в вероятности и случайных процессах, а также в некоторых разделах анализа, включая теорию потенциала.

• 1 Определение
  • 1.1 Интеграл Даниэля
• 2 Пример
• 3 Интегрирование по частям
• 4 Понятия, связанные с данным
  • 4.1 Интеграция Лебега
  • 4.2 Интеграция Римана – Стилтьеса и теория вероятностей
• 5 Примечания
• 6 Ссылки

Интеграл Лебега – Стилтьеса

$\int \; abf\; (x)\; dg\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dg\; (x)\; \}$

определяется, когда $f:\; [a,\; b]\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \backslash \; left\; [a,\; b\; \backslash \; right]\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$равно Борель - измеримый и ограниченный и $g:\; [a,\; b]\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; g:\; \backslash \; left\; [a,\; b\; \backslash \; right]\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$имеет ограниченную вариацию в [a, b] и непрерывен вправо, или когда f неотрицательно, а g монотонно и непрерывный вправо. Для начала предположим, что f неотрицательна, а g монотонно неубывающая и непрерывная справа. Определите w ((s, t]) = g (t) - g (s) и w ({a}) = 0 (в качестве альтернативы, конструкция работает для g, непрерывно слева, w ([s, t)) = g (t) - g (s) и w ({b}) = 0).

Согласно теореме Каратеодори о продолжении, существует единственная борелевская мера μ g на [a, b], которая согласуется с w на каждом интервале I. Мера μ g возникает из внешней меры (фактически, внешней метрической меры ), заданной как

$\mu \; g\; (E)\; =\; inf\; \{\sum \; i\; \mu \; g\; (\; I\; i):\; E\; \subset \; \bigcup \; я\; I\; i\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{g\}\; (E)\; =\; \backslash \; inf\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; \backslash \; mu\; \_\; \{g\}\; (I\_\; \{i\})\; \backslash :\; \backslash \; E\; \backslash \; subset\; \backslash \; bigcup\; \_\; \{i\}\; I\_\; \{i\}\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

инфимум, взятый по всем покрытиям E счетным числом полуоткрытых интервалов. Эту меру иногда называют мерой Лебега – Стилтьеса, связанной с g.

Интеграл Лебега – Стилтьеса

$\int \; abf\; (x)\; dg\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dg\; (x)\}$

определяется как интеграл Лебега функции f относительно меры μ g обычным способом. Если g не возрастает, определите

$\int \; abf\; (x)\; dg\; (x):\; =\; -\; \int \; abf\; (x)\; d\; (-\; g)\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\; \}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dg\; (x):\; =\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; d\; (-g)\; (x),\}$

последний интеграл определяется предшествующее строительство.

Если g имеет ограниченную вариацию и f ограничено, то можно записать

$dg\; (x)\; =\; dg\; 1\; (x)\; -\; dg\; 2\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; dg\; (x)\; =\; dg\_\; \{1\}\; (x)\; -dg\_\; \{2\}\; (x)\}$

где g 1 (x) = V. ag - полное изменение g в интервал [a, x] и g 2 (x) = g 1 (x) - g (x). И g 1, и g 2 являются монотонно неубывающими. Теперь интеграл Лебега – Стилтьеса относительно g определяется как

$\int \; abf\; (x)\; dg\; (x)\; =\; \int \; abf\; (x)\; dg\; 1\; (x)\; -\; \int \; abf\; (x)\; dg\; 2\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dg\; (x)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dg\_\; \{1\}\; (x)\; -\; \backslash \; int\; \_\; \{\; a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dg\_\; \{2\}\; (x),\}$

, где два последних интеграла хорошо определены предыдущей конструкцией.

Интеграл Даниэля

Альтернативный подход (Hewitt Stromberg 1965) заключается в определении интеграла Лебега-Стилтьеса как интеграла Даниэля, расширяющего обычный интеграл Римана – Стилтьеса. Пусть g - неубывающая непрерывная справа функция на [a, b], и определим I (f) как интеграл Римана – Стилтьеса

$I\; (f)\; =\; \int \; abf\; (x)\; dg\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; (f)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dg\; (x)\}$

для всех непрерывных функций f. Функционал I определяет меру Радона на [a, b]. Затем этот функционал можно расширить до класса всех неотрицательных функций, положив

$I\; ¯\; (h)\; =\; sup\; \{I\; (f):\; f\; \in \; C\; [a,\; b],\; 0\; \le \; f\; \le \; h\}\; I\; ¯\; ¯\; (h)\; =\; inf\; \{I\; (f):\; f\; \in \; C\; [a,\; b],\; h\; \le \; f\}.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; overline\; \{I\}\}\; (h)\; =\; \backslash \; sup\; \backslash \; left\; \backslash \; \{I\; (f)\; \backslash :\; \backslash \; f\; \backslash \; in\; C\; [a,\; b],\; 0\; \backslash \; leq\; f\; \backslash \; leq\; h\; \backslash \; right\; \backslash \}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; overline\; \{I\}\}\}\; (h)\; =\; \backslash \; inf\; \backslash \; left\; \backslash \; \{I\; (f)\; \backslash :\; \backslash \; f\; \backslash \; in\; C\; [a,\; b],\; h\; \backslash \; leq\; f\; \backslash \; right\; \backslash \}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Для функций, измеримых по Борелю,

$I\; ¯\; (h)\; =\; I\; ¯\; ¯\; (h),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overline\; \{I\}\}\; (h)\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; overline\; \{I\}\}\}\; (h),\}$

и каждая сторона тождества затем определяет интеграл Лебега – Стилтьеса для h. Внешняя мера μ g определяется как

$\mu \; g\; (A)\; =\; I\; ¯\; ¯\; (\chi \; A)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{g\}\; (A)\; =\; \{\backslash \; overline\; \{\backslash \; overline\; \{\; I\}\}\}\; (\backslash \; chi\; \_\; \{A\})\}$

где χ A - индикаторная функция A.

Интеграторы ограниченной вариации обрабатываются как указано выше, путем разложения на положительные и отрицательные вариации.

Предположим, что γ: [a, b] → R - это спрямляемая кривая на плоскости и ρ: R → [0, ∞) измеримо по Борелю. Затем мы можем определить длину γ относительно евклидовой метрики, взвешенной по ρ, как

$\int \; ab\; \rho \; (\gamma \; (t))\; d\; \ell \; (t),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; \backslash \; rho\; (\backslash \; gamma\; (t))\; \backslash ,\; d\; \backslash \; ell\; (t),\}$

где $\ell \; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; ell\; (t)\}$- длина ограничение γ на [a, t]. Иногда это называют ρ-длиной кривой γ. Это понятие весьма полезно для различных применений: например, на илистой местности скорость, с которой человек может двигаться, может зависеть от того, насколько глубока грязь. Если ρ (z) обозначает обратную скорость ходьбы в точке z или около нее, то длина ρ - это время, которое потребуется, чтобы пройти через γ. Концепция экстремальной длины использует это понятие ρ-длины кривых и полезна при изучении конформных отображений.

Функция f называется быть "регулярным" в точке a, если существуют правый и левый пределы f (a +) и f (a−), а функция принимает среднее значение a

$f\; (a)\; =\; f\; (a\; -)\; +\; f\; (а\; +)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (a)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (a\; -)\; +\; f\; (a\; +)\}\; \{2\}\}.\}$

Даны две функции U и V конечной вариации, если в каждой точке хотя бы одна U или V непрерывны, или U и V оба регулярны, то справедлива формула интегрирования по частям для интеграла Лебега – Стилтьеса:

Здесь соответствующие меры Лебега – Стилтьеса связаны с непрерывными справа версиями функций U и V; то есть, чтобы $U\; ~\; (x)\; =\; lim\; t\; \to \; x\; +\; U\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{U\}\}\; (x)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{t\; \backslash \; to\; x\; +\}\; U\; (t)\}$и аналогично $V\; ~\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; tilde\; \{V\}\}\; (x).\}$Ограниченное обратное значение (a, b) может быть заменено неограниченным интервалом (-∞, b), (a, ∞) или ( -∞, ∞) при условии, что U и V имеют конечную вариацию на этом неограниченном интервале. Также могут использоваться комплексные функции.

Альтернативный результат, имеющий важное значение в теории стохастического исчисления, заключается в следующем. Для двух функций U и V конечной вариации, которые непрерывны справа и имеют пределы слева (это функции càdlàg ), тогда

$U\; (t)\; V\; (t)\; =\; U\; (0)\; V\; (0)\; +\; \int \; (0,\; t]\; U\; (s\; -)\; d\; V\; (s)\; +\; \int \; (0,\; t]\; V\; (s\; -)\; d\; U\; (s)\; +\; \sum \; u\; \in \; (0,\; t]\; ∆\; U\; u\; \Delta \; В\; U,\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; (T)\; V\; (T)\; =\; U\; (0)\; V\; (0)\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{(0,\; t]\}\; U\; (s\; -)\; \backslash ,\; dV\; (s)\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{(0,\; t]\}\; V\; (s\; -)\; \backslash ,\; dU\; (s)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{u\; \backslash \; in\; (0,\; t]\}\; \backslash \; Delta\; U\_\; \{u\}\; \backslash \; Delta\; V\_\; \{u\},\}$

где ΔU t = U (t) - U (t−). Этот результат можно рассматривать как предшественник леммы Ито, и он используется в общей теории стохастического интегрирования. Последний член - ΔU (t) ΔV (t) = d [U, V], который возникает из квадратичной ковариации U и V. (Предыдущий результат можно тогда рассматривать как результат, относящийся к интегралу Стратоновича.)

Интеграция Лебега

Когда g (x) = x для всех действительных x, тогда μ g является Мера Лебега, и интеграл Лебега – Стилтьеса от f относительно g эквивалентен Интеграл Лебега функции f.

Интегрирование Римана – Стилтьеса и теория вероятностей

Где f - непрерывная действительная функция действительной переменной, а v - неубывающая действительная функция, Лебег –Интеграл Стилтьеса эквивалентен интегралу Римана – Стилтьеса, и в этом случае мы часто пишем

$\int \; abf\; (x)\; dv\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dv\; (x)\}$

для интеграла Лебега – Стилтьеса, оставляя меру μ v неявной. Это особенно часто встречается в теории вероятностей, когда v - кумулятивная функция распределения вещественной случайной величины X, и в этом случае

$\int \; -\; \infty \; \infty \; f\; (x)\; dv\; (х)\; =\; E\; [f\; (X)].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dv\; (x)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{E\}\; [f\; (X)].\}$

(См. статью на Интеграция Римана-Стилтьеса для получения более подробной информации о таких случаях.)

• Halmos, Paul R. (1974), Measure Theory, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90088-9
• Hewitt, Edwin; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ, Springer-Verlag.
• Сакс, Станислав (1937) Теория интеграла.
• Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л., 1978. Интеграл, мера, и производная: единый подход, Ричард А. Сильверман, пер. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.